grup

1

BAB I

GRUP

I.I Deskripsi

Struktur Aljabar merupakan suatu mata kuliah yang wajib ditempuh oleh

mahasiswa PPs UNSRI Program Studi Pendidikan Matematika. Sebelumnya

mata kuliah ini juga telah ditempuh di jenjang Strata 1. Struktur Aljabar

membahas beberapa materi, salah satunya adalah grup. Dikatakan grup jika

memenuhi syarat dari grup itu sendiri. Untuk lebih jelasnya, akan dibahas pada

Bab 1 ini.

Grup harus merupakan himpunan yang tak kosong, dimana dalam

kehidupan sehari-hari kita telah banyak mengenal himpunan. Seperti himpunan

hewan berkaki dua, himpunan nama buah-buahan yang berawalan huruf A dan

sebagainya. Contoh himpunan dalam matematika misalnya himpunan bilangan

bulat, himpunan bilangan real, himpunan bilangan asli dan lain-lain. Setelah

belajar grup, mahasiswa diharapkan mampu:

- Menjelaskan definisi dari grup

- Menentukan suatu himpunan merupakan grup

1.2 Materi

Sebelum mengetahui penjelasan dari grup ada beberapa istilah yang

diketahu terlebih dahulu.

Definisi 1.2.1

Suatu himpunan tidak kosong, G dengan operasi biner (*) didalamnya,

disebut grupoid dan dinyatakan dengan (G,*)

(Muchlisah, 2005:27)

contoh 1:

Misalkan G = dan operasi biner “*” dalam G ditentukan sebagai

berikut:

2

Tabel 1

Daftar Cayley G = terhadap Operasi Biner “*”

* x y z

X x y y

Y y x y

Z z y X

Table 1

Tabel ini dibaca dengan mengoperasikan unsur pada kolom pertama dengan

baris pertama sebagai berikut:

x * x = x, x * y = y, x * z = y dan seterusnya

(G,*) ini ternyata merupakan grupoid, karena operasi * merupakan operasi

biner dalam G.

Definisi 1.2.2

Suatu grupoid (G,*) disebut semi-grup, apabila terhadap operasi biner *

dalam G berlaku sifat asosiatif sebagai berikut: x,y,z G berlaku

(x * y) * z = x * (y * z)


Contoh 2:

Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner:

a*b = a + b + ab

Tunjukkan bahwa (N,*) adalah semigrup.

Penyelesaian:

1. Tertutup

Ambil sembarang a,b N, karena a,b N maka

a * b = a + b + ab N

jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.

2. Assosiatif

Ambil sembarang a,b,c N, maka

(a * b) * c = (a + b + ab) * c

3

= (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c

= a + b + ab + c + ac + bc + abc

= a + b + c + ab + ac + bc + abc

a * (b * c) = a * (b + c + bc)

= a + (b + c + bc) + a (b + c + bc)

= a + b + c + bc + ab + ac + abc

= a + b + c + ab + ac + bc + abc

Maka untuk setiap a,b,c N berlaku

(a * b) * c = a * (b * c)

Jadi, (N,*) merupakan suatu semi grup

Definisi 1.2.3

A nonempty set of elements G is said to form a group if in G there is defined

a binary operation, called the product and donated by such that

1. a, b G implies that a b G (closed).

2. a, b, c G implies that a (b c) = (a b) c (associative law).

3. There exists an element a G such that a e = e a b = a for all a G

(the existence of an identity element in G)

4. For every a G there exist an element G such that

(the existence of inverse in G)

(Heirstein, 1975:28)

Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup, jika dalam G terdapat

operasi misalkan * dan unsur-unsur dalam G memenuhi syarat:

a) Tertutup: a,b G maka a * b = c dengan c G

b) Assosiatif: a,b,c G berlaku (a * b) * c = a * (b * c)

c) Terdapat unsur identitas e G a * e = e * a = a, a G

d) Untuk setiap a G terdapat G * a = a * = e


4

Contoh 3:

Misalkan G = Tunjukkan bahwa G adalah suatu grup terhadap

perkalian biasa (G,x)

Penyelesaian:

Daftar Cayley G = terhadap (G,x) sebagai berikut:

Tabel 2

Dfatra Cayley G = terhadap (G,x)

X -1 1

-1 1 -1

1 -1 1

a. Tertutup

G tertutup terhadap operasi perkalian biasa x karena

-1 x -1 = 1 G

-1 x 1 = -1 G

1 x -1 = -1 G

1 x 1 =1 G

b. Assosiatif

Ambil sembarang nilai G, misalkan a = -1, b = -1 dan c = 1 G, maka

(a x b) x c = (-1 x (-1)) x 1 = 1 x 1 = 1

a x (b x c) = -1 x (-1 x 1) = 1 x 1 = 1

sehingga (a x b) x c = a x (b x c) = 1 maka G assosiatif

c. Adanya elemen identitas (e = 1) terhadap perkalian. Ambil sembarang

nilai dari G,

- Misalkan -1 G sehingga -1 x e = e x (-1) = -1

- Misalkan 1 G sehingga 1 x e = e x 1 = 1

Maka G mempunyai identitas

d. Adanya invers

- Ambil sembarang nilai dari G, misalkan -1 G, pilih -1 G, sehingga:

5

-1 x (-1) = 1 = e, maka invers dari -1 adalah -1

- Ambil sembarang nilai dari G, misalkan 1 G, pilih 1 G, sehingga:

1 x 1 = 1 x 1 = e, maka invers dari 1 adalah 1

Maka ada invers untuk setiap anggota G

Definisi 1.2.4

A group G is said to be abelian (or commutative) if for every a, b G,

. (Herstein, 1975:28)

Dalam suatu grup G bila berlaku sifat a b = b a untuk setiap anggota

a,b G, maka G disebut grup komutatif atau grup abel. Sifat a b = b a

disebut sifat komutatif.


