KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah tak lupa kami haturkan kehadirat Allah Yang Maha Esa atas

segala limpahan Rahmat dan Karunia-Nyalah sehingga kami dapat menyelesaikan tugas

Makalah ini sesuai dengan jangka waktu yang telah ditentukan.

Dalam Makalah ini yang berjudul “Difrensial, Integral, Fungsi Linear Dan Non

Linear”, sebagai tugas untuk memenuhi persyaratan mata kuliah Matematika. Sehingga

makalah ini dapat dijadikan sebagai bahan studi dalam pembelajaran

Seperti pepatah yang mengatakan bahwa, Tak Ada Gading yang Tak Retak, demikian

pula dalam hal penyusunan makalah, saya menyadari masih banyak kekurangan, oleh karena

itu saya mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca untuk membantu penyempurnaan

makalah. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Amin.

Makassar, Maret 2013

Penyusun

1

I. DIFRENSIAL

Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari

bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam

pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik

tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai

real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari

garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada

sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.

Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus

menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.

Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari

perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatanbenda, dan turunan dari kecepatan

terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan

darimomentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda.

Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan

menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan

menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untuk

perusahaanyang sedang bersaing.

Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-

persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam

mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering

muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional,

geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.

1. Turunan

Misalkan x dan y adalah bilangan real di mana y adalah fungsi dari x, yaitu y = f(x). Salah

satu dari jenis fungsi yang paling sederhana adalahfungsi linear. Ini adalah grafik fungsi dari

garis lurus. Dalam kasus ini, y = f(x) = m x + c, di mana m dan c adalah bilangan real yang

tergantung pada garis mana grafik tersebut ditentukan. m disebut sebagai kemiringan dengan

rumus:

2

di mana simbol Δ (delta) memiliki arti "perubahan nilai". Rumus ini benar adanya karena

y + Δy = f(x + Δx) = m (x + Δx) + c = m x + c + m Δx = y + mΔx.

Diikuti pula Δy = m Δx.

Namun, hal-hal di atas hanya berlaku kepada fungsi linear. Fungsi nonlinear tidak memiliki

nilai kemiringan yang pasti. Turunan dari f pada titik x adalah pendekatan yang paling baik

terhadap gagasan kemiringan f pada titik x, biasanya ditandai dengan f'(x) atau dy/dx.

Bersama dengan nilai f di x, turunan dari f menentukan pendekatan linear paling dekat, atau

disebut linearisasi, dari f di dekat titik x. Sifat-sifat ini biasanya diambil sebagai definisi dari

turunan.

Sebuah istilah yang saling berhubungan dekat dengan turunan adalah diferensial fungsi.

Garis singgung pada (x, f(x))

Bilamana x dan y adalah variabel real, turunan dari f pada x adalah kemiringan dari garis

singgung grafik f' di titik x. Karena sumber dan target dari f berdimensi satu, turunan dari f

adalah bilangan real. Jika x dan y adalah vektor, maka pendekatan linear yang paling

mendekati grafik f tergantung pada bagaimana f berubah di beberapa arah secara bersamaan.

Dengan mengambil pendekatan linear yang paling dekat di satu arah menentukan sebuah

3

turunan parsial, biasanya ditandai dengan ∂y/∂x. Linearisasi dari f ke semua arah secara

bersamaan disebut sebagai turunan total. Turunan total ini adalahtransformasi linear, dan ia

menentukan hiperbidang yang paling mendekati grafik dari f. Hiperbidang ini disebut

sebagaihiperbidang oskulasi; ini secara konsep sama dengan mengambil garis singgung ke

semua arah secara bersamaan.

