pendugaan model fungsi produksi cobb-douglas …secure site...

i

PENDUGAAN MODEL FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS

MAKALAH

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

YULIANA ROSSI YURIKE SARI

NIM : 093114003

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2015

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

ESTIMATION COBB-DOUGLAS PRODUCTION FUNCTION MODEL

A PAPER

Presented As Partial Fulfillment of the Requirements

To Obtain the Bachelor of Mathematics Study Program

Written by :

YULIANA ROSSI YURIKE SARI

Student ID : 093114003

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTEMENT

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2015


iii


iv


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini adalah tugu peringatan akan kesetiaan Tuhan dalam hidupku

“Sebab tujuh kali orang benar jatuh, namun ia bangun kembali.

Jika engkau tawar hati pada masa kesesakan kecillah kekuatanmu.”

(Amsal 24:10)

“Karna kita tidak berjuang sendiri,

kita berjuang bersama orang-orang yang juga berjuang

bersama kita.”

(Matemacinta 2009)

Karya ini aku persembahkan untuk :

Keluarga terkasih dan Matemacinta 2009


vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis

ini tidak memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 15 Juli 2015

Penulis

Yuliana Rossi Yurike Sari


vii

ABSTRAK

Yuliana Rossi Yurike Sari. 2015. Pendugaan Model Fungsi

Produksi Cobb-Douglas. Makalah. Program Studi Matematika,

Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas

Sanata Dharma, Yogyakarta.

Dalam dunia ekonomi fungsi produksi Cobb-Douglas mewakili

hubungan antara output dan input. Pendugaan fungsi produksi Cobb

Douglas dibutuhkan oleh suatu perusahaan agar dapat merencanakan hasil

produksi dengan baik. Pendugaan fungsi produksi Cobb Douglas bertujuan

untuk menduga banyaknya output fisik yang dapat diproduksi oleh suatu

perusahaan tertentu dalam selang waktu tertentu, dengan input banyaknya

karyawan yang bekerja dan modal yang di investasikan dalam proses

produksi.

Fungsi produksi Cobb Douglas bersifat nonlinear terhadap

parameter dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut

Dengan

: Banyaknya output fisik pada selang waktu tertentu.

: Banyaknya karyawan yang mengerjakan pada selang

waktu tertentu.

: Banyaknya modal yang dikeluarkan pada selang waktu

tertentu.

: Parameter yang berubah dari waktu ke waktu.

: Galat random yang mungkin terjadi, mewakili faktor

musim, kerusakan mesin yang tidak bisa diprediksi, kinerja

karyawan, dan masih banyak lagi.

: Parameter yang berlaku untuk semua perusahaan dalam

sampel.

Fungsi produksi Cobb-Douglas dapat diubah dalam bentuk linear

terhadap parameter dengan menggunakan tranformasi logaritma, yang

dapat dinyatakan dalam persamaan berikut

dengan , ,

dan , maka

parameter dapat diduga menggunakan Metode Kuadrat

Terkecil.


viii

ABSTRACT

Yuliana Rossi Yurike Sari. 2015. Estimation Cobb-Douglas

Production Function Model. A Paper. Mathematics Study Program,

Departemen of Mathematics, Faculty of Science and Technology,

Sanata Dharma University, Yogyakarta.

In economics, the Cobb-Douglas production functions model was widely

used to represent the relationship between output and inputs. The

Estimation of Cobb-Douglas production function was needed by a firm to

contribute an excellent product. The Estimation of Cobb-Douglas

production function was to estimate the physical output in a spesific time

which its input were the number of labours and investment capital.

Cobb-Douglas production function was non-linear to its parameter

in :

Where

: the numbers of physical output in a specific range of time

: the numbers of labor in a specific range of time

: the numbers of Input capital in a specific range of time

: parameter varies from firm to firm.

: Random disturbance representing factors such as weather,

un-predictable variations in machine or labor performance,

and so on.

: parameters were assumed common to all firms in the

sample.

Cobb-Douglas production function could be transform in to linear

form using logarithm transformation such as :

where , ,

and , so, the parameter

was estimated by using Ordinary Least Square


ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu

memberikan hikmat dan menyertai penulis hingga penulis mampu menyelesaikan

makalah ini dengan lancar dan baik. Makalah ini dimaksudkan untuk memenuhi

salah satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan Strata 1 (S1) dan memperoleh

gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika di Universitas Sanata

Dharma Yogyakarta.

Penulis menyadari bahwa proses makalah ini melibatkan banyak pihak.

Ole karena itu pada kesempatan ini penulis sudah selayaknya mengucapkan

terimakasih kepada :

1. Y.G. Hartono, M.Sc., Ph.D., selaku Dosen Pembimbing Akademik dan

Ketua Program Studi.

2. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing

Akademik tahun 2009-2013.

3. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing yang telah

membimbing dengan sabar dan memberikan masukan dan koreksi yang

sangat bermanfaat selama proses penyusunan makalah ini.

4. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan

ilmu yang berguna kepada penulis.


x

5. Keluarga terkasih, Bapak Petrus Deddy Supardianto, Ibu Mariana Sri

Amini, Richardo Surya Pratama, Odelo Ryou Gunawan, yang telah

memberikan cinta, doa, dukungan dan motivasi.

6. Teman-teman matematika 2009 : Yohana Buragoran, Faida Fitria Fatma,

Maria Etik Damayanti, Yohanes Dimas Nugrahanto Wibowo, Sekar Ayu

Anggraito, Fransiska Dwi Handryani, Dimas Adi Setiawan, Erlika Priyati,

atas kebersamaan, keceriaan, cinta, doa dan dukungan.

7. Sahabat terkasih Diljerti Panggalo, Crescentia Yuni Wahyu dan Stefanus

Denny Hariyanto atas kebersamaan dan dukungan.

8. Semua pihak yang telah mendukung, yang tidak dapat penulis sebutkan

satu persatu.

Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan makalah

ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi

menyempurnakan makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini

dapat bermanfaat bagi para pembaca.

Yogyakarta, 15 Juli 2015

Penulis


xi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan dibawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata

Dharma :

Nama : Yuliana Rossi Yurike Sari

NIM : 093114003

Memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma, karya ilmiah saya

yang berjudul :

Pendugaan Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas

beserta perangkat-perangkat yang diperlukan (bila ada) demi pengembangan ilmu

pengetahuan. Dengan demikian, saya memberikan kepada Universitas Sanata

Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelola

dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan

mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis

tanpa perlu minta ijin dari saya maupun memberi royalti kepada saya selama tetap

mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal : 5 Agustus 2015

Yang menyatakan

(Yuliana Rossi Yurike Sari)


xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... v

HALAMAN KEASLIAN KARYA ................................................................. vi

ABSTRAK ...................................................................................................... vii

ABSTRACT .................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR .................................................................................... ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI .......................... xi

DAFTAR ISI ................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah ...................................................................... 1

B. Perumusan Masalah ............................................................................ 5

C. Pembatasan Masalah ........................................................................... 5

D. Tujuan Penulisan ................................................................................. 6

E. Manfaat Penulisan ............................................................................... 6

F. Metode Penulisan ................................................................................ 6


xiii

G. Sistematika Penulisan ......................................................................... 6

BAB II LANDASAN TEORI ......................................................................... 8

A. Variansi dan Kovariansi Variabel Acak .............................................. 8

B. Analisis Regresi .................................................................................. 15

1. Linearitas dalam Variabel ............................................................. 15

2. Linearitas dalam Parameter ........................................................... 16

C. Pendugaan Model dengan Metode Kuadrat Terkecil .......................... 18

1. Metode Kuadrat Terkecil .............................................................. 18

2. Sifat-sifat Penduga Metode Kuadrat Terkecil untuk Regresi

Linear Berganda ............................................................................ 25