Contoh 4:

Misalkan G = Tunjukkan bahwa G adalah suatu grup abelian

terhadap perkalian biasa (G,x).

Pada contoh 3 telah tebukti bahwa G = merupakan grup terhadap

perkalian biasa sehingga kita hanya membuktikan sifat komutatif

Penyelesaian:

-1 x 1 = -1 dan 1 x (-1) = -1 sehingga -1 x 1 = 1 x (-1) = 1

Jadi, (G,x) merupakan grup komutatif atau grup abel.

6

GLOSARIUM

Grupoid adalah suatu himpunan tidak kosong, G dengan operasi biner (*)

didalamnya, yang dinyatakan dengan (G,*)

Semi-grup adalah suatu grupoid (G,*) apabila terhadap operasi biner * dalam G

berlaku sifat asosiatif.

Grup adalah suatu himpunan tidak kosong G, jika dalam G terdapat operasi

misalkan * dan unsur-unsur dalam G memenuhi syarat tertutup, assosiatif,

identitas dan invers.

Grup komutatif atau grup abelian adalah jika dalam suatu grup G berlaku sifat

komutatif.

7

DAFTAR PUSTAKA

I. N, Heirsten. 1975. Topics in Algebra. New York.

Maddox, Randal. 2002. Mathematical Thinking and Writing. San Diego:

Academic Press.

Muchlisah, Nurul. 2005. Teori Grup dan Terapannya. Surakarta: LPP UNS dan

UNS Press.

8

SOAL – SOAL

1. Misalkan G = merupakan himpunan dari . Tunjukkan bahwa

G adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+).

2. Himpunan bilangan rasional merupakan grup terhadap operasi + yang

dilambangkan (Q, + ) dengan Q = {a/b | a, b Z dan b 0}. Operasi

penjumlahan didefinisikan dengan aturan a/b + c/d = (ad + bc)/bd. Buktikan

bahwa Q merupakan grup.

3. Buktikan G adalah grup abelian, lalu untuk semua a,b G dan semua integer

n, (Buku Heirsten)

4. Misalkan G kumpulan semua real matrik 2 x 2 dimana ad – bc 0

merupakan sebuah bilangan rasional. Buktikan G membentuk sebuah grup

dengan perkalian matriks. (Buku Heirsten)

5. Misalkan G kumpulan semua real matriks 2 x 2 dimana ad .

Buktikan G membentuk sebuah grup dengan perkalian matriks. Apakah G

abelian? (Buku Heirsten)

6. : x → ax + b, a,b R

G =

Akan dibuktikan bahwa G dengan operasi komposisi pemetaan adalah grup!

7. Define a binary operation * on Z by a * b = a + b + 1. Prove that Z with *

forms an abelian group. (Randall, 2002:214)

8. Give two reason why the set of odd integers under addition is not a group.

9. Referring to Example 13, verify the assertion that subtraction is not

associative.

10. Show that {1, 2, 3} under multiplication modulo 4 is not a group but that

{1, 2, 3, 4}under multiplication modulo 5 is a group

11. Find the inverse of the element in GL(2, Z11)\

9

12. Tunjukkan bahwa grup GL(2, R) pada contoh 2 adalah non-Abelian, dengan

membuktikan sepasang matriks A dan B dalam GL(2, R) sehingga AB BA!

13. Berikan sebuah contoh dari elemen-elemen grup a dan b dengan sifat bahwa

a–1

ba b!

14. Artikan setiap ungkapan perkalian berikut ini kedalam pasangan

penjumlahan!

a. a2b

2

b. a–2

(b–1

c)2

c. (ab2)–3

c2

15. Suatu elemen a dan b dari sebuah grup dan suatu bilangan bulat, buktikan

bahwa (a–1

ba)n = a

–1b

na!

16. Buktikan bahwa himpunan semua matriks 2 2 dengan bilangan dari R dan

determinan +1 adalah sebuah grup di bawah perkalian matriks!

17. Ada bilangan bulat n > 2, tunjukkan bahwa ada paling sedikit 2 elemen dalam

U(n) yang memenuhi x2 = 1!

18. Dalam aljabar abstrak guru diharapkan memberikan seorang juru ketik sebuah

daftar dari 9 bilangan yang merupakan sebuah group di bawah perkalian

modulo 91. Sebagai ganti, 1 dari 9 bilangan secara acak dihilangkan sehingga

daftar yang muncul seperti 1, 9, 16, 22, 53, 74, 79, 81. Bilangan manakah

yang dihilangkan? (ini benar-benar terjadi!)