2. Penerapan Turunan

2.1 Optimalisasi

Jika f adalah fungsi yang dapat diturunkan pada R (atau interval terbuka) dan x adalah

maksimum lokal ataupun minimum lokal dari f, maka turunan dari f di titik x adalah nol;

titik-titik di mana f '(x) = 0 disebut titik kritis atau titik pegun (dan nilai dari f di x disebut

nilai kritis). (Definisi dari titik kritis kadang kala diperluas sampai meliputi titik-titik di mana

turunan suatu fungsi tidak eksis.) Sebaliknya, titik kritis x dari f dapat dianalisa dengan

menggunakan turunan ke-dua dari f di x:

jika turunan ke-dua bernilai positif, x adalah minimum lokal;

jika turunan ke-dua bernilai negatif, x adalah maksimum lokal;

jika turunan ke-dua bernilai nol, x mungkin maksimum lokal, minimum lokal,

ataupun tidak kedua-duanya. (Sebagai contohnya, f(x)=x³ memiliki titik kritis di x=0,

namun titik itu bukanlah titik maksimum ataupun titik minimum; sebaliknya f(x) =

±x4 mempunyai titik kritis di x = 0 dan titik itu adalah titik minimum maupun

maksimum.)

Ini dinamakan sebagai uji turunan ke dua. Sebuah pendekatan alternatif lainnya, uji turunan

pertama melibatkan nilai f ' di kedua sisi titik kritis.

Menurunkan fungsi dan mencari titik-titik kritis biasanya merupakan salah satu cara yang

sederhana untuk mencari minima lokal dan maksima lokal, yang dapat digunakan

untukoptimalisasi. Sesuai dengan teorema nilai ekstremum, suatu fungsi yang kontinu pada

interval tertutup haruslah memiliki nilai-nilai minimum dan maksimum paling sedikit satu

kali. Jika fungsi tersebut dapat diturunkan, minima dan maksima hanya dapat terjadi pada

titik kritis atau titik akhir.

Hal ini juga mempunyai aplikasi tersendiri dalam proses sketsa grafik: jika kita mengetahui

minima dan maksima lokal dari fungsi yang dapat diturunkan tersebut, sebuah grafik

4

perkiraan dapat kita dapatkan dari pengamatan bahwa ia akan meningkat dan menurun di

antara titik-titik kritis.

Di dimensi yang lebih tinggi, titik kritis dari nilai skalar fungsi adalah titik di mana gradien

fungsi tersebut adalah nol. Uji turunan kedua masih dapat digunakan untuk menganalisa titik-

titik kritis dengan menggunakan eigennilai matriks Hessian dari turunan parsial ke-dua fungsi

di titik kritis. Jika semua eigennilai tersebut adalah positif, maka titik tersebut adalah

minimum lokal; jika semuanya negatif, maka titik itu adalah maksimum lokal. Jika ada

beberapa yang positif dan beberapa yang negatif, maka titik kritis tersebut adalah titik pelana,

dan jika tidak ada satupun dari keadaan di atas yang terpenuhi (misalnya ada beberapa

eigennilai yang nol) maka uji tersebut inkonklusif.

2.2 Kalkulus variasi

Salah satu contoh masalah optimalisai adalah mencari kurva terpendek anatar dua titik di atas

sebuah permukaan dengan asumsi kurva tersebut harus berada di permukaan tersebut. Jika

permukaan tersebut adalah bidang rata, maka kurva yang paling pendek berupa garis lurus.

Namun jika permukaannya tidak bidang, maka kita tidak bisa mengetahui secara pasti kurva

yang paling pendek. Kurva ini disebut sebagai geodesik, dan salah satu masalah paling

sederhana di kalkulus variasi adalah mencari geodesik.Contoh lainnya adalah mencari luas

permukaan paling kecil yang dibatasi oleh kurva tertutup di ruang tiga dimensi. Permukaan

ini disebut sebagai permukaan minimum, dan ini dapat dicari dengan menggunakan kalkulus

variasi.

2.3 Fisika

Kalkulus sangatlah penting dalam fisika. Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan

dengan turunan, disebut sebagai persamaan diferensial. Fisika secara spesifik mempelajari

perubahan kuantitas terhadap waktu, dan konsep "turunan waktu"—laju perubahan terhadap

perubahan waktu— sangatlah penting sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep

penting. Sebagai contohnya, turunan waktu terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika

Newtonan:

kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu.

percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan

kedua posisi benda terhadap waktu.

5

Sebagai contoh, jika posisi sebuah benda dalam sebuah garis adalah:

maka kecepatan benda tersebut adalah:

dan percepatan benda itu adalah:

3. Persamaan diferential

Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsi dengan turunan-

turunannya. Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang

menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel itu sendiri.

