GAME THEORY

Dalam studi teori permaianan ini kita dapat mengembangkan model matematik sederhana, yaitu dengan mempelajari hubungan antara dua independen yang saling bersaing, baik individu maupun lembaga. Analisis ini diturunkan dari karya J. Von Neumann dan O. Morgenstern dalam Theory of Games And Economic Behavior.

Istilah games adalah istilah umum pada situasi konflik antar independen. Ciri dari situasi konflik adalah suatu keberhasilan (keuntungan) dari pihak pertama akan merupakan kegagalan pihak lain. Ciri-ciri penting lain banyak dicontohkan pada konflik-konflik sosial dan bisnis, sehingga bentuk matematik dari games ini umum sifatnya.

Dalam studi teori permainan kita akan mempelajari :(1) two person zero-sum game (2) nonconstant-sum game" atau "nonzero-sum game"

TWO PERSON ZERO-SUM GAMES

Pada kasus two person zero-sum game, kepentingan dua pesaing yang berlawanan.

Contoh, misalnya dua orang sedang berjudi, dimana dianggap masing-masing mempunyai fungsi utilitas yang linier terhadap uang. Oleh karena itu jumlah uang (utilitas) yang diperoleh dari kemenangan judi tesebut merupakan jumlah uang yang dikeluarkan oleh pihak lain karena membayar kekalahannya.

Satu pemecahan penting dalam kasus ini adalah apa yang disebut "minimax solution", artinya meminimumkan kemungkinan kerugian yang maksimum, yang dalam hal ini berarti juga “maximin “ artinya memaksimumkan kemungkinan perolehan(keuntungan) yang minimum .

Keunggulan solusi minimax tersebut merupakan pilihan terbaik bagi pembuat keputusan kalau di pihak lain juga menggunakan solusi yang sama.

Tabel aplikasi berikut, kita gunakan "tabel Payoff" yang menggambarkan profit pihak pertama yang didaftar ke bawah, sedang profit pihak lawan tidak ditulis, hanya strateginya saja yang ditulis pada baris teratas. Meskipun profit pihak kedua tidak ditulis hal ini dapat dimengerti b bahwa profitnya bernilai negatif (rugi) sebesar nilai profit pihak pertama. ahwa profitnya bernilai negatif (rugi) sebesar nilai profit pihak pertama

Kolom paling kanan , merupakan nilai baris yang paling kecil (minimum), sedangkan baris paling bawah merupakan nilai kolom yang paling besar (maksimum)

Solusi minimax berusaha memaksimumkan keuntungan para pemain, yang dalam hal ini boleh jadi meminimumkan kemungkinan kerugian yang maksimum (minimax) atau berarti pula memkasimumkan perolehan yang minimum (maximin).

Setiap strategi pihak pertama oleh pihak kedua pasti diharapkan agar keuntungan yang diperolehnya seminimal mungkin. Oleh karena itu pada kolom paling kanan dipilih nilai-nilai yang paling kecil dari setiap strategi pihak petama (10 dan 7).

Sedangkan setiap strategi pihak kedua sudah barang tentu diharapkan oleh pihak pertama agar kerugiannya semaksimal mungkin, oleh karena itu baris tabel paling bawah muncul angka-angka 10 dan 14.

Ada persaingan antara sebuah perusahaan dengan serikat buruh. Perjanjian kerja antara perusahaan dengan serikat buruh akan berakhir bebarapa waktu lagi. Kontrak baru harus segera dirundingkan sebelum kontrak lama berakhir. Saudara sebagai anggota kelompok manajemen perusahaan ditugasi menentukan strategi yang representatif dalam menghadapi perjanjian kerja yang akan datang. Setelah dipertimbangkan dari pengalaman yang lalu manajemen perusahaan menyetujui strategi-strategi yang layak bagi perusahaan, sbb.:

C1 = bertempur secara mati-matian, keras, berunding secara agresif.

C2 = pemikiran yang matang, pendekatan secara logika. C3 = strategi yang legal (hukum) C4 = persetujuan, pendekatan damai.

Strategi mana yang terbaik bagi perusahaan ?. Hal ini tergantung dari strategi yang digunakan oleh serikat buruh. Akan tetapi kalau serikat buruh juga me-ngusulkan rangkaian strategi seperti berikut, :

U1 = bertempur secara mati-matian, keras, berunding secara agresif.

U2 = pemikiran yang matang, pendekatan secara logika. U3 = strategi yang legal (hukum) U4 = persetujuan, pendekatan damai, maka kita harus

memperhatikan konsekuaensi setiap tindakan mereka.

Unsur-unsur Dasar Teori permainan.

1. Angka-angka dalam matrik pay off, atau biasa disebut matriks permainan, menunjukkan hasil-hasil (pay off) dari strategi permainan yang berbeda-beda.

2. Suatu strategi permainan adalah rangkaian kegiatan atau rencana yang menyeluruh dari seorang pemain, sebagai reaksi atas aksi yang mungkin dilakukan oleh pemain yang lain yang menjadi pesaingnya.

3. Aturan-aturan permainan yang menggambarkan kerangka dengan mana pemain memilih startegi mereka

4. Nilai permainan , adalah hasil yang diperkirakan di permainan atau pay off rata-rata dari sepanjang serangkaian permainan dimana kedua pemain mengikuti atau mempergunakan strategi mereka yang paling baik atau optimal.

5. Strategi dikatakan dominan bila setiap pay off dalam strategi adalah superior terhadap setiap pay off yang berhubungan dalam suatu strategi alternatif.

