rotasi - geometri transformasi
DESCRIPTION
Menjelaskannya di jabarkan berdasarkan proses, bukan di dikte "text book" ,,,, gampang dipahami *Berbagi ilmu ga akan jadi miskin.. indahnya berbagi smoga bermanfaat :) @ritsafaizaTRANSCRIPT
ROTASIROTASI
ROTASI
ROTASI
ROTASI
ROTASI
ROTASI
ROTASI
ROTASI
ROTASI
ROTASIROTASIROTASI
ROTASI
Ada 3 hal yang perlu diperhatikan dalam rotasi yaitu :1. Pusat titik putar2. Besar sudut putaran3. Arah putaran.
Rotasi adalah perputaran benda pada
suatu sumbu yang tetap, misalnya
perputaran gasing dan perputaran bumi pada
poros/sumbunya
2
12
3
6
9
A B
C D
Q
A B
C D
Q x
y
1
2
3
-3
-2
-1
0-1-2-3-4 4-321
A B
C D
Q
A B
C D
Qx
y
1
2
3
-3
-2
-1
0-1-2-3-4 4-321
Transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0)
Perhatikan gambar berikut !
Y
P(x, y)
P’(x’, y’)
0 AB
C
Dr
r
β
Di dalam segitiga OAP diperoleh :OA=OP cos β → x=r cos β dan AP=OP sin β → y=r sin βDi dalam segitiga OBP’ diperoleh :OB=OP’ cos (β+ θ )X’=r cos β cos θ - r sin β sin θ X’=x cos θ - y sin θ BP’ = OP’ sin (β+ θ )Y’=r sin (β+ θ )Y’=r sin β cos θ + r cos β sin θ Y’=y cos θ + x sin θ
x
Dari keterangan diatas dapat disimpulkan bahwa: Misalkan titik P(x,y) diputar sejauh θ dengan titik pusat
rotasi di O(0,0) sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Dengan hubungan sbb:
X’ = x cos θ - y sin θ Y’ = x sin θ + y cos θ Jadi dapat dituliskan sbb:P(x,y) P’(x’,y’) dimana :X’=x cos θ -ysin θ Y’=x sin θ + y cos θSecara matriks dapat dituliskan sbb :
,O
y
x
y
x
cossin
sincos
'
'
x
y
1
2
3
-3
-2
-1
0-1-2-3-4 4-321
Transformasi Rotasi dengan titik pusat di
O(0,0) dan θ= 270o
2
3
'
'
02
30
'
'
3021
3120
'
'
3
2
01
10
'
'
y
x
y
x
xx
xx
y
x
y
x
x
y
1
2
3
-3
-2
-1
0-1-2-3-4 4-321
Transformasi Rotasi dengan titik pusat di
O(0,0) dan θ= -180o
2. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k)
),,( khM
Y
P(x, y)
P’(x’, y’)
0
M(h,k)
Jika titik P(x,y) kita pandang terhadap titik pusat M(h,k) maka posisi titik P terhadap titik M dapat dituliskan P(x-h, y-k).dan posisi bayangannya P’(x’-h, y’-k) Sehingga dengan demikia dapat dituliskan bayang titik P tersebut didalam koordinat kartesiusnya sbb:P(x,y) P’(x’,y’) dimana :X’-h =(x-h) cos θ – (y-k) sin θ Y’-k =(x-h) sin θ + (y-k) cos θSecara matriks dapat dituliskan sbb :
k
h
ky
hx
y
x
cossin
sincos
'
'X
Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ=(+90o).
• Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut θ= (+90o) maka diperoleh bayangan sbb :
hkx
yhk
k
h
kyhx
kyhx
y
x
k
h
ky
hx
y
x
0.1
1.0
'
'
01
10
'
'
k
h
ky
hx
y
x
90cos90sin
90sin90cos
'
'
x
y
1
2
3
-3
-2
-1
0-1-2-3-4 4-321
2
2
0
1
2
)3(
'
'
0
1
02
)3(0
'
'
0
1
3021
3120
'
'
0
1
3
2
01
10
'
'
0
1
03
13
01
10
'
'
y
x
y
x
xx
xx
y
x
y
x
y
x
x
y
1
2
3
-3
-2
-1
0-1-2-3-4 4-321
Transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(h,k) dan θ= 90o
2
3
'
'
02
30
'
'
3021
3120
'
'
3
2
01
10
'
'
y
x
y
x
xx
xx
y
x
y
x
Tugas
1. Tentukanlah bayangan dari titik A( 5, 10) yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan arah dengan arah jarum jam dengan titik pusat putaran di O(0, 0)
