Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang SejakzamanEuclid(300SM)sampaiabad17M,geometridipelajaridari perspektifsyntesis,sebagaisuatuilmu.Selamaabad17sejumlahidebarudalam matematikadikembangkandanditerapkandalammempelajarigeometri,denganefek yangbersifatrevolusi.Misalnyadenganmenerapkannotasi-notasidankonsepaljabar kefeometri.Fermat(160116650danReneDescartes(15961650)menciptakan geometrianalitik.Diferensialgeometridikembangkansebagaisuatukonsepdan menggunakannotasidarikalkulusyangdikembangkanolehNewtondanLeibniz diaplikasikanpadagwomwtri.Alamabad18dan19,sejumolahgeometrinonEuclid dikebangkan,mengakibatkanbeberapaorangmenjadiraguapakahgeometriakan terpisah sesuai dengan teori-teori yang bersaing satu dengan yang lain. Di tahun 1782, seorangahlimatematikaberusia23tahun,FelixKlein(18491925)mengusulkan suatuprinsippemersatuuntukmengklasifikasikanberbagaigeometridanmenjelaskan hubungan-hubungandiantaramereka.IntidarigagasanataukonsepKleinituadalah Geometri Transformasi. Geometri transformasi adalah pemetaan satu- satu, dengan menggunakan hinpunan titik-titiksebagaiinputdanreturningpointssebagaioutput.Untuksederhananya, hinpunan-himpunaninputdinamakanobyekdanoutputnyayangbersesuaian dinamakan image. Tergantung dari konteks, transformasi-transformasi dapat dipandang sebagaiditerapkanpadaobyek-obyekgeomeriyangumumdikenal,misalnyagaris, polygon, atau polihedra ataupun pada ruang dimana obyek-obyek itu ada. AdaempatpemetaanyangdibahasdalamGeometriTransformasiyaituTranslasi (pergeseran),Rotasi(Perputaran),Refleksi(Pencerminan)danDilatasi(Perkalian). Dalam bab ini akan dibahas secara spesifik tentang Refleksi atau pencerminan. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkanpemaparandiatasmakarumusanmasalahyangakandibahaspada makalah ini adalah sebagai berikut : 1.Apa definisi serta sifat-sifat pencerminan (refleksi) ? Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 2 2.Bagaimana pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu y ? 3.Bagaimana pencerminan terhadap suatu garis? 4.Bagaimana pencerminan terhadap suatu titik asal? 1.3 TujuanAdapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut: 1.Untuk mengetahui definisi serta sifat-sifat pencerminan (refleksi). 2.Untuk mengetahui pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu y. 3.Untuk mengetahui pencerminan terhadap suatu garis. 4.Untuk mengetahui pencerminan terhadap suatu titik asal. Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 3 BAB II PEMBAHASAN 2.1Definisi dan Sifat-sifat Pencerminan A.Definisi Pencerminan Pencerminandalamartigeometridapatdisebutjugadenganrefleksi.Refleksi adalahmenggambarkanpencerminancerminsuatubangun.Pencerminanitudapat diperoleh sebagai berikut : 1.Tentukan terlebih dahulu sumbu cerminnya atau sumbu simetri 2.Tarikgaristegakluruspadasumbucermindaritiap-tiapsudutbangun(titik) yang hendak dibuat pencerminannya. 3.Jarakantaratitiksudutbangunandengantitiksudutpencerminannyaharus sama terhadap sumbu simetri. Contoh : Buatlah pencerminan dari bangun berikut ini: Caranya: m Gambar 2.1m= sumbu cermin Garisputus-putusmerupakanpencerminandaribangunyangdimaksud. Pencerminan suatu bangun dalam bidang kartesius.