19. Misalkan G sebuah grup dengan sifat berikut: Jika a, b, dan c anggota G dan

ab = ca, maka b = c. Buktikan bahwa G adalah Abelian!

20. (Hukum eksponen untuk grup Abelian). Misalkan a dan b elemen dari grup

Abelian dan misalkan n suatu bilangan bulat. Tunjukkan bahwa (ab)n = a

nb

n.

Apakah ini juga benar untuk grup non-Abelian?

21. (Aturan kaos kaki-sepatu). Dalam sebuah grup, buktikan bahwa (ab)–1

= b–1

a–

1. Carilah contoh yang menunjukkan kemungkinan pada (ab)

–2 b

–2a

–2.

Carilah contoh non-Abelian yang menunjukkan kemungkinan bahwa (ab)–1

=

b–1

a–1

untuk beberapa elemen non-identitas berbeda a dan b. Gambarkan

suatu analogi antara pernyataan (ab)–1

= b–1

a–1

dengan tindakan dari memakai

dan melepas kaos kaki dan sepatumu!

10

22. Buktikan bahwa sebuah grup G adalah Abelian jika dan hanya jika (ab)–1

= a–

1b

–1 untuk semua a dan b dalam G!

23. Dalam sebuah grup, buktikan bahwa (a–1

)–1

= a untuk semua a!

24. Tunjukkan bahwa himpunan {5, 15, 25, 35} adalah sebuah grup di bawah

perkalian modulo 40. Berapa elemen identitas dari grup ini? Dapatkah kamu

menunjukkan adanya hubungan antara grup ini dan U(8)!

25. Bilangan 5 dan 15 adalah koleksi diantara 12 bilangan yang membentuk

sebuah group di bawah perkalian modulo 56. Carilah semua bilangan-

bilangan itu!

26. Misalkan tabel berikut adalah sebuah tabel grup. Isilah bilangan-bilangan

yang kosong!

27. Buktikan bahwa jika (ab)2 = a

2b

2 dalam sebuah grup, maka ab = ba!

28. Misalkan a, b, dan c elemen dari sebuah grup. Sederhanakan persamaan axb

= c untuk x! Sederhanakan a–1

xa = c untuk x!

29. Misalkan G sebuah grup terbatas. Tunjukkan bahwa bilangan dari elemen x

dari G sehingga x3 = e adalah ganjil. Tunjukkan bahwa jumlah elemen x dari

G sehingga x2 e adalah genap!

30. Buktikan bahwa jika G adalah sebuah grup dengan sifat bahwa penyiku dari

setiap elemen adalah identitas, maka G adalah Abelian!

31. Buktikan bahwa himpunan semua matriks 3 3 dengan bilangan real dari

bentuk

100

10

1

c

ba adalah grup. (Operasi perkalian didefinisikan sebagai:

100

'10

'''1

100

'10

''1

100

10

1

cc

bacbaa

c

ba

c

ba

Grup ini, sering disebut group Heisenberg setelah merain hadian Nobel ahli

fisika Werner Heisenberg, yaitu dengan akrab yang terkait Prinsip

Ketidakpastian Ilmu Pisika Kuantum Heisenberg).

32. Dalam grup terbatas, tunjukkan bahwa bilangan dari elemen non-identitas

yang memenuhi kesamaan x5 = e merupakan kelipatan dari 4!

11

33. Misalkan

0,aRa

aa

aaG . Tunjukkan bahwa G adalah sebuah grup

di bawah perkalian matriks!

PENYELESAIAN SOAL-SOAL

1. Misalkan G = merupakan himpunan dari . Tunjukkan bahwa

G adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+).

Penyelesaian:

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

Dari tabel daftar Cayley diatas akan ditunjukkan bahwa G =

merupakan suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+), yaitu:

a. Tertutup

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0,1,2,3,4,5 G

1 + 2 = 3

1 + 3 = 4

1 + 4 = 5

1 + 5 = 0

12

Karena hasilnya 0, 3, 4, 5 G, maka tertutup terhadap G.

b. Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari G

Misalkan a = 2, b = 4 dan c = 5 G

(a + b) + c = (2 + 4) + 5 = 0 + 5 = 5

a + (b + c) = 2 + (4 + 5) = 2 + 3 = 5

sehingga: (a + b) + c = a + (b + c) = 5, maka G assosiatif

c. Identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)

Ambil sebarang nilai dari G

Misalkan 0 G, 0 + e = e + 0 = 0

Misalkan 1 G, 1 + e = e + 1 = 1

Misalkan 2 G, 2 + e = e + 2 = 2

Misalkan 3 G, 3 + e = e + 3 = 3

Misalkan 4 G, 4 + e = e = 4 = 4

Misalkan 5 G, 5 + e = e + 5 = 5

Maka G ada identitas.

d. Invers

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0 G, pilih 0 G,

Sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka







13





Maka G ada invers.

Jadi, G = merupakan Grup terhadap penjumlahan (G,+).

2. Himpunan bilangan rasional merupakan grup terhadap operasi + yang

dilambangkan (Q, + ) dengan Q = {a/b | a, b Z dan b 0}. Operasi

penjumlahan didefinisikan dengan aturan a/b + c/d = (ad + bc)/bd. Buktikan

bahwa Q merupakan grup.

