4

II. TINJAUAN PUSTAKA

Dalam bab ini akan dijelaskan pengertian tentang distribusi Weibull, maximum

likelihood estimation, penyensoran, bias relatif, penduga parameter distribusi

Weibull dan beberapa istilah lain yang berkaitan dengan bahasan dalam penelitian

ini.

2.1 Distribusi Weibull

Distribusi Weibull diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang bernama

Wallodi Weibull. Distribusi Weibull sering digunakan dalam pemodelan analisis

kelangsungan hidup yang memiliki daerah fungsi peluang densitas positif dengan

Peubah Acak kontinu. Distribusi Weibull memiliki dua parameter, yaitu:

= parameter bentuk (shape) yaitu menggambarkan bentuk distribusi pada

distribusi Weibull.

= parameter skala (scale) yaitu menggambarkan sebaran data pada distribusi

Weibull.

Menurut Kungdu dan Mangalick (2004), fungsi kepekatan peluang dari suatu

Peubah Acak Weibull ( , ) adalah sebagai berikut:

5

( ) = −0 ; ; > 0, > 0, > 0Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull didefinisikan sebagai:( ) = 1 − exp[− ].Rata-rata (mean) dari distribusi Weibull adalah ( ) = Г + ( ) .

Ragam (variance) distribusi Weibull adalah

( ) = { Г + − Г + }.

2.2 Jenis Penyensoran

Suatu data dikatakan tersensor jika lamanya hidup seseorang yang ingin diketahui

atau diobservasi hanya terjadi pada periode waktu yang telah ditentukan (interval

pengamatan), sedang info yang ingin diketahui tidak terjadi pada interval tersebut.

Dengan demikian kita tidak memperoleh informasi apapun yang diinginkan

selama interval pengamatan.

Ada tiga jenis penyensoran yaitu sensor kanan (right censoring), sensor kiri (left

censoring) dan sensor selang (interval censoring). Right cencoring, terjadi jika

individu yang diamati masih tetap hidup pada saat waktu yang telah ditentukan.

Left cencoring, terjadi jika semua informasi yang ingin diketahui dari seorang

individu telah dapat diperoleh pada awal studi. Interval cencoring, jika informasi

yang dibutuhkan telah dapat diketahui pada kejadian peristiwa didalam selang

pengamatan (Klein dan Moeschberger, 1997).

6

Misalkan, penelitian tentang waktu munculnya kembali tumor setelah operasi.

Tiga bulan setelah operasi pasien diuji apakah tumor muncul lagi. Ternyata pada

beberapa orang pasien, tumor belum juga muncul hingga waktu tiga bulan

berakhir (waktu munculnya tumor lebih besar dari tiga bulan). Sehingga waktu

munculnya tumor untuk pasien tersebut adalah tersensor kanan. Namun pada

beberapa orang pasien, tumor telah muncul sebelum tiga bulan (waktu munculnya

tumor lebih kecil dari tiga bulan). Sehingga waktu munculnya tumor untuk pasien

tersebut adalah tersensor di kiri. Pasien diamati bebas tumor pada waktu tiga

bulan pertama tapi tumor muncul ketika diuji enam bulan setelah operasi, berarti

waktu daya tahan pasien diketahui antara tiga sampai enam bulan, maka waktu

daya tahan pasien tersebut merupakan sensor selang (Lee, 1992).

2.3 Tipe-Tipe Penyensoran

Jenis penyensoran dapat dibagi lagi menjadi tipe-tipe penyensoran. Menurut

Johnson (1982), tipe-tipe penyensoran terdiri dari :

1. Penyensoran Tipe I

Pada penyensoran sebelah kanan tipe I, penelitian diakhiri apabila waktu

pengamatan yang ditentukan tercapai. Jika waktu pengamatan sama untuk semua

unit maka dikatakan penyensoran tunggal. Jika waktu pengamatan untuk setiap

unit berbeda maka dikatakan penyensoran ganda.