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi

yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul

secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri. Sebagai

contoh, Hukum kedua Newton yang menggambarkan hubungan antara percepatan dengan

posisi dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa:

Persamaan kalor di variable satu ruang yang menggambarkan bagaimana kalor dapat

berdifusi melalui satu tongkat yang lurus adalah persamaan diferensial parsial

Di sini u(x, t) adalah temperatur tongkat pada posisi x dan waktu t dan α adalah sebuah

tetapan yang bergantung pada seberapa cepat kalor tersebut berdifusi.

3.1 Teorema nilai purata

Teorema nilai purata memberikan hubungan antara nilai dari turunan dengan nilai dari fungsi

asal. Jika f(x) adalah fungsi yang bernilai real dan a dan b adalah bilangan dengan a <b, maka

6

teorema nilai purata mengatakan bahwa kemiringan antara dua titik (a, f(a)) dan (b, f(b))

adalah sama dengan kemiringan garis singgung f di titik c di antara a and b. Dengan kata lain:

Dalam prakteknya, teorema nilai purata ini mengontrol sebuah fungsi terhadap turunannya.

Sebagai contoh, misalkan f memiliki turunan yang sama dengan nol di setiap titik, maka

fungsi tersebut haruslah horizontal. Teorema nilai purata membuktikan bahwa hal ini

haruslah benar, bahwa kemiringan antara dua titik di grafik f haruslah sama dengan

kemiringan salah satu garis singgung di f. Semua kemiringan tersebut adalah nol, jadi garis

sembarang antara titik yang satu dengan titik yang lainnya di fungsi tersebut memiliki

kemiringan yang bernilai nol. Namun hal ini juga mengatakan bahwa fungsi tersebut tidak

naik maupun turun.

3.2 Polinomial Taylor dan deret Taylor

Turunan memberikan pendekatan linear yang paling baik, namun pendekatan ini bisa sangat

berbeda dengan fungsi asalnya. Salah satu cara untuk memperbaiki pendekatan ini adalah

dengan menggunakan pendekatan kuadratik. Linearisasi dari fungsi bernilai real f(x) pada

suatu titik x0 adalah linearisasi polinomial a + b(x - x0), dan sangat mungkin untuk

mendapatkan pendekatan yang lebih baik dengan menggunakan polinomial kuadratik a + b(x

- x0) + c(x - x0)². Masih lebih baik lagi apabila menggunakan polinomial kubik a + b(x -x0)

+ c(x - x0)² + d(x - x0)³, dan gagasan ini dapat diperluas sampai polinomial berderajat tinggi.

Untuk setiap polinomial ini, haruslah terdapat pilihan nilai koefisien yang paling tepat untuk

a, b, c, dan d yang membuat pendekatan ini sedekat mungkin.

Untuk a, pilihan nilai yang terbaik selalu bernilai f(x0), dan untuk b selalu bernilai f'(x0).

Untuk c, d, dan koefisien berderajat tinggi lainnya, koefisien-koefisien ini ditentukan dengan

turunan berderajat tinggi dari f. c haruslah f''(x0)/2, dan d haruslah f'''(x0)/3!. Dengan

menggunakan koefisen ini, kita mendapatkan polinomial Taylor dari f. Polinomial taylor

berderajat d adalah polinomial dengan derajat d yang memberikan pendekatan yang paling

baik terhadap f, dan koefisiennya dapat ditentukan dengan perampatan dari rumus di atas.

Teorema Taylor memberikan batasan-batasan yang detail akan seberapa baik pendekatan

tersebut. Jika f adalah polinomial dengan derajat yang lebih kecil atau sama dengan d, maka

polinomial Taylor dengan derajat d sama dengan f.

7

Batasan dari polinomial Taylor adalah deret tidak terbatas yang disebut sebagai deret Taylor.

Deret Taylor biasanya merupakan pendekatan yang cukup dekat dengan fungsi asalnya.

Fungsi-fungsi yang sama dengan deret Taylor disebut sebagai fungsi analitik. Adalah tidak

mungkin untuk fungsi yang tidak kontinu atau memiliki sudut yang tajam untuk menjadi

fungsi analitik. Namun terdapat pula fungsi mulus yang bukan analitik.