Penyelesaian:

Akan dibuktikan bahwa Q grup berdasarkan sifat-sifat bilangan bulat.

a. tertutup

Misalkan a/b , c/d Q. Berdasarkan definisi operasi penjumlahan pada

bilangan rasional didapat (ad + bc)/bd.

Karena operasi perkalian dan penjumlahan dalam bilangan bulat bersifat

tertutup maka pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat.

Karena b dan d tidak nol maka bd juga tidak nol.

Berarti penjumlahan bilangan rasional bersifat tertutup.

b. assosiatif.

Misalkan a/b, c/d dan e/f Q.

Akan ditunjukkan bahwa sifat assosiatif berlaku.

(a/b + c/d) + e/f = (ad + bc)/bd + e/f

= [(ad + bc)f + (bd)e] / (bd)f

= [(ad)f + (bc)f + (bd)e] / (bd)f

= [a(df) + b(cf) + b(de)] / b(df)

= a/b + (cf+de) / df

= a/b + (c/d + e/f)

14

Berarti sifat assosiatif berlaku.

c. identitas

0/1 merupakan identitas karena 0/1 + a/b = (0.b + 1.a) / (1.b)

= (0 + a) / b

= a/b

Pada sisi lain, a/b + 0/1 = (a.1 + b.0) / (b.1)

= (a + 0) / b

= a/b

d. invers

Untuk sebarang anggota a/b Q akan ditunjukkan bahwa (-a)/b merupakan

inversnya. Jelas bahwa (-a)/b Q. Anggota (-a)/b merupakan invers a/b

karena a/b + (-a)/b = ab + b(-a)/bb

= (ab + (-a)b / bb

= 0.b / bb

= 0 / b

= 0 / 1

Terbukti Q grup.

3. Diketahui : a,b G bilangan integer n,

Ditanya : buktikan G adalah grup abelian!

Penyelesaian:

a) Ambil sembarang G

G (tertutup)

b) Ambil G

15

c) Ambil 1 G

memiliki elemen e = 1

d) Ambil G

G

, mempunyai invers

e) Sifat komutatif

=

(komutatif)

Jadi, G adalah grup abelian

4. Diketahui: matriks 2 x 2 dengan a, b, c, d R

ad – bc Q

16

Ditanya: Buktikan G membentuk sebuah grup dengan perkalian matriks

Penyelesaian:

a) Ambil matriks 2 x 2 sembarang

, R

Jadi, (G, tertutup

b) Ambil matriks 2 x 2

Akan dibuktikan

Bukti

=

Terbukti bersifat assosiatif

c) Memiliki identitas

Ambil sembarang

17

Elemen identitas I =

Akan dibuktikan:

Bukti:

=

Terbukti elemen identitas berupa matriks satuan

d) Memiliki invers

Ambil sembarang

Missal: P =

Det P = ad – bc

=

=

18

=

Terbukti memiliki invers

Jadi, G membentuk sebuah grup

5. Diketahui: matriks 2 x 2 dengan a, b, d R

ad

Ditanya: Apakah G abelian?

Penyelesaian:

a) Ambil matriks 2 x 2 sembarang

, R

Jadi, (G, tertutup

b) Ambil matriks 2 x 2

Akan dibuktikan

Bukti:

19

=

Terbukti bersifat assosiatif

c) Memiliki identitas

Ambil sembarang

Elemen identitas I =

Bukti:

=

Terbukti elemen identitas berupa matriks satuan

d) Memiliki invers

Ambil sembarang

Missal: M =

Det M = ad – 0 = 0

20

=

=


e) Ambil matriks 2 x 2 sembarang

Akan dibuktikan

bukti

Terbukti tidak komutatif

Jadi, G bukan grup abelian karena tidak bersifat komutatif

6. Diketahui: : x → ax + b, a,b R

G =

Ditanya: G dengan operasi komposisi pemetaan adalah grup!

Penyelesaian:

a) Ambil ,

Tidak sama

21

=

=

=

Karena dan , maka (sifat tertutup)

b) Ambil ,

=

= sifat assosiatif

c) Ambil ,

22

Jadi, elemen identitas pada G adalah x untuk setiap

d) Ambil ,


Jadi, G dengan operasi komposisi pemetaan adalah grup.

23

7. Define a binary operation * on Z by a * b = a + b + 1. Prove that Z with *

forms an abelian group.

Penyelesaian:

Sifat – sifat grup abelian:

a. tertutup

misal a, b Z, a * b = a + b + 1 Z (pasti tertutup)

b. assosiatif

misal a, b, c Z

(a * b) * c = a * (b * c)

(a * b) * c = (a + b + 1) * c

= a + b + 1 + c + 1

= a + b + c + 2

a * (b * c) = a * (b + c + 1)

= a + b + c + 1 + 1

= a + b + c + 2

Karena (a * b) * c = a * (b * c) maka assosiatif

c. identitas

misal a Z, a * e = e * a = a

a * e = a

a + e + 1 = a

e + 1 = 0

e = -1 Z

misal diambil a = 2, maka a * e = a + e + 1 = 2 + (-1) + 1 = 2

jadi G ada identitas.

d. invers

24

misal a Z, = = e

= e

= -1

= -2

= -2 –

misal diambil = 2, maka = e

2 + + 1 = -1

= -4

(membuktikan bahwa e = -1)

= e

2 + (-4) + 1 = e

e = -1 (menghasilkan identitas)

jadi G ada invers.

e. Komutatif

a, b Z

a * b = b * a

a * b = a + b + 1

b * a = b + a + 1 = a + b + 1

karena a * b = b * a maka terpenuhi komutatif.

