gradien dan persamaan garis lurus
TRANSCRIPT
Gradien dan Persamaan Garis Lurus
Materi : Gradien dan Persamaan Garis LurusKelas : VIII SMP
1. Gradien
- Gradien (m) disebut juga kemiringan garis.- Bentuk umum persamaan garis lurus y = mx+c , dg m(gradien)- Sedangkan pada persamaan garis : ax+by+c = 0 maka gradiennya :by = -ax – cy = -a/bx – c/bm(gradient) = -a/b
contoh soal : tentukan gradien persamaan garis 2x+4y+5 = 04y = -2x-5y = -2/4 x - 5/4 maka m = -2/4 = -1/2 cara cepat = -a/b = -2/4
Macam-macam gradien :a) Gradien bernilai positif Bila m (+) contoh : 6x - 2 y – 9 = 0m = - (6/-2) = 3 (positif)
b) Gradien bernilai negativeBila m (-) Contoh : 6x + 3y – 9 = 0m = - (6/3) = -2 (negative)
c) Gradien garis melalui pangkal koordinatGaris l melalui pangkal koordinat (0,0) maka : m = y/xcontoh : Gradient Garis yang melalui titik (0,0) dan (2,-3) adalah :m = y/x = -3/2
d) Gradien garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)sebuah garis lurus dapat diperoleh dengan cara menguhubungkan dua titik sembarang misal titik P (x1 y1) dan Q (x2 Y2) , Gradien garis PQ = m = delta y / delta x = (y2-y1)/(x2-x1) contoh : Gradien melalui titik (-4,5) dan (2,-3)m = (y2-y1)/(x2-x1) = (-3-5)/(2+4) = -8/6 = -4/3
Hubungan 2 garis lurus :
Bila diketahui garis k : y = m1 x + c dan garis l : y = m2 x + d maka berlaku gradien :1) m1 = m2 jika garis k sejajar garis l contoh : gradien sebuah garis yang sejajar dengan 3x + 6y = 8a = 3 , b = 6m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg sejajar : m1=m2 , maka m2 = -1/2
2) m1 . m2 = -1 jika garis k tegak lurusgaris l contoh : gradien sebuah garis yang tegak lurus dengan 3x + 6y = 8a = 3 , b = 6 m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg tegak lurus : m1 . m2 = -1 , maka m2 = 2
2. Persamaan Garis Lurus
a) Garis dengan gradien m dan melalui 1 titik
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1,y1), adalah :
y - y1 = m (x - x1)
Contoh 1 :
Tentukanlah persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2.jawab :
Titik A(-3,4), berarti x1 = -3 , y1 = 4 dan bergradien -2, berarti m = -2
Persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1,y1) adalah :
y - y1 = m ( x - x1 )y - 4 = -2 {x - (-3)}y - 4 = -2 (x + 3 )y - 4 = -2 x - 6y = -2x - 6 + 4y = -2x - 2
Contoh 2 :
Tentukanlah persamaan garis melalui titik B(6,2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3)jawab :
Garis yang melalui titik P(2,-5) dan (-6, 3)
P(2,-5) berarti x1 = 2 , y1 = -5Q(-6,3) berarti x2 = -6 , y2 = 3
Gradien yang melaui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) adalahm (PQ) Misal mPQ = (y2-y1)/(x2-x1) = (3+5)/(-6-2) = 8/-8 = -1 maka m1 = m2 = -1 ( dua garis sejajar )
Titik B(6, 2), berarti x1 = 6 , y1 = 2
Persamaan garis dengan gradien -1 dan melalui titik (6, 2) adalah :y - y1 = m ( x - x1 )y - 2 = -1 (x - 6)y - 2 = -x + 6y = -x + 6 + 2y = -x + 8
b) Persamaan garis yang melalui dua titik
Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu :
dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1 , y1),yaitu y - y1 = m ( x - x1 ) dapat diperoleh rumus berikut :
y - y1 = m ( x - x1 )y - y1 = [(y2-y1)/(x2-x1)] (x - x1)(y - y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)
Kesimpulan :
Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu : (y - y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)
contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) jawab : Garis l melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8).