3.3 Teorema fungsi implisit

Beberapa bentuk geometri alami, seperti lingkaran, tidak dapat digambar sebagai grafik

fungsi. Jika F(x, y) = x² + y², maka lingkaran adalah himpunan pasangan (x, y) di mana

F(x,y) = 0. Himpunan ini disebut sebagai himpunan nol (zero set) (bukan himpunan kosong)

dari F. Ini tidaklah sama dengan grafik F, yang berupa kerucut. Teorema fungsi implisit

mengubah relasi seperti F(x, y) = 0 menjadi fungsi. Teorema ini menyatakan bahwa jika F

adalah secara kontinu terdiferensialkan, maka di sekitar kebanyakan titik-titik, himpunan nol

dari F tampak seperti grafik fungsi yang digabungkan bersama. Titik di mana hal ini tidak

benar ditentukan pada kondisi turunan F. Lingkaran dapat digabungkan bersama dengan

grafik dari dua fungsi . Di setiap titik lingkungan dari lingkaran kecuali (-1, 0) dan (1, 0),satu

dari dua fungsi ini mempunyai grafik yang mirip dengan lingkaran. (Dua fungsi ini juga

bertemu di (-1, 0)dan (1, 0), namun hal ini tidak dipastikan oleh teorema fungsi implisit).

Teorema fungsi implisit berhubungan dekat dengan teorema fungsi invers yang menentukan

kapan sebuah fungsi tampak mirip dengan grafik fungsi terbalikkan yang digabungkan

bersama.

8

II. INTEGRAL

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas

wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah.

Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik

adan b.

1. Integral Tak Tentu

Integral tak tentu mempunyai rumus umum:

Keterangan:

c : konstanta

1.1 Pengintegralan standar

Jika maka:

9

Jika maka:

Jika maka:

1.2 Pengintegralan khusus

1.3 Sifat-sifat

2. Integral Tentu

Integral tentu digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi f(x) tertentu yang memiliki

batas atas dan batas bawah. Integral tentu mempunyai rumus umum:

10

Keterangan:

konstanta c tidak lagi dituliskan dalam integral tentu.

2.1 Integral trigonometri

11

Ingat-ingat juga beberapa sifat-sifat trigonometri, karena mungkin akan digunakan:

Substitusi trigonometri

Integral yang mengandung a2 − x2

Pada integral

kita dapat menggunakan

12

Catatan: semua langkah diatas haruslah memenuhi syarat a > 0 dan cos(θ) > 0;

Integral yang mengandung a2 + x2

Pada integral

kita dapat menuliskan

maka integralnya menjadi

(syarat: a ≠ 0).

Integral yang mengandung x2 − a2

Pada integral

13

dapat diselesaikan dengan substitusi:

Teknik pemecahan sebagian pada pengintegralan

Polinomial tingkat pertama pada penyebut

Misalkan u = ax + b, maka du = a dx akan menjadikan integral

Menjadi

Contoh lain:

Dengan pemisalan yang sama di atas, misalnya dengan integral

akan berubah menjadi

14

3. Integral Parsial

Jika dimisalkan u = f(x), v = g(x), dan diferensialnya du = f '(x) dx dan dv = g'(x) dx, maka

integral parsial menyatakan bahwa:

Atau dapat ditulis juga:

III. FUNGSI LINEAR DAN NON LINEAR

15

1. Fungsi Linear

Dalam matematika, istilah fungsi linear dapat mengacu kepada salah satu dari dua konsep

berbeda namun berhubungan:

• Fungsi polinomial orde satu, satu variabel;

• Peta antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan

perkalian scalar

Geometri analitis

Tiga fungsi linear geometris — garis merah dan biru memiliki gradien yang sama (m),

sementara garis merah dan hijau memotong sumbu y di tempat yang sama (b).

Dalam geometri analitis, istilah fungsi linear kadang-kadang digunakan dengan maksud

fungsi polinomial orde satu dari variabel tunggal. Fungsi ini disebut linear karena grafiknya

pada bidang Cartesius adalah garis lurus.

Fungsi seperti itu dapat ditulis sebagai:

16

dengan dan adalah konstanta riil dan adalah variabel riil.