D. Metode Regresi Linear Intrinsik ......................................................... 27

1. Model Regresi Linear Intrinsik ..................................................... 27

2. Penduga Model Regresi Linear ..................................................... 30

E. Koefisien Determinasi ................................................................ 31

F. Asumsi-asumsi dalam Regresi ............................................................ 35

1. Multikolinearitas ........................................................................... 35

2. Heterokedastisitas ......................................................................... 39

3. Autokorelasi .................................................................................. 42

BAB III MODEL FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS ....................... 50

A. Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas ............................................... 50

B. Pendugaan Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas ............................ 56


xiv

BAB IV APLIKASI ........................................................................................ 65

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .......................................................... 75

A. Kesimpulan ......................................................................................... 75

B. Saran .................................................................................................... 76

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 78

LAMPIRAN .................................................................................................... 80


BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Manusia pada dasarnya adalah mahluk yang konsumtif. Hal itu

dapat dilihat dari cara manusia memenuhi kebutuhannya, yang tidak hanya

memprioritaskan kebutuhan primer, tetapi juga berusaha memenuhi

kebutuhan sekunder dan tersier. Beberapa barang yang mungkin termasuk

kebutuhan tersier pada beberapa tahun lalu, sudah menjadi prioritas primer

atau sekunder pada masa kini. Salah satu contohnya adalah handphone.

Kebutuhan konsumen yang meningkat dikarenakan pertumbuhan

ekonomi, politik maupun budaya dan masih banyak lagi faktor yang

mungkin terjadi di lingkungan masyarakat. Dalam budaya masyarakat,

banyak orang yang dengan mudah membelanjakan uangnya berdasarkan

keinginan atau promosi iklan semata. Hal ini sangat menguntungkan dan

membuka peluang bagi para penyedia barang dan jasa untuk tidak hanya

memenuhi kebutuhan manusia tetapi juga mencari keuntungan.

Karenanya, banyak perusahaan berlomba menawarkan beragam kebutuhan

konsumen dengan harga terjangkau dan kualitas yang baik. Keadaan ini

memaksa para produsen untuk berfikir keras tentang barang yang harus

diproduksi dan faktor-faktor yang mempengaruhi proses produksi itu

sendiri.


2

Secara umum, produksi didefinisikan sebagai proses kombinasi

dan koordinasi faktor-faktor produksi (input) dalam pembuatan suatu

barang atau jasa (output/produk) (Beattie,dkk;1994).

Proses produksi adalah setiap kegiatan manusia untuk membuat

atau menciptakan barang dan atau meningkatkan daya guna atau manfaat

dari barang tertentu (Asri,dkk;1986). Dalam sebuah proses produksi, ada

beberapa faktor produksi meliputi biaya bahan mentah, jumlah bahan

mentah yang masuk, macam-macam bahan mentah yang dibutuhkan, biaya

proses pengerjaan termasuk pembayaran karyawan, jumlah karyawan yang

mengerjakan, jumlah alat yang digunakan, jumlah barang yang berhasil

diproduksi dan keuntungan yang akhirnya dapat diambil.

Fungsi produksi dapat didefinisikan sebagai relasi antara keluaran

fisik (output) dan masukan fisik (input) atau faktor-faktor produksi.

Menurut Beattie dalam bukunya yang berjudul The Economics of

Production, fungsi produksi adalah sebuah deskripsi matematis atau

kuantitatif dari berbagai macam kemungkinan produksi teknis yang

dihadapi oleh suatu perusahaan.

Menurut Griffin setidaknya ada 20 macam model fungsi produksi,

yang salah satunya adalah fungsi produksi Cobb-Douglas:

,

Dengan keterangan sebagai berikut:

: Total produksi, atau dapat disimbolkan dengan P(L,K),

: Banyaknya karyawan yang mengerjakan,


3

: Nilai modal yang dikeluarkan,

: Faktor Produksi yang lain,

, dan adalah parameter yang dapat bervariasi dari waktu ke

waktu atau dari perusahaan ke perusahaan.

Permasalahan biaya produksi dan besarnya keuntungan merupakan

bagian penting dalam sebuah bisnis. Analisa dan optimalisasi bahan baku

yang terkait dengan biaya produksi harus dilakukan dengan cermat.

Keberhasilan optimalisasi bahan baku dalam sebuah produksi akan

menghemat biaya produksi dan meningkatkan keuntungan yang diperoleh.

Dapat disimpulkan bahwa permasalahan jumlah produk yang dihasilkan

serta pemaksimalan produksi pada jenis produk yang memberikan

keuntungan, sangat berpengaruh pada besarnya keuntungan yang

diperoleh.

Tujuan utama kegiatan produksi dalam perusahaan adalah

memaksimalkan proses penciptaan atau penambahan nilai. Secara

sederhana nilai yang berhasil diciptakan atau ditambah melalui proses

produksi akan mengalami perubahan nilai antara nilai masukan (input) dan

nilai akhir (output). Dalam melakukan kegiatan produksi itu, setidak-

tidaknya dalam jangka panjang, perusahaan harus memperoleh

keuntungan. Oleh karena itu, diperlukan fungsi produksi supaya dengan

fungsi produksi itu perusahaan dapat merencanakan hasil produksi dengan

baik.


4


hubungan antara output dan input. Fungsi produksi pertama kali diusulkan

oleh Knut Wicksell (1851 - 1926) dan diuji secara statistika oleh Charles

Cobb dan Paul Douglas pada tahun 1928. Charles Cobb dan Paul Douglas

memodelkan pertumbuhan ekonomi Amerika pada tahun 1899 – 1922

dengan menggunakan pandangan sederhana dari ekonomi di mana hasil

produksi ditentukan oleh banyaknya tenaga kerja yang terlibat dan

besarnya modal yang diinvestasikan. Meskipun ada banyak faktor lain

yang mempengaruhi kinerja ekonomi, model mereka terbukti sangat

akurat.

Menurut Zellner et al, (1966) fungsi produksi Cobb-Douglas dibagi

menjadi dua model:

a. Model tradisional, dengan menetapkan asumsi dimana berdasarkan

pada keuntungan minimum deterministik.

b. Model statistika, dengan model Cobb-Douglas tradisional


:Total produksi perusahaan ke-i, dengan f adalah selang

waktu tertentu,

:Banyaknya karyawan yang mengerjakan,

:Nilai modal yang dikeluarkan,

: Faktor produksi yang lain,


5

: Galat, yang mewakili faktor-faktor musim, variansi kinerja

mesin dan pekerjaan manusia yang tidak dapat diprediksi,

dan lain-lain.



Tulisan ini bertujuan untuk menduga parameter , dan dalam

fungsi produksi Cobb-Douglas stokastik dengan pendekatan statistika.

B. Perumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini akan

dirumuskan sebagai berikut:

1. Apakah yang dimaksud dengan fungsi produksi Cobb-Douglas dan

bagaimana landasan teorinya?

2. Bagaimana menduga model fungsi produksi Cobb-Douglas dan

penerapannya pada sistem produksi?

C. Pembatasan Masalah

Penulisan hanya membahas seputar pendugaan model fungsi

produksi Cobb-Douglas stokastik dengan metode kuadrat terkecil, tidak

termasuk penyajian hipotesis. Model Cobb-Douglas yang dimaksud

bersifat linear intrinsik.


6

D. Tujuan Penulisan

Menduga parameter , dan dengan menggunakan metode

kuadrat terkecil biasa.

E. Manfaat Penulisan

Dengan mempelajari topik ini, dapat lebih dipahami

pengaplikasian fungsi Cobb-Douglas dalam fungsi produksi.