Jadi terbukti bahwa Z merupakan grup abelian.

8. Give two reason why the set of odd integer under addition is not a group.

Penyelesaian:

a. Tidak tertutup karena, ambil a,b odd integer

Dengan a = 2n + 1

b = 2m + 1

a + b = 2n + 2m + 2

= 2(n + m) + 2 odd integer

+

25

b. Tidak memiliki elemen identitas karena 0 odd integer.

9. Referring to Example 13, verify the assertion that subtraction is not

associative.

Penyelesaian:

Misal G = {1, 2’ 5}

Akan dibuktikan

Bukti:

= -6

= 4

Terbukti G tidak assosiatif.

10. Show that {1, 2, 3} under multiplication modulo 4 is not a group but that

{1, 2, 3, 4} under multiplication modulo 5 is a group.

Penyelesaian:

Diketahui: Z4 = {1, 2, 3}

Z5 = {1, 2, 3, 4}

Ditanya: Buktikan bahwa a) Z4 bukan grup pada operasi perkalian

b) Z5 bukan grup pada operasi perkalian

Bukti

a) Z4 = {1, 2, 3}

1 2 3

1 1 2 3

2 2 0 2

?

26

3 3 2 1

Berdasarkan table cayley Z4 diatas, terbukti tidak tertutup karena 0 Z4

Sehingga Z4 terbukti bukan grup terhadap operasi perkalian.

b) Z5 = {1, 2, 3, 4}

1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

Berdasarkan table cayley bahwa Z5

1) Tertutup

2) Assosiatif

3) Elemenidentitasadalah 1

4) Setiapelemenmemilki invers yaitu 1 inversnya 1

2 inversnya 3

3 inversnya 2

4 inversnya 4

Sehingga terbukti Z5 adalah grup terhadap operasi perkalian.

11. Find the inverse of the element in GL(2, Z11).

Penyelesaian:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

27

………………(1)

……………….(2)

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 0 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9

3 0 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8

4 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7

5 0 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6

6 0 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5

7 0 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4

8 0 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3

9 0 9 7 5 3 1 10 8 6 4 2

10 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

28

………………(3)

………………….(4)

Jadi invers adalah

12. Grup GL(2, R) pada contoh 2 adalah non-Abelian, dengan membuktikan

sepasang matriks A dan B dalam GL(2, R) sehingga AB BA!

Bukti:

21212121

21212121

22

22

11

11

22

22

11

11

ddbccdac

dbbacbaa

dc

ba

dc

baAB

dc

baB

dc

baA

12121212

12121212

11

11

22

22

ddbccdac

dbbacbaa

dc

ba

dc

baBA

12121212

12121212

21212121

21212121

ddbccdac

dbbacbaa

ddbccdac

dbbacbaakarenaBAAB

-

29

Terbukti GL(2, R) non-Abelian dengan AB BA

13. Sebuah contoh dari elemen-elemen grup a dan b dengan sifat bahwa a–1

ba

b!

Penyelesaian:

Contoh dari elemen-elemen grup a dan b dengan sifat bahwa a–1

ba b adalah

untuk A dan B adalah matriks

Misalkan:

10

21

10

21

1

1

10

21

det

1

21

11

10

21

1

AA

BA

41

51

2201

3201

10

21

21

31

10

21

2010

4121

10

21

21

11

10

211BAA

21

11

41

51 yang menyebabkan A

–1BA B

14. Setiap ungkapan perkalian berikut ini kedalam pasangan penjumlahan!

a. a2b

2 = (a + a)(b + b) = 2a.2b = 4ab

b. a–2

(b–1

c)2 = [(– a) + (–a)]( –bc)

2 = (–2a)[( –bc) + (–bc)] = (–2a)( –2bc) =

4abc

c. (ab2)–3

c2 = e

(2ab)–3

2c = e

–3(2ab).2c = e

–12abc = e

15. Suatu elemen a dan b dari sebuah grup dan suatu bilangan bulat, buktikan

bahwa (a–1

ba)n = a

–1b

na!

Bukti:

30

(a–1

ba)n = (a

–1.a.b)

n = (e. b)

n = b

a–1

bna = a

–1.a.b

n = e.b

n = b

n

Terbukti bahwa (a–1

ba)n = a

–1b

na

16. Buktikan bahwa himpunan semua matriks 2 2 dengan bilangan dari R dan

determinan +1 adalah sebuah grup di bawah perkalian matriks!

Penyelesaian:

Misal:

1,,,,,,2 bcadRdcba

dc

baRSL adalah sebuah grup di bawah

perkalian matriks.

