1. persamaan garis dan gradien
TRANSCRIPT
1. Persamaan Garis a. Defenisi
Antara dua titik berbeda hanya dapat dibuat satu buah garis lurus Pada sebuah titik dapat dibuat lebih dari satu buah garis lurus Garis lurus adalah jarak terpendek antara dua buah titik
Hubungan garis𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 dan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑏𝑦 = −𝑎𝑥 + 𝑐𝑦 = !!"!!
!
𝑦 = − !!𝑥 + !
!
𝑚𝑥 + 𝑛 = − !!𝑥 + !
!
Persamaan di atas benar jika 𝑚 = − !
! dan 𝑛 = !
!
Garis mempunyai ukuran panjang saja dan panjangnya tidak terhingga Segmen garis adalah bagian dari suatu garis yang mempunyai panjang tertentu Garis dilambangkan dengan huruf kecil sedang segmen garis dilambangkan dengan huruf kapital yang menandakan kedua ujungnya
Garis Lurus adalah kumpulan titik titik yang memenuhi persamaan
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 Bentuk lain persamaan garis lurus adalah
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 dimana 𝑚 adalah gradien atau kemiringan
Gradien garis dengan persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 adalah
𝑚 = −𝑎𝑏
Contoh Garis 𝑘 melalui titik 𝐴 dan titik 𝐵 maka 𝐴𝐵 adalah segmen garis 𝑘
Gambar 1
b. Garis Pada Sistem Koordinat Cartesius
Garis mempunyai arah (kemiringan) sedang segmen garis mempunyai arah dan panjang tertentu yang akan dibahas pada pokok bahasan tentang vektor Kemiringan disebut juga dengan gradien diukur dengan sudut antara garis dengan sumbu 𝑋 atau garis horisontal
Gambar 2
Garis horisontal 𝛼 = 0! gradiennya 𝑚 = tan 0! = 0 Garis vertikal 𝛼 = 90! gradiennya 𝑚 = tan 90! = ∞
Pada sistem koordinat Cartesius, titik 𝑥!,𝑦! dikatakan terletak pada atau dilalui garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 atau 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 jika memenuhi
𝑎𝑥! + 𝑏𝑦! = 𝑐 atau 𝑦! = 𝑚𝑥! + 𝑛
Sebaliknya titik 𝑥!,𝑦! dikatakan terletak diluar atau tidak dilalui garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 atau 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 jika memenuhi
𝑎𝑥! + 𝑏𝑦! ≠ 𝑐 atau 𝑦! ≠ 𝑚𝑥! + 𝑛
Gradien 𝒎 adalah laju perubahan ordinat terhadap perubahan absis
𝑚 =∆𝑦∆𝑥 =
𝑦! − 𝑦!𝑥! − 𝑥!
= tan𝛼
c. Gradien Garis Antara Dua Titik Garis melalui titik 𝑥!,𝑦! Garis melalui titik 𝑥!,𝑦! 𝑦! = 𝑚𝑥! + 𝑛𝑦! −𝑚𝑥! = 𝑛
𝑦! = 𝑚𝑥! + 𝑛𝑦! −𝑚𝑥! = 𝑛
Substitusi Substitusi 𝑛 = 𝑛𝑦! −𝑚𝑥! = 𝑦! −𝑚𝑥!𝑦! − 𝑦! = 𝑚𝑥! −𝑚𝑥!𝑦! − 𝑦! = 𝑚 𝑥! − 𝑥!!!!!!!!!!!
= 𝑚
𝑛 = 𝑛𝑦! −𝑚𝑥! = 𝑦! −𝑚𝑥!𝑚𝑥! −𝑚𝑥! = 𝑦! − 𝑦!𝑚 𝑥! − 𝑥! = 𝑦! − 𝑦!𝑚 = !!!!!
!!!!!
d. Titik Potong Garis dan Sumbu 𝑌 𝑦! = 𝑚𝑥! + 𝑛𝑦! −𝑚𝑥! = 𝑛𝑦! −
!!!!!!!!!!
𝑥! = 𝑛!!!!!!!!!!
𝑦! −!!!!!!!!!!
𝑥! = 𝑛!!!!!!!!!!!!!!
− !!!!!!!!!!!!!!
= 𝑛!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!= 𝑛
!!!!!!!!!!!!!!
= 𝑛
Gradien garis yang melalui dua titik 𝑥!,𝑦! dan 𝑥!,𝑦! adalah
𝑚 =𝑦! − 𝑦!𝑥! − 𝑥!
=𝑦! − 𝑦!𝑥! − 𝑥!
Garis yang menghubungkan titik 𝑥!,𝑦! dan titik 𝑥!,𝑦! memotong sumbu 𝑌 dengan ordinat
𝑛 =𝑥!𝑦! − 𝑥!𝑦!𝑥! − 𝑥!
=𝑥!𝑦! − 𝑥!𝑦!𝑥! − 𝑥!
e. Persamaan Garis Gradien dan Satu Titik Jika garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 melalui titik 𝑥!,𝑦! maka 𝑦! = 𝑚𝑥! + 𝑛𝑦! −𝑚𝑥! = 𝑛 Substitusi 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑦! −𝑚𝑥!𝑦 − 𝑦! = 𝑚𝑥 −𝑚𝑥!𝑦 − 𝑦! = 𝑚 𝑥 − 𝑥!
f. Persamaan Garis Antara Dua Titik 𝑦 − 𝑦! = 𝑚 𝑥 − 𝑥!𝑦 − 𝑦! = !!!!!
!!!!!𝑥 − 𝑥!
!!!!!!!!!
= !!!!!!!!!
Persamaan garis dengan gradien 𝑚 melalui titik 𝑥!,𝑦! adalah
𝑦 − 𝑦! = 𝑚 𝑥 − 𝑥!
Persamaan garis yang melalui titik 𝑥!,𝑦! dan titik 𝑥!,𝑦! adalah
𝑦 − 𝑦!𝑦! − 𝑦!
=𝑥 − 𝑥!𝑥! − 𝑥!