A(3,4) berarti x1 = 3 , y1 = 4
B(5,8) berarti x2 = 5 , y2 = 8
Persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah :(y - y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)(y-4) / (8-4) = (x-3) / (5-3)(y-4) / 4 = (x-3) / 2
2(y - 4) = 4(x - 3)2y - 8 = 4x - 122y - 4x = 8 - 122y - 4x = -4y - 2x = -2
>> Hubungan 2 garis lurus
1) Persamaan garis yang saling sejajar
1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan sejajar dengan garis y = 2x - 5
jawab : y = 2x - 5 maka m = 2 m1 = m2 = 2 (karna sejajar) maka :y - y1 = m (x-x1)y - 3 = 2 (x-2)y = 2x-4+3y = 2x -1
2) Persamaan garis yang tegak lurus
1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus dengan garis y = 2x - 5
jawab : y = 2x - 5 maka m = 2 , karna tegak lurus : m1.m2 = -1 m2 = -1/2
maka persamaan garisnya :y - y1 = m (x-x1)y - 3 = -1/2 (x-2)y = -1/2 x + 1 + 3y = -1/2 x + 4kali 22y = -x + 42y + x - 4 = 0
3) Persamaan garis yang berhimpit
garis-garis dengan persamaan y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 berimpit, jika dan hanya jika m1 = m2 dan c1 = c2 dan secara umum garis dengan persamaan ax+by+c = 0 akan berhimpit dengan garis px+qy+r = 0 , jika p,q,r masing" merupakan kelipatan dari a, b, c..
>> Buktikan ! garis 2x+4y+3 = 0 berhimpit dg garis 6x+12y+9 = 0
4) Persamaan garis yang berpotongan
dua garis akan berpotongan jika memiliki gradien yang tidak sama atau koefisien dari x , y, dan konstantanya bukan merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan konstanta persamaan garis lainnya.
>> Tentukan hubungan garis h1 = 6x - 3y - 5 dengan garis h2 = 3x + 4y + 6 !Beranda > geometri > Gradient atau kemiringan garis
Gradient atau kemiringan garis24 Mei 2010 msihabudin Tinggalkan Komentar Go to comments
Gradient atau kemiringan suatu garis adalah besarnya sudut yang dibentuk oleh garis tersebut terhadap garis horizontal. Besarnya kemiringan dimulai dari negatif tak hingga dan sampai menuju tak terhingga.
Setiap garis lurus pasti mempunyai kemiringan. Hubungan kemiringan garis dari negatif tak hingga sampai tak hingga ini dengan besarnya sudut dari nol derajat sampai 180 derajat adalah dihubungkan oleh salah satu fungsi trigonometri yaitu tangent.
Tangen adalah fungsi trigonometri yang daerah hasilnya adalah seluruh bilangan real. Berbeda dengan sinus atau cosines yang daerah hasilnya hanya di 1 sampai –1.
Dengan menggunakan tangent, kita bisa mencari kemiringan suatu garis dengan cara mengukur besar sudut terhadap garis horizontal. Kemudian mencari nilai tangennya.
Contohnya gambar di bawah ini
Bagaimana kita dapat menentukan berapakah kemiringan garis dari gambar tersebut?
Dengan menggunakan besar sudut. Kita mengukur besarnya sudut yang dibuat oleh garis tersebut terhadap garis horizontal. Kita anggap sumbu x sebagai garis horizontalnya. Tentunya kita bebas memilih garis manapun asalkan garis tersebut adalah garis horizontal.
Diukur sudutnya diperoleh . Mencari besarnya kemiringan garis tersebut adalah
jadi kemiringan garis tersebut adalah 1.
