cepal theory

8/15/2019 Cepal Theory

1/18

Ε π ι μ έ λ ε ι α

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ


2/18

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

1. Τι ονομάζεται πληθυσμός μιας στατιστικς !"ευνας#

Ονομάζεται το σύνολο των αντικειμένων (έμψυχων ή άψυχων) γιατα οποία συλλέγονται στοιχεία.

$. Τι ονομάζεται άτομο ενός πληθυσμο% ενός &ε'(ματος#

Ονομάζεται κάθε στοιχείο του πληθυσμού ή του δείγματο.

). Τι ονομάζεται &ε'(μα ενός πληθυσμο%#

Ονομάζεται ένα μέ!ο (υποσύνολο) του πληθυσμού" που είναιαντιπ!οσωπευτικ# του πληθυσμού και απ# την ε$έταση του οποίου

%γάζουμε συμπε!άσματα για ολ#κλη!ο τον πληθυσμ#.

*. Τι ονομάζεται μ!(εθος ενός πληθυσμο% ενός &ε'(ματοςκαι π+ς συμ,ολ'ζεται#

Ονομάζεται το πλήθο των ατ#μων του και συμ%ολίζεται με το γ!άμμα ν.

-. Τι ονομάζεται μετα,λητ μιας στατιστικς !"ευνας#

Ονομάζεται το χα!ακτη!ιστικ# εν# πληθυσμού" ω π!ο το οποίοαυτ# ε$ετάζεται.

. Σε πόσα ε'&η &ιακ"'νονται οι μετα,λητ!ς μιας !"ευνας#

&ιακ!ίνονται σε δύο είδη' τι ποιοτικέ και τι ποσοτικέμετα%λητέ.

/. 0οιες μετα,λητ!ς ονομάζονται ποιοτικ!ς#

Ονομάζονται οι μετα%λητέ εκείνε που δεν επιδέχονται μέτ!ηση"

πχ. χ!μα ματιν" μ#!ωση" θ!ήσκευμα" κλπ.

. 0οιες μετα,λητ!ς ονομάζονται ποσοτικ!ς#

Ονομάζονται οι μετα%λητέ εκείνε που μπο!ούν να μετ!ηθούν"πχ. ύψο" μισθ#" !ε ε!γασία" τιμή" κλπ.

Συ(κεντ"2τικ 3ε2"'α 2


3/18

4. Σε πόσα ε'&η &ιακ"'νονται οι ποσοτικ!ς μετα,λητ!ς και τι σημα'νει κάθε ε'&ος#

Οι ποσοτικέ μετα%λητέ χω!ίζονται στι διακ!ιτέ και τισυνεχεί μετα%λητέ.

5ιακ"ιτ!ς είναι εκείνε" στι οποίε κάθε άτομο του πληθυσμούμπο!εί να πά!ει μ#νο διακεκ!ιμένε τιμέ" πχ. α!ιθμ# παιδιν"μέ!ε διακοπν" κλπ.

Συνε6ε'ς είναι εκείνε" στι οποίε κάθε άτομο του πληθυσμούμπο!εί να πά!ει οποιαδήποτε π!αγματική τιμή" που ανήκει σεδιάστημα (ή ένωση διαστημάτων) π!αγματικν α!ιθμν" πχ.ύψο" %ά!ο" κλπ.

17. Τι ονομάζεται συ6νότητα της τιμς 89 μιας μετα,λητς :και π+ς συμ,ολ'ζεται#

Ονομάζεται το πλήθο των ατ#μων του πληθυσμού (ή τουδείγματο) για τα οποία η μετα%λητή παί!νει την τιμή *+ καισυμ%ολίζεται με ν9 .

Απλούστερα: ονομάζεται ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές συναντάμε την τιμή x i μέσα στον πληθυσμό ή το δείγμα

11. Τι (ν2"'ζετε (ια το άθ"οισμα τ2ν συ6νοττ2ν τ2ν τιμ+ν 8

μιας μετα,λητς :#,νω!ίζουμε #τι είναι ίσο με το μέγεθο του δείγματο" δηλαδή '

ν1 ; ν$ ; ... ; νκ < ν

1$. Τι ονομάζεται σ6ετικ συ6νότητα = 9 της τιμς 89 μιαςμετα,λητς :#

Ονομάζεται ο λ#γο τη συχν#τητα π!ο το μέγεθο τουδείγματο και συμ%ολίζεται με = 9 . Είναι δηλαδή'