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 4 Bangunadalahpencerminanbangun jikadicerminkanterhadap sumbuy.Bangunmerupakanpencerminanyangdicerminkan terhadap sumbux. Pencerminan terhadap sumbux disimbolkan denganX. Bangun ABCD dicerminkan terhadap sumbu x ditulis X (ABCD). PencerminanterhadapsumbuydisimbolkandenganY. JadiY(ABCD)merupakan pencerminan bangun ABCD terhadap sumbu y. Padapencerminandiperlukansebuahgarissebagaisumbupencerminan. Pencerminan terhadap suatu sumbu merupakan transformasi berlawanan. B.Sifat-sifat PencerminanDalam transformasi geometri khususnya pencerminan terdapat beberapa sifat-sifat yang selalu ditemukan. Adapun sifat tersebut adalah sebagai berikut : 1.Jaraksuatutitikterhadapcerminsamadenganjarakantarapencerminan dengan cermin. 2.Garisyangmenghubungkantitikdenganpencerminannyaselalutegaklurus dengan cermin. 3.Setiap garis dan pencerminannya selalu sama panjang. 4.Setiap bangun dan pencerminannya selalu kongruen. y x B C AD DAD C BC Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 5 2.2 Pencerminan Terhadap Sumbu-x dan Sumbu y Pencerminanterhadapsumbu-xberartisuatupecerminanyangmenggunakan sumbu-xdalamdiagramkartesiussebagaicermin.PencerminantitikA(a,b)terhadap sumbu-xmenghasilkanpencerminantitikB(

)dengan

dan

.Oleh karena itupencerminan terhadap sumbu- x dapat dirumuskan sebagai berikut : Gambar 2.2

Berdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu-x adalah , sehingga

Pencerminanterhadapsumbu-yberartisuatupecerminanyangmenggunakan sumbu-ydalamdiagramkartesiussebagaicermin.PencerminantitikA(a,b)terhadap sumbu-ymenghasilkanpencerminantitikC(

)dengan

dan

.Oleh karena itupencerminan terhadap sumbu- y dapat dirumuskan sebagai berikut : B(a,-b) b o -b A(a,b) x y Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 6

Gambar 2.3

erdasarkanpemaparandiatasmakadapatdirumuskanmatrikstransformasiuntuk pencerminan terhadap sumbu-y adalah , sehingga

2.3 Pencerminan Terhadap Suatu Garis A.Pencerminan Terhadap Garis atau Sumbu 1.Pencerminan titik Titik P merupakan pencerminan dari titik P Dikatakan titik P dicerminkan terhadap gari xy (sumbu xy) Ditulis Disingkat terhadap xy2.Pencerminan garis Garismerupakan pencerminan dari garis . Dikatakan PQ dicerminkan terhadap garis xy. Ditulis -a O a C(-a,b) b A(a,b) x y y x p p x Q P P y Q Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 7 B.Pencerminan Terhadap Garis y=x PencerminantitikA(a,b)terhadapgarisy=xmenghasilkanbayanganDab dengn ab dan ba

Gambar 2.4

Berdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu-y adalah , sehingga

C.Pencerminan Terhadap Garis y= -x PencerminantitikA(a,b)terhadapgarisy=-xmenghasilkanbayanganEab dengn a-b dan b-a.

a b o A(a,b) D(b,a) x y a b o -a A(a,b) E(-b,-a) x y y =-x Gambar 2.5 Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 8

Berdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu-y adalah , sehingga

D.Pencerminan Terhadap Garis x=h PencerminantitikA(a,b)terhadapgarisx=hmenghasilkanbayanganGab dengn a 2h-a dan bb. Gambar 2.6

Jika ditulis dengan matriks transformasi sebagai berikut:

E.Pencerminan Terhadap Garis y=k PencerminantitikA(a,b)terhadapgarisy=kmenghasilkanbayangan Hab dengn a a dan b2k-b. x=h G(2h-a,b) a2h-a b o A(a,b) x y Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 9 Gambar 2.7

Jika ditulis dengan matriks transformasi sebagai berikut:

F.Pencerminan Dua Kali Apabila suatu bangun dicerminkan terhadap sumbu AB kemudian dicerminkan lagi terhadapsumbuCD,dapatdikatakanbanguntersebutdocerminkanduakaliatau duapencerminan.JikapencerminanterhadapAB=M1danpencerminanterhadap CD=M2,makaduapencerminanitudisimbolkandengan:M2oM1.Dibaca:M1 diteruskan dengan M2. Dua pencerminan dapat dilakukan dengan : a.Dua sumbu sejajar b.Dua sumbu yang saling tegak lurus c.Dua sumbu berpotongan. G.Pencerminan dengan Dua Sumbu Sejajar Contoh pencerminan dengan dua sumbu sejajar ditampilkan pada gambar berikut. y=k H(a, 2k-b) a 2k-b b o A(a,b) x y Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 10 Gambar 2.3 ABsejajarCDdimanaCDberadapadax=3.Fmerupakanhasilpencerminan dariFsumbuAB.SedangkanadalahhasilpencerminanterhadapsumbuCD. Titik(-1,2)menjadititik(1,2)olehpencerminanterhadapABsehinggaditulis .Titik(1,2)menjadititik(5,2)akibatpencerminanterhadap CD yang dapat ditulisDengan cara pemetaan dapat ditulis sebagai berikut :

atau

Jadi pencerminan berturut-turut terhadap sumbu-sumbudanJarak antara AB dan CD = 3 serta arahnya merupakan arah AC (ke kanan). ApabilapencerminanterhadapABdisebutsebutM1danpencerminanCDdisebut denganM2,makahasilM1 oM2=(5,2).SimbolM1 oM2 berartiM1 diteruskan dengan M2. H.Pencerminan dengan Sumbu Saling Tegak Lurus BD -1012345 (-1,2)(1,2)(5,2) yC F AFF Sn m A (4,-1) 1234 A(2,3) A(4,3) 2 1 -1 y x Gambar 2.4 Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 11 Sumbu m tegak lurus pada sumbu n pada x = 3 dan n tegak lurus garis m pada y = 1. Bangun O berada pada posisi titik A (2,3). Jika bangun tersebut dicerminkan terhadap sumbumdiperoleh

.Jika

dicerminkanterhadapsumbun diperoleh n

. Gambar 2.5 Pada gambar 2.5 tampak bahwa pencerminan dua kali berturut-turut pada sumbu yang saling tegak lurus sama dengan setengah putaran pada pusat S.Apabila pencerminan terhadap sumbum = M1, pencerminan terhadap sumbu n = M2 , dan pemutaran setengah putaran terhadap S disebut H, maka

Pencerminanpadaduasumbuyangsalingtegaklurusberlakuhukumkomutatif sebagai berikut :

Biladipergunakankordinat,makapencerminanterhadapsumbuxdisebutXdan pencerminanterhadapsumbuydisebutY.SedangkanperputaranterhadapputaranO disebut dengan H. (-3,2) (3,-2) y x Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 12 2.4 Pencerminan Terhadap Titik Asal PencerminantitikA(a,b)terhadapttikasalmenghasilkanbayanganF(a,b) dengan a=-a dan b=-b.

Berdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu-y adalah , sehingga

SOAL. 1.Tentukankoordinatbayangannya,jikatitik-titikberikutdicerminkanterhadap sumbu X. a.A (4,3) b.B (10,-2) 2.Tentukan koordinat bayangannya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap garis Y=X. a.A (5,2) b.B (-7,-2) 3.Tentukan koordinat bayangannya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap garis Y=-X. a b o -a A(a,b) F (-b,-a) x y Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 13 a.A (10,-3) b.B (-5,2) 4.Tentukan koordinat bayangannya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap garis X=2. a.A (-3,4) b.B (5,-1) 5.Tentukan koordinat bayangannya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap garis Y=3. a.A (3,-4) b.B (-5,1) 6.Tentukan koordinat bayangannya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap titik asal O (0,0). a.A (-1,-6) b.B (2, -10) 7.Transformasi T memetakan titik P (x,y) ke titik P (xy) melalui hubungan: x=2x-y y=3x+2y a.Tentukan matriks tansformasi yang bersesuaian dengan persamaan itu. b.Denganmenggunakanmatrikstranformasiyangdiperolehpadasoala), tentukan koordinat bayangan dari titik P (3,6). 8.Transformasiyang bersesuian dengan matriks ((