Kemiringan suatu garis juga dapat dicari dengan menggunakan rumus
dengan m adalah kemiringan suatu garis. dan adalah titik pada garis tersebut.
Misalnya dari gambar tersebut kita ambil sebarang dua titik yang melewati garis yang akan dicari kemiringannya. Misalnya titik dan . Kedua titik tersebut melewati garis yang akan kita cari kemiringannya. Kemudian kita masukkan ke rumus yang sudah ada.
Diperoleh
kemiringan garis sama dengan 1.
Dari mana rumus tersebut didapatkan?
Perhatikan gambar berikut.
Titik A berada di dan titik B berada di .
Panjang BC adalah
Panjang AC adalah
Pengertian pertama bahwa kemiringan adalah tangen dari sudut yang dibentuk terhadap garis horizontal.
Dengan menggunakan tangent sudut BAC.
Karena tan ∠BAC adalah kemiringan garis AB. Dan kemiringan dilambangkan sebagai m. Maka dapat disimpulkan
GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS LURUS By INOVASI
Published on 21:12 at KELAS 8
RINGKASAN TEORI
a Gradien garis lurus adalah gradien garis lurus atau koefisien garis adalah ukuran kemiringan suatu garis terhadap sumbu x positif.
Gradien garis lurus umumnya dinyatakan dengan : m
Perhatikan gambar
m₁ > m₂ ; kemiringan garis 2 terhadap sumbu x > kemiringan garis 1 ,artinya garis 2 lebih dekat ke sumbu y dari pada garis 1
Menentukan Gradien garis lurus
Persamaan umumnya :
Contoh : tentukan gradien garis lurus dari persamaan berikut :
a. 4x + 2y = 0
b. y = 3x + 2
c. -10x + 5y + 20 = 0
Jawab :
a. 4x + 2y = 0
4x – 4x + 2y = - 4x + 0 dikali -4x masing-masing ruas.
0 + 2y = -4x + 0
2y = -4x
y = -2x
y = mx + c
m = -2 dan c = 0 artinya garis melalui titik pusat O (0 , 0)
Cara lain :
4x + 2y = 0 pindah ke ruas kanan menjadi :
2y = -4x + 0
2y = -4x
y = -2x
y = 3x + 2
sudah berbentuk y =...
y = mx + c
m = 3 dan c = 2
c. -10x + 5y + 20 = 0 pindah ke ruas kanan
5y = 10x – 20
y = 2x – 4
m = 2 dan c = 4
Menentukan Gradien dari titik koordinat
Gradien garis lurus yg melalui dua titik koordinat , misalnya titik A (x₁ , y₁) dan titik B
(x₂ , y₂) dapat dirumuskan sbb :
y2 - y1
M AB = --------------
x2 - x1
Contoh :
Tentukan gradien garis lurus yg melalui:
a. Titik P(3, 6) dan Q(5, -8)
b. Titik A(2, 4) dan titik pusat O(0, 0)
Jawab :
P(x₁ , y₂) = P(3 ,6) dan Q(x₂ , y₂) = (5, -8)
a. y2 - y1 (-8) - (-6)
M PQ = ------------ = -----------------
x2 - x1 5 - 3
= (-14) / 2 = -7
b. A(x₁ , y₁) = A(2, 4) dan O(x₂, y₂) =(0,0)
y2 - y1 0 - 4
M AO = ------------- = -----------
x2 - x1 0 - 2
= (-4) / (-2) = 2
LATIHAN :
1. Gradien garis yg melalui titik (2, 1) dan (4, 7) adalah.........?
Jawab :
(x₁ , y₁) = (2, 1)
(x₂ , y₂) = (4 , 7)
Gradien garis yg melalui titik-titik tersebut adalah :
y2 - y1 7 - 1 6
m = ----------- = ---------- = ------ = 3
x2 - x1 4 - 2 2
Gradien garis 3x + 5y – 6 = 0 adalah..........?