Bukti:

a. Assosiatif

321312123132213312123132

321321231321231321213321

33

33

21121212

21212121

33

33

22

22

11

11

ddddcbdcbcbaddcccbdcacaa

ddbdbacbbbaadcbcbacbaaaa

dc

ba

ddcbdcca

dbbacbaa

dc

ba

dc

ba

dc

ba

321312123132213312123132

321321231321231321213321

321123312132213123312132

321231321321231213321321

32232323

32323232

11

11

33

33

22

22

11

11

ddddcbdcbcbaddcccbdcacaa

ddbdbacbbbaadcbcbacbaaaa

ddddcbdcbcbaddcdcaccbcaa

ddbcbbdbabaadcbcbacbaaaa

ddcbdcca

dbbacbaa

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc

ba

33

33

22

22

11

11

33

33

22

22

22

22

11

11

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc

ba

b. Elemen identitasnya adalah

10

01

c. Invers:

bcad

a

bcad

c

bcad

b

bcad

d

31

Terbukti bahwa

1,,,,,,2 bcadRdcba

dc

baRSL adalah sebuah

grup di bawah perkalian matriks.

17. Ada bilangan bulat n > 2, tunjukkan bahwa ada paling sedikit 2 elemen dalam

U(n) yang memenuhi x2 = 1!

Penyelesaian:

U(10) = {1, 3, 5, 7, 9} perkalian modulo 10 yang memenuhi x2 = 1 adalah 1

dan 9 karena 12 = 1 dan 9

2 = 1

18. Dalam aljabar abstrak guru diharapkan memberikan seorang juru ketik sebuah

daftar dari 9 bilangan yang merupakan sebuah group di bawah perkalian

modulo 91. Sebagai ganti, 1 dari 9 bilangan secara acak dihilangkan sehingga

daftar yang muncul seperti 1, 9, 16, 22, 53, 74, 79, 81. Bilangan manakah

yang dihilangkan? (ini benar-benar terjadi!)

Penyelesaian:

U(91) = {1, 9, 16, 22, 53, 74, 79, 81}

Tabel Cayley

Mod 91 1 9 16 22 53 74 79 81

1

9

16

22

53

74

79

81

1

9

16

22

53

74

79

81

9

81

53

16

22

29

74

1

16

53

74

79

29

1

81

22

22

16

79

29

74

81

9

53

53

22

29

74

79

9

1

16

74

29

1

81

9

16

22

79

79

74

81

9

1

22

53

29

81

1

22

53

16

79

29

9

Berdasarkan tabel Cayley terlihat bahwa bilangan yang dihilangkan adalah 29.

19. Misalkan G sebuah grup dengan sifat berikut: Jika a, b, dan c anggota G dan

ab = ca, maka b = c. Buktikan bahwa G adalah Abelian!

Bukti:

32

Andaikan ab ca, maka b c, ini menunjukkan bahwa ab ba.

Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa ab = ca, maka b = c sehingga ab =

ba

Terbukti bahwa G adalah Abelian

20. (Hukum eksponen untuk grup Abelian). Misalkan a dan b elemen dari grup

Abelian dan misalkan n suatu bilangan bulat. Tunjukkan bahwa (ab)n = a

nb

n.

Apakah ini juga benar untuk grup non-Abelian?

Penyelesaian:

Misalkan {0, 1, 2} di bawah operasi penjumlahan modulo 3 adalah grup

Abelian.

Bukti (ab)n = a

nb

n

Contoh: (1.2)2 = 2

2 = 1

12.2

2 = 1.1 = 1

(1.2)2

= 12.2

2

(ab)n = a

nb

n tidak untuk grup non-Abelian karena itu tidak berlaku untuk

matriks. Dalam hal ini, (ab)n a

nb

n.

21. (Aturan kaos kaki-sepatu). Dalam sebuah grup, buktikan bahwa (ab)–1

= b–1

a–

1. Carilah contoh yang menunjukkan kemungkinan pada (ab)

–2 b

–2a

–2.

Carilah contoh non-Abelian yang menunjukkan kemungkinan bahwa (ab)–1

=

b–1

a–1

untuk beberapa elemen non-identitas berbeda a dan b. Gambarkan

suatu analogi antara pernyataan (ab)–1

= b–1

a–1

dengan tindakan dari memakai

dan melepas kaos kaki dan sepatumu!

Penyelesaian:

a. Bukti bahwa (ab)–1

= b–1

a–1

(ab)–1

.ab = e

b–1

a–1

.ab = a–1

.a.b–1

.b = e.e = e2 = e

Terbukti ab)–1

= b–1

a–1

b. Contoh yang menunjukkan kemungkinan pada (ab)–2

b–2

a–2

Misalkan:

33

222

22

22

22

2

22

2

5

1

2

1

2

11

52

21

1

10

21

12

01

1

10

11

11

01

1

10

11

11

01

2

1

3

1

3

1

5

1

23

35

1

11

12

11

12

1

11

12

1

11

12

11

01

10

11

11

01

10

11

ABAB

AB

AB

BA

c. Contoh non-Abelian yang menunjukkan kemungkinan bahwa (ab)–1

= b–

1a

–1 untuk beberapa elemen non-identitas berbeda a dan b adalah jika salah

satu elemen a dan b memuat

10

01.