Konstana disebut sebagai gradien atau kemiringan, sedangkan memberikan titik

perpotongan antara grafik fungsi tersebut dengan sumbu . Mengubah membuat garis

tersebut lebih curam atau landai, sementara mengubah akan menggerakkan garis ke atas

atau ke bawah.

Contoh fungsi yang grafiknya berupa garis lurus adalah:

Dalam matematika lanjut, sebuah fungsi linear berarti fungsi yang merupakan pemetaan

linear, yaitu pemetaan antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor

dan perkalian skalar.

Contohnya, bila dan direpresentasikan sebagai vektor koordinat, maka fungsi linear

adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai:

dengan M adalah matriks. Sebuah fungsi

adalah peta linear jika dan hanya jika = 0. Untuk nilai lain dari , fungsi ini tergolong dalam

kelas yang lebih umum, yaitu peta afin.

2. Fungsi Non Linier

17

Fungsi non linier merupakan model yang tidak kalah pentingnya dibandingkan dengan fungsi

linier dalam penerapan ekonomi, karena sebagian dari model ekonomi linier yang ada,

sesungguhnya merupakan linierisasi dari model non linier.

Ada 4 macam bentuk fungsi non linier yang paling sering dijumpai dalam analisis ekonomi,

yaitu : - Fungsi Kuadrat

- Fungsi Kubik

- Fungsi Eksponensial

- Fungsi Logaritma

Diantara ke empat fungsi nonlinier tersebut yang paling sering digunakan adalah fungsi

kuadrat.

1.1 Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadart adalah fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi dari variabelnya adalah

pangkat dua.

Gambar fungsi kuadrat bisa berupa : - Lingkaran

- Elips

- Parabola

- Hiperbola

Tetapi dalam penerapan ekonomi, yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat yang

berbentuk PARABOLA.

Bentuk yang lebih umum dari fungsi kuadrat :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + p X Y + e = 0

dimana a atau b 0

sebuah fungsi kuadrat jika mempunyai ciri-ciri berikut ini maka :

18

• Jika p = 0 dan a = b 0 ⇒ bentuk kurvanya Lingkaran

• p 2 – 4 a b < 0 ; a b dan tanda sama ⇒ bentuk kurvanya Elips

• p 2 – 4 a b > 0 ; a & b tanda berlawanan ⇒ bentuk kurvanya Hiperbola

• p 2 – 4 a b = 0 bentuk kurvanya Parabola

berati jika salah satu saja yaitu jika a = 0 atau b = 0 tetapi tidak keduanya, maka kurvanya

akan berbentuk Parabola

1.2 Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik

tertentu yang disebut pusat.

Bentuk umum persamaan lingkaran :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0

Lalu ubah bentuk persamaan menjadi ( X – i ) 2 + ( Y – j ) 2 = r 2

Dimana : i =

c−2 a ; j =

d−2 a dan r = √(i2+ j2− e

a )Maka i = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu Y

j = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu X

r = jari-jari lingkaran

Lingkaran bisa digambarkan jika nilai r 2 > 0

Titik potong lingkaran pada sumbu koordinat dapat dicari dengan memisalkan masing-

masing X = 0 dan Y = 0 secara bergantian.

Jika i > r lingkaran tidak memotong sumbu Y

j > r lingkaran tidak memotong sumbu X

Contoh :

19

3 X 2 + 3 Y 2 – 24 X – 18 Y = 33 : 3

X 2 + Y 2 – 8 X – 6 Y = 11

i =

c−2 a =

−8−2 (1 ) = 4 j =

d−2 a =

−6−2 (1 ) = 3

dan r = √(i2+ j2− ea )

= √(42+32−−111 )

= √36 = 6

jadi lingkaran tersebut mempunyai titik pusat pada sumbu koordinat ( 4 ; 3 ) dengan jari-jari

lingkaran = 6

1.3 Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus selalu

konstan. Elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus. Sumbu yang panjang

disebut Sumbu Mayor. Dan yang pendek disebut Sumbu Minor. Titik potong antara kedua

sumbu elips tersebut merupakan pusat elips ybs.