Jawab :
3x + 5y – 6 = 0
5y = -3x + 6
y = - 3/5x + 6/5
y = - 3/5
Menentukan Persamaan Garis Lurus
A Persamaan garis lurus melalui titik (x₁, y₁) dan titik (x₂, y₂)
Rumus :
y2 - y1
y - y1 = ----------- ( x - x1 )
x2 - x1
dimana ;
y2 - y1
Gradien = m = ---------------
x2 - x1
.Tentukan persamaan garis yg melalui titik
. P(3,6) dan titik Q(5,-8)
.Jawab : P(x₁, y₁) = P(3, 6)
. Q(x₂, y₂) = Q(5, -8)
y2 - y1
m = y - y1 = ----------- ( x - x1 )
x2 - x1
(-8) - (6)
y - 6 = -------------- ( x - 3 )
5 - 3
( - 14 )
y - 6 = -------------- ( x - 3 )
2
y - 6 = - 7 ( x - 3 )
y - 6 = - 7x + 21
y = -7x + 21 + 6
y = -7x + 27
Persmaan garis yg melalui titik (x₁, y₁) dan gradien garis lurus :
Rumus : y - y1 = m(x - x1)
dimana ; m = gradien
Contoh : Tentukan persamaan garis yg melalui titik
A(1 , 2) & gradien garis m= -2
Jawab : A(x₁, y₁) = m(1 , 2)
m = -2
Persamaan garis yg melalui titik A :
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 2 = -2(x – 1)
y – 2 = -2x + 2
y = -2x + 2 + 2
y = -2x + 4
Membuat grafik garis lurus
Persamaan garis lurus secara umum dinyatakan dalam bentuk :
ax + by + c = 0
Cara membuat grafik garis lurus yg telah diketahui :
1 Tentukan titik potong garis pada masing-masing sumbu :
- memotong sumbu x syarat y = 0
- memotong sumbu y syarat x = 0
2 Tarik garis dan hubungkan titik potong masing masing sumbu.
Contoh : Buatlah grafik garis x + 2y = 4Jawab :
x + 2y = 4
.Titik potong pd masing-masing sumbu:
. - memotong sumbu x : syarat y = 0
. x + 2(0) = 4 y
. x = 4
.titik potong sumbu x:(4, 0)
.- memotong sumbu y : syarat x = 0 2
. 0 + 2y = 4
. Y = 2
.titik potong sumbu y : (0 , 2)
Hubungan Antar Garis
Dua buah garis lurus dengan persamaan y₁ = m₁x + c₁ dan y₂ = m₂ + c₂ ,
hubungannya sebagai berikut :
A Bila sejajar syaratnya : m₁ = m₂
B Tegak lurus syaratnya : m₁ x m₂ = -1
Contoh : Persamaan garis yg melalui titik (-2, 3) dan tegak lurus garis 2x + 2y = 6 adalah.......?
Jawab : Garis-1 melalui titik (-2, 3)
Garis-2 melalui titik 2x + 3y = 6
Hubungan kedua garis tegak lurus, berlaku :
m₁ x m₂ = -1 .........................(i)
Gradien garis 2x + 3y = 6 :
2x + 3y = 6
3y = -2x + 6
y = - 2/3x + 2
m₂ = - 2/3 ........................(ii)
Substitusikan pers. (ii) ke pers. (i) diperoleh :
m₁ x m₂ = -1
m₁ x (- 2/3) = -1 m₁ = 3/2 .................(iii)
Persamaan garis yg melalui titik (-2, 3) dengan gradien m₁ = 3/2 adalah :
y – y₁ = m(x – x₁)
y – y₁ = 3/2 (x – (-2))
2(y – 3) = 3(x – (-2))
2y – 6 = 3(x + 2)
2y – 6 = 3x + 6
2y = 3x + 6 + 6
2y = 3x + 12
2y – 3x – 12 = 0
LATIHAN :
Garis 1 sejajar dengan garis 2x + 5y – 1 = 0 dan melalui titik (2 , 3)
Persamaan garis adalah ........?