Misalnya:

111

11

11

1

11

11

12

11

12

10

01

11

12

11

12

12

1

21

11

21

11

10

01

11

12

10

01

21

11

10

01

BAAB

BA

AB

BA

BA

d. Gambaran suatu analogi antara pernyataan (ab)–1

= b–1

a–1

dengan tindakan

dari memakai dan melepas kaos kaki dan sepatu:

Misalkan:

34

a = memakai kaos kaki

b = memakai sepatu

a –1

= melepas kaos kaki

b–1

= melepas sepatu

Jika kita mempunyai kaos kaki dan sepatu yang akan dipakai. Terlebih

dahulu, kita memakai kaos kaki lalu memakai sepatu. Untuk melepasnya,

terlebih dahulu melepas sepatu lalu melepas kaos kaki.

22. Buktikan bahwa sebuah grup G adalah Abelian jika dan hanya jika (ab)–1

= a–

1b

–1 untuk semua a dan b dalam G!

Penyelesaian:

a. Jika grup G adalah Abelian, (ab)–1

= a–1

b–1

untuk semua a dan b dalam G

Bukti:

Tabel Cayley

a b

a

b

a

b

b

a

Berdasarkan tabel Cayley berlaku sifat tertutup dan assosiatif

Elemen identitasnya adalah a

Setiap elemen mempunyai invers.

Invers dari a adalah a

Invers dari b adalah b

Komutatif karena ab = ba

Karena grup G adalah Abelian, maka (ab)–1

= a–1

b–1

b. Jika (ab)–1

= a–1

b–1

untuk semua a dan b dalam G, maka grup G adalah

Abelian

Bukti:

(ab)–1

.ab = e

b–1

a–1

.ab = a–1

.a.b–1

.b = e.e = e2 = e

Karena (ab)–1

= a–1

b–1

, maka grup G adalah Abelian

35

23. Dalam sebuah grup, buktikan bahwa (a–1

)–1

= a untuk semua a!

Bukti:

Misalkan a, a–1

, dan (a–1

)–1

memenuhi:

a.a–1

= e = a–1

.a dan a–1

. (a–1

)–1

= e = (a–1

)–1

. a–1

, maka:

a = a. e = a.[a–1

. (a–1

)–1

] = (a. a–1

). (a–1

)–1

= e. (a–1

)–1

= (a–1

)–1

Terbukti bahwa (a–1

) –1

= a

24. Tunjukkan bahwa himpunan {5, 15, 25, 35} adalah sebuah grup di bawah

perkalian modulo 40. Berapa elemen identitas dari grup ini? Dapatkah kamu

menunjukkan adanya hubungan antara grup ini dan U(8)!

Penyelesaian:

- Himpunan {5, 15, 25, 35} adalah sebuah grup di bawah perkalian modulo

40

Bukti:

Tabel Cayley

mod 40 5 15 25 35

5

15

25

35

25

35

5

15

35

25

15

5

5

15

25

35

15

5

35

25

Berdasarkan tabel Cayley berlaku sifat tertutup dan assosiatif

Elemen identitasnya adalah 25

Setiap elemen mempunyai invers

Invers dari 5 adalah 5




Terbukti bahwa Himpunan {5, 15, 25, 35} adalah sebuah grup di bawah

perkalian modulo 40

- Elemen identitas dari grup U(40) adalah 25

36

- Hubungan antara U(40) dan U(8) adalah sama-sama mempunyai 4 anggota

masing-masing U(40) = {5, 15, 25, 35} dan U(8) = {1, 3, 5, 7} sehingga

elemen-elemen U(40) merupakan 5 kali dari elemen-elemen U(8).

25. Bilangan 5 dan 15 adalah koleksi diantara 12 bilangan yang membentuk

sebuah group di bawah perkalian modulo 56. Carilah semua bilangan-

bilangan itu!

Penyelesaian:

Tabel Cayley

mod 56 5 15 1 19 25 9 13 23 27 39 3 45

5

15

25

19

19

1

5

15

39

5

13

39

45

23

9

27

3

9

23

13

27

25

15

45

1

3

1

19

5

39

15

5

1

19

19

25

25

27

9

3

13

23

23

45

27

9

39

13

3

1

45

15

25 13 39 25 27 9 1 45 15 3 23 19 5

9

13

23

27

39

45

9

3

23

27

23

27

9

13

25

9

13

23

27

39

3

23

45

9

13

1

45

15

3

23

25

5

39

19

39

5

1

19

15

3

39

19

25

5

1

19

15

5

1

45

39

3

1

45

9

27

39

13

25

5

13

25

27

39

19

3

45

15

1

45

3

3

45

1

15

19

5

27

13

39

25

13

27

25

39

5

19

9

23

23

9

Berdasarkan tabel Cayley, 12 bilangan tersebut adalah {1, 3, 5, 9, 13, 15,

19, 23, 25, 27, 39, 45}

26. Misalkan tabel berikut adalah sebuah tabel grup. Isilah bilangan-bilangan

yang kosong!

e a b c d

e

a

b

e

a

b

a

b

c

b

c

d

c

d

e

d

e

a

37

c

d

c

d

d

e

e

a

a

b

b

c

27. Buktikan bahwa jika (ab)2 = a

2b

2 dalam sebuah grup, maka ab = ba!