F. Metode Penulisan

Penulisan menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan

mempelajari buku dan jurnal yang berkaitan dengan sistem produksi dan

fungsi produksi Cobb-Douglas.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Perumusan Masalah

C. Pembatasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan


7

BAB II LANDASAN TEORI

A. Variansi dan Kovariansi Variabel Acak

B. Analisis Regresi

C. Pendugaan Model dengan Metode Kuadrat Terkecil

D. Metode Regresi Linear Intrinsik

E. Koefisien Determinasi

F. Asumsi-asumsi dalam Regresi

BAB III MODEL FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS

A. Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas

B. Pendugaan Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas

BAB IV APLIKASI

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

B. Saran


BAB II

LANDASAN TEORI

A. Variansi dan Kovariansi Variabel Acak

Pada Subbab ini akan dibahas konsep-konsep statistika yang akan

digunakan untuk analisis regresi.

Definisi 2.1 (Definisi Probabilitas Variabel Random Diskrit)

Probabilitas Y bernilai y, P(Y = y) didefinisikan sebagai jumlahan

probabilitas dari semua titik sampel di S yang bernilai y, dapat ditulis

P(Y = y) sebagai p(y).

Definisi 2.2

Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas

p(y). Maka nilai harapan dari Y, E(Y) didefinisikan menjadi

∑

Teorema 2.3

Untuk setiap distribusi probabilitas diskrit:

1.

2. ∑ , dengan asumsi seluruh nilai y memiliki probabilitas tak

nol.


9

Teorema 2.4

Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(y)

dan g(Y) adalah fungsi bilangan real dari Y. Maka nilai harapan dari g(Y)

adalah

∑

Bukti:

Teorema ini akan dibuktikan dengan cara mengambil variabel acak

Y berhingga dengan nilai . Karena g(y) mungkin bukanlah

fungsi satu-satu, andaikan g(Y) bernilai

(dengan m ≤ n). Mengikuti Definisi 2.1 variabel acak g(Y) untuk setiap

i=1,2, ... ,m dapat ditulis

∑

( )

Maka, dengan menggunakan Definisi 2.2 persamaan dapat ditulis menjadi

∑

∑

, ∑

( )

-

∑ ∑ ( )

( )

∑ ( ) ( )


10

Teorema 2.5


dan c adalah konstanta. Maka .

Bukti :

Mengikuti fungsi karena Teorema 2.4

∑

∑

Karena ∑ (Teorema 2.3) maka .

Teorema 2.6

Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas

p(y), g(Y) adalah fungsi dari Y, dan c adalah konstanta. Maka

.

Bukti dengan menggunakan Teorema 2.4

∑

∑

Teorema 2.7


dan adalah k fungsi dari Y. Maka

Bukti dengan menggunakan Teorema 2.4


11

∑

∑

∑

∑

Definisi 2.8

Misal adalah fungsi variabel random diskrit ,

, memiliki fungsi probabilitas bersama maka

nilai harapan dari adalah

∑

∑∑

Jika adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas

bersama , maka

∫

∫ ∫

Teorema 2.9

Misal g adalah fungsi variabel acak dan c adalah

bilangan konsta. maka

.

Bukti dengan menggunakan Definisi 2.8

∑∑

∑


12

Teorema 2.10

Misal adalah variabel acak dan

adalah fungsi dari . Maka

Bukti :

∑( )

∑

∑

∑

Definisi 2.11

Jika adalah variabel random dengan rata-rata , maka

variansi dari variabel random adalah

Standar deviasi dari adalah akar kuadrat dari .

Definisi 2.12

Jika adalah variabel random dengan rata-rata ,

maka covariansi dari adalah

) = E


13

Teorema 2.13

Jika adalah variabel random dengan rata-rata ,

maka

) =

Bukti:

) = E

= E(

Dengan menggunakan Teorema 2.9 dan Teorema 2.10 didapat persamaan

) =

Karena = dan = maka

) =

=

=

Teorema 2.14

Misal dan adalah variabel acak diskrit

dengan dan ( ) didefinisikan

∑ dan ∑

untuk setiap konstanta dan . Maka:

a. ∑

b. ∑

∑∑ ,

Dimana ∑∑ adalah semua pasangan (i,j) dengan i<j.

c. ∑ ∑

Bukti:


14

Teorema terdiri atas tiga bagian, dimana (a) secara langsung

mengikuti Teorema 2.9 dan Teorema 2.10 . untuk membuktikan (b), kita

menggunakan Definisi 2.11

∑ ∑

∑

∑

∑ ∑ ( )

Dengan menggunakan definisi variansi dan kovariansi didapat

persamaan

∑

∑ ∑ ( )

Karena = , maka

∑

∑∑ ( )

Bukti untuk (c) akan di tunjukkan dengan cara serupa.

)= E { }

= { ∑ ∑

(∑

∑

)}

= E { ∑ [∑

]}

= E [∑ ∑

]

= ∑ ∑ [ ( )]

= ∑ ∑


15

Dari bukti di atas dapat disimpulkan bahwa = , ini

berarti (b) adalah kasus khusus dari (c).

B. Analisis Regresi

Analisis Regresi mempelajari hubungan variabel tak bebas dengan

satu atau lebih variabel lain yang disebut variabel penjelas (explanatory

variables), dengan maksud menduga atau meramalkan nilai rata-rata

hitung (mean) atau rata-rata (populasi) variabel tak bebas, dipandang dari

segi nilai yang diketahui atau tetap (dalam pengambilan sampel berulang)

variabel penjelas.

Model Regresi Linear

1. Linearitas dalam Variabel

Suatu fungsi dikatakan linear dalam bila tampak

hanya dengan pangkat 1 (jadi, faktor seperti , √ , dan sebagainya

tidak termasuk, demikian pula jika perkalian atau pembagian dengan

variabel lain seperti, atau ⁄ , dimana adalah variabel lain, tidak

termasuk fungsi linear) dengan contoh model seperti berikut:


16

2. Linearitas dalam Parameter

Suatu fungsi dikatakan linear dalam parameter bila nampak

hanya dengan pangkat 1 dan tidak dikalikan atau dibagi dengan

parameter lain (misalnya, ,

⁄ dan seterusnya).

Definisi 2.15

Model linear secara statistik merelasikan respon acak dengan

himpunan variabel bebas dalam bentuk persamaan

Dengan adalah parameter yang tidak diketahui, adalah

variabel acak ( juga biasa disebut error atau galat) dan variabel

diasumsikan nilai yang diketahui. Dengan asumsi bahwa

E( )=0, maka

Mempertimbangkan bentuk persamaan dari model linear di atas,

nilai Y diharapkan sama dengan nilai

(fungsi dari variabel bebas ), ditambah galat acak . Dapat

diambil kesimpulan, menyatakan ketidakmampuan untuk menetapkan

model tepat secara alami. Dalam percobaan yang diulang, Y berubah-ubah

di sekitar E(Y) secara acak karena kegagalan memasukkan banyak variabel

yang mungkin mempengaruhi Y ke dalam model.


17

Dari Definisi 2.15 diketahui model linear

Bila dilakukan n pengamatan, pada Y, maka persamaan untuk

dapat ditulis sebagai berikut

(2.1)

adalah pengamatan ke-i dari variabel bebas ke-j, i = 1, 2, ... , n dan

j = 1, 2, ... , k.

Model dapat ditulis dengan notasi matriks dengan .

*

+

*

+

[

] *

+

Dengan demikian, model (2.1) dapat ditulis dengan notasi matriks sebagai

berikut

. (2.2)

Model regresi linear yang melibatkan lebih dari satu variabel bebas

disebut model regresi linear berganda.


18

C. Pendugaan Model dengan Metode Kuadrat Terkecil

1. Metode Kuadrat Terkecil

Prosedur untuk menduga parmeter dari model linear sederhana

dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dapat diilustrasikan

secara sederhana dengan garis lurus yang seharusnya melewati

himpunan titik- titik data. Misalkan dengan model

dipetakan menjadi himpunan titik data yang ditunjukkan oleh

Gambar 2.1. (Variabel bebas x bisa saja atau

⁄ atau , dan

juga untuk setiap variabel bebas w yang lain.) Dengan demikian di

dalilkan bahwa

dengan yang di dalamnya memiliki distribusi probabilitas dan

E( )=0. Jika dan adalah penduga dari parameter , maka

jelas

adalah penduga dari E(Y).

