rotasi - geometri transformasi

37
ROTASI ROTASI ROTASI ROTASI ROTASI ROTASI R O T A S I ROTAS I ROTASI ROTASI ROTASI ROTASI ROTASI R O T A S I

Upload: ritsa-faiza

Post on 30-Jun-2015

6.632 views

Category:

Education


28 download

DESCRIPTION

Menjelaskannya di jabarkan berdasarkan proses, bukan di dikte "text book" ,,,, gampang dipahami *Berbagi ilmu ga akan jadi miskin.. indahnya berbagi smoga bermanfaat :) @ritsafaiza

TRANSCRIPT

Page 1: Rotasi - Geometri Transformasi

ROTASIROTASI

ROTASI

ROTASI

ROTASI

ROTASI

ROTASI

ROTASI

ROTASI

ROTASI

ROTASIROTASIROTASI

ROTASI

Page 2: Rotasi - Geometri Transformasi

Ada 3 hal yang perlu diperhatikan dalam rotasi yaitu :1. Pusat titik putar2. Besar sudut putaran3. Arah putaran.

Rotasi adalah perputaran benda pada

suatu sumbu yang tetap, misalnya

perputaran gasing dan perputaran bumi pada

poros/sumbunya

2

12

3

6

9

Page 3: Rotasi - Geometri Transformasi

A B

C D

Q

A B

C D

Q x

y

1

2

3

-3

-2

-1

0-1-2-3-4 4-321

Page 4: Rotasi - Geometri Transformasi

A B

C D

Q

A B

C D

Qx

y

1

2

3

-3

-2

-1

0-1-2-3-4 4-321

Page 5: Rotasi - Geometri Transformasi
Page 6: Rotasi - Geometri Transformasi

Transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0)

Perhatikan gambar berikut !

Y

P(x, y)

P’(x’, y’)

0 AB

C

Dr

r

β

Di dalam segitiga OAP diperoleh :OA=OP cos β → x=r cos β dan AP=OP sin β → y=r sin βDi dalam segitiga OBP’ diperoleh :OB=OP’ cos (β+ θ )X’=r cos β cos θ - r sin β sin θ X’=x cos θ - y sin θ BP’ = OP’ sin (β+ θ )Y’=r sin (β+ θ )Y’=r sin β cos θ + r cos β sin θ Y’=y cos θ + x sin θ

x

Page 7: Rotasi - Geometri Transformasi

Dari keterangan diatas dapat disimpulkan bahwa: Misalkan titik P(x,y) diputar sejauh θ dengan titik pusat

rotasi di O(0,0) sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Dengan hubungan sbb:

X’ = x cos θ - y sin θ Y’ = x sin θ + y cos θ Jadi dapat dituliskan sbb:P(x,y) P’(x’,y’) dimana :X’=x cos θ -ysin θ Y’=x sin θ + y cos θSecara matriks dapat dituliskan sbb :

,O

y

x

y

x

cossin

sincos

'

'

User
Page 8: Rotasi - Geometri Transformasi

x

y

1

2

3

-3

-2

-1

0-1-2-3-4 4-321

Transformasi Rotasi dengan titik pusat di

O(0,0) dan θ= 270o

2

3

'

'

02

30

'

'

3021

3120

'

'

3

2

01

10

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

Page 9: Rotasi - Geometri Transformasi

x

y

1

2

3

-3

-2

-1

0-1-2-3-4 4-321

Transformasi Rotasi dengan titik pusat di

O(0,0) dan θ= -180o

Page 10: Rotasi - Geometri Transformasi

2. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k)

),,( khM

Y

P(x, y)

P’(x’, y’)

0

M(h,k)

Jika titik P(x,y) kita pandang terhadap titik pusat M(h,k) maka posisi titik P terhadap titik M dapat dituliskan P(x-h, y-k).dan posisi bayangannya P’(x’-h, y’-k) Sehingga dengan demikia dapat dituliskan bayang titik P tersebut didalam koordinat kartesiusnya sbb:P(x,y) P’(x’,y’) dimana :X’-h =(x-h) cos θ – (y-k) sin θ Y’-k =(x-h) sin θ + (y-k) cos θSecara matriks dapat dituliskan sbb :

k

h

ky

hx

y

x

cossin

sincos

'

'X

Page 11: Rotasi - Geometri Transformasi

Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ=(+90o).

• Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut θ= (+90o) maka diperoleh bayangan sbb :

hkx

yhk

k

h

kyhx

kyhx

y

x

k

h

ky

hx

y

x

0.1

1.0

'

'

01

10

'

'

k

h

ky

hx

y

x

90cos90sin

90sin90cos

'

'

Page 12: Rotasi - Geometri Transformasi

x

y

1

2

3

-3

-2

-1

0-1-2-3-4 4-321

2

2

0

1

2

)3(

'

'

0

1

02

)3(0

'

'

0

1

3021

3120

'

'

0

1

3

2

01

10

'

'

0

1

03

13

01

10

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

y

x

Page 13: Rotasi - Geometri Transformasi

x

y

1

2

3

-3

-2

-1

0-1-2-3-4 4-321

Transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(h,k) dan θ= 90o

2

3

'

'

02

30

'

'

3021

3120

'

'

3

2

01

10

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

Page 14: Rotasi - Geometri Transformasi

Tugas

1. Tentukanlah bayangan dari titik A( 5, 10) yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan arah dengan arah jarum jam dengan titik pusat putaran di O(0, 0)

2. Tentukanlah bayangan dari garis y = 4x – 5 yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ?

3. Tentukanlah bayangan dari garis x2 + y2 – 2x + 4y = 25 yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ?

Page 15: Rotasi - Geometri Transformasi

Tugas1. Titik A ( 2, 4 ) diputar sebesar 270 derejat dengan titik

pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?2. Titik B ( -5, 8 ) diputar sebesar (-180) derejat dengan titik

pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? 3. Titik C ( 8, -9 ) diputar sebesar (-90) derejat dengan titik

pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?4. Tentukanlah bayangan garis 5x – 3y = 10 yang diputar

sebesar (-270) derejat dengan titik pusat O(0, 0) ?5. Tentukanlah bayangan garis y = 2x2 – 4x + 5 yang diputar

sebesar (180) derejat dengan titik pusat O(0, 0) ?

Page 16: Rotasi - Geometri Transformasi

Contoh 2.1.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 3x-4y=-12 oleh rotasi berpusat di M(-1, 2) dengan susut rotasi 90o ?

• Jawab :

'

'

'

'

xhk

khy

y

xatau

hkx

yhk

y

x

Dengan mensubstitusikan x = y’+h-k, y = k+h-x’, h=-1,dan k=2 ke persamaan 3x – 4y = -12 diperoleh sbb:3(y’+h-k) – 4(k+h-x’) = -12 3(y’+(-1)-(2)) – 4(2+(-1)-x’)= -12 atau 3(y’-3) – 4(1-x’) = -123y’ - 9 – 4 + 4x’ = -12 atau 4x’ + 3y’ = -12 + 13 4x’ + 3y’ = 1Jadi persamaan bayangan kurva 3x – 4y = -12 oleh rotasi berpusat di M(-1,2) dengan sudut rotasi 90o adalah 4x + 3y= 1

Page 17: Rotasi - Geometri Transformasi

2.B. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (-90o)

Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (-90o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

k

h

ky

hx

y

x

90cos90sin

90sin90cos

'

'

hkx

ykh

y

xatau

xkh

hky

y

x

k

h

kyhx

kyhx

k

h

ky

hx

y

x

'

'

'

'

(0)).(1(

)(1).(0

01

10

'

'

Page 18: Rotasi - Geometri Transformasi

Contoh 2.2.a Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-90o) dengan titik pusat M(1,2)?

