BAB IPENDAHULUAN

A. Latar belakang

Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan

perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat

pula disidik kedudukan – kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik

maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Berdasarkan manfaat – manfaat inilah

konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan

ekonomi. Sebagaimana diketahui, analisis dalam bisnis dan ekonomi sangat akrab dengan

masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan tingkat minimum.

Pendekatan kalkulus diferensial amat berguna untuk menyidik bentuk gambar suatu

fungsi non linear. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama (first derivative)

sebuah fungsi, akan dapat dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut. Secara berurutan

seksi-seksi berikut akan membahas hubungan antara fungsi non linear dan derivative

pertamanya, guna mengetahui apakah kurvanya menaik atau kan menurun pada kedudukan

tertentu; hubungan antara fungsi parabolic dan derivativenya, guna mengetahui letak dan

bentuk titik ekstrimnya (maksimum atau minimum) serta hubungan antara fungsi kubik dan

derivativenya guna mengetahui letak dan bentuk titik ekstrim serta letak titik beloknya. Akan

tetapi sebelum semua itu, marilah kita perhatikan hubungan secara umum antara sebuah

fungsi dan fungsi-fungsi turunannya.

Berdasarkan kaidah deferensi, dapat disimpulkan bahwa turunan dari suatu fungsi

berderajat “n” adalah sebuah fungsi berderajat “n-1”. Dengan perkataan lain, turunan dari

fungsi berderajat 3 adalah sebuah fungsi berderajat 2, turunan dari fungsi berderajat 2 adalah

sebuah fungsi berderajat 1, turunan dari fungsi berderajat 1 adalah sebuah fungsi berderajat 0

alias sebuah konstanta, dan akhirnya turunan dari sebuah konstanta adalah

1

BAB IIPEMBAHASAN

Pengertian Diferensial

Darivatif atau turunan dydx

tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau pecahan

dengan dy sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan sebagai lambang yang

menyertakan limit dari Δ yΔ x

, sewaktu ∆ x mendekati nilai nol sebagai limit. Akan tetapi untuk

dapat memahami masalah – masalah tertentu kadang – kadang bermanfaat juga untuk

menafsirkan dx dan dy secara terpisah. Dalam hubungan ini dx menyatakan diferensial x dan

dy diferensial y. pengertian diferensial berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada

kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam variabel gayut yang berkaitan

dengan perubahan – perubahan kecil dalam variabel bebas.

Jika f َ (x) merupakan derivative dari fungsi f(x) untuk nilai x tertentu dan ∆ x

merupakan kenaikan dalam x, maka diferensial dari f(x), yang dalam hal ini ditulis f(x),

terdefinisikan oleh persamaan.

df (x) = f َ (x) . dydx

∆ x

Jika f(x) = x, maka f َ (x) = 1, dan dx = ∆ x. Jadi jika x merupakan variabel bebas, maka

diferensial dx dari x sama dengan ∆ x.

Jika y = f(x), maka

dy = f َ (x) dx = dydx

dx

Jadi diferensial suatu variabel gayut sama dengan hasil kali turunannya dengan diferensial

variabel bebas.

a. Menyelesaikan Fungsi Homogeni, Fungsi Poduksi dan Fungnsi cob –douglas

1. Fungsi Homogen

f(x, y) disebut fungsi homogen berpangkat n jika memenuhi f(kx, ky) = kn f(x, y) dengan

k adalah konstanta.

Contoh :

2

1. f(x, y) = x + 3y

f(kx, ky) = kx + 3ky

= k(x + 3y), fungsi homogen pangkat 1

2. f(x, y) = ey/x + tan (y/x)

f(kx, ky) = eky/kx + tan (ky/kx)

= k0 (ey/x + tan (y/x)), fungsi homogen pangkat 0

3. f(x, y) = x2 + 2xy + y2

f(kx, ky) = (kx)2 + 2 kx ky + (ky)2

= k2 (x2 + 2xy + y2), , fungsi homogen pangkat n

4. F(x, y) = 5x – 7y + 13

bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) kn(5x – 7y + 13)

5. F(x,y) = 4x3 + 3y3 – 6xy,

bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) kn(4x3 + 3y3 – 6xy)

6. F(x,y) = x2 + 5y – 6x2y,

bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) kn(x2 + 5y – 6x2y)

Bentuk umum PD Homogen adalah M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. Jika M(x, y) dan

N(x, y) maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam x dan y atau

PD tersebut dapat diubah menjadi bentuk M(y/x) dx + N(y/x) dy = 0 atau M(x/y) dx + N(x/y)

dy = 0.