Gambar 2.1

Prosedur metode kuadrat terkecil untuk garis yang melewati

himpunan n titik data adalah serupa dengan metode membuat garis

yang cocok dengan tebaran titik-titik. Itulah sebabnya, diharapkan


19

secara umum, selisih antara nilai yang diamati dan titik yang

bersesuaian pada garis akan “kecil”. Cara yang cocok untuk

menyelesaikan masalah ini adalah dengan meminimumkan jumlah

kuadrat dari selisih vertikal atau galat (lihat selisih yang

ditandai oleh garis vertikal pada Gambar 2.1). Idealnya garis lurus

mendekati himpunan titik-titik data.

Dengan demikian

(2.3)

dapat diduga dengan

(2.4)

adalah nilai prediksi y ke i (pada x = ). Maka selisih (galat) dari

nilai pengamatan adalah selisih dan jumlah kuadrat dari

galat yang diminimumkan adalah

∑

∑

(2.5)

Dengan mensubtitusikan persamaan (2.4) didapatkan persamaan

berikut

∑

∑

(2.6)

Tujuan metode kuadrat terkecil adalah menentukan penduga

dari yaitu dan sehingga meminimumkan jumlah

kuadrat galat yang diduga dengan .

Dengan mnggunakan proses pendiferensialan

∑

,∑ ( )

-

(2.7)


20

(∑

∑

)

∑

∑

∑ ∑

(2.8)

Dan

∑

∑

(2.9)

∑

{∑

}

(2.10)

(∑

∑

∑

)

∑

∑

∑

∑ ∑

∑

(2.11)

Dengan mensubtitusikan persamaan (2.9), didapatkan

∑

∑

∑

∑

( )∑

∑

∑

(

∑

∑

)∑

∑

Setelah disederhanakan didapatkan penyelesaian


21

∑

∑

Bila ∑ disimbolkan dengan Sxy dan

∑ disimbolkan dengan Sxx, maka

. (2.12)

Dalam menduga , untuk model regresi linear

berganda, mengikuti persamaan (2.2) maka dapat ditulis notasi

matriksnya sebagai berikut:

*

+ *

+ [

] *

+

Dengan menggunakan persamaan (2.2) diketahui bahwa

∑

Sehingga

∑

∑( ∑

)

Dengan meminimalkan nilai ∑

terhadap , ... . Misal

adalah penduga kuadrat terkecil. Penduga kuadrat terkecil tersebut harus

memenuhi

∑

∑ ( ∑

)

(2.13)

dan


22

∑

∑ ( ∑

)

(2.14)

Penyederhanaan persamaan (2.13) dan (2.14) dan mensubstitusikan

Sebagai solusi, menghasilkan

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

(2.15)

Persamaan (2.15) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut

[

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

]

[

]

[

∑

∑

∑

]

Ini berarti

Dengan

[

], [

]

[

]

, dan [

]


23

Ditemukanlah penyelesaian untuk mencari

. (2.16)

.Contoh 2.1

Berdasarkan data berikut, akan ditentukan penduga dan

dengan model

Solusi

[ ]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[ ]

[

]

Langkah mencari :

(

|

) (

|

⁄

)


24

(

|

⁄

⁄

)

(

|

⁄

⁄

⁄

⁄

)

(

|

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

)

Dan didapatkan

[

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

]

Sehingga didapatkan

[

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

] [

]

[

⁄

⁄

⁄ ]

[

]

= , = dan = , sehingga penduga modelnya

adalah


25

2. Sifat-sifat Penduga Metode Kuadrat Terkecil untuk Regresi

Linear Berganda

Dalam notasi matriks, variansi dan kovariansi menjadi elemen-

elemen dalam matriks Var-Cov.

Definisi 2.16

Matriks variansi-kovariansi dari dapat ditulis sebagai berikut

( ) ,[ ][ ] -

Ekivalen

( )

[

]

Asumsikan variabel random bebas dengan E( =0

dan Var( = dan asumsikan pula selisih variabel random y dan

, k = 1, 2, ..., n

berdistribusi disekitar nol dengan variansi tidak bergantung pada x.

Perhatikan bahwa Var (y) = Var ( ) = bersifat konstan.

1. E ( ) = , i = 1, 2, ..., k.

Dengan mensubtitusikan persamaan (2.2) dan (2.16) kita

mendapatkan persamaan baru, yaitu :


26

(2.17)

(2.18)

Dengan menggunakan Teorema 2.7 dan persamaan (2.17)

didapat persamaan seperti berikut

( ) (2.19)

( ) (2.20)

2. Var ( ) = , adalah elemen diagonal dari

matriks .

Dengan menggunakan definisi 2.17 dan mensubtitusi

persamaan (2.18) didapat persamaan baru

( ) ,[ ][ ] -

{ }

Karena , maka

(2.21)


27

3. Cov ( = , adalah elemen di baris i dan kolom j

dari matriks , yang telah dibuktikan pada sifat nomer

dua.

4. Penduga tak bias dari adalah ∑

dengan

∑

. n adalah ukuran sampel dan k

adalah banyaknya variabel.

Dengan menguraikan persamaan (2.14) dan (2.15) didapatkan

Sehingga penduga untuk adalah

∑

D. Metode Regresi Linear Intrinsik

1. Model Regresi Linear Intrinsik

Model regresi nonlinear membutuhkan transformasi linear

untuk berubah menjadi model linear, karena ketika metode kuadrat

terkecil diaplikasikan pada model regresi linear, persamaan normal

nonlinear yang dihasilkan sering kali sulit untuk di selesaikan dengan

menggunakan pendugaan meminimumkan jumlahan galat kuadrat

secara langsung dengan prosedur iterasi. Karenanya, kesimpulan teori


28

normal yang digunakan pada model regresi linear tidak dapat

diaplikasikan dengan tepat pada model regresi nonlinear.

Namun, seringkali hanya nilai harapan yang diperhatikan

ketika akan dilakukan tranformasi. Sebagai contoh, perhatikan model

berikut

(2.22)

Pada model (2.22), faktor galat muncul dalam bentuk

penjumlahan sehingga transformasi logaritma tidak akan menghasilkan

model regresi linear. Karena nilai harapannya adalah

, nilai harapan tersebut dapat dengan mudah

dilinearkan dengan cara membuat logaritma dari fungsi tersebut

Jadi fungsi tersebut dapat ditulis ulang menjadi model regresi linear

dengan tetap mempertahankan , sebagai berikut

(2.23)

Dengan dan digunakan regresi linear untuk

menduga parameter dan dalam persamaan yang baru.

Secara umum, penduga metode kuadrat terkecil dari parameter

persamaan (2.23) tidak akan ekivalen dengan penduga parameter

nonlinear pada model asli (persamaan (2.22)). Karena model nonlinear

kuadrat terkecil yang asli mengimplikasikan minimalisasi jumlah


29

kuadrat galat pada , dimana pada model yang ditransformasi kita

meminimalkan jumlah kuadrat galat pada logaritma dari .

Perhatikan pada model nonlinear asli pada persamaan (2.22)

mempunyai struktur galat yang bersifat penjumlahan, sehingga

logaritma dari persamaan (2.22) tidak menghasilkan persamaan (2.23).

Namun, jika struktur galat bersifat perkalian maka

(2.24)

dan mengambil langkah ini tepat karena

(2.25)

Jika galat yang baru adalah berdistribusi normal dengan

variansi konstan, maka prosedur standar penarikan kesimpulan model

regresi linear dapat diaplikasikan. Suatu model regresi nonlinear yang

dapat ditransformasikan menjadi model regresi linear yang ekivalen

disebut linear intrinsik.