= 9 < ν > 9

1). Τι (ν2"'ζετε (ια το άθ"οισμα τ2ν σ6ετικ+ν συ6νοττ2ν#

= 1 ; = $ ; ... ; = κ < 1

= 1? ; = $? ; ... ; = κ? < 177

@A ΤΑBΗ C0Α.Λ. D Eαθηματικά FΑG 3


4/18

1*. Τι ονομάζεται αθ"οιστικ συ6νότητα της τιμς 89 μιαςμετα,λητς : και π+ς συμ,ολ'ζεται#

Ονομάζεται το άθ!οισμα των συχνοτήτων ν + των τιμν που είναιμικ!#τε!ε ή ίσε με την τιμή αυτή και συμ%ολίζεται με Ν9 .

1-. Τι ονομάζεται σ6ετικ αθ"οιστικ συ6νότητα της τιμς 89μιας μετα,λητς : και π+ς συμ,ολ'ζεται#

Ονομάζεται το άθ!οισμα των σχετικν συχνοτήτων = 9 των τιμνπου είναι μικ!#τε!ε ή ίσε με την τιμή αυτή και συμ%ολίζεται μεH9 .

1. Τι ονομάζεται επικ"ατο%σα τιμ μιας μετα,λητς : και π+ς συμ,ολ'ζεται#

Ονομάζεται η τιμή με τη μεγαλύτε!η συχν#τητα και συμ%ολίζεταιEο. Είναι δυνατ#ν να υπά!χουν πε!ισσ#τε!ε απ# μίαεπικ!ατούσε τιμέ" στην πε!ίπτωση που δύο ή πε!ισσ#τε!ε τιμέέχουν τη μέγιστη συχν#τητα.

1/. Τι ονομάζεται &ιάμεσος ενός &ε'(ματος ν πα"ατη"σε2νκαι π+ς συμ,ολ'ζεται#

&ιάμεσο εν# δείγματο ν πα!ατη!ήσεων που έχουν διαταχθεί σεαύ$ουσα σει!ά ονομάζεται'

- μεσα'α πα!ατή!ηση αν το πλήθο των πα!ατη!ήσεων είναιπε!ιττ#.

ο ημιάθ"οισμα των μεσαίων πα!ατη!ήσεων αν το πλήθο τωνπα!ατη!ήσεων είναι ά!τιο.

/υμ%ολίζεται συνήθω με το γ!άμμα &.

1. Τι ονομάζεται μ!ση τιμ ενός &ε'(ματος ν πα"ατη"σε2νκαι π+ς συμ,ολ'ζεται#

Ονομάζεται το πηλίκο του αθ!οίσματο των πα!ατη!ήσεων π!οτο πλήθο του και συμ%ολίζεται I . &ηλαδή'

ν

8...88

ν

8

I ν$1

ν

199 +++==

∑=



5/18

0ν οι μετα%λητέ είναι τα$ινομημένε σε πίνακα συχνοτήτων με κ διαο!ετικέ τιμέ" τ#τε'

ν

8 > ...8 > 8 >

ν

ν8

I

κκ$$11

κ

1999 +++=

⋅

=∑=

14. Τι ονομάζεται ε%"ος τ2ν τιμ+ν μιας μετα,λητς και π+ςσυμ,ολ'ζεται#

Ονομάζεται η διαο!ά τη μικ!#τε!η τιμή απ# τη μεγαλύτε!ηκαι συμ%ολίζεται συνήθω με το γ!άμμα J .

J < 8KL8 D 8K9M

$7. Τι ονομάζεται &ιακ%μανση μιας μετα,λητς : που πα'"νει ν το πλθος τιμ!ς 89 N 9 < 1N $N ON ν με μ!ση τιμ I και π+ςσυμ,ολ'ζεται#

/υμ%ολίζεται με P$ και είναι το πηλίκο'

ν

G8QIF...G8QIFG8QIF

ν

G8IF

P$

ν

$

$

$

1

$

9

ν

19$ +++=

−

=∑=

0ν οι μετα%λητέ είναι τα$ινομημένε σε πίνακα συχνοτήτων με κ διαο!ετικέ τιμέ" τ#τε'

