makalah persamaan garis lurus

31
BAB I PERSAMAAN GARIS LURUS A. DEFINISI GARIS LURUS Garis adalah salah satu objek elementer dalam matematika, khususnya geometri. Karena merupakan objek elementer, garis biasanya tidak didefinisikan. Garis lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak yang terdekat. Sebelum memahami garis lurus lebih jauh, maka akan dibahas Koordinat kartesius terlebih dahulu. 1.1 Koordinat Cartesius Koordinat cartesius dalam hal ini adalah kerangka acuan dari setiap objek geometri 2 dimensi. Perhatikan gambar 3.1, gambar tersebut menunjukkan bidang koordinat cartesius yang memiliki sumbu mendatar (sumbu x) dan sumbu tegak (sumbu y). Titik potong kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal atau titik koordinat. Pada gambar 3.1 titik pusat koordinat ditunjukkan oleh titik O (0,0) . B. GRADIEN 2.1 Pengerian Gradien 1

Upload: nurjumaenahmipa

Post on 18-Jan-2016

8.552 views

Category:

Documents


492 download

DESCRIPTION

Makalah ini berisi deskripsi persamaan garis lurus mata kuliah geometri analitik

TRANSCRIPT

BAB I

PERSAMAAN GARIS LURUS

A. DEFINISI GARIS LURUS

Garis adalah salah satu objek elementer dalam matematika, khususnya geometri.

Karena merupakan objek elementer, garis biasanya tidak didefinisikan. Garis lurus adalah

garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak yang terdekat. Sebelum memahami

garis lurus lebih jauh, maka akan dibahas Koordinat kartesius terlebih dahulu.

1.1 Koordinat Cartesius

Koordinat cartesius dalam hal ini adalah kerangka acuan dari setiap objek

geometri 2 dimensi. Perhatikan gambar 3.1, gambar tersebut menunjukkan bidang

koordinat cartesius yang memiliki sumbu mendatar (sumbu x) dan sumbu tegak (sumbu

y). Titik potong kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal atau titik koordinat. Pada

gambar 3.1 titik pusat koordinat ditunjukkan oleh titik O (0,0) .

B. GRADIEN

2.1 Pengerian Gradien

Salah satu komponen yang penting dalam garis lurus adalah kemiringan garis atau

biasa disebut gradien. Gradien merupakan perbandingan antara jarak vertikal dengan

jarak horizontal dari dua buah titik yang dilalui garis lurus. Menghitung gradien akan

lebih mudah dilakukan jika garis diletakkan pada koordinat cartesius.

2.2 Perhitungan gradien

a) Menghitung gradien pada persamaan garis y = mx

Gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan antara ordinat dan

absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut :

1

Contoh soal :

Tentukanlah gradient dari persamaan berikut :

a. y = 2x

b. x = 2y

c. 2x + 3y = 0

Jawab :

a. Persamaan garis y = 2x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi diperoleh m = 2

b. Persamaan garis x = 2y diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx sehingga

Persamaan garis y = ½ x sudah memenuhi bentuk y = mx jadi diperoleh m = ½ x

c. Persamaan 2x + 3y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx sehingga

Persamaan garis y = -⅔ x sudah memenuhi bentuk y =mx jadi diperoleh m= -⅔ x

b) Menghitung garis pada persamaan garis y = mx + c

Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx.

Perhitungan pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta

didepan variabel x.

Contoh soal :

Tentukanlah gradien dari persamaan berikut :

a. 2y = x + 12

b. 2 + 4y = 3x + 5

Jawab :

a. Parsamaan garis 2y = x + 12 terlebih dahulu di ubah menjadi bentuk y = mx + c

sehingga

2

b. Persamaan 2 + 4y = 3x + 5 terlebih dahulu diubah menjadi bentuk y = mx + c

sehingga

c) Menghitung gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0

Sama dseperti sebelumnya, gradient pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat

ditentukan dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut kedalam

bentuk

y = mx + c. Kemudian nilai gradient diperoleh dari nilai konstanta m didepan variabel x.