Bentuk Umum Persamaan Elips :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0

dimana : a tandanya sama dengan b tetapi nilai a ¿ b

Pusat dan jari-jari elips dirumuskan sebagai berikut :

( X−i)2

r12

+(Y− j)2

r22

=1

jika r = r maka akan menjadi lingkaran.

Contoh :

Tentukan pusat , jari-jari dan perpotongan kurva elips dengan masing-masing sumbu

koordinatnya ( sumbu X dan Y ) dari persamaan elips berikut :

8 X 2 + 2 Y 2 - 32 X - 12 Y + 18 = 0 : 2

4 X 2 + Y 2 - 16 X - 6 Y = - 9

4 X 2 - 16 X + Y 2 - 6 Y = - 9

4 X 2 - 16 X + k1 + Y 2 - 6 Y + k2 = - 9 + k1 + k2

(4 X 2 - 16 X + 16) + (Y 2 - 6 Y + 9) = - 9 + 16 + 9

20

4 (X – 2) 2 + (Y – 3) 2 = 16 : 16

( X−2)2

4 +

(Y−3 )2

16 = 1

( X−2)2

22+

(Y−3 )2

42= 1

Dengan demikian : i = 2 dan j = 3 r 1 = 2 dan r2 = 4

Berarti : pusat elips ada pada titik ( 2 ; 3 )

Karena r1 < r 2 maka sumbu mayor elips // sumbu vertikalY

r 1 adalah jari-jari pendek dan r 2adalah jari-jari panjang

1.4 Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus

selalu konstan. Hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan

sepasang asimtot. Perpotongan antara sumbu-sumbu simetri (antara asimtot-asimtot)

merupakan pusat hiperbola.

Bentuk umum persamaan hiperbola :

a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0 ; dimana a dan b berlawanan tanda

Pusat hiperbola dapat dicari dengan cara :

( X−i)2

m2−

(Y − j)2

n2=1

dimana sumbu lintang // sumbu X

atau

( X−i)2

n2−

(Y − j)2

m2=1

dimana sumbu lintang // sumbu Y

dimana ( i , j ) adalah koordinat titik pusat hiperbola

Jika nilai m = n maka asimtotnya akan saling tegak lurus, dan sumbu lintangnya tidak lagi

sejajar salah satu sumbu koordinat, dan hiperbolanya disebut hiperbola sama sisi.

1.5 Parabola

21

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus

dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks. Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu

simetri dan sebuah titik ekstrim.

Persamaan parabola :

1.6 y = a X 2 + b X + c jika sumbu simetri // sumbu vertikal (sumbu y)

1.7 X = a Y 2 + b Y + c jika sumbu simetri // sumbu horisontal (sumbu x)

X Y

Titik Ekstrim : (−b

2 a;b2−4ac−4 a )

Jarak titik ekstrim ↓ ↓ Jarak titik ekstrim

Pada sumbu Y pada sumbu X

Contoh : Tentukan titik ekstrim dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu

x dan y) dari parabola berikut :

Y = - X 2 + 6 X – 2

Sumbu simetri sejajar sumbu Y

Karena nilai a = - 1 < 0 ; maka parabolanya menghadap ke bawah.

Titik ekstrimnya terletak di atas atau titik maksimum, dengan titik koordinat :

(−b2a

;b2−4ac−4 a )

= = ( −6

2(−1);

62−4 (−1)(−2)−4 (−1 ) )

==(−6−2

;36−8

4 )= ( 3 , 7 )= ( 3 , 7 )

Perpotongan dengan sumbu Y terjadi pada saat X = 0 X = 0 Y = - 2 Y = - 2

Perpotongan dengan sumbu X terjadi pada saatPerpotongan dengan sumbu X terjadi pada saat Y = 0 0 = - X 2 + 6 X – 2

Dengan menggunakan rumus a b c diperoleh

X 1 = 5,65 dan X2 = 0,35

y

22

(3,7)

7

y = -x2 + 6x - 22

x = 3 sumbu simetri

x

0 0,35 3 5,65

-2

REFRENSI :

23

1. nanikrisnawati.files.wordpress.com/2011/01/fungsi-non-linier.doc

2. http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_linear

3. http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial

4. http://id.wikibooks.org/wiki/Subjek:Matematika/Materi:Integral

24