Jika PD sudah diubah menjadi M(y/x) dx + N(y/x) dy = 0, maka untuk menentukan

solusi PD tersebut,

ambil u =

yx y = ux

3

dy = u dx + x du

M(u) dx + N(u) dy (u dx + x du) = 0

(M(u) + u N(u)) dx + x N(u) du = 0

1x

dx + du N (u)

M (u )+u N (u)= 0

Sehingga solusinya : dx + du = C, dengan u = ∫ 1x

dx+∫ N (u)M (u )+u N (u)

du=c , denganuyx

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

1. (x2 – xy + y2) dx – xy dy = 0

Penyelesaian :

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

ambil M(x, y) = x2 – xy + y2

M(kx, ky) = (kx)2 – kx ky + (ky)2

= k2(x2 – xy + y2)

N(x, y) = xy

N(kx, ky) = kx ky

= k2(xy)

(x2 – xy + y2) dx – xy dy = 0 adalah PD homogen

(x2 – xy + y2) dx – xy dy = 0, bagi dengan x2, diperoleh

(1 –yx

+( yx

)2 ) dx – yx

dy = 0 … (i)

misal : y = ux

dy = u dx + x du

substitusi ke pers (i)

(1 – u + u2) dx – u (u dx + x du) = 0

4

dx – u dx + u2 dx – u2 dx – ux du = 0

(1 – u) dx – ux du = 0 [bagi dengan x(1 – u)]

1x dx –

uu−1du = 0

∫ 1x dx ∫–

uu−1du = c1

ln x – ∫–u−1+1

u−1 du = c1

ln x – ∫–u−11−u

du – ∫–1

1−udu = c1

ln x + u + ln (1 – u) = ln C, dengan ln C = c1

substitusi kembali u =yx

, sehingga

ln x + yx

+ ln (1 – yx

) = ln C

2. Fugsi Produksi

Untuk mengetahui suatu output atau produk (baik itu barang atau jasa ) dalam jumlah

tertentu, seorang pengusaha atau perusahaan bisa menggunakan dua atau lebih input. Input-

input ini dapat berupa tenaga kerja, modal, tanah, bahan baku, mesin dan lain sebagainya.

Hubungan antara output dan yang dihasilkan oleh perusahaan sebagai akibat adanya input-

input (tetap atau variabel) yang sering sdisebut Fungsi Produksi, dengan demikian fungsi

produksi dari suatu perusahaan adalah persamaan atau tabel atau grafik yang menunjukkan

output maksimum yang dapat di hasilkan oleh perusahaan dengan menggunakan berbagai

kombinasi berbagai input pada suatu periode waktu tertentu. Funsi produksi ini dapat

dituliskan dalam bentuk matematis secara umum adalah sebagai berikut

Q = F ( X1, X2, . . . Xn )

Dimana

Q = Jumlah output

5

( X1, X2, . . . Xn ) = jumlah input dari 1, 2, ..n

Untuk menyederhadakan persamaan diatas dapat di asumsikan bahwa suatu perusahaan

hanya dapat memproduksi satu output dengan menggunakan dua input. Yaitu : tenaga kerja

dan modal maka funsi produksinya adalah

Q = F ( K, L)

Dimana

Q = jumlah output

K = jumlah tenaga kerja

L = Jumlah modal

Contoh :

Di ketahui fungsi produksi Q=10 K 0,5 L 0,5 B = 100 , pL =5,pK=15

Tentukan Q maksimum

Cara SubstitusiQ  = 10 K 0,5 L 0,5

MPL  = 5 L -0,5 K 0,5  =5.K0,5 /L0,5

MPK =  5 K -0,5 L 0,5  =5.L0,5 /K0,5

Syarat Untuk Q maksimum :

MPL /MPK  = PL/PK

5.K 0,5/L 0,5  :  5.K 0,5/L 0,5    = 5/15

K/L = 1/3

3K  = L

Substitusikan pada persamaan garis anggaran

100=5L + 15K

100=5(3K)+15K

100=30K

K = 3,33 dibulatkan 3,0

L = 9,99 dibulatkan 10.

