GRUP SIKLIK

OLEHNurul Fajriah

Rahmawati Indah Lestari. S

Dosen Pengasuh : 1. Dr. Darmawijaya

2. Dr. Nila Kesumawati

DEFINISI

TEOREMA

1 CONTOH 1

2

3

CONTOH 2

CONTOH 3

LATIHAN

SOAL

1

2

3

4

SIKLIK

CONTOH 4

CONTOH 5

CONTOH 6

CONTOH 7

CONTOH 8

CONTOH 9

Definisi 1 : Grup Siklik (terhadap penjumlahan)

Grup G (G, +) disebut siklik, bila ada elemen sedemikian sehingga .

Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.

(Fadli, 2010 : 55)

MAIN

MENU

CONTOH 1 :

Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatuGrup terhadap penjumlahan (G,+).Buktikan bahwa G tersebut adalahgrup siklik.

PenyelesaianDiketahui : G = {0, 1, 2, 3}Ditanya : Tentukan grup siklik dan

subgrup siklik dari G!

MAIN

MENU

G = {0, 1, 2, 3}

= {1.0}

= {0}

= {1.1, 2.1, 3.1, 4.1, …}

= {1, 2, 3, 0}

= {1.2, 2.2, …}

= {2, 0}

= {1.3, 2.3, 3.3, 4.3,…}

= {3, 2, 1, 0}

Karena G = <1> = <3> = {0, 1, 2, 3}, dengan kata

lain 1 dan 3 adalah generator dari G,

Maka G = {0, 1, 2, 3} merupakan grup siklik.

MAIN

MENU

Definisi 2 : Grup Siklik (terhadap perkalian)

Grup G (G, .) disebut siklik, bila ada elemen sedemikian sehingga .Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.

(Gallian, 2008 : 72)

Suatu grup G dan suatu unsur , jika grup G dapat dinyatakan sebagai , maka g dikatakan pembangun dari grup G dan grup G disebut Grup Siklik, biasanya dinotasikan G = <g>

(Muchlisah, 2005 : 58)

MAIN

MENU

CONTOH 2 :

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup

terhadap operasi perkalian (G, .).

Buktikan bahwa G adalah grup siklik.

Penyelesaian :

Diket : G = {-1, 1}

Dit : Buktikan G adalah grup siklik.

MAIN

MENU

Jawab :

G = {-1, 1}

<-1> = {(-1)1, (-1)2, …}

= {-1, 1}

<1> = {11, 12, …}

= {1}

Karena G = <-1> = {-1, 1}, dengan kata lain

-1 adalah generator dari G,

maka G = {-1, 1} merupakan grup siklik.

MAIN

MENU

Definisi 3 : Sub Grup Siklik

(G, *) adalah suatu grup dan, maka generator a yang

membangun suatu subgroup <a> dinamakan sub grup siklikdari (G, *)

(Fadli, 2010 : 55)

Jadi yang dimaksud dengan Sub Grup Siklik

yaitu suatu subgrup yang dibangkitkan oleh satu

unsur.

MAIN

MENU

CONTOH 3 :

Buktikan bahwa Z8 adalah grup

siklik. Kemudian tentukan sub grup

sikliknya!

Penyelesaian :

Diketahui :

Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Ditanya :

- apakah Z8 grup siklik?

- tentukan subgrup siklik dari Z8

Jawab :

Bukti

Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

= {1.0} = {0}

= {1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1,

7.1, 8.1, …}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0}

= {1.2, 2.2, 3.2, 4.2, …}

= {2, 4, 6, 0}

= {1.3, 2.3, 3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3,

8.3, …}

= {3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0}

MAIN

MENU

= {1.4, 2.4, …}

= {4, 0}

= {1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5,

7.5, 8.5, …}

= {5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0}

= {1.6, 2.6, 3.6, 4.6, …}

= {6, 4, 2, 0}

= {1.7, 2.7, 3.7, 4.7, 5.7, 6.7,

7.7, 8.7, …}

= {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}

Karena terdapat <a> = G

yaitu 1, 3, 5 dan 7 maka Z8

adalah Grup Siklik.

Yang merupakan subgrup

sikliknya yaitu

<2> = {2, 4, 6, 0}

<4> = {4, 0}

<6> = {6, 4, 2, 0}

MAIN

MENU

CONTOH 4 :

Buktikan bahwa U(10) adalah grup siklik.

Kemudian tentukan sub grup sikliknya!

Penyelesaian :

Diketahui : U(10) = {1, 3, 7, 9}

Ditanya : - apakah U(10) grup siklik?

- tentukan subgrup siklik dari U(10)

MAIN

MENU

Jawab : Bukti

U(10) = {1, 3, 7, 9}

<1> = {11, 12, 10…}

= {1} …………………. <1> ≠ U(10)

<3> = {31, 32, 33, 30, …}

= {3, 9, 7,1} …………. <3> = U(10)

<7> = {71, 72, 73, 70,…}

= {7, 9, 3, 1} ………… <7> = U(10)

<9> = {91, 92, 93, 90,…}

= {9, 1,…} ………….. <9> ≠ U(10)

Karena terdapat <a> = G yaitu 3 dan 7 maka U(10) adalah Grup

Siklik.

Yang merupakan subgrup sikliknya yaitu <1> = {1} dan <9> = {1, 9}

MAIN

MENU

Teorema 1 : ak = agcd(n,k)

Let a be an element of order n in a group and let k be a positive integer.

Then ak = agcd(n,k) and ak = n/gcd(n,k).

