TEORI PENGAMBILAN KEPUTUSAN (DECISION THEORY) DAN TEORI PERMAINAN (GAME THEORY)Sub Pokok Bahasan 2:TEORI PERMAINAN (GAME THEORY)

DR. DJAIMI BAKCE

GAMES THEORYAdalah teori matematik yang mempelajari secara formal sifat-sifat dari situasi kompetisi, terutama proses pengambilan keputusan lawan. Diasumsikan bahwa pengambil keputusan (pemain) bersaing dengan pemain lain yang rasional, pandai dan bertujuan.

DR. DJAIMI BAKCE

Permainan DuaOrang, JumlahNol (TwoPerson, ZeroSum)

Sesuai dengan namanya, permainan ini men-cakup hanya dua pemain (mungkin tentara, tim, perusahaan, dan sebagainya) dan permainan jumlah nol karena pemain menang apabila pamain lainnya kalah, sehingga jumlah kemenangannya adalah nol.

DR. DJAIMI BAKCE

Contoh 1 :Permainan ganjil dan genap.Permainan ini sangat sederhana, kedua pemain diha-ruskan menunjukkan satu atau dua jari secara bersa-maan. Jika jumlah jari yang ditunjukkan kedua pemain sama, maka jumlah jari pemain adalah genap. Dalam hal ini pemain I dianggap memenangkan permainan atau taruhan. Dalam contoh ini misalkan pemain II harus membayar Rp 100,-. Jika jumlah jari yang ditun-jukkan tidak sama, dalam hal ini jumlahnya ganjil, maka pemain II memperoleh Rp 100,- dari pemain I. Jadi dua pemain mempunyai 2 strategi yaitu menun-jukkan 1 jari atau 2 jari.

DR. DJAIMI BAKCE

Tabel Pay-offPermainan Ganjil GenapSecara umum permainan yang dilakukan oleh dua orang ditentukan oleh :Strategi pemain IStrategi pemain IITabel hasil

Tabel 1

DR. DJAIMI BAKCE

Tabel pay-offSebelum permainan dimulai, setiap pemain harus menge-tahui strategi yang berlaku dan tabel pay-off.Strategi merupakan aturan yang telah ditetapkan sebelum-nya yang memberikan ciri lengkap tentang respons yang mungkin dari setiap tahap permainan. Tabel pay-off menunjukkan keuntungan (positif atau negatif) bagi pemain I yang merupakan hasil dari setiap kombinasi strategi kedua pemain. Tabel ini hanya untuk pemain I, sedangkan tabel hasil untuk pemain II adalah negatif dari tabel pemain I sesuai dengan sifat jumlah-nol dari permainan ini.

DR. DJAIMI BAKCE

Contoh 2 :Pay-off keuntungan perusahaanYang perlu diingat adalah setiap keuntungan pemain I adalah kerugian bagi lawannya pemain II dan jumlah keduanya adalah nol.

Tabel 2

DR. DJAIMI BAKCE

PENJELASAN :Tabel 2Jika dua perusahaan A dan B memperebutkan 100% pangsa pasar, maka bagian yang diperoleh A adalah sama besar dengan bagian yang hilang dari B. Karena market share yang diperoleh tidak lebih dari 100%, maka constants sum adalah 100%Jika A memilih strategi 1 dan B memilih x, maka A menang 80% dan B kehilangan pangsa pasar 80%, yang mengha-silkan jumlah nol.Jika A memenangkan 80%, maka B hanya menerima 20%, yang menghasilkan jumlah konstan 100%.

DR. DJAIMI BAKCE

MAXIMIN DAN MINIMAXKriteria untuk menyelesaikan masalah keputusan dalam permainan adalah kriteria yang sangat konservatif yaitu kriteria maximin dan minimax.Prinsip maximin untuk keuntunganPrinsip minimax untuk kerugianMenurut prinsip maximin, pemain I adalah pesimistik, sehingga akan memilih strategi yang memaksimumkan keuntungan dari kemungkinan pay-off yang minimum. Pada waktu yang sama pemain II, berusaha meminimumkan kerugian dari kerugian yang diperkirakan.