6. Suatu strategi optimal adalah rangkaian kegiatan, atau rencana yang menyeluruh, yang menyebabkan seorang pemain dalam sisi yang paling menguntungkan tanpa memperhatikan kegitan-kegiatan para pesaingnya.

7. Tujuan dari model permainan adalah mengidentifikasikan strategi atau rencana optimal untuk setia pemain.

St. PSt. B C1 C2 C3 C4

MinimumBaris

U1 +200 +150 +120 +350 +120U2 +250 +140 +80 +100 +80U3 +400 +20 +100 +50 +20U4 -50 +40 +110 0 -50

Maksimum Kolom +400 +150 +120 +350

120120

maksimin

minimak

Untuk memecahkan masalah ini digunakan teknik domi-nasi, yaitu dengan melakukan penghapusan kolom atau baris yang mendominasi atau didominasi satu sama lain sedemikian rupa sehingga tabel menjadi "tabel 2 x 2". Untuk baris yang dido-minasi dihilangkan , untuk kolom yang mendominasi dihilangkan.

Marilah kita ikuti Tabel di atas, baris U4 dihilangkan terlebih dulu karena didominasi oleh U1. Penghapusan kedua adalah terhadap kolom C1 karena mendominasi C2 dan C3. Penghapusan ketiga menghapus U2 karena didominasi U1 yang teakhir menghapus C4 karena mendominasi C2. Dengan empat penghapusan ini terbentuklah tabel 2 x 2. Lihat skema berikut ini.

Teknik Dominasi- untuk baris , Yang didominasi dihapus- untuk kolom, yang mendominasi dihapus

Dari Tabel tersebut jika dievaluasi minimax dan maximinnya masih juga tidak ada keseimbangan, sehingga barulah strategi campuran bisa diterapkan, yaitu mengkombinasi strategi-strategi yang ada dengan probabilitas tertentu. Sebagai catatan jikalau minimax = maximin, maka solusi optimal segera dicapai.

Ditinjau dari pihak Serikat Buruh :Jika U1 memiliki peluang sebesar p,maka U3 mempunyai peluang 1 p. Kemudian peluang U1 dan U3 dicari :150 (p) + 20 (1 p) = 120 (p) + 190 (1 p) 200 p = 170 p = 0,85 atau 85 %

Jadi peluang U1 = 0,85 dan U3 = 0,15 atauPerolehan atau nilai serikat buruh dengan menggunakan strategi campuran dapat dihitung :E(U/C2) = E (U/ C3)150(0,85) + 20(0,15) = 120(0,85) +190(0,15)130,5 = 130,5Jadi nilai permainan buruh sebesar 130,5

Contoh lain:1. Permainan strategi murni.

Sudut pandang Perusahaan A.Strategi A1 B1, dan pay off persh A adalah 1Strategi A2 B3; dan pay off persh A adalah 4Bagi perusahaan A strat yg menguntungkan adlah A2.

PERUSAHAAN B MINIMUMB1 B2 B3 BARIS

A1 1 9 2 1PERUSAHAAN

A2 8 5 4 4 MAKSIMINMAKSIMUM 8 9 4KOLOM MINIMAK 4

4

Sudut pandang Perusahaan B,B memilih B1A akan memilih A2B memilih B2 A akan memilih A2Strategi yg menguntungkan B adalah B2Strategi optimal perusahaan A adalah A2, dan perusahaan B adalah B2

2. Permainan Strategi Campuran.PERUSAHAAN B MINIMUM

B1 B2 B3 BARISA1 2 5 7 2 (maksimin)

PERUSAHAAN A2 -1 2 4 -1A3 6 1 9 1

MAKSIMUM 6 5(minimak) 9KOLOM

PERUSAHAAN B MINIMUMB1 B2 BARIS

A1 2 5 2 (maksimin)A3 6 1 1

MAKSIMUM 6 5(minimak) 2 5KOLOM

• Perusahaan A.Perush A menggunakan strat A1 dg probabilitas p, dengan demikian strat A3 probabilitasnya 1-pSementara Persh B menggunakan B1, maka keuntungan yg diharapkan adalah :2(p) +6(1-p) = 2p +6-6p; = 6 – 4pBila B menggunakan strat B2, maka keuntungan yg diharapkan adalah5 (p) +1 (1-p) = 5p + 1 – 1p; = 1+4pStrat optimal untuk persh A diperoleh dg menyamakan kedua pay off 6-4p = 1+ 4p; 6-1 = 4p + 4p ; 5 = 8pp = 5/8 = 0,625.Jadi sebaiknya perh A mempergunakan strat A1 62,5 % dan strat A3 37,5 %. Sehingga keuntungan yg diharapkan perusahaan A adalah := 0,625 (2) + 0,375(6)= 0,625(5) + 0,375 ( 1)= 3,5

• Perusahaan B. ( pay offf yang diharapkan B)Bila probabalitas B1 adalah q, maka B2 adalah 1-qBila A menggunakan A1, maka kerugian yg diharapkan B adalah :2q + 5(1-q); = 2q + 5 -5q; = 5 – 3qBila A menggunakan A3, maka kerugian yang diharapkan B adalah :6q + 1(1-q); 6q + 1 –q ; 5q +1Strategi Optimal perusahaan B:5 – 3q = 5q +1

5- 1 = 5q + 3q ; 4 =8q; q = 4/8 = ½Ini berarti bahwa B seharusnya menggunakan strat B1 50% dan B2 50%. Keuntungan yang diharapkan perusahaan B adalah := 0,50 (2) + 0,50 (5)= 0,50 ( 6 ) + 0,50 (1)= 3,50