Gradien

Oleh :Zainul Munawwir

080210191025

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS JEMBER2011/2012

Gradien

PENGERTIAN GRADIEN

GRADIEN DARI SUATU GARIS LURUS

SIFAT-SIFAT GRADIEN

APLIKASI GRADIEN TERHADAP PERSAMAAN GARIS LURUS

Pengertian Gradien

Gradien adalah bilangan bilangan atau nilai yang menjelaskan besar dan arah kemiringan atau cenderung  suatu garis. Gradien biasanya dilambangkan dengan huruf m, gradien juga merupakan perbandingan sumbu y dengan sumbu x.

NEXT

Perhatikan gambar di bawah ini!

BACK

Menentukan Gradien Garis Lurus

Untuk menentukan gradien suatu garis lurus dapat ditentukan melalui dua titik. Misal titik A(x1, y1) dan B(x2 , y2 ) terletak pada suatu garis a, untuk menentukan gradien garis a terlebih dahulu ditentukan komponen x (perubahan nilai x) dan komponen y (perubahan nilai y) dari titik A(x1, y1) dan titik B(x2 , y2 ) .

NEXT

Contoh:

NEXT

Garis l melalui dua titik A(x1, y1) dan B(x2 , y2 ) , sehingga komponen y pada garis l adalah

dan komponen x pada garis a adalah

Dengan demikian gradien garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2 , y2 ) adalah

gradien dari persamaan garis y=ax+c adalah:m= a = koefisien dari x NEXT

Contoh soal: Tentukan gradien garis yang melalui

titik A(-4, 5) dan B(2, - 3)Jawab:komponen x pada garis AB adalah:

komponen y pada garis AB adalah:

sehingga gradien garis AB adalah:

BACK

Sifat-sifat gradien garis

A. Gradien Garis-garis Lurus yang Saling Sejajar memiliki gradien yang sama

NEXT

B. Hasilkali gradien garis-garis yang saling tegak lurus adalah -1

NEXT

C. Gradien garis yang sejajar sumbu x adalah 0 dan gradien garis yang sejajar sumbu y adalah tak terdefinisi

BACK

APLIKASI GRADIEN TERHADAP PERSAMAAN GARIS LURUS

Menentukan persamaan garis yang melalui titik A (a,b) dan bergradien m

Menentukan persamaan garis yang melalui titik A (a,b) dan sejajar garis lain

Menentukan persamaan garis yang melalui titik A (a,b) dan tegak lurus garis lain

EXERCISE

Menentukan persamaan garis yang melalui titik A (x1,y1) dan bergradien mMisalkan titik A adalah titik dengan koordinat (x1 ,y1 ), sedangkan Q adalah titik dengan koordinat sebarang, misalnya (x, y) dengan AQ tidak sejajar sumbu x. Jika gradien garis yang melalui titik A dan Q dinyatakan dengan m, maka AQ terdiri atas semua titik (x, y) yang memenuhi hubungan sebagai berikut.

BACK

untuk menentukan persamaan garis yang sejajar dengan suatu garis yang telah diketahui dan melalui titik tertentu, maka dicari terlebih dahulu gradien garis tersebut.

Contoh: Tentukan persamaan garis yang melalui titik

(2,3) dan sejajar dengan garis y=2x-5

Menentukan persamaan garis yang melalui titik A (a,b) dan sejajar garis lain

NEXT

Jawab:gradien garis y=2x+5 adalah 2 sehingga garis yang sejajar dengan y=2x+5 juga bergradien 2. jadi persamaan yang dicari adalah persamaan garis yang melalui (2,3) dan bergradien 2,sehingga:y-y1=m(x-x1)y-3=2(x-2)y=2x-1

BACK

Menentukan persamaan garis yang melalui titik A (a,b) dan tegak lurus garis lain

hasilkali gradien dari garis-garis yang saling tegak lurus adalah -1. Oleh karena itu untuk menentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan suatu garis yang telah diketahui, maka terlebih dahulu harus ditentukan gradien-gradien dari garis-garisnya

Contoh:Tentukan persamaan garis k yang melalui titik

(-5,3) dan tegak lurus dengan garis l ≡ 4y = 5x -6 NEXT

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut langkah-langkahnya sebagai berikut.

a. Menentukan gradien garis l ≡ 4y = 5x -6, yakni dengan mengubah persamaan 4y = 5x -6 menjadi persamaan dalam bentuk y = (5/4)x -6/4 , sehingga diperoleh gradiennya yaitu m=5/4

b. Menentukan persamaan garis k, misalkan gradien garis k adalah mk, karena garis k tegak lurus garis l, maka hasilkali gradien garis k dengan gradien garis l sama dengan -1, yakni ml x mk =-1. Dengan demikian diperoleh mk =-4/5 . Garis k melalui ( -5,3) dengan gradien mk =-4/5, maka persamaan garis k adalah y-3 = -4/5(x+ 5) sehingga diperoleh 4x+5y+5=0

BACK

Uji Pemahaman

1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( - 5 , 4 ) dan sejajar dengan garis dengan persamaan 2y – 5x = 7

2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( 6, - 3 ) dan tegak lurus dengan garis 5y = 3x – 1

3. Diketahui garis l dengan persamaan (x -2y)=a(x + y) = 0 sejajar dengan garis g dengan persamaan (5y -x) + 3a(x + y) = 2a. Tentukan nilai a.