3 21 1 memetakan titik P (x,y) ke titik P (1,7). Tentukan nilai x dan y. 9.Transformasi yang bersesuaian dengan matriks ((

d cb a memetakan titik P (3,2) ke titikP(3,7) dan titik Q (1,1) ke titikQ (1,4). Tentukan nilai dari a, b, c, dan d. 10. TentukankoordinatbayangandarititikP(1,-3)biladilakukanrefleksiterhadap sumbu Xlalu di refleksi lagi terhadap garis X=-2. Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 14 BAB III PENUTUP 3.1 Simpulan Refleksi adalah menggambarkan pencerminan cermin suatu bangunyang memiliki sifatyaitujaraksuatutitikterhadapcerminsamadenganjarakantarapencerminan dengancermin,garisyangmenghubungkantitikdenganpencerminannyaselalutegak lurus dengan cermin, setiap garis dan pencerminannya selalu sama panjang, dan setiap bangun dan pencerminannya selalu kongruen.Beberapajenispencerminanyaitupencerminanterhadapsuatutitikasal, pencerminan terhadap sumbu-x, pencerminan terhadap sumbu y, pencerminan terhadap garis y=x, pencerminan terhadap garis y=-x, dan pencerminan terhadap garis x = h dan y=k.Berikutmerupakanbeberapamatriksyangdigunakanpadabeberapa pencerminan. a.Untuk Refleksi A (x, y) terhadap sumbu X menghasilkan(

) dengan matriks berikut:

b.Jika sumbu y sebagai cermin maka dihasilkan(

)dengan matriks berikut :

c.Jika garis y = k sebagai cermin maka dihasilkan(

) dengan matriks :

d.Jika garis y = x sebagai cermin maka dihasilkan(

)dengan matriks berikut :

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 15 e.Jikagarisy=-xsebagaicerminmakadihasilkan(

)denganmatriks berikut :

f.Jika garis x = a sebagai cermin dihasilkan(

)dengan matriks berikut :

g.Jika titik asal( ) 0 , 0 Osebagai cermin dihasilkan( ) ' , ' ' y x Adengan matriks berikut:

3.2 Saran Dalampokokbahasangeometrikhususnyapencerminanataurefleksi membutuhkanpemahamansiswaterlebihdahulumengenaipenggunaandiagram kartesius. Pada pokok bahasan pencerminan diagram kartesius merupakan media utama untukmenjelaskansifat-sifatsuatupencerminan.Olehsebabitudiharapkan pembelajaranawalmengenaitataletakkoordinatpadadiagramkartesiussertateknik pembelajaranyangtepatagarpenyampaianmateripencerminanlebihmudahditerima olehsiswa.Adapunmakalahinidiharapkanmampumenjadimasukanuntuk pembuatan makalah serupa yang lebih baik. Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012Page 16 DAFTAR PUSTAKA Tamrin.2003.RahasiaPenerapanRumusrumusMatematikaSMU.GitamediaPress: Surabaya. Negoro, S.T & B.Harahap. 1998. Ensiklopedia Matematika. Ghalia Indonesia. Yohanes, S. 2008. Mahir Matematika SMP. Kendi Mas Media: Jakarta.Wirodikromo,Sartono.2006.MatematikauntukSMAKelasXIIProgramIlmu Alam.Erlangga:Jakarta.