6

3. Fungsi Produksi Cobb-Douglas

Sebelum melakukan pengukuran produktivitas pada semua sistem, terlebih dahulu

harus dirumuskan secara jelas output apa saja yang diharapkan dari sistem itu dan sumber

daya (input) apa saja yang akan digunakan dalam proses sistem tersebut untuk

menghasilkan output.

Salah satu model pengukuran produktivitas yang sering digunakan adalah pengukuran

berdasarkan pendekatan fungsi produksi Cobb-Douglas, yaitu suatu fungsi atau persamaan

yang melibatkan dua variabel atau lebih, variabel yang satu disebut variabel independent (Y)

dan yang lain disebut variabel dependent (X).

Cobb-Douglas itu sendiri merupakan bentuk fungsional dari fungsi produksi secara

luas digunakan untuk mewakili hubungan output untuk input. Hal ini diusulkan oleh Knut

Wicksell (1851-1926)

        Kelebihan dari fungsi produksi Cobb-Douglas:

1. Bentuk fungsi produksi Cobb-Douglas bersifat sederhana  dan mudah penerapannya.

2. Fungsi produksi Cobb-Douglas mampu menggambarkan keadaan skala hasil (return

to scale), apakah sedang meningkat, tetap atau menurun.

3. Koefisien-koefisien fungsi produksi Cobb-Douglas secara langsung menggambarkan

elastisitas produksi dari setiap input yang digunakan dan dipertimbangkan untuk

dikaji dalam fungsi produksi Cobb-Douglas itu.

4. Koefisien intersep dari fungsi produksi Cobb-Douglas merupakan indeks efisiensi

produksi yang secara langsung menggambarkan efisiensi penggunaan input dalam

menghasilkan output dari sistem produksi yang dikaji .

         Kekurangan dari fungsi produksi Cobb-Douglas:

1. Spesifikasi variabel yang keliru akan menghasilkan elastisitas produksi yang negatif

atau nilainya terlalu besar atau terlalu kecil.

2. Kesalahan pengukuran variabel ini terletak pada validitas data, apakah data yang

dipakai sudah benar, terlalu ekstrim ke atas atau sebaliknya. Kesalahan pengukuran

ini akan menyebabkan besaran elastisitas menjadi terlalu tinggi atau terlalu rendah.

7

3. Dalam praktek, faktor manajemen merupakan faktor yang juga penting untuk

meningkatkan produksi, tetapi variabel ini kadang-kadang terlalu sulit diukur dan

dipakai dalam variabel independent dalam pendugaan fungsi produksi Cobb-Douglas.

Rumus fungsi produksi

Y = AL α K β

Keterangan :

   Y  = total produksi (nilai moneter semua barang yang diproduksi dalam   setahun)

  L = tenaga kerja input

    K = modal input

    A = produktivitas faktor tota

Bentuk umum fungsi produksi Cobb-Douglas adalah:

Q = δ.I α

                                              

          Keterangan:

      Q = Output

I = Jenis input yang digunakan dalam proses produksi dan dipertimbangkan untukdikaji

δ = indeks efisiensi penggunaan input dalam menghasilkanoutput 

α = elastisitas produksi dari input yang digunakan

Berdasarkan persamaan fungsi produksi Cobb-Douglas, terdapat tiga situasi yang

mungkin dalam tingkat pengembalian terhadap skala .

1.    Jika kenaikan yang proporsional dalam semua input sama dengan kenaikan yang

proporsional dalam output (εp = 1), maka tingkat pengembalian terhadap skala konstan

(constant returns to scale).

8

2.    Jika kenaikan yang proporsional dalam output kemungkinan lebih besar daripada

kenaikan dalam input (εp > 1), maka tingkat pengembalian terhadap skala meningkat

(increasing returns to scale).

3.    Jika kenaikan output lebih kecil dari proporsi kenaikan input (εp < 1), maka tingkat

pengembalian terhadap skala menurun (decreasing returns to scale)

Contoh jika diketahui fungsi produksi ( q ) = 10 l 0,5 k 0,5fungsi biaya produksi : 2000 = 4 l + 8 k

