1. persamaan garis dan gradien

5
1. Persamaan Garis a. Defenisi Antara dua titik berbeda hanya dapat dibuat satu buah garis lurus Pada sebuah titik dapat dibuat lebih dari satu buah garis lurus Garis lurus adalah jarak terpendek antara dua buah titik Hubungan garis + = dan = + + = = + = !!"!! ! = ! ! + ! ! + = ! ! + ! ! Persamaan di atas benar jika = ! ! dan = ! ! Garis mempunyai ukuran panjang saja dan panjangnya tidak terhingga Segmen garis adalah bagian dari suatu garis yang mempunyai panjang tertentu Garis dilambangkan dengan huruf kecil sedang segmen garis dilambangkan dengan huruf kapital yang menandakan kedua ujungnya Garis Lurus adalah kumpulan titik titik yang memenuhi persamaan + = Bentuk lain persamaan garis lurus adalah = + dimana adalah gradien atau kemiringan Gradien garis dengan persamaan + = adalah =

Upload: lycong

Post on 20-Jan-2017

475 views

Category:

Documents


14 download

TRANSCRIPT

Page 1: 1. Persamaan Garis dan Gradien

 

1. Persamaan  Garis    a. Defenisi  

 Antara  dua  titik  berbeda  hanya  dapat  dibuat  satu  buah  garis  lurus    Pada  sebuah  titik  dapat  dibuat  lebih  dari  satu  buah  garis  lurus    Garis  lurus  adalah  jarak  terpendek  antara  dua  buah  titik  

     Hubungan  garis𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐  dan  𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛    𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑏𝑦 = −𝑎𝑥 + 𝑐𝑦 = !!"!!

!

𝑦 = − !!𝑥 + !

!

𝑚𝑥 + 𝑛 = − !!𝑥 + !

!

   

 Persamaan  di  atas  benar  jika  𝑚 = − !

!  dan  𝑛 = !

!  

           

 Garis  mempunyai  ukuran  panjang  saja  dan  panjangnya  tidak  terhingga    Segmen  garis  adalah  bagian  dari  suatu  garis  yang  mempunyai  panjang  tertentu    Garis  dilambangkan  dengan  huruf  kecil  sedang  segmen  garis  dilambangkan  dengan  huruf  kapital  yang  menandakan  kedua  ujungnya  

Garis  Lurus  adalah  kumpulan  titik  titik  yang  memenuhi  persamaan    

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐    Bentuk  lain  persamaan  garis  lurus  adalah    

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛    dimana  𝑚  adalah  gradien  atau  kemiringan  

Gradien  garis  dengan  persamaan  𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐  adalah    

𝑚 = −𝑎𝑏  

Page 2: 1. Persamaan Garis dan Gradien

 

 Contoh    Garis  𝑘  melalui  titik  𝐴  dan  titik  𝐵  maka  𝐴𝐵  adalah  segmen  garis  𝑘    

Gambar  1    

   

Page 3: 1. Persamaan Garis dan Gradien

 

b. Garis  Pada  Sistem  Koordinat  Cartesius  

   Garis  mempunyai  arah  (kemiringan)  sedang  segmen  garis  mempunyai  arah  dan  panjang  tertentu  yang  akan  dibahas  pada  pokok  bahasan  tentang  vektor    Kemiringan  disebut  juga  dengan  gradien  diukur  dengan  sudut  antara  garis  dengan  sumbu  𝑋  atau  garis  horisontal      

Gambar  2    

     Garis  horisontal  𝛼 = 0!  gradiennya  𝑚 = tan 0! = 0    Garis  vertikal  𝛼 = 90!  gradiennya  𝑚 = tan 90! = ∞  

   

Pada  sistem  koordinat  Cartesius,  titik   𝑥!,𝑦!  dikatakan  terletak  pada  atau  dilalui  garis    𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐  atau  𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛  jika  memenuhi    

𝑎𝑥! + 𝑏𝑦! = 𝑐    atau  𝑦! = 𝑚𝑥! + 𝑛    

 Sebaliknya  titik   𝑥!,𝑦!  dikatakan  terletak  diluar  atau  tidak  dilalui  garis    𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐  atau  𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛  jika  memenuhi    

𝑎𝑥! + 𝑏𝑦! ≠ 𝑐    atau  𝑦! ≠ 𝑚𝑥! + 𝑛  

Gradien  𝒎  adalah  laju  perubahan  ordinat  terhadap  perubahan  absis    

𝑚 =∆𝑦∆𝑥 =

𝑦! − 𝑦!𝑥! − 𝑥!