Contoh soal :

Tentukanlah gradient dari persamaan garis berikut :

a. x + 2y + 6 = 0

b. 4x + 5y = 9

Jawab :

a. Persamaan garis x + 2y + 6 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c

sehingga

b. Persamaan garis 4x + 5y = 9 diubah terlebih dahulu menjadi y = mx + c sehingga

d) Menghitung gradient pada garis yang melalui dua titik

3

Grafik 1

Perhatikan grafik 1. Garis l melalui dua titik yaitu titik A (x1, y1) dan titk B (x2, y2).

gradien dinotasikan dengan m garis l dihitung dengan rumus

Contoh soal :

Tentukanlah gradient garis yang melalui titik koordinat A (2, 2) dan B (4, 4)

Jawab :

Untuk titik A (2, 2) maka x1=2, y1=2

Untuk titik B (4, 4) maka x2=4, y2=4

m = y2− y1x2−x1

=4−24−2

=22=¿1

Jadi, gradiennya adalah 1.

2.3 Sifat-sifat Gradien

a) Gradient garis yang sejajar dengan sumbu x

Pada gambar 3.7 garis k melalui titik A (-1, 2) dan B (3, 2). Garis tersebut sejajar dengan

sumbu x. Gradient garis k dapat dihitung dengan cara sebagai berikut

Untuk titik A (-1, 2) maka x1=−1, y1=2

Untuk titik B (3, 2) maka x2=3, y2=2

m = y2− y1x2−x1

= 2−23−(−1)

=04=¿0

4

Jadi, gradiennya adalah 0

Perhitungan tersebut memperjelas tentang gradien garis yang sejajar dengan sumbu x

nilai gradiennya adalah nol.

b) Gradien garis yang sejajar dengan sumbu y

Pada gambar 3.8 garis l yang melalui titik C (1, 3) dan D (1, -1) letaknya sejajar dengan

sumbu y. gradien l dapat dihitung dengan cara sebagai berikut

Untuk titik C (1, 3) maka x1=1, y1=3

Untuk titik D (1, -1) maka x2=1, y2=−1

m = y2− y1x2−x1

=−1−31−1

=−40

=¿ ~

Jadi, gradiennya adalah tak terhingga

Perhitungan tersebut memperjelas tentang gradien garis yang sejajar dengan sumbu y

tidak memiliki gradient.

c) Gradient dua garis yang sejajar

Pada gambar 3.8 garis k dan l adalah garis yang sejajar.

- Garis k melalui titik A (-2, 0) dan B (0, 2) gradient k dapat dihitung dengan cara

sebagai berikut

Untuk titik A (-2, 0) maka x1=−2, y1=0

Untuk titik B (0, 2) maka x2=0, y2=2

5

m = y2− y1x2−x1

= 2−00−(−2)

=22=¿ 1

Jadi, gradiennya adalah 1

- Garis l melalui titik C (0, -1) dan D (1, 0) gradient l dapat dihitung dengan cara

sebagai berikut

Untuk titik C (0, -1) maka x1=0, y1=−1

Untuk titik D (1, 0) maka x2=1, y2=0

m = y2− y1x2−x1

=0−(−1)

1−0=1

1=1

Jadi, gradiennya adalah 1

Perhitungan tersebut memperjelas tentang gradient garis yang sejajar memiliki gradient

yang sama.

d) Gradient dua garis yang tegak lurus

Pada gambar 3.10 garis k dan l adalah garis yang tegak lurus.

- Garis k melalui titik C (3, 0) dan D (0, 3) gradient k dapat dihitung dengan cara

sebagai berikut

Untuk titik C (3, 0) maka x1=3, y1=0

Untuk titik D (0, 3) maka x2=0, y2=3

mCD = y2− y1x2−x1

=3−00−3

= 3−3

=−1

Jadi, gradiennya adalah –1

- Garis l melalui titik A (-1, 0) dan B (0, 1) gradient l dapat dihitung dengan cara

sebagai berikut

Untuk titik A (-1, 0) maka x1=−1, y1=0

Untuk titik B (0, 1) maka x2=0, y2=1

mAB = y2− y1x2−x1

= 1−00−(−1)

=11=1

6

Jadi, gradiennya adalah 1

Hasil kali dua gradient tersebut adalah mAB x mCD = 1 x -1 = -1

Perhitungan tersebut memperjelas tentang hasil kali antara dua gradient dari garis yang

saling tegak lurus adalah -1

C. MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS LURUS

Persamaan garis lurus menyatakan titik-titik yang dilalui oleh suatu garis lurus.