DR. DJAIMI BAKCE

Penyelesaian Tabel 2(Maximin dan Minimax)Bagi Pemain I, 40 adalah keuntungan minimum untuk strategi 1, dan 30 adalah keuntungan minimum strategi 2.Karena nilai maksimum dari dua pilihan minimum ini adalah 40, maka strategi 1 dipilih oleh Pemain I.Bagi Pemain II, 80 adalah kerugian maksimum untuk strategi x, kerugian maksimum strategi y adalah 40, dan 75 adalah kerugian maksimum untuk strategi z.Nilai minimum dari kerugian maksimum yang diperoleh Pemain II adalah 40 [minimum (80, 40, 75)], sehingga strategi y merupakan pilihan Pemain II.

DR. DJAIMI BAKCE

Tabel 3Seperti yang terlihat pada tabel 3, dimana nilai minimax sama dengan maximin, maka pure strategy yang bersangkutan me-rupakan strategi optimum, dan permainan dikatakan memiliki saddle point. Karena pada umumnya, nilai permainan harus memenuhi pertidaksamaan :nilai maximin nilai permainan nilai minimax

DR. DJAIMI BAKCE

PERANAN DOMINASILihat contoh 2, terlihat bahwa strategi 1 menghasilkan ke-untungan maksimum bagi Pemain I, tanpa harus memper-hatikan strategi apa yang dipilih Pemain II. Sehingga stra-tegi 1 dikatakan mendominasi strategi 2. Dalam kasus se-perti ini, strategi yang didominasi dapat dibuang dari tabel pay-off karena pemain tidak pernah memilihnya.Untuk Pemain II, strategi x didominasi oleh strategi y karena kerugiannya lebih besar, tanpa melihat pilihan strategi Pemain I. Strategi x juga didominasi oleh strategi z, oleh karena itu strategi x dapat dihilangkan.

DR. DJAIMI BAKCE

Tabel 4Tabel 4, menunjukkan matriks pay-off dengan mengarsir stra-tegi yang didominasi. Pemain I hanya memilih strategi 1, yang berarti Pemain II akan memilih strategi y untuk meminimumkan kerugian menjadi 40 dibanding dengan strategi z sebesar 75.

DR. DJAIMI BAKCE

Kegunaan Konsep DominasiPeranan dominasi sangat berguna untuk matriks payoff ukuran besar.Hukum dominasi dapat diterapkan untuk mengurangi ukuran matriks sebelum analisa terakhir untuk menentukan solusi optimum.Perhatikan contoh pada tabel 5, dimana masing-masing pemain memiliki empat strategi.Pemain I, strategi 1 dan 4 didominasi oleh strategi 2, karena itu dapat dibuang dari matriks payoff.Dengan meneliti baris yang tersisa, yaitu 2 dan 3 terlihat bahwa untuk pemain II, strategi w dan z didominasi oleh y, sehingga kolom tersebut dapat dihapus.

DR. DJAIMI BAKCE

Tabel 5

StrategiPemain IIwxyzPemainI265905570355404575

DR. DJAIMI BAKCE

Hasil Akhir dari Tabel 5Dari matriks pay-off 2 x 2 yang tersisa, terlihat bahwa baris ke 3 didominasi baris 2. Sehingga, matriks pay-off terakhir berisi sebuah strategi untuk pemain I dan dua buah strategi untuk pemain II.Untuk meminimumkan kerugian, pemain II akan memilih y, sehingga solusinya adalah pure strategi 2 bagi pemain I, dan pure strategi y bagi pemain II.

DR. DJAIMI BAKCE

LINEAR PROGRAMMING dan GAMES THEORYLinear programming (LP) dapat diterapkan pada two-person zero-sum games untuk mencari probabilitas yang berhu-bungan dengan mixed strategi.Keuntungan utama LP : dapat diterapkan pada permainan dengan lebih dari dua strategi untuk setiap permainan. Contoh formulasi LP dari suatu permainan : matriks pay-off suatu permainan 2 x 4 (pada tabel 6)

DR. DJAIMI BAKCE

Tabel 6 Probabilitas pemain I memilih strategi 1 dan 2 diberi simbol P1dan P2. Jika pemain II memilih strategi w, maka hasil mixedstrategi yang diharapkan pemain II adalah 80 P1 + 20 P2. Pemain I ingin menggunakan mixed strategi 1 dan 2, sehinggahasil yang diharapkan adalah sama tanpa peduli tindakan pemain II. Tujuan pemain I adalah untuk memilih mixed strategi yang dapat memaksimumkan harapan hasil yang minimum.