2. Tentukanlah bayangan dari garis y = 4x – 5 yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ?
3. Tentukanlah bayangan dari garis x2 + y2 – 2x + 4y = 25 yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ?
Tugas1. Titik A ( 2, 4 ) diputar sebesar 270 derejat dengan titik
pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?2. Titik B ( -5, 8 ) diputar sebesar (-180) derejat dengan titik
pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? 3. Titik C ( 8, -9 ) diputar sebesar (-90) derejat dengan titik
pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?4. Tentukanlah bayangan garis 5x – 3y = 10 yang diputar
sebesar (-270) derejat dengan titik pusat O(0, 0) ?5. Tentukanlah bayangan garis y = 2x2 – 4x + 5 yang diputar
sebesar (180) derejat dengan titik pusat O(0, 0) ?
Contoh 2.1.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 3x-4y=-12 oleh rotasi berpusat di M(-1, 2) dengan susut rotasi 90o ?
• Jawab :
'
'
'
'
xhk
khy
y
xatau
hkx
yhk
y
x
Dengan mensubstitusikan x = y’+h-k, y = k+h-x’, h=-1,dan k=2 ke persamaan 3x – 4y = -12 diperoleh sbb:3(y’+h-k) – 4(k+h-x’) = -12 3(y’+(-1)-(2)) – 4(2+(-1)-x’)= -12 atau 3(y’-3) – 4(1-x’) = -123y’ - 9 – 4 + 4x’ = -12 atau 4x’ + 3y’ = -12 + 13 4x’ + 3y’ = 1Jadi persamaan bayangan kurva 3x – 4y = -12 oleh rotasi berpusat di M(-1,2) dengan sudut rotasi 90o adalah 4x + 3y= 1
2.B. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (-90o)
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (-90o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :
k
h
ky
hx
y
x
90cos90sin
90sin90cos
'
'
hkx
ykh
y
xatau
xkh
hky
y
x
k
h
kyhx
kyhx
k
h
ky
hx
y
x
'
'
'
'
(0)).(1(
)(1).(0
01
10
'
'
Contoh 2.2.a Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-90o) dengan titik pusat M(1,2)?
• Jawab :
P(3, 5)
P’(4, 0)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1234567
-2-3-4-5-6
X
Y
M(1,2)
Secara matematis dapat ditentukan sbb :
• Jawab :
0
4
2
1
2
3
'
'
2
1
02
30
'
'
2
1
3021
3120
'
'
2
1
3
2
01
10
'
'
2
1
25
13
01
10
'
'
y
x
y
x
xx
xx
y
x
y
x
y
x
Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-90o) dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(4, 0)
Contoh 2.1.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -90o ?
• Jawab :
hkx
ykh
y
x
'
'
Dengan mensubstitusikan x = h+k-y’, y = x’+k-h’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:2(h+k-y’) – (x’+k-h) = 12 atau 2(2+3-y’) – (x’+3-2)= 122(5-y’) – (x’+1)= 12 atau 10-2y’-x’-1 = 12-x’ - 2y’ = 12 – 9 atau x’ + 2y’ = -3Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi -90o adalah x + 2y= -3
2.C. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (180o) .Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k)
dan sudut rotasi sebesar θ= (180o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :
k
h
ky
hx
y
x
180cos180sin
180sin180cos
'
'
yk
xh
k
h
kyhx
kyhx
Y
X
k
h
ky
hx
y
x
2
2
)).(1().(0
).(0))(1(
'
'
10
01
'
'
Contoh 2.3.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang diputar sebesaar 180o dengan titik pusat M(2,1)?
• Jawab :
P(5, -3)
P’(-1, 5)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1234567
-2-3-4-5-6
X
Y
M(2,1)
Secara matematis dapat ditentukan sbb :
• Jawab :
5
1
1
2
4
3
'
'
1
2
40
03
'
'
1
2
4130
4031
'
'
1
2
4
3
10
01
'
'
1
2
13
25
10
01
'
'
y
x
y
x
xx
xx
y
x
y
x
y
x
Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (180o) dengan titik pusat M(2,1) adalah P’(-1, 5)
Contoh 2.3.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi 180o ?
• Jawab :
'2
'2
2
2
'
'
yk
xh
y
xatau
yk
xh
y
x
Dengan mensubstitusikan x = 2h-x’, y = 2k-y’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:2(2h-x’) – (2k-y’) = 12 atau 2(2.2-x’) – (2.3-y’)= 128 - 2x’- 6 + y’=12 atau 2-2x’ +y’ = 12-2x’ + y’ = 10 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 180o adalah 2x - y= -10
2.D. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (-180o) .