Seperti yang telah dibahas sebelumnya bentuk y = mx merupakan bentuk parsamaan garis

lurus sederhana. Dikatakan bentuk sederhana karena garis yang dibentuk oleh persamaan

garis tersebut selalu melalui titik pusat koordinat.

Bentuk umum dari persamaan garis lurus adalah

Persamaan garis ini hampir sama dengan bentuk sederhananya namun diberi tambahan

konstanta (dengan lambang c). hal ini menunjukkan bahwa garis yang dibentuk oleh

persamaan garis tersebut tidak akan melalui titik O (0, 0).

3.1 Menentukan persamaan garis dari gradient dan titik koordinat

Pada gambar 3.11 menunjukkan sebuah garis k pada bidang koordinat cartesius. Garis tersebut

memulai titik A (x1 , y1) dan tidak melalui titik pusat koordinat sehingga persamaan garis pada

gambar 3.11 dapat ditulis y1=¿¿ m x1+c…(1) Adapun bentuk umum persamaan garis yang tidak

melalui titik pusat koordinat diitulis y = mx + c…(2)

Jadi ditentukan selisih dari persamaan (2) dan persamaan (1) maka diperoleh :

Selanjutnya diperoleh rumus umum untuk menentukan persamaan garis jika diketahui gradient

dan titik koordinat yaitu

Contoh soal :

7

Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(3, 5) dan memiliki gradien –2.

Jawab :

Untuk titik P(3, 5) maka x1 = 3, y1 = 5.

Dengan menggunakan rumus umum, diperoleh persamaan garis:

  y – y1 = m (x – x1)

     y – 5 = –2 (x – 3)

     y – 5 = –2x + 6

           y = –2x + 6 + 5

           y = –2x + 11 atau 2x + y – 11 = 0

3.2 Menentukan persamaan garis yang melalui dua titik

Cara untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik hampir sama dengan

rumus umum yang telah dipelajari sebelumnya. Perhatikan uraian berikut :

y - y1=¿¿ m (x- x1) adalah rumus umum persamaan garis dari gradient dan titik

koordinat

Jadi, rumus untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik koordinat adalah

Contoh soal

Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik koordinat berikut.

a. A (3, 3) dan B (2, 1)

b. C (–1, 4) dan D (1, 3)

c. E (6, 10) dan F (–5, 2)

Jawab :

a. Untuk titik A (3, 3) maka x1 = 3 dan y1 = 3.

    Untuk titik B (2, 1) maka x2 = 2 dan y2 =1.

Persamaan yang diperoleh:

8

   

    –1 (y – 3) = –2 (x – 3)

    –y + 3 = –2x + 6

    2x – y + 3 – 6 = 0

    2x – y – 3 = 0

   Jadi, persamaan garisnya adalah 2x – y – 3 = 0.

3.3 Menentukan koordinat titik potong dari dua garis lurus

Pada gambar 3.12 terdapat dua garis dalam dalam bidang koordinat yaitu garis k dan l.

dalam gambar 3.12 (a) kedua garis tersebut sejajar. Adapun pada gambar 3.12 (b) kedua

garis tersebut tidak sejajar sehingga keduanya berpotongan pada suatu titik yaitu titik A (

x1 , y1) jadi titk potong dapat dicari dari dua garis yang tidak sejajar. Cara menentukan

koordinat titik potong dari dua persamaan garis dapat dilakukan dengan dua cara yaitu

cara menggambar (cara grafik) dan cara subsitusi.

a) Cara grafik

Dengan cara ini, dua persamaan garis digambar kedalam bidang koordinat

cartesius sehingga koordinat titik potong kedua garis tersebut dapat dilihat dari gambar.

Contoh soal

b) Cara subsitusi

9

Dengan cara subsitusi, salah satu variabel dari persamaan garis yang diketahui

dimasukkan (disubsitusikan) kedalam variabel yang sama dari persamaan garis yang lain.