Carilah

berapa out put maksimal

berapa jumlah tenaga kerja dan kapital untuk mencapai output maksimal tersebut

berapa biaya minimal untuk mencapai out maksimal tersebut

jawab

Q = 10 L 0,5 K 0,5 TC : 2000 = 4 L + 8 K

MRTSLK =MP L

w=

MP K

r =5 L−0,5 K 0,5

4 =5 L−0,5 K 0,5

8

40 L -0,5 K 0,5 = 20 L 0,5 K -0,5 ( x L 0,5 ) : 40 K 0,5 = 20 L K -0,5

40 K 0,5 = 20 L K -0,5 ( x K 0,5 ) : 40 K = 20 L

: L = 2 K

2000 = 4 ( 2 K ) + 8 K 2000 = 16 K K = 125

L = (2) 125 L = 250

Q = 10 (250) 0,5 (125) 0,5 = 1.767,8 OUPUT MAK

untuk mencapai output maksimal (1.767,8) maka jumlah tenaga kerja yang digunakan

sebanyak 250 dan jumlah kapital yang digunakan sebesar 125

b. Menyelesaikan masalah turunan parsial, deferensial parsial dan total

1. Turunan parsial

9

Misalkan z = f(x,y) fungsi 2 variabel yg terdefinisi disekitar titik (x,y). Turunan

parsial dari f terhadap x adalah turunan z terhdp x dimana hanya variabel x saja yg

diasumsikan berubah, dan y tetap konstan. Mengukur kecepatan perubahan z terhadap x

sementara y konstan.

Turunan parsial z = f(x,y) terhdp x ditulis

didefinisikan sebagai

Turunan parsial z = f(x,y) terhdp y ditulis

Didefinisikan sebagai

Contoh

= adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x dengan memperlakukan y sebagai suatu

tetapan, yang disebut turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x

= adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x dengan memperlakukan y sebagai suatu

tetapan, yang disebut turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y

2. Diferensial Parsial

10

∂∂ x

z= ∂∂ x

f ( x , y )= f x (x , y )

∂∂ x

f ( x , y )=f x( x , y )= limh→0

( f ( x+h , y )−f ( x , y )h )

∂∂ y

z= ∂∂ y

f (x , y )=f y( x , y )

∂∂ y

f ( x , y )=f y (x , y )= limk→0

( f ( x , y+k )−f (x , y )k )

z=g( x , y )=x2+ y2 maka ∂∂ x

z=2 x .

Lengkapnya:

∂∂ x

g (x , y )=limh →0

(g( x+h , y )−g ( x , y )h )=lim

h →0([ (x+h)2+ y2 ]−[ x2+ y 2 ]h )

=limh→0

(2xh+h2

h )=limh→0

(2 x+h )=2 x .

∂ f∂ x

∂ f∂ y

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat

suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang

mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel

bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. PDP digunakan

untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi

yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran

suara dan panas, elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum

segala macam proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan

waktu. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki formulasi

matematika yang mirip satu sama

Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah

di mana u suatu fungsi tak diketahui dari x dan y. Hubungan ini mengisyaratkan bahwa nilai-

nilai u(x,y) adalah tidak bergantung dari x. Oleh karena itu solusi umum dari persamaan ini

adalah

di mana f adalah suatu fungsi sembarang dari variabel y. Analogi dari persamaan diferensial

biasa untuk persamaan ini adalah

yang memiliki solusi

di mana c bernilai konstan (tidak bergantung dari nilai x). Kedua contoh di atas

menggambarkan bahwa solusi umum dari persamaan diferensial biasa melibatkan suatu

kostanta sembarang, akan tetapi solusi dari persamaan diferensial parsial melibatkan suatu

fungsi sembarang. Sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial secara umum tidak unik;

kondisi tambahan harus disertakan lebih lanjut pada syarat batas dari daerah di mana solusi

11

didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas, fungsi dapat

ditentukan jika dispesifikasikan pada sebuah garis .

Contoh : Fungsi produksi suatu barang dinyatakan dengan P = 2X2 Y3. Bentuklah fungsi

produksi marjinal utnuk masing-masing factor produksi. Berapa produk marjinal

tersebut jika digunakan 6 unit X dan 12 unit Y ?

Jawab :

P = 2X2 Y3

MPx = Px = ∂ P = 4X Y3

∂ x

MPy = Py = ∂ P = 6X2Y2

∂ y

Jika X = 6 dan Y = 12

MPx = 4X Y3 = 4(6) (12)3 = 41.472

MPy = 6X2Y2 = 6(6)2(12)2 = 2.592

3. Diferensial total

Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y,

maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-

turut dinotasikan dengan

∂ z∂ x

=∂ F (x , y )

∂ x ------------- (1) dan

∂ z∂ y

=∂ F ( x , y )

∂ y ------------- (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

dz=∂ F ( x , y )

∂ xdx

dan dz=

∂ F ( x , y )∂ y

dy

12

Jumlah diferensialnya diperoleh:

dz =

∂ F ( x , y )∂ x

dx+

∂ F ( x , y )∂ y

dy

Bentuk di atas disebut diferensial total.