Jawab :
Garis 1 : melalui titik (2 , 3)
Garis 2 : 2x + 5y – 1 = 0
Hubungan kedua garis sejajar berlaku :
m₁ = m₂ ........................(i)
Gradien garis-2 (m₂) :
2x + 5y – 1 = 0
5y = - 2x + 1
y = - 2/5x + 1/5
m₂ = - 2/5 ..................................(ii)
Substitusi pers. (ii) ke pers. (i), diperoleh :
m₁ = m₂
m₂ = - 2/5 ............................(iii)
Persamaan garis yg melalui titik (2, 3) dengan gradien m₁ = - 2/5 :
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 3 = - 2/5 (x – 2)
5(y – 3) = -2(x – 2)
5y – 15 = -2x + 4
5y = -2x +4 + 15
5y = -2x + 19
5y + 2x – 19 = 0
Persamaan garis lurus yg melalui titik (2, 5) dan tegak lurus garis x – 2y + 4 = 0 adalah...........?
Diketahui : A(3, 4) , B(2, -7), dan C(a ,5). Jika garis yg melalui titik A dan B tegak lurus garis yg melalui titik B dan C , nilai a adalah..............?
Gradien persamaan garis x/6 + y/3 = 1 adalah........
Diketahui garis ax + 3y – 5 = 0 dan 2x – by – 9 = 0. Jika kedua garis itu berpotongan di titik (2, -1) , nilai a+b = ...................?
Berikut ini kita akan membahas Materi Matematika SMP Preceptorial Kelas VIII Bab III mengenai :
Sifat-sifat Garis lurus Gradien
B. Gradien
1. Pengertian Gradien
Gradien adalah bilangan bilangan atau nilai yang menjelaskan besar dan arah kemiringan atau cenderung suatu garis. Gradien biasanya dilambangkan dengan huruf m, gradien juga merupakan perbandingan sumbu y dengan sumbu x. Sedangkan perumusan gradien adalah :
2. Sifat-sifat Gradien
a. Garis miring ke kanan, gradiennya positif (+)b. Garis yang miring ke kiri, gradiennya negatif (-)c. Dua garis yang sejajar mempunyai gradien yang samad. Dua garis yang saling tegak lurus, hasil kali gradiennya = -1e. Garis sejajar dengan sumbu x, gradiennya = 0f. Garis sejajar dengan sumbu y, gradiennya = tidak terdefinisikan.
Tulisan ini disusun berdasarkan pembelajaran Matematika SMP Preceptorial.
Tulisan Terakhir
Materi IPA SD Kelas IV Semester I – Jenis Tanah Berikut ini kita akan membahas Materi IPA SD Preceptorial Kelas IV Semester ...
Materi IPA SD Kelas IV Semester I – Tanah Subur Berikut ini kita akan membahas Materi IPA SD Preceptorial Kelas IV Semester ...
Materi IPA SD Kelas IV Semester I – Tanah Tandus Berikut ini kita akan membahas Materi IPA SD Preceptorial Kelas IV Semester ...
Materi IPA SD Kelas IV Semester I – Lapisan Tanah Berikut ini kita akan membahas Materi IPA SD Preceptorial Kelas IV Semester ...
Materi IPA SD Kelas IV Semester I – Bagian Tanah Berikut ini kita akan membahas Materi IPA SD Preceptorial Kelas IV Semester ...
Materi IPA SD Kelas IV Semester I – Pengertian Tanah Berikut ini kita akan membahas Materi IPA SD Preceptorial Kelas IV Semester ...
Materi IPA SD Kelas IV Semester I – Tanah Berikut ini kita akan membahas Materi IPA SD Preceptorial Kelas IV Semester ...
Materi IPA SD Kelas IV Semester I – Perubahan Wujud Benda Berikut ini kita akan membahas Materi IPA SD Preceptorial Kelas IV Semester ...