Contoh soal

Dengan cara substitusi, tentukan koordinat titik potong antara garis 3x + y = 5 dan

garis 2x – 3y = 7

Jawab :

Ikuti langkah-langkah berikut.

• Ambil salah satu persamaan garis, misalnya 3x + y = 5.

• Tentukan salah satu variabel dari garis tersebut, misalnya y.

   3x + y = 5 maka y = 5 – 3x.

• Substitusikan nilai y tersebut ke dalam persamaan garis yang lain.

             2x – 3y = 7

   2x – 3(5 – 3x) = 7

    2x – 15 + 9x = 7

            2x + 9x = 7 + 15

                  11x = 22

                      x = 2

• Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan garis.

       3x + y = 5

   3 (2) + y = 5

         6 + y = 5

               y = 5 – 6

               y = –1

• Diperoleh x = 2 dan y = –1. Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah (2, –1)

BAB II

SEGITIGA

A. DEFINISI SEGITIGA

Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga garis dan memiliki 3 titik sudut.

Unsur-unsur segitiga

1. Tiga ruas garis, yaitu AB, BC dan AC

10

2. Tiga titik sudut, yaitu sudut A, B dan C

3. Tinggi segitiga, yaitu t

4. Jumlah ketiga sudut adalah 180°

Jadi, sudut A+B+C = 180°

Luas segitiga = ½ × alas × tinggi

= ½ × AB × CD

Keliling segitiga = jumlah sisi-sisi

= AB + BC + AC

B. JENIS SEGITIGA

Berdasarkan panjang sisi-sisinya, segitiga dibagi menjadi 3, yaitu :

JENIS SEGITIGA GAMBAR CIRI-CIRI

Segitiga sama sisi

Panjang sisi

AB=BC=CA

<A=<B=<C=60°

Memiliki 3 sumbu

simetri

Segitiga sama kaki

Panjang sisi AC=AB

<B = <C

Memiliki 1 sumbu

simetri

Segitiga sembarang Panjang sisi tidak sama

Besar sudut tidak sama

AB≠BC≠AC

Berdasarkan besar sudutnya, segitiga dibagi menjadi 3, yaitu :

GAMBAR JENIS DAN DEFINISI

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah

satu sudutnya siku-siku 90°.

Segitiga lancip adalah segitiga yang masing-

masing sudutnya kurang dari 90°.

11

Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah

satu sudutnya lebih dari 90°.

C. DALIL PYTHAGORAS

Pada segitiga siku-siku, berlaku dalil Pythagoras yaitu :

Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari kedua sisi penyikunya.

Perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut!

Segitiga ABC siku-siku di A

AB = Sisi penyiku datar

AC = Sisi penyiku tegak

BC = Sisi miring (hipotenusa)

Berdasarkan dalil Pythagoras :

BC² = AC² + AB² atau a² = b² + c²

Dari dalil pythagoras dalam segitiga siku-siku, kita dapat menentukan sisi-sisi

segitiga dengan tripel Pythagoras.

Tripel Pythagoras adalah tiga pasang bilangan yang memenuhi dalil Pythagoras.

Contoh tripel Pythagoras :

a. 3, 4, 5 dan kelipatannya

b. 5, 12, 13 dan kelipatannya

c. 7, 24, 25 dan kelipatannya

Contoh soal :

1. Sebuah segitiga memiliki alas 24 cm dan tinggi 15 cm. Berapakah luas segitiga

tersebut?

Jawab :

Luas segitiga = ½ x alas x tinggi

= ½ x 24 cm x 15 cm = 180 cm²

2. Suatu segitiga segitiga sama kaki memiliki panjang sisi alas 25 cm dan sisi kaki 20 cm.

keliling segitiga tersebut adalah….

Jawab :

alas (a) = 25 cm, kaki (q) = 20 cm

K= a + 2q

= 25 + (2 x 20)

12

= 25 + 40

= 65

Jadi, keliling segitiga sama kaki itu adalah 65 cm.

3. Pada segitiga siku-siku (90°) diketahui tingginya 8 cm dan alasnya 6 cm. Berapakah

panjang sisi miring segitiga tersebut?