Beberapa model terlihat nonlinear dalam parameter tetapi yang

sebenarnya adalah linear intrinsik karena dengan transformasi yang

cocok, model regresi dapat diubah ke dalam bentuk linear terhadap

parameter. Tetapi jika model tidak dapat dilinearisasikan terhadap

parameter maka model disebut model regresi intrinsik nonlinear.


30

2. Pendugaan Model Regresi Linear

Pendugaan model regresi linear menggunakan Metode Kuadrat

Terkecil, seperti yang telah dibahas dalam subbab sebelumnya.

Fungsi produksi Cobb Douglas merupakan salah satu contoh

model linear intrinsik, dengan bentuk persamaan

Perhatikan bahwa model tersebut tidak linear dalam parameter tetapi

model tersebut dapat dirubah dalam persamaan linear dengan

transformasi

Yang dapat juga ditulis

Dengan ,

= , = ,

= . Sehingga

model linear dalam parameter.

Dalam menduga , untuk model regresi linear

berganda, mengikuti persamaan (2.2) maka dapat ditulis notasi

matriksnya sebagai berikut:

*

+ *

+ *

+ [

]

Dengan menggunakan persamaan (2.2) diketahui bahwa

dan ∑

.


31

Dengan demikian penyelesaian kuadrat terkecil untuk

adalah yang dapat diperoleh melalui tahap pendiferensialkan

terhadap , dan menyamakan dengan nol. Sehingga ditemukanlah

penyelesaian untuk mencari , seperti persamaan (2.16).

.

E. Koefisien Determinasi

Koefisien determinasi ( ) adalah koefisien yang menjelaskan

besarnya presentase variansi Y yang dapat dijelaskan dengan model.

Koefisien determinasi dapat digunakan untuk menjelaskan kebaikan

model. Diberikan diagram Venn untuk memberikan gambaran mengenai

konsep koefisien determinasi.

Gambar 2.2

Pada diagram venn di atas, lingkaran Y mewakili variansi dalam

variabel bebas Y dan lingkaran X mewakili variansi dalam variabel

penjelas X. Irisan menunjukan bagian variansi yang dapat dijelaskan. Pada

diagram Venn (a) adalah kondisi awal variansi. Diagram Venn (b)


32

menunjukan adanya irisan antara kedua lingkaran X dan Y tersebut. Hal ini

menunjukan bahwa sebagian variansi dari Y dapat dijelaskan oleh variansi

X. Semakin besar irisan yang ditunjukan pada diagram Venn (c), (d), (e)

semakin besar pula variansi Y yang dijelaskan oleh variansi X. Ketika

lingkaran Y dan lingkaran X itu berhimpit seperti tampak pada diagram

Venn (f), hal ini menunjukan bahwa 100 persen dari variansi Y dapat

dijelaskan oleh variansi X. semata-mata merupakan ukuran dari irisan

antara variansi Y dan variansi X. Pada gambar diagram Venn menunjukan

bahwa irisan antara variansi Y dan variansi X meningkat, ini berarti

meningkat pula proporsi variansi Y yang dapat dijelaskan oleh X. Ketika

lingkaran Y dan lingkaran X berhimpit, dapat dikatakan bahwa nilai

, karena 100 persen dari variansi Y dapat dijelaskan oleh X.

Sebaliknya, ketika lingkaran Y dan lingkaran X tidak berhimpit dan tidak

beririsan, dapat dikatakan , artinya variansi Y tidak dapat dijelaskan

oleh X.

Dengan demikian, untuk menghitung dapat menggunakan

persamaan (2.3) dan (2.4) sehingga dapat ditulis

(2.26)

Sebelumnya, akan ditunjukkan bahwa ∑ dan diberikan

bahwa ,

∑ ∑

∑


33

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

(2.27)

Diketahui bahwa

(2.28)

Selanjutnya dengan model

(2.29)

didapatkan persamaan baru melalui cara mengurangkan persamaan (2.29)

dan (2.28)

Sehingga dapat diduga dengan

Dengan mengkuadratkan dan menjumlahkan persamaan (2.26), maka

didapatkan persamaan sebagai berikut

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑


34

∑( ) ∑ ∑

∑

∑ (2.30)

Berbagai jumlah kuadrat yang muncul dalam persamaan (2.30)

dapat digambarkan sebagai berikut:

1. ∑ ∑ yang disebut sebagai jumlah kuadrat total (TSS)

2. ∑

yang disebut sebagai jumlah kuadrat dari regresi atau jumlah

kuadrat yang dapat dijelaskan oleh regresi (ESS) dan

3. ∑ yang disebut jumlah kuadrat galat (RSS)

Dengan kata lain, persamaaan (2.30) dapat ditulis ulang menjadi

TSS = ESS + RSS (2.31)

Definisi 2.17

Koefisien determinasi didefinisikan sebagai:

(2.32)

Dalam kasus dua variabel,

∑

∑

Dalam kasus tiga variabel,

∑ ∑

∑

Dengan menggeneralisasikan, kita mendapatkan untuk kasus k-variabel

∑ ∑ ∑

∑


35

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑ ∑ ∑

Dalam notasi matriks dapat ditulis menjadi

F. Asumsi-asumsi dalam Regresi

1. Multikolinearitas

Istilah multikolinearitas mula-mula ditemukan oleh Ragnar

Frisch. Multikolinearitas berarti adanya hubungan linear yang

sempurna atau pasti, diantara beberapa atau semua variabel yang

menjelaskan dari model regresi. Untuk regresi k-variabel, meliputi

variabel yang menjelaskan (dengan =1 untuk semua

pengamatan untuk memungkinkan adanya unsur intersep), suatu

hubungan linear yang pasti dikatakan ada apabila kondisi berikut

dipenuhi:

(2.33)

Dengan adalah konstanta sedemikian rupa

sehingga tidak semuanya secara simultan sama dengan nol.


36

Tetapi, untuk saat ini istilah multikolinearitas digunakan dalam

pengertian yang lebih luas untuk memasukkan kasus multikolinearitas

sempurna, seperti yang ditunjukkan oleh persamaan (2.33) maupun

kasus di mana variabel X berkolerasi tetapi tidak secara sempurna,

sebagai berikut

(2.34)

dengan adalah kesalahan unsur stokastik.

Perbedaan multikolinearitas sempurna dan kurang sempurna

bisa dilihat dalam contoh berikut, asumsikan bahwa , maka

persamaan (2.33) dapat ditulis menjadi

(2.35)

yang menunjukan bagaimana berhubungan linear dengan variabel

lain atau bagaimana dapat diperoleh dari kombinasi linear variabel

yang lain. Dalam keadaan ini, keefisien korelasi antara variabel

dan kombinasi linear di sisi kanan dari persamaan (2.35) akan menjadi

sama dengan satu.

Serupa dengan persamaan (2.35) , jika , maka


(2.36)

yang menunjukan bahwa tidak merupakan kombinasi linear yang

pasti dari lainnya karena juga ditentukan oleh unsur kesalahan

stokastik .


37

Sebagai contoh, perhatikan data hipotetis berikut ini:

10 50 52

15 75 75

18 90 97

24 120 129

30 150 152

Jelas bahwa . Ini berarti terdapat kolinearitas

sempurna antara dan karena koefisien . Variabel

diciptakan dari dengan hanya menambahkan bilangan random 2, 0,

7, 9, 2. Sekarang tidak ada lagi multikolinearitas sempurna antara

dan .

Model regresi mengasumsikan tidak adanya multikolinearitas

diantara variabel X, karena jika multikolinearitas dalam arti persamaan

(2.33), koefisien regresi variabel persamaan (2.34) tidak tertentu dan

kesalahannya tidak terhingga, dan jika multikolinearitas tidak

sempurna seperti dalam persamaan (2.34) , koefisien regresi meskipun

dapat ditentukan memiliki kesalahan standar yang besar (dibandingkan

dengan koefisien itu sendiri), yang berarti koefisien tidak dapat diduga

dengan ketepatan yang tinggi.