ν

G8QIF ν...G8QIF νG8QIF ν

ν

G8IF ν

P$

κκ

$

$$

$

11

$

9

ν

199

$ +++=

−

=∑=

$1. Τι ονομάζεται τυπικ απόκλιση μιας μετα,λητς : πουπα'"νει ν το πλθος τιμ!ς 89 N 9 < 1N $N ON ν με μ!ση τιμ Iκαι π+ς συμ,ολ'ζεται#

/υμ%ολίζεται με P και είναι το πηλίκο'

ν

G8QIF...G8QIFG8QIFP

$

>

$

$

$

1 +++=

ή

ν

G8QIF ν...G8QIF νG8QIF νP

$

κκ

$

$$

$

11 +++=

1ιο απλά" η τυπική απ#κλιση είναι η τετ!αγωνική !ίζα τηδιακύμανση'



6/18

P < $P

$$. Τι ονομάζεται συντελεστς μετα,ολς μετα,λητότηταςμιας ποσοτικς μετα,λητς : που πα"ουσιάζει μ!ση τιμ

I και τυπικ απόκλιση P#Ονομάζεται το πηλίκο'

RS < 177?I

P⋅

$). 0ότε !νας πληθυσμός F &ε'(μαG θα ονομάζεται ομοιο(ενς F ομο(ενςG και πότε ό6ι#

2α ονομάζεται ομοιογενή αν 34 5 678 και ανομοιογενή στην

αντίθετη πε!ίπτωση" αν δηλαδή 34 ≥ 678.

Απ! το αντίστοιχο "ι"λίο του #νιαίου $υ%είου συνάγεται ότι:

&α ονομάζεται ομοιογενής αν '( ≤ )*+ %αι ανομοιογενής στην αντίθετη περίπτ,ση- αν δηλαδή '( . )*+

Ο T Ι Α Q Σ U Ν C : C Ι Α



7/18

1. 0ότε θα λ!με ότι υπά"6ει το ό"ιο μιας συνά"τησης =F8G σεκάποιο 8V#

ο #!ιο μια συνά!τηση θα υπά!χει μ#νο αν τα δύο πλευ!ικά#!ια υπά!χουν και είναι ίσα μετα$ύ του. &ηλαδή" αν'

=F8GW9KV88 −→

9 =F8GW9KV88 +→

9 =F8GW9KV88→

/ιαφορετι%ά- δηλαδή αν 01x23i45 x x −→

≠ 01x23i45 x x +→

τότε θα λέμε ότι το

όριο της συνάρτησης δεν υπάρχει

$ 0οιες ε'ναι οι ,ασικ!ς ι&ιότητες τ2ν ο"'2ν#

0ν:**

;+<→ =(*) 9 6 και :**

;+<→ >(*) 9 ? τ#τε'

α.:**

;+<→ @ =(*) ± >(*) A 9 6 ± ?

,.:**

;+<→ @ =(*) B >(*) A 9 6 B ?

(.:**

;+<→ >(*)

=(*) <

?

6

" ε#σον ? ≠ 7

&.:**

;+<→

=(*) < 6

ε. :**;+


8/18

-. 0οιες ε'ναι οι ,ασικ!ς ι&ιότητες τ2ν συνε6+νσυνα"τσε2ν#

0ν οι συνα!τήσει =" >' D → είναι συνεχεί στο *:∈ D" τ#τε'

α. - συνά!τηση E(*) 9 =(*)±

>(*) είναι συνεχή στο *:.,. - συνά!τηση E(*) 9 κB=(*) είναι συνεχή στο *: (με κ ∈).

(. - συνά!τηση E(*) 9 =(*) B >(*) είναι συνεχή στο *:.

&. - συνά!τηση E(*) 9>(*)

=(*) είναι συνεχή στο *: (με >(*) ≠ 7).

ε. - συνά!τηση E(*) 9 =(*) είναι συνεχή στο *:.

στ. - συνά!τηση E(*) 9 κ =(*) είναι συνεχή στο *: (με =(*) ≥ 7).

5 Ι Α X Ο T Ι Κ Ο Σ Λ Ο @ Ι Σ E Ο Σ

1. 0ότε μια συνά"τηση =F8G θα ονομάζεται πα"α(2('σιμη σε

κάποιο 8V του πε&'ου ο"ισμο% της#



9/18

Fια συνά!τηση = λέγεται πα"α(2('σιμη (ή #τι έχει πα!άγωγο)σε ένα σημείο 8V του πεδίου ο!ισμού τη" αν υπά!χει το #!ιο'

Y

G=F8YG=F8W9K VV

ZY

−+→

και είναι π!αγματικ# α!ιθμ#. #τε συμ%ολίζουμε το #!ιο αυτ#= ΄F8VG και το ονομάζουμε πα"ά(2(ο τη = στο *:.