Bukti:

(ab)2 = a

2b

2 (ab)

–1

(ab)2(ab)

–1 = a

2b

2 (ab)

–1

(ab)(ab)(ab)–1

= b2b

–1a

2a

–1

ab.e = b.b.b–1

.a.a.a–1

ab = b.e.a.e

ab = ba

Terbukti bahwa jika (ab)2 = a

2b

2 dalam sebuah grup, maka ab = ba

28. Misalkan a, b, dan c elemen dari sebuah grup. Sederhanakan persamaan axb

= c untuk x! Sederhanakan a–1

xa = c untuk x!

Penyelesaian:

a. axb = c (ab)–1

x.(ab)(ab)–1

= c(ab)–1

x.e = c(ab)–1

x = c(ab)–1

b. a–1

xa = c

a–1

.a.x = c

e.x = c

x = c

29. Misalkan G sebuah grup terbatas. Tunjukkan bahwa bilangan dari elemen x

dari G sehingga x3 = e adalah ganjil. Tunjukkan bahwa jumlah elemen x dari

G sehingga x2 e adalah genap!

Penyelesaian:

- Bilangan dari elemen x dari G sehingga x3 = e adalah ganjil yaitu misal x =

1, maka 13 = 1 = e (1 ganjil). Ini terbatas hanya untuk bilangan 1.

38

- Bilangan dari elemen x dari G sehingga x2 e adalah genap yaitu misal x =

2 maka 22 = 4 1 (2 genap). Ini terbatas hanya untuk semua bilangan

genap.

30. Buktikan bahwa jika G adalah sebuah grup dengan sifat bahwa penyiku dari

setiap elemen adalah identitas, maka G adalah Abelian!

Bukti:

Dalam tabel grup, setiap elemen hanya muncul satu kali setiap baris dan

kolomnya. Misalkan a, b, c, d, G, dengan tabel Cayley seperti berikut!

a B c d

a

b

c

d

a

b

c

d

B

a

d

c

c

d

a

b

d

c

b

a

Berdasarkan tabel Cayley tersebut, terbukti bahwa jika G adalah sebuah grup

dengan sifat bahwa penyiku dari setiap elemen adalah identitas, maka G

adalah Abelian.

31. Buktikan bahwa himpunan semua matriks 3 3 dengan bilangan real dari

bentuk

100

10

1

c

ba adalah grup. (Operasi perkalian didefinisikan sebagai:

100

'10

'''1

100

'10

''1

100

10

1

cc

bacbaa

c

ba

c

ba

Grup ini, sering disebut group Heisenberg setelah merain hadian Nobel ahli

fisika Werner Heisenberg, yaitu dengan akrab yang terkait Prinsip

Ketidakpastian Ilmu Pisika Kuantum Heisenberg).

Penyelesaian:

a. Assosiatif

39

100

"'10

'"'""'"'1

100

"'10

'"'""'"'1

100

"'10

"''"'""'1

100

"'10

''"'"""'1

100

"'10

'"'"'"1

100

10

1

100

"10

""1

100

'10

'''1

100

"10

""1

100

'10

''1

100

10

1

100

"10

""1

100

'10

''1

100

10

1

ccc

accaacbbbaaa

ccc

accaacbbbaaa

ccc

bacacbcabaaa

ccc

bacbcaacbaaa

cc

bcabaa

c

ba

c

ba

cc

bacbaa

c

ba

c

ba

c

ba

c

ba

c

ba

c

ba

b. Identitas

Identitas dari

100

10

1

c

ba

adalah

000

010

001

c. Invers

AAdjA

A

c

ba

A

1

100

10

1

1

1

01

001

1

01

001

1

1

1

1

01

001

1

cbac

a

cbac

aA

A

cbac

aAAdj

Terbukti himpunan semua matriks 3 3 dengan bilangan real dari

bentuk

100

10

1

c

ba

adalah group.

40

32. Dalam grup terbatas, tunjukkan bahwa bilangan dari elemen non-identitas

yang memenuhi kesamaan x5 = e merupakan kelipatan dari 4!

Penyelesaian:

Bilangan dari elemen non-identitas yang memenuhi kesamaan x5 = e

merupakan kelipatan dari 4 adalah:

Misalkan grup itu adalah perkalian modulo 341, maka:

x5 = e di mana 4

5 = 1, sudah jelas bahwa 4

5 merupakan kelipatan dari 4.

33. Misalkan

0,aRa

aa

aaG . Tunjukkan bahwa G adalah sebuah grup

di bawah perkalian matriks!

Penyelesaian:

-

321321

321321

33

33

2121

2121

33

33

22

22

11

11

44

44

22

22

aaaaaa

aaaaaa

aa

aa

aaaa

aaaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

33

33

22

22

11

11

33

33

22

22

11

11

321321

321321

3232

3232

11

11

33

33

22

22

11

11

44

44

22

22

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aaaaaa

aaaaaa

aaaa

aaaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

- Elemen identitas dari

aa

aa adalah

10

01

- Tidak mempunyai invers karena determinan dari

aa

aa adalah 0

0,aRa

aa

aaG bukan sebuah grup di bawah perkalian matriks

grup

Documents