= tan𝛼  

Page 4: 1. Persamaan Garis dan Gradien

 

c. Gradien  Garis  Antara  Dua  Titik    Garis  melalui  titik   𝑥!,𝑦!       Garis  melalui  titik   𝑥!,𝑦!    𝑦! = 𝑚𝑥! + 𝑛𝑦! −𝑚𝑥! = 𝑛        

𝑦! = 𝑚𝑥! + 𝑛𝑦! −𝑚𝑥! = 𝑛  

   Substitusi           Substitusi    𝑛 = 𝑛𝑦! −𝑚𝑥! = 𝑦! −𝑚𝑥!𝑦! − 𝑦! = 𝑚𝑥! −𝑚𝑥!𝑦! − 𝑦! = 𝑚 𝑥! − 𝑥!!!!!!!!!!!

= 𝑚

       

𝑛 = 𝑛𝑦! −𝑚𝑥! = 𝑦! −𝑚𝑥!𝑚𝑥! −𝑚𝑥! = 𝑦! − 𝑦!𝑚 𝑥! − 𝑥! = 𝑦! − 𝑦!𝑚 = !!!!!

!!!!!

 

             

   

d. Titik  Potong  Garis  dan  Sumbu  𝑌    𝑦! = 𝑚𝑥! + 𝑛𝑦! −𝑚𝑥! = 𝑛𝑦! −

!!!!!!!!!!

𝑥! = 𝑛!!!!!!!!!!

𝑦! −!!!!!!!!!!

𝑥! = 𝑛!!!!!!!!!!!!!!

− !!!!!!!!!!!!!!

= 𝑛!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!= 𝑛

!!!!!!!!!!!!!!

= 𝑛

   

 

     

   

Gradien  garis  yang  melalui  dua  titik   𝑥!,𝑦!  dan   𝑥!,𝑦!  adalah    

𝑚 =𝑦! − 𝑦!𝑥! − 𝑥!

=𝑦! − 𝑦!𝑥! − 𝑥!

 

Garis  yang  menghubungkan  titik   𝑥!,𝑦!  dan  titik   𝑥!,𝑦!  memotong  sumbu  𝑌  dengan  ordinat    

𝑛 =𝑥!𝑦! − 𝑥!𝑦!𝑥! − 𝑥!

=𝑥!𝑦! − 𝑥!𝑦!𝑥! − 𝑥!

 

Page 5: 1. Persamaan Garis dan Gradien

 

e. Persamaan  Garis  Gradien  dan  Satu  Titik    Jika  garis  𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛  melalui  titik   𝑥!,𝑦!  maka        𝑦! = 𝑚𝑥! + 𝑛𝑦! −𝑚𝑥! = 𝑛        Substitusi    𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑦! −𝑚𝑥!𝑦 − 𝑦! = 𝑚𝑥 −𝑚𝑥!𝑦 − 𝑦! = 𝑚 𝑥 − 𝑥!

   

   

       

   

f. Persamaan  Garis  Antara  Dua  Titik    𝑦 − 𝑦! = 𝑚 𝑥 − 𝑥!𝑦 − 𝑦! = !!!!!

!!!!!𝑥 − 𝑥!

!!!!!!!!!

= !!!!!!!!!

   

   

       

Persamaan  garis  dengan  gradien  𝑚  melalui  titik   𝑥!,𝑦!  adalah    

𝑦 − 𝑦! = 𝑚 𝑥 − 𝑥!  

Persamaan  garis  yang  melalui  titik   𝑥!,𝑦!  dan  titik   𝑥!,𝑦!  adalah    

𝑦 − 𝑦!𝑦! − 𝑦!

=𝑥 − 𝑥!𝑥! − 𝑥!