Εναλλακτικά'

Fια συνά!τηση = είναι πα"α(2('σιμη σε ένα σημείο 8V τουπεδίου ο!ισμού τη" αν και μ#νο αν υπά!χουν τα δύο πλευ!ικά#!ια'

Y

G=F8YG=F8W9K VV

QZY

−+

→ και Y

G=F8YG=F8W9K VV

ZY

−+

+→

και είναι ο ίδιο π!αγματικ# α!ιθμ#. &ηλαδή" αν συμ%αίνει'

Y

G=F8YG=F8W9K VV

QZY

−+

→

<Y

G=F8YG=F8W9K VV

ZY

−+

+→

$. 0ότε μια συνά"τηση =F8G θα ονομάζεται πα"α(2('σιμη σε!να &ιάστημα FαN ,G του πε&'ου ο"ισμο% της#

0ν και μ#νο αν είναι πα!αγωγίσιμη σε κάθε σημείο *: που ανήκει

στο στο (α" %).

). Τι ονομάζουμε πα"ά(2(ο συνά"τηση μιας συνά"τησης

=[ FαN ,G και πότε αυτ ο"'ζεται#

1α!άγωγο συνά!τηση ονομάζεται η συνά!τηση = ΄[ FαN ,G και ο!ίζεται μ#νο στην πε!ίπτωση που η =(*) είναι πα!αγωγίσιμησε κάθε *: του (α" %).

*. Τι σ6!ση υπά"6ει μετα\% πα"α(+(ισης και συν!6ειας#

0ν μια συνά!τηση = είναι πα!αγωγίσιμη σε ένα σημείο *: τουπεδίου ο!ισμού τη" τ#τε θα είναι και συνεχή στο σημείο αυτ#.



10/18

6ο αντίστροφο δεν ισχύει- δηλαδή αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο x 5 δε θα είναι απαραίτητα %αι παραγ,γίσιμη σεαυτό

-. 0οιες ε'ναι οι πα"ά(2(οι τ2ν ,ασικ+ν συνα"τσε2ν#

Συνά"τηση =F8G 0α"ά(2(ος = ́F8G

] 7

8 1

8α

α ∈N α ≠ 7N 8 ^ 7

α_8 αD1

8

* G 7 8$

1

8

1

$8

1−

ημ8 συν8

συν8 D ημ8

ε`88συν

1$

σ`88ημ

1$

−

a8 a8

WM8* G 7 8

1

. 0οιοι ε'ναι οι ,ασικο' κανόνες πα"α(+(ισης#

α. ( = H > )΄(*) 9 = ΄(*) H >΄(*)

,. ( = I > )΄(*) 9 = ΄(*) I >΄(*)



11/18

(. ( J B = )΄(*) 9 J B = ΄(*)

&. ( = B > )΄(*) 9 = ΄(*) B >(*) H =(*) B >΄(*)

ε.′

>

= (*) 9(*)>

(*)>=(*)>(*)(*)= ?

′⋅−⋅′

/. 0οιος ε'ναι ο κανόνας πα"α(+(ισης μια σ%νθετηςσυνά"τησης bF=F8GG#

[ ]′bF=F8GG < b΄F=F8GG _ = ΄F8G

#ναλλα%τι%ά- επειδή η σύνθεση δύο συναρτήσε,ν συμ"ολίζεται%αι με διαφορετι%ό τρόπο- μπορούμε να γρά7ουμε:

FbV=G΄F8G < b΄F=F8GG _ = ΄F8G

. 0ότε μια συνά"τηση θα ονομάζεται (νησ'2ς α%\ουσα σε!να &ιάστημα FαN ,G και π+ς συμ,ολ'ζεται#

Fια συνά!τηση θα λέγεται (νησ'2ς α%\ουσα σε ένα διάστημα(α" %)" αν για οποιουσδήποτε δύο α!ιθμού *6" *? που ανήκουν στο(α" %) ισχύει'