Jawab :

a² = 8² + 6²

a² = 64 + 36

a² = 100

a = √100

a = 10 cm

BAB III

BANGUN DATAR

A. DEFINISI BANGUN DATAR

Bangun datar adalah bagian dari bidang datar yang dibatasi oleh garis-garis lurus atau

lengkung.

B. JENIS BANGUN DATAR

JENIS BANGUN, CIRI-CIRI & DEFINISI RUMUS LUAS &

KELILING

13

PERSEGI (BUJUR SANGKAR/ SQUARE)

Persegi adalah bangun datar yang memiliki

empat buah sisi yang sama panjang.

a. Memiliki 4 sisi yang sama panjang (AB=BC=CD=AD)

b. Memiliki 4 sudut (<A, <B, <C, <D)c. Memiliki 4 sudut siku-siku (<A=<B=<C=<D=90°)d. Memiliki 2 pasang sisi sejajar (AB//DC, AD//BC)e. Memiliki 2 garis diagonal yang saling berpotongan tegak lurus

dan sama panjang, yaitu AC dan BDf. Memiliki 4 sumbu simetri, yaitu AC, BD, EG, dan FHg. Memiliki simetri putar tingkat 4h. Dapat dipasangkan dalam bingkai dengan 8 cara

Luas Persegi

Luas=sisi x sisi = s²

Keliling Persegi

Kel= 4 × sisi= 4s

PERSEGI PANJANG (RECTANGLE)

Persegi panjang adalah bangun datar yang

dibatasi oleh 4 sisi dimana sisi-sisi yang

berhadapan sama panjang dan sejajar.

a. Memiliki 2 pasang garis sejajar dan sama panjang AB= DC dan AB//DC BC= AD dan BC//AD

b. Memiliki 4 sudut siku-siku, yaitu (<A=<B=<C=<D=90°)c. Memiliki 2 garis diagonal yang sama panjang, yaitu AC dan

BDd. Memiliki 2 sumbu simetri, yaitu EG dan HFe. Memiliki simetri putar tingkat 2f. Dapat dipasangkan dalam bingkai dengan 4 cara

Luas Persegi Panjang

Luas= panjangxlebar

= p x l

Keliling Persegi

Panjang

Kel= 2 x (p + l)

JAJARGENJANG (RHOMBUS)

Jajargenjang adalah bangun datar yang dibatasi

oleh 4 sisi dimana sisi-sisi yang berhadapan

sama panjang dan sejajar, tetapi sisi-sisinya

tidak saling tegak lurus.

a. Memilki 4 sisi, dimana sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar AB=DC dan AB//DC AD=BC dan AD//BC

b. Memiliki 2 garis diagonal yang panjangnya tidak sama,

Luas Jajargenjang

Luas= alas x tinggi

=AB x t

Keliling jajargenjang

Kel=AB+BC+CD+DA

14

AC≠BDc. Tidak memiliki sumbu simetri d. Dapat dipasangkan dalam bingkai dengan 2 cara

LAYANG-LAYANG

Layang-layang adalah bangun datar segi empat

yang dibentuk oleh dua segitiga sama kaki yang

alasnya sama panjang dan berimpit.

a. Memiliki 4 sisi dengan 2 pasang sisi sama panjang, yaitu AB=BC dan AD=CD

b. Memiliki 2 garis diagonal yang berpotongan tegak lurus dan tidak sama panjang

c. Memiliki 1 sumbu simetrid. Dapat dipasangkan dalam bingkai dengan 2 cara

Luas Layang-layang

Luas= ½ x D1 x D2

= ½ x AC x BD

Keliling Layang-

layang

Kel=AB+BC+CD+DA

BELAH KETUPAT (DIAMOND)

Belah ketupat adalah bangun datar yang dibatasi

oleh 4 sisi yang sama panjang, dengan sisi-sisi

yang berhadapan saling sejajar dan sisi-sisinya

tidak saling tegak lurus.

a. Memiliki 4 sisi yang sama panjang AB=BC=CD=DAb. Memiliki 2 garis diagonal yang panjangnya tidak sama,

AC≠BDc. Kedua diagonalnya berpotongan saling tegak lurus, AC±BDd. Memiliki 2 sumbu simetri, yaitu garis AC dan BDe. Dapat dipasangkan dalam bingkai dengan 4 cara

Luas Belah Ketupat

Luas= ½ x D1 x D2

= ½ x AC x BD

Keliling Belah

Ketupat

Kel= 4 x sisi

TRAPESIUM (TRAPEZIUM)

Trapesium adalah bangun datar segi empat

yang sepasang sisi berhadapan saling sejajar.

