Grup Siklik dan Isomorfisma By aim07Rate This Grup Siklik Definisi: Suatu grup G disebut grup siklik jika terdapat a elemen G sehingga setiap x elem en G selalu berlaku x = am untuk suatu bilangan bulat m. selanjutnya elemen a di sebut pembangun G. Dengan kata lain, Grup Siklik adalah Subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsur -unsur dari Grup itu sendiri. Suatu Grup Siklik bisa beranggotakan terhingga ban yaknya unsur, bisa juga beranggotakan tak hingga unsur-unsur. Grup Siklik yang b eranggotakan banyaknya unsur terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga dan Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik ta k hingga. Misalkan G adalah grup siklik yang dibagun oleh a. Kita akan mengatakan G berorde berhing ga jika ada n bilangan bulat positif terkecil sehingga a^n=e dan jika tidak ada kecuali 0, maka kita mengatakan orde G tak berhingga. Contoh : H = { (1); (123); (132) } elemen S3 yang merupakan grup. Perhatikan bahwa : (123)2 = (132); (123)3 = (1) maka H = {(123), (123)2 = (132), (123)3 = (1)} maka H merupakan grup siklik dengan generator (123). G = {1, -1, i, -i } dengan i = akar -1 maka G juga merupakan grup siklik dengan generator i, sebab : i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1 K = {(1), (1 2)} juga merupakan grup siklik dengan generator (1 2). S3 bukan grup siklik karena tidak memuat generator Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut. Penyelesaian : Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2 dan 3 [0] = {n(0) | n Z} = {0} [1] = {n(1) | n Z} = {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, } = {0, 1, 2, 3} [2] = {n(2) | n Z} = {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, } = {0, 2} [3] = {n(3) | n Z} = {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, } = {0, 3, 2, 1} generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [1] = [3] = {0, 1, 2, 3} generator 0 dan 2 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [0] = {0} [2] = {0, 2} Teorema : Jika G grup siklik dengan pembangun a maka a-1 juga pembangun dari G Teorema : Jika G grup siklik dengan pembangun a dan p(a) = n maka a0, a1, a2, , an-1 adalah n buah elemen dalam G yang saling berbeda. Teorema : Misalkan G grup siklik dengan generator a dan o(G) = n. elemen a^t elemen G jugapembangun dari G dengan 0 < t G suatu isomorfisma, e dan e masing-masing adalah u nsur kesatuan G dan G, maka f(e)=e. Jika f : G->G suatu isomorfisma, dan f(a)=a, a elemen G, a elemen G, maka f(a-1)=[f( a)]-1. Jika f : G->G suatu isomorfisma dan order elemen a adalah n, maka order f(a) juga adalah n. Relasi isomorfisma dalam himpunan grup adalah relasi ekuivalen. Isomorfisma Grup Siklis Beberapa teorema: 1. Grup siklis yang berorder sama adalah isomorfis. 2. Suatu grup siklis yang tak berhingga isomorfis dengan grup aditif bilangan bu lat. 3. Suatu grup siklis berorder n isomorfis dengan grup aditif kelas residu modulo n. 4. Suatu subgrup dari grup siklis tak berhingga isomorfis dengan grup aditif kel ipatan bulat suatu bilangan bulat. Perhatikanlah bahwa subgrup dari suatu grup siklis tak berhingga isomorfis denga n grup itu sendiri. Teorema Cayley Setiap grup berhingga isomorfis dengan suatu grup permutasi. Bukti. Misal diberikan sebarang grup G .Diberikan ide pengerjaannya sebagai beri kut. Langkah 1. Temukan him. G dari permutasi yang merupakan khandidat yang akan membe ntuk grup dan akan isomorf dengan G. Langkah 2. Buktikan G adalah grup terhadap operasi kali permutasi Langkah 3. Definisikan pemetaan f: G G , dan tunjukkan bahwa f suatu isomorfisma. Contoh-contoh: 1. Buktikan bahwa grup aditif G={,-3,-2,-1,0,1,2,3,} isomorfis dengan grup aditif G={,-3m,-2m,-m,0,m,2m,3m,}, untuk m=sembarang bilangan bulat. 2. Misalkan G grup aditif bilangan riil dan G grup multiplikatif semua bilangan r iil positif. Tunjukkan bahwa pemetaan f:G->G, f(x)=ex, x elemenG, dan g:G elemenG, g(x)=ln x, x elemen G, masing-masing adalah suatu isomorfisma. 3. G adalah grup {0,1,2,3,4} dengan operasi penjumlahan modulo 5 dan G adalah gru p siklis berorder 5, G={a,a2,a3,a4,a5=e}. Buktikan bahwa pemetaan f:G->G, f(n)=an untuk setiap n elemen G adalah suatu isomorfisma dari G pada G. 4. Carilah grup permutasi regular yang isomorfis dengan grup multiplikatif G={1, -1,i,-i}