• Jawab :

P(3, 5)

P’(4, 0)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y

M(1,2)

Page 19: Rotasi - Geometri Transformasi

Secara matematis dapat ditentukan sbb :

• Jawab :

0

4

2

1

2

3

'

'

2

1

02

30

'

'

2

1

3021

3120

'

'

2

1

3

2

01

10

'

'

2

1

25

13

01

10

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

y

x

Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-90o) dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(4, 0)

Page 20: Rotasi - Geometri Transformasi

Contoh 2.1.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -90o ?

• Jawab :

hkx

ykh

y

x

'

'

Dengan mensubstitusikan x = h+k-y’, y = x’+k-h’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:2(h+k-y’) – (x’+k-h) = 12 atau 2(2+3-y’) – (x’+3-2)= 122(5-y’) – (x’+1)= 12 atau 10-2y’-x’-1 = 12-x’ - 2y’ = 12 – 9 atau x’ + 2y’ = -3Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi -90o adalah x + 2y= -3

Page 21: Rotasi - Geometri Transformasi

2.C. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (180o) .Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k)

dan sudut rotasi sebesar θ= (180o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

k

h

ky

hx

y

x

180cos180sin

180sin180cos

'

'

yk

xh

k

h

kyhx

kyhx

Y

X

k

h

ky

hx

y

x

2

2

)).(1().(0

).(0))(1(

'

'

10

01

'

'

Page 22: Rotasi - Geometri Transformasi

Contoh 2.3.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang diputar sebesaar 180o dengan titik pusat M(2,1)?

• Jawab :

P(5, -3)

P’(-1, 5)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y

M(2,1)

Page 23: Rotasi - Geometri Transformasi

Secara matematis dapat ditentukan sbb :

• Jawab :

5

1

1

2

4

3

'

'

1

2

40

03

'

'

1

2

4130

4031

'

'

1

2

4

3

10

01

'

'

1

2

13

25

10

01

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

y

x

Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (180o) dengan titik pusat M(2,1) adalah P’(-1, 5)

Page 24: Rotasi - Geometri Transformasi

Contoh 2.3.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi 180o ?

• Jawab :

'2

'2

2

2

'

'

yk

xh

y

xatau

yk

xh

y

x

Dengan mensubstitusikan x = 2h-x’, y = 2k-y’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:2(2h-x’) – (2k-y’) = 12 atau 2(2.2-x’) – (2.3-y’)= 128 - 2x’- 6 + y’=12 atau 2-2x’ +y’ = 12-2x’ + y’ = 10 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 180o adalah 2x - y= -10

Page 25: Rotasi - Geometri Transformasi

2.D. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (-180o) .

Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (-180o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

k

h

ky

hx

y

x

180cos180sin

180sin180cos

'

'

yk

xh

k

h

kyhx

kyhx

y

x

k

h

ky

hx

y

x

2

2

)).(1().(0

).(0)).(1(

'

'

10

01

'

'

Page 26: Rotasi - Geometri Transformasi

Contoh 2.4. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-180o) dengan titik pusat M(1,2)?

• Jawab :

P(3, 5)

P’(-1, -1) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y

M(1,2)

Page 27: Rotasi - Geometri Transformasi

Secara matematis dapat ditentukan sbb :

1

1

2

1

3

2

'

'

2

1

30

02

'

'

2

1

3120

3021

'

'

2

1

3

2

10

01

'

'

2

1

25

13

10

01

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

y

x

Jawab :

Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-180o) dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(-1, -1)

Page 28: Rotasi - Geometri Transformasi

Contoh 2.4.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -180o ?