81 c 8$ ⇔ =F81G c =F8$G,!άουμε' =

4. 0ότε μια συνά"τηση θα ονομάζεται (νησ'2ς `θ'νουσα σε!να &ιάστημα FαN ,G και π+ς συμ,ολ'ζεται#

Fια συνά!τηση θα λέγεται (νησ'2ς `θ'νουσα σε ένα διάστημα(α" %)" αν για οποιουσδήποτε δύο α!ιθμού *6" *? που ανήκουν στο(α" %) ισχύει'

81 c 8$ ⇔ =F81G ^ =F8$G,!άουμε' =

17. 0ότε μια συνά"τηση θα ονομάζεται (νησ'2ς μονότονη σε!να &ιάστημα FαN ,G#

Cταν είναι γνησίω αύ$ουσα ή γνησίω θίνουσα στο (α" %).

11. Αν =[ μια συνά"τηση πα"α(2('σιμηN τότε ποια ε'ναι η σ6!ση της πα"α(+(ου της =F8G με τη μονοτον'α της#

α. 0ν = ΄F8G ^ 7 για κάθε *∈(α" %)" τ#τε η = είναι (νησ'2ςα%\ουσα στο (α" %).



12/18

,. 0ν = ΄F8G c 7 για κάθε *∈(α" %)" τ#τε η = είναι (νησ'2ς`θ'νουσα στο (α" %).

(. 0ν = ΄F8G < 7 για κάθε *∈(α" %)" τ#τε η = είναι σταθε" στο(α" %).

1$. 0ότε θα λ!με ότι μια συνά"τηση πα"ουσιάζει τοπικόμ!(ιστο σε !να σημε'ο 8V#

Fια συνά!τηση = θα λέμε #τι πα!ουσιάζει τοπικό μ!(ιστο στοσημείο * 9 *: αν υπά!χει ανοιχτ# διάστημα (α" %) που πε!ιέχει το

*:" τέτοιο στε =F8G =F8VG" για κάθε *∈(α" %).

1). 0ότε θα λ!με ότι μια συνά"τηση πα"ουσιάζει τοπικό

ελά6ιστο σε !να σημε'ο 8V#Fια συνά!τηση = θα λέμε #τι πα!ουσιάζει τοπικό ελά6ιστο στοσημείο * 9 *: αν υπά!χει ανοιχτ# διάστημα (α" %) που πε!ιέχει το

*:" τέτοιο στε =F8G ≥ =F8VG" για κάθε *∈(α" %).

1*. 0ότε θα λ!με ότι μια συνά"τηση πα"ουσιάζει τοπικόακ"ότατο σε !να σημε'ο 8V#

Fια συνά!τηση = θα λέμε #τι πα!ουσιάζει τοπικό ακ"ότατο στο*: αν πα!ουσιάζει τοπικ# μέγιστο ή τοπικ# ελάχιστο σε αυτ#.

1-. Σε ποια σημε'α αναζητο%με τα τοπικά ακ"ότατα μιαςσυνά"τησης#

α. /τα άκ!α του πεδίου ο!ισμού τη συνά!τηση =.

,. /τα εσωτε!ικά σημεία του πεδίου ο!ισμού τη = στα οποία δενυπά!χει η πα!άγωγο τη =. α σημεία αυτά καλούνται

(2νιακά .

(. /τα σημεία του πεδίου ο!ισμού τη =" #που η πα!άγωγ# τη

υπά!χει και είναι ίση με μηδέν" δηλαδή λύνουμε την ε$ίσωση= ΄F8G < 7. α σημεία αυτά καλούνται στάσιμα .

1. 0οια σημε'α ονομάζονται κ"'σιμα σημε'α της =#

K!ίσιμα ονομάζονται τα γωνιακά και τα στάσιμα σημεία μαζί.

1/. 5ιατυπ+στε το θε+"ημα του HadKLe.



13/18

0ν η = πα!ουσιάζει τοπικ# ακ!#τατο σε ένα εσωτε!ικ# σημείο *:του πεδίου ο!ισμού τη και είναι πα!αγωγίσιμη στο σημείο αυτ#"τ#τε = ΄F8VG < 7.

1. 5ιατυπ+στε το κ"ιτ"ιο της 1ης

πα"α(+(ου.Lστω συνεχή συνά!τηση =' (α" %) → και *: κ"'σιμο σημείοτη.

α. 0ν = ΄F8G ^ 7 στο FαN 8VG και = ΄F8G c 7 στο F8VN ,G" τ#τε το=(*:) είναι τοπικό μ!(ιστο τη =.