Contoh.

1. Jika r = √ x2+ y2 dengan x = panjang sisi yang pendek, y = panjang sisi yang panjang

Differensial total

dr =

∂ r∂ x

dx+ ∂ r∂ y

dy

dimana dr ¿ Δr , dx ¿ Δx , dx¿ Δy

didapat

Δr=

∂ r∂ x

Δx+ ∂r∂ y

Δy

=

2 x

2√x2+ y2Δx+ 2 y

2√x2+ y2Δy

=

15

√152+202 ( 58 )+20

√152+202 (− 516 )

=

1525

58−20

255

16

=

18 cm

2. Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya 15 cm dan tingginya 20

cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan tingginya berkurang 1

cm/det. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder.

Jawab.

Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka

13

I = πr2 h

I = I(r,h)

Diketahui r = 15 cm, h = 20,

ΔrΔt

=0,5 cm /det,

ΔhΔt

=−1cm /det

Dengan definisi turunan total

I = I(r,h) dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh

dIdt

=∂ I∂r

drdt

+ ∂ I∂h

dhdt

= 2

π rhdrdt

+πr2 dhdt

c. Menerapkan Hitungan differensial parsial dalam ilmu ekonomi

Penerapan penggunaan turunan parsial matematika pada kehidupan sehari-hari sangat

banyak. Hampir semua bidang ada. Namun pada saat ini saya akan menjelaskan penggunaan

turunan parsial dalam bidang ekonomi.

            Pada bidang ekonomi fungsi turunan dipakai untuk mencari biaya marjinal, yaitu

dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total. Bisa ditulis biaya marjinal = biaya

total’. Para matematikawan mengenal biaya marjinal  sebagai dc/dx, turunan C terhadap x.

dengan demikian dapat didefinisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal

sebagai dR/dX, dan keuntungan marjinal sebagai dp/dx.

Berikut contoh soalnya

            sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x2 dengan jumlah

persatuan x=1000. tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?

Penyelasaian

biaya rata-rata = C(x)/x

= 3200+3,25x-0,0003x2 / X

= 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)2 / 1000

14

= 6150 / 1000 = 6,15

Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150

biaya marjinal = dc/dx

= 3,25-0,0006x

= 3,25-0.0006 (1000)

= 2,65

maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 Pada x=1000

            Dari hasil di atas, dapat dikatakan bahwa dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi

1000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang  setelah barang

yang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650 untuk membuat 1000 barang yang sama.

BAB III

PENUTUP

A.Kesimpulan

Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan perubahan

kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Derivasi adalah hasil yang diperoleh

dari proses diferensiasi.

Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan

(pendapatan nasional) dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsi dan

ditabung. Jika pendapatan dilambang dengan Y, sedangkan konsumsi dan tabungan masing –

masing dilambangkan dengan C dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan: Y = C + S

Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan tabungan akan semakin besar

pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang, konsumsi dan tabungan pun akan berkurang

pula, sehingga : DY = ¶C + ¶S à diferensial

S = S (Y,i), dimana S adalah tabungan (savings). Y adalah pendapatan nasional

(national income), dan i adalah suku bunga (interes rate).

15

Demikian juga jika perubahan dalam i, di kita dapat ( δSδi )di sebagai aproksimasi

untuk menentukan perubahan S yang dihasilkan. Jadi perubahan total dalam S diaproksimsi

dengan diferensial

dS=( ∂ S∂Y )dY +( ∂ S

∂ i )di

DAFTAR PUSTAKA

Chiang, Alpha C., Dasar-dasar matematika ekonomi, jilid 1,, edisi ke 3, Penerbit

Erlangga, Jakarta, 2006

Dumairy, Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi edisi kedua, BPFE,

Yogyakarta, 2003/2004

Noer, Ahmad, Matematika Ekonomi Edisi 2003/2004, BPEF, Yogyakarta, 2002

Sunaryo, Matematika ekonomi dan Bisnis, Fakultas Ekonomi Universitas Brawijaya,

malang, 2006

http://books.google.co.id/books?id=_atldTGGzNQC&printsec=frontcover

16