DR. DJAIMI BAKCE

Formulasi LP dariTabel 6Nilai permainan dilambangkan V, maka harapan hasil pemain I untuk strategi pemain II yang berbeda dapat ditulis :80 P1 + 20 P2 V, jika pemain II memilih strategi w35 P1 + 70 P2 V, jika pemain II memilih strategi x55 P1 + 40 P2 V, jika pemain II memilih strategi y50 P1 + 60 P2 V, jika pemain II memilih strategi zKarena P1 dan P2 adalah probabilitas pemain I untuk strategi 1 dan 2, maka jumlahnya sama dengan 1 atau P1 + P2 = 1. Dengan membagi semua kendala dengan V, diperoleh bentuk LP yang diinginkan :80 P1 /V + 20 P2 /V 135 P1 /V + 70 P2 /V 155 P1 /V + 40 P2 /V 150 P1 /V + 60 P2 /V 1 P1 /V + P2 /V = 1/V

DR. DJAIMI BAKCE

Lanjutan Formulasi LP Tabel 6Untuk menyederhanakan model, misalnya P1/V = p1 dan P2/V = p2. Tujuan pemain I adalah memaksimumkan V, yang dapat di- capai dengan meminimumkan 1/V. Untuk menyederhanakan, misalkan 1/V = v. Sekarang model LP-nya menjadi :Minimumkan : v = p1 + p2Dengan syarat :80 p1 + 20 p2 135 p1 + 70 p2 155 p1 + 40 p2 150 p1 + 60 p2 1 p1 , p1 0Solusi simplex terhadap model ini menghasilkan solusi optimum p1 = 3/245, p2 = 2/245, sedangkan v = 1/49, jika dikembalikan dalam bentuk aslinya diperoleh : P1 = 0,6 dan P2 = 0,4 sedangkan V = 49

DR. DJAIMI BAKCE

Lanjutan Formulasi LP Tabel 6Formula LP bagi pemain II dilakukan dengan cara serupa. Probabilitas pemilihan strategi w, x, y, dan z adalah Pw, Px, Py dan Pz. Pemain II ingin meminimumkan kerugian mak-simum dalam menghadapi strategi yang dipilih pemain I. Kerugian yang diharapkan bagi pemain II, untuk setiap alter-natif pemain I adalah :80 Pw + 35 Px + 55 Py + 50 Pz20 Pw + 70 Px + 40 Py + 60 PzJika nilai permainan dilambangkan V, tujuan pemain II adalah meminimumkan V sehingga :80 Pw + 35 Px + 55 Py + 50 Pz V20 Pw + 70 Px + 40 Py + 60 Pz V, disamping itu Pw + Px + Py + Pz = 1

DR. DJAIMI BAKCE

Lanjutan Formulasi LP Tabel 6Jika setiap kendala dibagi dengan V, maka diperoleh :80 Pw/V + 35 Px/V + 55 Py/V + 50 Pz/V 1 20 Pw/V + 70 Px/V + 40 Py/V + 60 Pz/V 1 Pw/V + Px/V + Py/V + Pz/V = 1/V Pemain II ingin meminimumkan V atau memaksimumkan 1/V. Dengan membuat variabel baru yang bertujuan untuk menyederhanakan formulasi : Pw/V = pw , Px/V = px , Py/V = py , Pz/V = pz , dan 1/V = v, maka diperoleh formulasi LP bagi pemain II :Maksimumkan : v = pw + px + py + pzDengan kendala : 80 pw + 35 px + 55 py + 50 pz 1 20 pw + 70 px + 40 py + 60 pz 1 pw , px , py , pz 0

DR. DJAIMI BAKCE

Lanjutan Formulasi LP Tabel 6Solusi simplexnya adalah : Px = 3/490, Py = 1/70 dan v = 1/49, sehingga Px = 0,3 , Py = 0,7 , dan V = 49.Pw dan Pz akan memiliki nilai solusi nol, karena itu strategi w dan z tidak akan digunakan oleh pemain II dalam solusi mixed strategi.Yang perlu diperhatikan dalam solusi simplex terhadap masalah permainan adalah bahwa solusi bentuk dual dari formulasi LP pemain I adalah solusi pemain II. Dengan kata lain, formulasi LP bagi pemain II adalah bentuk dual dari formulasi LP pemain I.Jadi, hanya diperlukan formulasi dan menyelesaikan masalah LP satu pemain saja sudah dapat digunakan untuk mengetahui solusi keduanya.

DR. DJAIMI BAKCE

TERIMA KASIH

DR. DJAIMI BAKCE