Cirri-ciri trapesium :

a. Setiap trapesium memiliki sepasang sisi yang sejajar

b. Pada trapesium sama kaki, terdapat 2 garis diagonal yang sama panjang dan 2 pasang sudut yang sama besar

c. Pada trapesium siku-siku, selalu terdapat 2 sudut siku-siku

Luas Trapesium

L= ½ x (jumlah sisi

sejajar x tinggi)

Atau

L= ½ x (AD+BC) x t

15

Jenis-jenis trapesium

1. Trapesium sama kaki

2. Trapesium siku-siu

3. Trapesium sembarang

LINGKARAN (CIRCLE)

Lingkaran adalah bangun datar yanng

memiliki simetri lipat dan simetri putar tak

terhingga.

a. Panjang diameter sama dengan dua kali jari-jarinyab. Panjang jari-jari setengah panjang diameternya mempunyai

simetri lipat dan simetri putar tak terhinggac. Mempunyai besar sudut 360°d. Mempunyai sumbu simetri tak terhinggae. Mempunyai satu titik pusat

Istilah-istilah dalam lingkarana. Diameter lingkaran (d) yaitu ruas garis yang menghubungkan

dua titik pada busur lingkaran melalui titik pusat lingkaran.b. Jari-jari lingkaran (r) yaitu ruas garis yang menghubungkan titik

pada busur lingkaran dengan titik pusat lingkaran.c. Busur yaitu bagian lingkaran yang dibagi oleh tali busur.d. Juring yaitu daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh 2 jari-jari

maupun busur lingkaran.e. Tembereng yaitu luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi

oleh busur dan tali busur.f. Apotema yaitu garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran

dengan tali busur lingkaran.g. Tali busur yaitu garis lurus dalam lingkaran yang

menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran.h. Titik pusat yaitu titik yang terletak ditengah-tengah lingkaran.

Luas Lingkaran

Luas= π x r²

π (phi) = 227

atau 3.14

Keliling Lingkaran

Kel= 2 x π x r

Contoh soal :

1. Sebuah persegi panjang memilki panjang 24 cm dan lebar 15 cm. Berapakah luas dan

keliling persegi panjang tersebut?

Jawab :

a. Luas = p x l

= 24cm x 15 cm

= 360 cm²

b. Keliling = 2 x (p + l)

16

= 2 x (24 cm + 15 cm)

= 2 x 39

= 78 cm

2. Sebuah belah ketupat memiliki panjang sisi 40 cm dan panjang diagonal-diagonalnya

adalah 34 cm dan 42 cm. hitunglah luas dan kelilingnya!

Jawab :

Luas = ½ x D1 x D2

= ½ x 34 cm x 42 cm

= 714 cm²

Keliling = 4 x panjang sisi

= 4 x 40 cm

= 160 cm

3. Kolam ikan dibelakang rumah berbentuk persegi dengan luas 625 cm². Keliling

kolam itu adalah?

Jawab :

Luas persegi = sisi²

L = s²

625 = s²

s = √625 m = 25 m

Keliling kolam = 4 x sisi = 4 x 25 m = 100 m

BAB IV

BANGUN RUANG

A. DEFINISI BANGUN RUANG

Bangun ruang adalah suatu bangun yang memiliki isi (volume). Bangun ruang

terbentuk oleh perpotongan ruas garis-ruas garis yang mempunyai bagian-bagian sisi,

rusuk, dan titik sudut atau pojok.