Ada beberapa metode untuk mendeteksi adanya

multikolinearitas. Diantaranya:


38

1. Kolinearitas seringkali diduga ketika tinggi dan ketika

korelasi derajat nol juga tinggi, tetapi tidak satu pun atau sangat

sedikit koefisien regresi parsial yang secara individual penting

secara statistik atas dasar pengujian t yang konvesional. Jika

tinggi, ini akan berarti bahwa uji F dari prosedur analisis

varians dalam sebagian kasus akan menolak hipotesis nol

bahwa nilai koefisien kemiringan parsial secara simultan

adalah nol, meskipun uji t sebaliknya.

2. Korelasi derajat nol yang tinggi merupakan kondisi yang cukup

tetapi tidak perlu adanya kolinearitas karena hal ini dapat

terjadi meskipun melalui korelasi derajat nol atau sederhana

relatif rendah.

3. Menghitung Variance Inflation Factor (VIF) pada model

regresi. VIF menunjukan bagaimana varian dari penduga

meningkat karena kehadiran multikolinearitas.

Berikut langkah-langkahnya:

a. Lakukan regresi dengan yang lain dan hitunglah

koefisien determinasi ( ).

b. Hitung VIF

c. Bila VIF 10, maka ada multikolinearitas.

Salah satu cara untuk menanggulangi adanya multikolinearitas

adalah dengan menghilangkan salah satu variabel yang berkolerasi.

Namun demikian multikolineritas tidak dapat dihilangkan pada kasus-


39

kasus khusus, dalam kasus kali ini multikolinearitas tidak dapat

dihilangkan agar tidak bertentangan dengan hukum ekonomi. Namun

demikian, tetap harus disertai keterangan seberapa besar

multikolinearitas yang terjadi dalam data. Jika ada variabel dengan

VIF 10 maka variabel dapat dihilangkan dari model regresi.

2. Heterokedastisitas

Asumsi berikut dapat disebut dengan homoskedastisitas

(variansi yang sama) dengan menggunakan lambang,

(2.37)

Diberikan gambar model regresi dua variabel yang menunjukan

homoskedastisitas

Gambar 2.3

Variansi bersyarat dari (yang sama dari variansi ),

tergantung pada nilai tertentu, tetap sama. Tidak peduli nilai yang

diambil untuk variabel X.


40

Diberikan gambar model regresi dua variabel yang menunjukan

heterokedastisitas

Gambar 2.4

Variansi bersyarat dari meningkat dengan meningkatnya X

(variansi tidak sama).

Pada umumnya, heterokedastisitas sering terjadi pada model-

model yang menggunakan data cross-sectional dari pada data runtun

waktu, dimana galat yang bersifat heterokedastisitas berubah seiring

perubahan ke-i. Konsekuensi dari keberadaan heterokedastisitas adalah

pendugaan metode kuadrat terkecil akan menghasilkan penduga yang

bias untuk nilai variansi galat dan dengan demikian untuk variansi

koefisien regresi.

Cara untuk mendeteksi adanya heterokedastisitas adalah

dengan menggunakan uji Koenker–Bassett (KB). Berikut langkah-

langkahnya :

1. Diketahui model awal

2. Dapatkan nilai yang didapat dari meregresikan data dan


41

3. Hitung nilai dan

kemudian regresikan dengan model

( )

4. Bila model adalah double log, maka nilai diregresikan

dengan

5. Uji Koenker–Bassett (KB)

a. Hipotesis

: tidak ada masalah heterokedastisitas

: ada masalah heterokedastisitas

b. Tingkat signifikansi

c. Kriteria pengujian

diterima bila (

) (

)

ditolak bila (

) atau (

)

d. Menghitung t

√∑

Dengan √∑

6. Membuat keputusan.

Masalah heterokedastisitas terkait dengan variansi dan galat

yang tidak konstan. Metode transformasi logaritma sering digunakan

untuk mengatasi masalah heterokedastisitas.


42

3. Autokorelasi

Istilah Autokorelasi dapat didefinisikan sebagai “korelasi

antara anggota serangkaian observasi yang diurutkan menurut waktu

(seperti dalam data urutan waktu) atau ruang (seperti dalam data cross-

sectional)”. Konsekuensi dari keberadaan Autokorelasi adalah metode

kuadrat terkecil akan menghasilkan penduga yang terlalu rendah untuk

nilai variasi dan karenanya menghasilkan penduga yang terlalu

tinggi untuk . Bahkan ketika penduga nilai variasi tidak terlalu

rendah, maka penduga dari nilai variasi dari koefisien regresi mungkin

akan terlalu rendah dan karenanya uji signifikansi dari uji t dan uji F

tidak valid lagi atau menghasilkan kesimpulan yang menyesatkan.

Salah satu cara mendeteksi adanya Autokorelasi menggunakan

uji Durbin-Watson , dengan rumus

∑

∑

Dengan

: nilai galat yang diperoleh dari proses pendugaan metode

kuadrat terkecil.

: nilai galat yang mundur sebanyak satu satuan waktu.

Setelah mendapatkan nilai d, langkah selanjutnya adalah

membandingkan nilai d dengan nilai-nilai kritis dari dL dan dU dari

tabel statistik Durbin-Watson (tabel dilampirkan).

Kriteria pengujian:

1. Jika d 4dL, maka ada autokorelasi positif


43

2. Jika d 4dL, maka ada autokorelasi negatif

3. Jika dU d 4-dU, maka tidak ada autokorelasi

4. Jika dL ≤ d ≤ dU atau 4-dU ≤ d ≤ 4-dL, maka pengujian tidak

meyakinkan

Gambar 2.5

Masalah autokorelasi dapat ditangani dengan cara melakukan

transformasi pembedaan pertama pada data, yang dapat ditulis sebagai

berikut :

Contoh 2.2

Diketahui data terhadap pengeluaran konsumsi (Y), pendapatan( )

dan informasi kekayaan ( ). Akan diuji apakah data mengandung

multikolinearitas, heterokedastisitas dan Autokorelasi. Dengan model


44

Y X2 X3

70 80 810

65 100 1009

90 120 1273

95 140 1425

110 160 1633

115 180 1876

120 200 2052

140 220 2201

155 240 2435

150 260 2686

Dengan rumus yang telah didapatkan dari persamaan (2.16) maka

.

[

]

[

]

[

]

[

]

Dengan dan model

regresinya adalah

Dengan koefisien determinasi


45

Uji Asumsi:


a. Regresikan model dan hitung

*

+

[

]

*

+

*

+ *

+ *

+

Hitung VIF

Terdapat multikolinear dalam data karena nilai VIF > 10

(seperti yang telah dijelaskan di halaman 38).


46

b. Regresikan model dan hitung

*

+

*

+

*

+

*

+ *

+ *

+

Hitung VIF



a. Hitung nilai dengan rumus

b. Hitung nilai dan


( )


47

[

]

[ ]

[ ]

*

+

*

+

*

+

*

+

c. Uji Koenker–Bassett (KB)

1. Hipotesis



2. Tingkat signifikansi =0.05

3. Kriteria pengujian

diterima bila

ditolak bila atau

4. Menghitung t ,

Sebelumnya terlebih dahulu akan dihitung √∑


48

√

( )√∑

√

-0.0685

diterima karena . ini berarti data

tidak mengandung heterokedastisitas.

3. Autokorelasi

∑

∑

2.8906

Tidak dapat disimpulkan bahwa data mengandung autokorelasi

atau tidak.