• Jawab :

'2

'2

2

2

'

'

yk

xh

y

xatau

yk

xh

y

x

Dengan mensubstitusikan x = 2h-x’, y = 2k-y’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:2(2h-x’) – (2k-y’) = 12 atau 2(2.2-x’) – (2.3-y’)= 128 - 2x’- 6 + y’=12 atau 2-2x’ +y’ = 12-2x’ + y’ = 10 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 180o adalah 2x - y = -10

Page 29: Rotasi - Geometri Transformasi

2.E. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (270o)

Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (270o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

k

h

ky

hx

y

x

270cos270sin

270sin270cos

'

'

xkh

khy

k

h

kyhx

kyhx

y

x

k

h

ky

hx

y

x

).(0)).(1(

).(1).(0

'

'

01

10

'

'

Page 30: Rotasi - Geometri Transformasi

Contoh 2.5. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesar (270o) dengan titik pusat M(1,2)?

• Jawab :

P(3, 5)

P’(4, 0)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y

M(1,2)

Page 31: Rotasi - Geometri Transformasi

Secara matematis dapat ditentukan sbb :• Jawab :

0

4

2

1

2

3

'

'

2

1

02

30

'

'

2

1

3021

3120

'

'

2

1

3

2

01

10

'

'

2

1

25

13

01

10

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

y

x

Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (270o) dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(4, 0)

Page 32: Rotasi - Geometri Transformasi

Contoh 2.5.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi 270o ?

• Jawab :

'

'

'

'

xhk

ykh

y

xatau

hkx

khy

y

x

Dengan mensubstitusikan x = h-k-y’, y = k-h-x’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:2(h-k-y’) – (k-h-x’) = 12 atau 2(2-3-y’) – (3-2-x’)= 12-2 – 2y’- 1 + x’=12 atau -3+ x’ - 2y’ = 12x’ - 2y’ = 15 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 270o adalah x - 2y = 15

Page 33: Rotasi - Geometri Transformasi

2.F. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ=(-270o).

• Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut θ= (-270o) maka diperoleh bayangan sbb :

k

h

ky

hx

y

x

270cos270sin

270sin270cos

'

'

hkx

ykh

k

h

kyhx

kyhx

y

x

k

h

ky

hx

y

x

).(0).(1

)).(1().(0

'

'

01

10

'

'

Page 34: Rotasi - Geometri Transformasi

Contoh 2.6. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang diputar sebesaar -270o dengan titik pusat M(2,1)?

• Jawab :

P(5, -3)

P’(6, 4)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y

M(2,1)

Page 35: Rotasi - Geometri Transformasi

Secara matematis dapat ditentukan sbb :

• Jawab :

4

6

1

2

3

4

'

'

1

2

03

40

'

'

1

2

4031

4130

'

'

1

2

4

3

01

10

'

'

1

2

13

25

01

10

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

y

x

Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (-270o) dengan titik pusat M(2,1) adalah P’(6, 4)

Page 36: Rotasi - Geometri Transformasi

Contoh 2.6.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -270o ?

• Jawab :

'

'

'

'

xkh

khy

y

xatau

hkx

ykh

y

x

Dengan mensubstitusikan x = y’+h-k, y = h+k-x’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:2(y’h-k-y’) – (k-h-x’) = 12 atau 2(2-3-y’) – (3-2-x’)= 12-2 – 2y’- 1 + x’=12 atau -3+ x’ - 2y’ = 12x’ - 2y’ = 15 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi -270o adalah x - 2y = 15

Page 37: Rotasi - Geometri Transformasi

Tugas

1. Titik A ( 2, 4 ) diputar sebesar 45 derejat dengan titik pusat M(2,-3). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?

2. Titik B ( -5, 8 ) diputar sebesar (60) derejat dengan titik pusat M(4, -6). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?

3. Titik C ( 8, -9 ) diputar sebesar (135) derejat dengan titik pusat M(-4, -2). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?

4. Tentukanlah bayangan garis 5x – 3y = 10 yang diputar sebesar (-270) derejat dengan titik pusat M(3, 4) ?

5. Tentukanlah bayangan garis y = 2x2 – 4x + 5 yang diputar sebesar (180) derejat dengan titik pusat M(-3, 2) ?