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (-180o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :
k
h
ky
hx
y
x
180cos180sin
180sin180cos
'
'
yk
xh
k
h
kyhx
kyhx
y
x
k
h
ky
hx
y
x
2
2
)).(1().(0
).(0)).(1(
'
'
10
01
'
'
Contoh 2.4. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-180o) dengan titik pusat M(1,2)?
• Jawab :
P(3, 5)
P’(-1, -1) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1234567
-2-3-4-5-6
X
Y
M(1,2)
Secara matematis dapat ditentukan sbb :
1
1
2
1
3
2
'
'
2
1
30
02
'
'
2
1
3120
3021
'
'
2
1
3
2
10
01
'
'
2
1
25
13
10
01
'
'
y
x
y
x
xx
xx
y
x
y
x
y
x
Jawab :
Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-180o) dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(-1, -1)
Contoh 2.4.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -180o ?
• Jawab :
'2
'2
2
2
'
'
yk
xh
y
xatau
yk
xh
y
x
Dengan mensubstitusikan x = 2h-x’, y = 2k-y’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:2(2h-x’) – (2k-y’) = 12 atau 2(2.2-x’) – (2.3-y’)= 128 - 2x’- 6 + y’=12 atau 2-2x’ +y’ = 12-2x’ + y’ = 10 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 180o adalah 2x - y = -10
2.E. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (270o)
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (270o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :
k
h
ky
hx
y
x
270cos270sin
270sin270cos
'
'
xkh
khy
k
h
kyhx
kyhx
y
x
k
h
ky
hx
y
x
).(0)).(1(
).(1).(0
'
'
01
10
'
'
Contoh 2.5. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesar (270o) dengan titik pusat M(1,2)?
• Jawab :
P(3, 5)
P’(4, 0)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1234567
-2-3-4-5-6
X
Y
M(1,2)
Secara matematis dapat ditentukan sbb :• Jawab :
0
4
2
1
2
3
'
'
2
1
02
30
'
'
2
1
3021
3120
'
'
2
1
3
2
01
10
'
'
2
1
25
13
01
10
'
'
y
x
y
x
xx
xx
y
x
y
x
y
x
Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (270o) dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(4, 0)
Contoh 2.5.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi 270o ?
• Jawab :
'
'
'
'
xhk
ykh
y
xatau
hkx
khy
y
x
Dengan mensubstitusikan x = h-k-y’, y = k-h-x’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:2(h-k-y’) – (k-h-x’) = 12 atau 2(2-3-y’) – (3-2-x’)= 12-2 – 2y’- 1 + x’=12 atau -3+ x’ - 2y’ = 12x’ - 2y’ = 15 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 270o adalah x - 2y = 15
2.F. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ=(-270o).
• Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut θ= (-270o) maka diperoleh bayangan sbb :
k
h
ky
hx
y
x
270cos270sin
270sin270cos
'
'
hkx
ykh
k
h
kyhx
kyhx
y
x
k
h
ky
hx
y
x
).(0).(1
)).(1().(0
'
'
01
10
'
'
Contoh 2.6. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang diputar sebesaar -270o dengan titik pusat M(2,1)?
• Jawab :
P(5, -3)
P’(6, 4)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1234567
-2-3-4-5-6
X
Y
M(2,1)
Secara matematis dapat ditentukan sbb :
• Jawab :
4
6
1
2
3
4
'
'
1
2
03
40
'
'
1
2
4031
4130
'
'
1
2
4
3
01
10
'
'
1
2
13
25
01
10
'
'
y
x
y
x
xx
xx
y
x
y
x
y
x
Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (-270o) dengan titik pusat M(2,1) adalah P’(6, 4)
Contoh 2.6.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -270o ?
• Jawab :
'
'
'
'
xkh
khy
y
xatau
hkx
ykh
y
x
Dengan mensubstitusikan x = y’+h-k, y = h+k-x’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:2(y’h-k-y’) – (k-h-x’) = 12 atau 2(2-3-y’) – (3-2-x’)= 12-2 – 2y’- 1 + x’=12 atau -3+ x’ - 2y’ = 12x’ - 2y’ = 15 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi -270o adalah x - 2y = 15
Tugas
1. Titik A ( 2, 4 ) diputar sebesar 45 derejat dengan titik pusat M(2,-3). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?
2. Titik B ( -5, 8 ) diputar sebesar (60) derejat dengan titik pusat M(4, -6). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?
3. Titik C ( 8, -9 ) diputar sebesar (135) derejat dengan titik pusat M(-4, -2). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?
4. Tentukanlah bayangan garis 5x – 3y = 10 yang diputar sebesar (-270) derejat dengan titik pusat M(3, 4) ?
5. Tentukanlah bayangan garis y = 2x2 – 4x + 5 yang diputar sebesar (180) derejat dengan titik pusat M(-3, 2) ?