0,6972 1,6413

2,3587

3,3028


49

Dapat ditarik kesimpulan bahwa data terhadap pengeluaran

konsumsi (Y), pendapatan( ) dan informasi kekayaan ( ), dengan model

mengandung multikolinearitas dan tidak dapat disimpulkan apakah data

mengandung autokorelasi atau tidak.


BAB III

MODEL FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS

A. Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas

Regresi Cobb-Douglas diperkenalkan pertama kali pada tahun

1927, menggunakan kumpulan data runtun waktu dari perusahaan

manufaktur Amerika sektor tenaga kerja, modal, dan output fisik, dengan

tujuan memahami hubungan antara level output dan kuantitas input pada

proses produksi.

Pada musim semi tahun 1927, saat memberi kuliah di Amherst,

Paul Douglas menggambar grafik dalam skala logaritma tiga variabel

untuk data manufaktur Amerika pada tahun 1899-1922: indeks total modal

yang dikoreksi berdasarkan perubahan dalam biaya barang (C), indeks

total banyaknya penerima gaji (L), dan indeks dari hasil produksi fisik (P).

Douglas mencatat bahwa indeks dari produksi terletak diantara modal dan

tenaga kerja yang berada sekitar sepertiga sampai seperempat diantara

batas bawah indeks dari tenaga kerja dan batas atas indeks dari modal.

Setelah berkonsultasi dengan temannya Charles W. Cobb, seorang

matematikawan, mereka memutuskan, berdasarkan pengamatan ini,

kontribusi relatif masing-masing faktor produksi, tenaga kerja dan modal,

terhadap hasil produksi. Bentuk Euler fungsi homogen sederhana dengan

derajat satu dipilih untuk menjelaskan persamaan ini.


51


hubungan antara output dan input. Fungsi produksi pertama kali diusulkan

oleh Knut Wicksell (1851 - 1926) dan diuji secara statistika oleh Charles

Cobb dan Paul Douglas pada tahun 1928. Charles Cobb dan Paul Douglas

memodelkan pertumbuhan ekonomi Amerika pada tahun 1899 – 1922

dengan menggunakan pandangan sederhana dari ekonomi di mana hasil

produksi ditentukan oleh banyaknya tenaga kerja yang terlibat dan

besarnya modal yang diinvestasikan. Meskipun ada banyak faktor lain

yang mempengaruhi kinerja ekonomi, model mereka terbukti sangat

akurat.

Dalam sebuah proses produksi, terdapat beberapa faktor produksi

yang meliputi biaya bahan mentah, jumlah bahan mentah yang masuk,

macam-macam bahan mentah yang dibutuhkan, biaya proses pengerjaan

termasuk pembayaran karyawan, jumlah karyawan yang mengerjakan,

jumlah alat yang digunakan, jumlah barang yang berhasil diproduksi dan

keuntungan yang diperoleh.

Fungsi produksi didefinisikan sebagai relasi antara keluaran fisik

(output) dan masukan fisik (input) atau faktor-faktor produksi. Menurut

Beattie (1994) dalam bukunya The Economics of Production, fungsi

produksi adalah sebuah deskripsi matematis atau kuantitatif dari berbagai

macam kemungkinan produksi teknis yang dihadapi oleh suatu

perusahaan.


52

Menurut Griffin setidaknya ada 20 macam model fungsi produksi,

yang salah satunya adalah fungsi produksi Cobb-Douglas:

atau ,

dengan atau (Chiang,1984).


: Total produksi, atau dapat disimbolkan dengan P(L,K),

: Banyaknya karyawan yang mengerjakan,

: Nilai modal yang dikeluarkan,

: Faktor Produksi yang lain,



Secara umum, Beattie mendefinisikan produksi sebagai proses

kombinasi dan koordinasi faktor-faktor produksi (input) dalam pembuatan

suatu barang atau jasa (output/produk). Sehingga, total produksi

merupakan banyaknya output barang atau jasa yang berhasil di produksi.

Menurut William S. Vickrey (1964) dalam bukunya yang berjudul

Microstatics, Tenaga kerja terdiri atas jasa dari individu, yang digunakan

sebagai sumber langsung dari kepuasan atau tidakpuasan pada individu.

Vickrey mendefinisikan modal sebagai kategori dari barang fisik

yang mungkin dibentuk, dan akan membedakan dari istilah „modal‟ yang

hanya digunakan untuk menunjukkan kuantitas dari dana, atau kredit, atau

bakat untuk mengelola barang-barang dalam pasar. Ide pokok dalam

konsep modal adalah banyaknya atau kumpulan alat yang digunakan


53

dalam produksi: bangunan, mesin, perbaikan yang permanen, inventaris

barang, dan sejenisnya.

Tan Bao Hong (2008) dalam jurnalnya yang berjudul Cobb-

Douglas Production Function menyatakan bentuk fungsi Cobb-Douglas

dalam rumusan berikut


: Total produksi

(nilai semua barang-barang yang diproduksi dalam setahun),

: Input tenaga kerja

(banyaknya orang yang bekerja perjam dalam setahun),

: Input modal

(harga dari semua mesin, perlengkapan, dan bangunan),

: Total faktor produksivitas,

dan adalah output dari tenaga kerja dan modal. Nilainya konstan

bergantung oleh teknologi yang tersedia.

Marc Nerlove (1965) dalam bukunya yang berjudul Estimation and

Identification of Cobb-Douglas Production Functions mempertimbangkan

perusahaan individual dengan tipe industri yang ditentukan. Misalkan

banyaknya satuan fisik produk perusahaan selama jangka waktu tertentu,

dan dan adalah banyaknya satuan input tenaga kerja dan modal,

selama periode waktu yang sama. Pada waktu tertentu (t) , dan pada


54

perusahaan tertentu (f), andaikan output berelasi dengan input-input

mengikuti fungsi produksi berikut :

(3.1)

Dengan dan berturut-turutadalah parameter yang mungkin

bervariasi dari waktu ke waktu atau dari perusahaan ke perusahaan. Dalam

konteks bagian ini, perhatian dibatasi untuk satu perusahaan pada suatu

waktu tertentu; maka subkrip t dan f akan dihilangkan. Sehingga


(3.2)

Dengan merupakan notasi dari , merupakan notasi dari

, merupakan notasi dari dan merupakan notasi dari .

Persamaan (3.2) merupakan persamaan linear dalam parameter .

A.Zallner, J. Kmenta dan J. Dréze (1966) dalam jurnalnya yang

berjudul Specification and Estimation of Cobb-Douglas Production

Function Models menyatakan fungsi produksi Cobb-Douglas sebagai

berikut :


55

Dengan

: Banyaknya output fisik pada selang waktu tertentu.

: Banyaknya karyawan yang mengerjakan pada selang

waktu tertentu.

: Banyaknya modal yang dikeluarkan pada selang waktu

tertentu.

: Parameter yang berubah dari waktu ke waktu.

: Galat random yang mungkin terjadi, mewakili faktor

musim, kerusakan mesin yang tidak bisa diprediksi, kinerja

karyawan, dan masih banyak lagi.

: Parameter yang berlaku untuk semua perusahaan dalam

sampel.

merupakan parameter yang berubah dari perusahaan ke

perusahaan, yang dinyatakan dalam persamaan:

Dengan sebagai parameter biasa dan sebagai variabel random.

Pada dasarnya semua hasil pemikiran dari beberapa tokoh diatas

tentang Cobb-Douglas adalah sama dan hanya berbeda dalam penulisan

simbol saja. Oleh karena itu dalam tulisan ini, simbol akan mengikuti

seperti dalam jurnal yang ditulis Zellner.


56

B. Pendugaan Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas

Pendugaan fungsi produksi Cobb Douglas dibutuhkan oleh suatu

perusahaan agar dapat merencanakan hasil produksi dengan baik.