Akibat 1 : Generator dari finite group siklik

G=<a>adalah group siklik dengan order n, maka G=<ak>jika dan hanya jika FPB (k,n) =1

Akibat 2 : Generator Zn

Dengan bilangan bulat k dalam Zn, adalah generator dari Zn jika dan hanya jika gcd (n, k) = 1

(Gallian, 2008 : 76)MAIN

MENU

CONTOH 5 :

Dari acuan teorema 1 akibat 1, tentukan semua generator

dari grup siklik U(50)!

|U(50)| = 20 dan 3 adalah salah satu dari generatornya.

Demikianlah, dalam melihat teorema 1, daftar pelengkap

dari generator-generator untuk U(50) adalah

31 mod 50 = 3 311 mod 50 = 47

33 mod 50 = 27 313 mod 50 = 23

35 mod 50 = 43 37 mod 50 = 37

317 mod 50 = 13 39 mod 50 = 33

319 mod 50 = 17 320 mod 50 = 1

MAIN

MENU

Teorema 2 : Teorema Dasar Grup Siklik

Setiap subgrup pada sebuah grup siklik adalah grup

siklik itu pula. Lebih-lebih jika |<a>|= n, lalu

order pada subgrup <a>adalah sebuah pembagi n

dan atau setiap k pembagi positif pada n, grup

memiliki tepat satu subgrup berorder k, yaitu

(Gallian, 2008 : 77)

MAIN

MENU

Contoh 6 :

Jika k adalah pembagi dari 30, subgrup order k adalah

Jadi daftar subgrup dari dan daftar subgrup dari Z30 adalah :

Daftar Subgrup <a> Order

Order 30

Order 15

Order 10

Order 6

Order 5

Order 3

Order 2

Order 1

MAIN

MENU

Akibat Teorema 2 : Subgrup Zn

Untuk setiap pembagi positif k pada n, himpunan <n/k> adalah subgrup

tunggal pada order k, lebih dari itu,

hanya ada subgrup dalam

MAIN

MENU

Contoh 7 :

Berdasarkan dari contoh 6 di atas bahwa daftar

subgrup dari Z30 adalah :

Daftar Subgrup Z30 Order

Order 30

Order 15

Order 10

Order 6

Order 5

Order 3

Order 2

Order 1MAIN

MENU

Teorema 3 : Jumlah pada Unsur Setiap Order

dalam Grup Siklik.

Jika d adalah sebuah pembagi positif pada n,

angka pada unsur dalam order d dalam sebuah

grup siklik pada order n adalah

Akibat : Jumlah unsur pada elemen order

adalah finite grup

Dalam grup finit, jumlah elemen order d

habis dibagi oleh

(Gallian, 2008 : 80)

MAIN

MENU

Contoh 8 :

Tentukan subgrup dari Z12 dan buat diagram lattice

Ambil a= 2 dimana <2> = {0,2,4,6,8,10}.

Berdasarkan teorema 4.2 maka:

21 = 2 24 = 8

22 = 4 25 = 10

23 = 6 26 = 0

Apabila 2 dipangkatkan sampai n dimana n є Z hasilnya tetap

berada pada <2> sehingga tertutup terhadap operasi pada

Z12. Akibatnya <2> merupakan subgrup dari Z12.

Dengan cara serupa ambil a=3 dimana <3> = {0,3,6,9}

sehingga diperoleh:

31 = 3 35 = 3

32 = 6 36 = 6

33 = 9 37 = 9

34 = 0 38 = 0

MAIN

MENU

Dari hasil di atas <3> merupakan subgrup dari Z12.

Selanjutnya ambil a=4 dimana <4>={0,4,8}.

Berdasarkan teorema 2 maka:

41=4 44=4

42=8 45=8

43=0 46=0

Apabila 4 dipangkatkan sampai pangkat ke-n, dimana

n є Z hasilnya akan sama dengan order dari <4>

yaitu <4> = {0, 4, 8} sehingga tertutup terhadap

operasi di Z12 akibatnya <4> merupakan subgrup

dari Z12.

MAIN

MENU

Ambil a = 6 dimana <6> = {0, 6} dengan cara yang

sama diperoleh:

61=6 63=6

62=0 64=0

Dengan memangkatkan a sampai pangkat ke-n

hasilnya akan sama dengan <6> sehingga <6>

tertutup terhadap operasi di Z12 akibatnya <6>

merupakan subgrup dari Z12.

Dari hasil diatas dapat disimpulkan <2>, <3>,

<4>, dan <6> merupakan subgrup dari Z12

<2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup

sejati nontrivial dari Z12 dan <0> merupakan

subgrup trivial dari Z12.MAIN

MENU

Diagram lattice Z12

Z12

<2><3>

<4><6>

<0>MAIN

MENU

Teorema 4 :

Setiap Grup Siklik adalah GrupAbelian.

(Muchlisah, 2005 : 59)

Contoh 9 :

Dari Contoh 1, tunjukan bahwa Grup Siklik tersebut

merupakan Grup Komutatif.

MAIN

MENU

Penyelesaian :

Generator 1 dan 3 adalah membangun suatuGrup Siklik dari Grup

G = {0, 1, 2, 3} terhadappenjumlahan (G,+).

Misal Ambil n = 1 dan m = 2, dan generator a = 3

x + y = na + ma

= (n + m) a

= 1.3 + 2.3

= (1 + 2).3

= 3.3 = 1

y + x = ma + na

= (m + n) a

= 2.3 + 1.3

= (2 + 1).3

= 3.3 = 1

Jadi, Grup Siklik G = {0, 1, 2, 3} merupakan GrupKomutatif.MAIN

MENU

MAIN

MENU