,. 0ν = ΄F8G c 7 στο FαN 8VG και = ΄F8G ^ 7 στο F8VN ,G" τ#τε το=(*:) είναι τοπικό ελά6ιστο τη =.

(. 0ν η = ΄F8G διατη!εί το ίδιο π!#σημο στα διαστήματα (α" *:)

και (*:" %)" τ#τε το =(*:) δεν είναι ούτε τοπικ# μέγιστο" ούτεελάχιστο και η = είναι γνησίω μον#τονη στο (α" %).

14. 5ιατυπ+στε το κ"ιτ"ιο της $ης πα"α(+(ου.

Lστω συνεχή συνά!τηση =' 0 → και *: ένα στάσιμο σημείο τη. 0ν η = είναι δύο ο!έ πα!αγωγίσιμη στο *:" τ#τε'

α. αν = ΄΄F8VG c 7 η συνά!τηση = πα!ουσιάζει τοπικό μ!(ιστοστο *:.

,. αν = ΄΄F8VG ^ 7 η συνά!τηση = πα!ουσιάζει τοπικό ελά6ιστοστο *:.

$7. Τι ονομάζουμε πα"ά(ουσα συνά"τηση μιας συνά"τησης = σε !να &ιάστημα 5#

Ονομάζουμε" αν υπά!χει" μια πα!αγωγίσιμη συνά!τηση M' & → "

τέτοια στε H ΄F8G < =F8G" για κάθε *∈&.

$1. 0όσες πα"ά(ουσες !6ει μια συνά"τηση#

0ν H είναι μία πα!άγουσα τη =' & → " με & διάστημα του"τ#τε οποιαδήποτε άλλη πα!άγουσα τη = θα είναι τη μο!ή H ;]" #που J κάποιο σταθε!# α!ιθμ#.

8ρα- έχει άπειρες παράγουσες που όλες διαφέρουν απλά %ατά ένασταθερό πραγματι%ό αριθμό

$$. 0οιες ε'ναι οι πα"ά(ουσες τ2ν ,ασικ+ν συνα"τσε2ν#

Συνά"τηση =F8G 0α"ά(ουσα HF8G



14/18

7 ]

1 8 ; ]

8 α

α∈" α ≠ I6" * G 7 1α

8 1α

+

+

; ]

8

1" * ≠ 7 WM 8 ; ]

$8

1− " * ≠ 7

8

1; ]

8$

1" * G 7

8

1

" * G 7

8 ; ]

$ 8 ; ]

συν8 ημ8 ; ]

ημ8 D συν8 ; ]

8συν

1$ " * ≠ κπ H

?

π

ε`8 ; ]

8ημ

1$ " * ≠ κπ D σ`8 ; ]

a8 a 8 ; ]

Ο Λ Ο Κ Λ Η T Ω Τ Ι Κ Ο Σ Λ Ο @ Ι Σ E Ο Σ



15/18

1. Τι ονομάζεται ο"ισμ!νο ολοκλ"2μα μιας συνε6ο%ς

συνά"τησης =[ fαN ,g από το α !2ς και το , και π+ςσυμ,ολ'ζεται#

0ν M είναι πα!άγουσα συνά!τηση τη =" τ#τε ο!ισμένο

ολοκλή!ωμα τη συνά!τηση = απ# το α έω το % ονομάζεται ησταθε!ή διαο!ά'

HF,G D HFαG

και το συμ%ολίζουμε ω'

∫ ,

α

=F8Gh8

Επειδή η διαο!ά M(%) I M(α) συμ%ολίζεται και ω [ ],

α HF8G έχουμε

τελικά'

∫ ,

α

=F8Gh8 9 [ ],

α HF8G 9 HF,G D HFαG

$. 0οιες ε'ναι οι σημαντικότε"ες ι&ιότητες του ο"ισμ!νουολοκλη"+ματος#

α. )α%(JN*J%

α

−⋅=∫ " #που J∈.

,. ∫ ∫ −=α

%

%

α

N*)*(= N*)*(=

(. ∫ ∫ ∫ +=%

γ

γ

α

%

α

N*)*(= N*)*(= N*)*(= " #που α 5 γ 5 %.