Pada penyensoran sebelah kiri tipe I, pengamatan dilakukan jika telah melampaui

awal waktu yang ditentukan. Karakteristik penyensoran tipe I adalah bahwa

kegagalan adalah acak.

7

2. Penyensoran Tipe II

Pada penyensoran tipe II, pengamatan diakhiri setelah sejumlah kegagalan yang

telah ditetapkan diperoleh, atau dapat dikatakan banyaknya kegagalan adalah tetap

dan waktu pengamatan adalah acak.

Pada sensor kanan jenis II, jumlah individu pada saat awal ditentukan dan waktu

penelitian ditentukan sampai terjadinya kematian dengan jumlah tertentu. Pada

sensor kiri jenis II, titik awal penelitian dilakukan saat waktu kegagalan terurut( < ).3. Penyensoran Maju (Progressive Censoring)

Pada penyensoran maju, suatu jumlah yang ditentukan dari unit-unit bertahan

dikeluarkan dari penelitian berdasarkan kejadian dari tiap kegagalan terurut.

Secara konseptual, hal ini sama dengan suatu praktek yang dikenal sebagai

sudden-death testing, dimana tes secara serempak memuat beberapa pengetesan

dan apabila terjadi kegagalan pertama maka seluruh pengetesan dianggap gagal.

(Johnson, 1982).

2.4 Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation)

Misalkan X adalah Peubah Acak kontinu (atau diskrit) dengan fungsi kepadatan

peluang ( ; ) dengan adalah satu parameter yang tidak diketahui. Misalkan, , … , merupakan sebuah sampel acak berukuran n.

Maka fungsi kemungkinan (likelihood function) dari sampel acak itu adalah:

( ) = ( ; ) ( ; ) … ( ; )

8

Dalam hal ini, fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter ( ) yang tidak

diketahui. Biasanya untuk memudahkan penganalisisan, fungsi kemungkinan( ) diberi ln (Nar Herrhyanto, 2003).

Fungsi ln-Likelihood dideferensiasikan terhadap yaitu:

= ln ( ) = ln ( 1: ) = 0Dengan mencari solusi dari persamaan di atas maka akan ditemukan penduga

yang memaksimumkan fungsi Likelihood (Hogg dan Craig, 1986).

2.5 Ketakbiasan

Menurut Herrhyanto (2003), dikatakan penduga tak bias bagi parameter , jika :=Sebaliknya dikatakan penduga bias bagi parameter , jika:≠2.6 Metode Kemungkinan Maksimum pada Distribusi Weibull

Parameter yang diduga pada distribusi Weibull adalah dan . Metode

kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) diawali dengan

membentuk fungsi kemungkinan (likelihood estimation) dari distribusi Weibull,

yaitu sebagai berikut:

9

( , ) = ( ; , )Dimana fungsi kepekatan peluang dari Weibull adalah:

( ; , ) = −0 ; ; > 0, > 0, > 0Sehingga fungsi kemungkinan yang dapat dibentuk dari fungsi kepekatan peluang

distribusi Weibull adalah:( , ) = ∏ ( )= ∏ ∑

Untuk mempermudah penganalisisan, fungsi kemungkinan tersebut diberi fungsi

logaritma natural, sehingga diperoleh:ln ( , ) = ln − n β ln + ln ∏ − ∑= ln − n β ln + (β − 1) ln − 1

= ln − n β ln + (β − 1) ln( . … ) − 1= ln − n β ln + (β − 1) ∑ ln x − ∑ (2.1)

Selanjutnya penduga kemungkinan maksimum dari distribusi Weibull diperoleh

dengan cara mencari turunan pertama dari logaritma natural fungsi kemungkinan

terhadap dan dan menyamakan dengan nol. Penduga untuk dan diuraikan

sebagai berikut:

10

2.6.1 Penduga untuk

Penduga parameter dari distribusi Weibull dapat diperoleh dari

memaksimumkan logaritma natural fungsi kemungkinan dari distribusi Weibull

yaitu dengan turunan pertama λ dari logaritma natural fungsi kemungkinannya

yang sama dengan nol. Yaitu sebagai berikut:

( , ) = 0Persamaan (2.1) disubstitusikan ke persamaan di atas, sehingga didapat:

( , ) = ln − n β ln + (β − 1) ∑ ln x − ∑= 0Untuk mempermudah proses perhitungan maka digunakan permisalan berikut ini:

= − 1= −= ( )= ( )

Selanjutnya,− + ( ) ∑ = 0 (2.2)− = − ( )

= ( )

11

. = ( ) .= ∑

n = ∑= ∑

= ∑Maka diperoleh penduga parameter pada distribusi Weibull sebagai berikut:

= ∑ (2.3)Untuk melihat apakah = ∑

merupakan titik maksimum dari maka

dibuktikan turunan kedua dari adalah kurang dari nol, yaitu :

( , ) < 0Persamaan (2.2) disubstitusikan ke persamaan diatas, sehingga didapat:ln ( , ) = − + ( ) < 0

− ( + 1) ( ) < 0− ( + 1) ∑( ) < 0

12

Karena turunan kedua dari logaritma natural fungsi kemungkinan dari distribusi

Weibull kurang dari nol maka terbukti bahwa = ∑merupakan

penduga yang maksimum pada .

2.6.2 Penduga untuk

Penduga parameter dari distribusi Weibull dapat diperoleh dari

memaksimumkan logaritma natural fungsi kemungkinan dari distribusi Weibull

yaitu dengan turunan pertama dari logaritma natural fungsi kemungkinannya

yang sama dengan nol. Yaitu sebagai berikut:

( , ) = 0Persamaan (2.1) disubstitusikan ke persamaan diatas, sehingga didapat:ln ( , ) = ln − n β ln + (β − 1) ln x − 1

= ln − n β ln + (β − 1) ln x −= 0

Karena untuk menurunkan persamaan di atas tidak mudah maka digunakan

permisalan:

=ln = ln

13ln = ln1 = ln= ln= ln

Sehingga diperoleh,

− ln + ln − ln = 0− ln − ln + = − ln

ln + ln − = lnln( ) − ln + ln − = ln

Persamaan (2.3) disubstitusikan ke persamaan diatas, sehingga didapat:∑ ln − ln + ln − = ∑ ln∑ ln∑ – = ln∑ ln∑ – 1 = ∑ ln (2.4)Nilai dugaan parameter bagi diperoleh melalui pendeketan iterasi metode

Newton – Raphson dengan menganggap bahwa:( ) = ( , ) = 0

14

Langkah-langkah metode Newton-Raphson untuk mencari dugaan parameter

adalah sebagai berikut:

1. Menentukan nilai awal

2. Menentukan persamaan ( )( ) = ∑ ln∑ – 1 − ∑ ln

Dan turunan pertama dari ( ) adalah( ) = ( )∑ ∑ ( ) ∑∑ +

3. Masukkan persamaan ( ) dan turunan pertamanya ( ) ke dalam

rumus metode Newton-Raphson= − ( )( )Sehingga diperoleh nilai dugaan parameter bagi sebagai berikut:

= − ( )( )= − ∑ ln∑ – 1 − ∑ ln

∑ ∑ (ln ) − ∑ ln∑ + 1 (2.5)Persamaan (2.5) adalah penduga bagi distribusi Weibull (Sinurat, 2008).

15

2.7 Fungsi Kemungkinan Maksimum pada Distribusi Weibull TersensorKiri

Menurut Engelhardt dan Bain (1991), fungsi kemungkinan maksimum Distribusi

Weibull pada data tersensor kiri adalah:

( ) = ( ; ) . ( )