17

B. PENGERTIAN SISI, RUSUK, DAN TITIK SUDUT

Sisi adalah suatu bidang yang membatasi bangun ruang dan sekitarnya. Rusuk adalah

pertemuan dua buah sisi yang berupa ruas garis. Banyaknya rusuk suatu bangun ruang

sama dengan hasil jumlah banyaknya titik sudut dan sisi, kemudian dikurangi dua.

r = (ts + s) - 2

dengan :

r = rusuk

ts= titik sudut

s= sisi

Titik sudut adalah suatu titik tempat pertemuan tiga buah rusuk atau lebih.

Contoh :

C. JENIS BANGUN RUANG

JENIS BANGUN RUANG RUMUS-RUMUS

KUBUS

Kubus adalah bangun ruang yang

dibatasi oleh 6 sisi yang berbentuk

persegi yang kongruen.

a. Banyak rusuk : 12 rusuk yang sama panjang yaitu AB, BC, CD, AD, EF, FG, GH, EH, AE, FB, CG dan DH.

b. Banyak sisi : 6 sisi berbentuk persegi yaitu ABCD, EFGH, BCGF, ADHE, ABFE dan DCGH.

c. Banyak titik sudut : 8 yaitu titik A, B, C, D, E, F, G dan H.

d. Sepasang sisi yang berhadapan saling sejajar dan sisi kubus yang berpotongan saling tegak lurus.

s = panjang rusuk

kubus

Luas permukaan

kubus = 6s²

Volume kubus = s³

Panjang diagonal sisi

= s√2

Panjang diagonal

ruang = s√3

BALOK

Balok adalah bangun ruang yang

dibatasi oleh 6 sisi berbentuk persegi

panjang yang terdiri atas 3 pasang

persegi panjang yang kongruen.

a. Banyak rusuk : 12 rusuk yaitu AB, BC, CD, AD, EF, FG, GH, EH, AE, FB, CG dan DH.

Panjang = p; lebar = l;

tinggi = t

Luas permukaan

balok = 2 x {(p x l) +

(p x t) + (l x t)}

Volume balok

18

b. Banyak sisi : 6 sisi berbentuk persegi panjang yaitu ABCD, EFGH, BCGF, ADHE, ABFE dan DCGH.

c. Banyak titik sudut : 8 yaitu titik A, B, C, D, E, F, G dan H.

d. Memiliki 3 kelompok rusuk yang sama dan sejajar, yaitu:AB = DC = EF = HG = panjang balokAD = BC = FG = EH = lebar balokAE = BF = CG = DH = tinggi balok

= p x l x t

Panjang seluruh

rusuk = 4 x (p + l + t)

Panajng diagonal

ruang = √ p ²+l ²+t ²

TABUNG

Tabung adalah bangun ruang yang

berbentuk prisma tegak yang alas dan

atasnya berbentuk lingkaran dengan jari-jari

yang sama.

a. Banyak rusuk : 2b. Banyaknya sisi : 3 bidang sisi, yaitu tutup, alas dan

selimut.c. Bidang alas dan bidang atas tabung berbentuk

lingkaran.d. Tinggi tabung adalah jarak antara titik pusat lingkaran

atas dan titik pusat lingkaran bawah.

Jari-jari = r; diameter =

d; tinggi = t

Luas selimut tabung

= 2.π.r.t

Luas permukaan

tabung = 2 x luas alas

+ luas selimut

= 2.π.r² + 2.π.r.t

= 2.π.r (r + t)

Volume tabung

= luas alas x tinggi

=π.r².t

KERUCUT

Kerucut adalah bangun ruang yang

merupakan limas yang alasnya berbentuk

lingkaran.

a. Banyak rusuk : 1b. Banyak sisi : 2 yaitu alas dan selimutc. Banyak titik sudut : 1d. Alas berbentuk lingkarane. Tinggi kerucut adalah jarak antara puncak kerucut dan

pusat lingkaran atas

Jari-jari = r; diameter =

d; tinggi = t; sisi miring

= s

Luas selimut kerucut

= π.r.s

Luas permukaan

kerucut

= luas alas+luas selimut

= π.r² + π.r.s = π.r(r+s)

Volume kerucut

= ⅓ x luas alas x tinggi

= ⅓.π.r².t

LIMAS

Limas adalah bangun ruang dengan bidang

alas segi banyak dan dari bidang alas

dibentuk sisi segitiga yang bertemu di satu

titik.