&. ∫ ∫ ⋅=⋅%

α

%

α

N*)*(= λ N*)*(= λ

ε. ∫ ∫ ∫ +=+%

α

%

α

%

α

N*)*(>N*)*(= N*)A*(>)*(= @

στ. ∫ ∫ ∫ ⋅+⋅=⋅+⋅

%

α

%

α

%

αN*)*(>μN*)*(= λ N*)A*(>μ)*(= λ @

ζ. [ ]%

α

%

α

)*(= N*)*(= =′∫

η. 0ν =(*) ≥ 7" για κάθε *∈@α" %A" τ#τε' ∫ %

α

N*)*(= ≥ 7 .

θ. 0ν =(*) ≥ >(*)" για κάθε *∈@α" %A" τ#τε' ∫ %

α

N*)*(= ≥ ∫ %

α

N*)*(> .

). Να εκ`"άσετε τον κανόνα της πα"α(οντικς κατά πα"ά(οντες ολοκλ"2σης.



16/18

[ ] ∫ ∫ ⋅′−⋅=′⋅,

α

,

α

,

α

h8bF8GF8G= bF8G=F8Gh8F8Gb=F8G

*. 0οια ε'ναι τα ολοκλη"+ματα τ2ν ,ασικ+ν συνα"τσε2ν#

Ολοκλ"2μα Αποτ!λεσμα

∫ ,

α h87 7

∫ ,

α h81 ,α f8g

∫ ,

α ν h88

,

α

1 ν

1 ν8

+

+

∫ ,

α h8

8

1 ,α fWM8g

∫ ,

α

8 h8a ,α 8 gfa

∫ ,

α h8ημ8 ,α συν8gf−

∫

,

α h8συν8

,

α fηημ8

-. 0οια ε'ναι τα ολοκλη"+ματα τ2ν σ%νθετ2ν συνα"τσε2ν#

Ολοκλ"2μα Αποτ!λεσμα

∫ ′,

α h8

=F8G

F8G= [ ],

α =F8GWM



17/18

∫ ′,

α h8

=F8G

F8G= [ ],α =F8G$

∫ ′⋅,

α

=F8G h8F8G= a [ ],α =F8Ga

∫ ′⋅,

α

ν h8F8G= F8G= ,

α

1 ν

1 ν

F8G=

+

+

∫ ′,

α $ h8

F8G=

F8G= ,

α =F8G

1Q

. 0+ς υπολο('ζεται το εμ,α&όν ενός 62"'ου Ω που ο"'ζεται

από τη ("α`ικ πα"άσταση R= μιας συνά"τησης =N τονά\ονα 8A8 και τις κατακό"υ`ες ευθε'ες 8 < αN 8 < ,#

0ν η συνά!τηση είναι ολοκλη!σιμη στο @α" %A τ#τε'

CFΩG < ∫ ,

α

h8=F8G

/. 0+ς υπολο('ζεται το εμ,α&όν ενός 62"'ου Ω που ο"'ζεται από τη ("α`ικ πα"άσταση R= μιας συνά"τησης = και τον

ά\ονα 8A8# 0ν η συνά!τηση είναι ολοκλη!σιμη στο @α" %A και 81" 8$ οι !ίζετη ε$ίσωση =F8G < 7 (δηλαδή" τα σημεία τομή τη 3= και τουά$ονα *O*) τ#τε'

CFΩG < ∫ 8$

81

h8=F8G

. 0+ς υπολο('ζεται το εμ,α&όν ενός 62"'ου Ω που ο"'ζεται από τις ("α`ικ!ς πα"αστάσεις R= και Rb τ2ν συνα"τσε2ν=N b και τις κατακό"υ`ες ευθε'ες 8 < αN 8 < ,#

0ν η συνά!τηση είναι ολοκλη!σιμη στο @α" %A τ#τε'

CFΩG < ∫ ,

α

h8bF8GQ=F8G



18/18

4. 0+ς υπολο('ζεται το εμ,α&όν ενός 62"'ου Ω που ο"'ζεται από τις ("α`ικ!ς πα"αστάσεις R= και Rb τ2ν συνα"τσε2ν=N b#

0ν η συνά!τηση είναι ολοκλη!σιμη στο @α" %A και 81" 8$ οι !ίζε

τη ε$ίσωση =F8G D bF8G < 7 (δηλαδή" τα σημεία τομή των 3= και3>) τ#τε'

CFΩG < ∫ 8$

81

h8bF8GQ=F8G


cepal theory

Documents