Luas permukaan

limas

= luas alas + luas

selimut

Volume limas

= ⅓ x luas alas x tinggi

19

Limas segitiga :

a. Banyak rusuk : 6

b. Banyak sisi : 4

c. Banyak titik sudut : 4

d. Alas berbentuk segitiga

Limas segi empat :

a. Banyak rusuk : 8

b. Banyak sisi : 5

c. Banyak titik sudut : 5

d. Alas berbentuk segi empat

PRISMA

Prisma adalah bangun ruang yang

dibatasi oleh 2 bidang yang sejajar dan

beberapa bidang lain yang saling

memotong menurut garis yang sejajar.

Prisma segitiga

a. Banyak rusuk : 9

b. Banyak sisi : 5

c. Banyak titik sudut : 6

Prisma segi empat

a. Jika sisi-sisinya sama besar dan kongruen, maka

bangun itu berupa kubus

b. Jika alasnya berbentuk persegi panjang, maka bangun

itu berupa balok

Luas permukaan

prisma

= (2 x luas alas) + luas

sisi tegak

Volume prisma

= luas alas x tinggi

BOLA

Bola adalah bangun ruang yang dibentuk

oleh setengah lingkaran yang diputar

mengelilingi diameternya.

a. Banyak rusuk : 0

b. Banyak sisi : 1

c. Banyak titik sudut : 0

r = jari-jari bola

Luas permukaan bola

= 4.π.r²

Volume bola

= 43

.π.r³

20

d. Jari-jari bola adalah r

Contoh soal :

1. Sebuah kubus ABCDEFGH memiliki rusuk 8 cm. Tentukan!

a. Luas permukaan kubus

b. Volume kubus

c. Panjang diagonal ruang

Jawab :

a. Luas permukaan kubus = 6s²

= 6 x 8²

= 384 cm²

b. Volume kubus = s³

= 8³ = 512 cm³

c. Panjang diagonal ruang = s√3

= 8√3 cm

2. Sebuah tabung berdiameter 28 cm dan tingginya 42 cm. Hitunglah!

a. Luas permukaan tabung

b. Volume tabung

Jawab :

Diketahui d = 28 cm, maka r = 14 cm

t = 42 cm

a. Luas permukaan tabung

= 2πr(r + t)

= 2 x 227

x 14 x (14 +42)

= 2 x 22 x 2 x 56

= 4.928 cm²

b. Volume tabung = πr²t

= 227

x 14² x 42

= 25.872 cm³

3. Sebuah kerucut jari-jari alasnya 14 cm dan tingginya 24 cm. berapakah volume

kerucut tersebut?

Jawab :

Diketahui r = 14 cm dan t = 24 cm

Volume kerucut = ⅓πr²t

= 13

x 227

x 14² x 24

= 22 x 14 x 2 x 8

21

= 4.928 cm³

BAB V

PENUTUP

A. KESIMPULAN

- Garis adalah salah satu objek elementer dalam matematika, khususnya geometri.

Karena merupakan objek elementer, garis biasanya tidak didefinisikan. Garis lurus

adalah garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak yang terdekat.

22

- Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga garis dan memiliki 3 titik sudut.

- Bangun datar adalah bagian dari bidang datar yang dibatasi oleh garis-garis lurus atau

lengkung.

- Bangun ruang adalah suatu bangun yang memiliki isi (volume). Bangun ruang

terbentuk oleh perpotongan ruas garis-ruas garis yang mempunyai bagian-bagian sisi,

rusuk, dan titik sudut atau pojok.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan

antara titik, garis, sudut, bidang ataupun bangun, dan rumus-rumus yang digunakan untuk

pemecahan masalah dimana setiap pembahasannya mempunyai rumus tersendiri.

DAFTAR PUSTAKA

Rahaju, endah budi,Sulaiman,R.dkk (2008).Contextual Teaching And Learning

Matematika SMP.Jakarta : Departemen Pendidikan Nasional.

Dwisang,Luviana evi,Wulandari,Yayan.dkk (2011).Buku Super SD. Pamulang-

Tanggerang Selatan : Penerbit Scientific Press.

http : //www.google.co.id, 4 Maret 2012.

23

24