Pendugaan fungsi produksi Cobb Douglas bertujuan untuk menduga

banyaknya output fisik yang dapat diproduksi oleh suatu perusahaan

tertentu dalam selang waktu tertentu, dengan input banyaknya karyawan

yang bekerja dan modal yang di investasikan dalam proses produksi.



model tersebut adalah model linear intrinsik.

Fungsi produksi Cobb Douglas tersebut dapat diubah dalam bentuk

linear terhadap parameter, yang dapat dinyatakan dalam persamaan berikut

dengan , ,

dan dapat diduga

parameter dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.

Tujuan Metode Kuadrat Terkecil adalah menentukan penduga dari

yaitu sehingga meminimumkan jumlah kuadrat

galat yang diduga dengan .

dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut


57

Model tersebut dapat ditulis dengan notasi matriks

[

] [

] [

] + [

]

Atau dapat ditulis

Sehingga diperoleh

Tujuan Metode kuadrat terkecil adalah meminimumkan jumlah

kuadrat galat ( ). Sehingga ditemukan persamaan untuk mencari .

Sifat-sifat penduga Metode Kuadrat Terkecil untuk Regresi Linear

Berganda

1. E ( ) = , i = 1, 2, ..., k.

2. Var ( ) = , adalah elemen diagonal dari matriks

.

3. Cov ( = , adalah elemen di baris i dan kolom j dari

matriks .

4. Penduga tak bias dari adalah

dengan

. n adalah ukuran sample dan k adalah

banyaknya variabel.


58

Contoh 3.1

Diberikan tabel data pertanian Taiwan tahun 1958-1972 yang

diambil dari buku Basic Econometrics tabel 7.3, akan diduga

dengan model

Dengan menggunakan transformasi linear didapatkan model baru

, , ,

dan .


.

No Tahun

Hasil

Produksi

Tenaga

Kerja Modal

(Y) (L) (K)

1 1958 16607.7 275.5 17803.7

2 1959 17511.3 274.4 18096.8

3 1960 20171.2 269.7 18271.8

4 1961 20932.9 267 19167.3

5 1962 20406 267.8 19647.6

6 1963 20831.6 275 20803.5

7 1964 24806.3 283 22076.6

8 1965 26465.8 300.7 23445.2

9 1966 27403 307.5 24939

10 1967 28628.7 303.7 26713.7

11 1968 29904.5 304.7 29957.8

12 1969 27508.2 298.6 31585.9

13 1970 29035.5 295.5 33474.5

14 1971 29281.5 299 34821.8

15 1972 31535.8 288.1 41794.3


59

[ ]

[ ]

[

]

[

]

Dengan demikian didapatkan

[

]

Sehingga didapatkan

[

] [

] [

]

Dengan dan model

regresinya adalah

Atau dapat ditulis menjadi


60


Uji Asumsi:


a. Regresikan model

dan hitung

*

+

*

+

*

+

*

+ *

+ *

+

Hitung VIF


61

Tidak terdapat multikolinear dalam data karena nilai VIF < 10

b. Regresikan model

dan hitung

*

+

*

+

*

+

*

+ *

+ *

+

Hitung VIF

Tidak terdapat multikolinear dalam data karena nilai VIF < 10




62

b. Hitung nilai dan kemudian regresikan dengan model

( )

[

]

[ ]

[ ]

Dengan rumus

akan didapatkan nilai

*

+

*

+

*

+

*

+


1. Hipotesis






63

diterima bila

ditolak bila atau

4. Menghitung t ,


√∑

√

( )√∑

√

diterima karena ini

berarti tidak ada heterokedastisitas dalam data.

3. Autokorelasi

∑

∑

0.8918


64

Dapat disimpulkan bahwa data mengandung autokorelasi.

Dapat ditarik kesimpulan bahwa data terhadap hasil produksi (Y),

tenaga kerja( ) dan modal ( ), dengan model


terdapat autokorelasi pada data. Konsekuensi dari keberadaan

Autokorelasi adalah metode kuadrat terkecil akan menghasilkan penduga

yang terlalu rendah untuk nilai variasi dan karenanya menghasilkan

penduga yang terlalu tinggi untuk .

2,4568

3,0545

1,5432

0,9455


BAB IV

APLIKASI

Pada bab ini akan diberikan contoh aplikasi fungsi produksi Cobb-

Douglas untuk data area manufaktur untuk 51 kota pada tahun 2005,

dengan variabel tak bebas nilai yang ditambahkan variabel bebas

banyaknya tenaga kerja dan nilai modal , yang diambil dari

buku Basic Econometrics karangan Damodar N. Gujarati dan Dawn C.

Porter.

Akan diduga pada tabel data yang dilampirkan, dengan

model

Dengan menggunakan transformasi linear didapatkan model baru

, ,

, dan

.


.


66

[ ]

[ ]


67

[

]

[

]

Dengan demikian didapatkan

[

]

Sehingga didapatkan

[

] [

] [

]

Dengan dan model

regresinya adalah




68

Pengujian asumsi :


a. Regresikan model

dan hitung

*

+

*

+

*

+

*

+ *

+ *

+

Hitung VIF


b. Regresikan model

dan hitung

*

+


69

*

+

*

+

*

+ *

+ *

+

Hitung VIF




b. Hitung nilai dan


( )

Dengan rumus

akan didapatkan nilai

*

+

*

+


70

*

+

*

+


1. Hipotesis





diterima bila

ditolak bila atau

4. Menghitung t ,


√

( )√∑

√


71

diterima karena . ini berarti

tidak ada heterokedastisitas dalam data.


72

[

]

[ ]

[ ]


73

5. Autokorelasi

∑

∑

1.9463

Dapat disimpulkan bahwa data tidak mengandung autokorelasi.

Dapat ditarik kesimpulan bahwa data area manufaktur untuk 51

kota pada tahun 2005, dengan variabel tak bebas nilai yang ditambahkan

variabel bebas banyaknya tenaga kerja dan nilai modal ,

dengan model


mengandung multikolinearitas. Dalam kasus kali ini multikolinearitas

tidak dapat dihilangkan supaya tidak bertentangan dengan hukum

ekonomi.

1,4684 1,6309

2,3691

2,5316


74

Karena nilai dan terbatas, maka dapat dirancang besaran jumlah

output yang direncanakan. Misalnya perusahaan memiliki 2000 tenaga

kerja dan nilai modal 7000 dolar, maka diketahui outputnya sebagai

berikut


BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Dalam sebuah proses produksi, terdapat beberapa faktor produksi

yang meliputi biaya bahan mentah, jumlah bahan mentah yang masuk,

macam-macam bahan mentah yang dibutuhkan, biaya proses pengerjaan

termasuk pembayaran karyawan, jumlah karyawan yang mengerjakan,

jumlah alat yang digunakan, jumlah barang yang berhasil diproduksi dan

keuntungan yang diperoleh.

Fungsi produksi Cobb-Douglas, dalam dunia ekonomi mewakili

hubungan antara output dan input. Pendugaan fungsi produksi Cobb

Douglas dibutuhkan oleh suatu perusahaan agar dapat merencanakan hasil

produksi dengan baik. Pendugaan fungsi produksi Cobb Douglas bertujuan

untuk menduga banyaknya output fisik yang dapat diproduksi oleh suatu

perusahaan tertentu dalam selang waktu tertentu, dengan input banyaknya

karyawan yang bekerja dan modal yang diinvestasikan dalam proses

produksi.

Pada musim semi tahun 1927, saat memberi kuliah di Amherst,

Paul Douglas menggambar grafik dalam skala logaritma tiga variabel

untuk data manufaktur Amerika pada tahun 1899-1922: indeks total modal

yang dikoreksi berdasarkan perubahan dalam biaya barang (C), indeks

total banyaknya penerima gaji (L), dan indeks dari hasil produksi fisik (P).


76

Douglas mencatat bahwa indeks dari produksi terletak diantara modal dan

tenaga kerja yang berada sekitar sepertiga sampai seperempat diantara

batas bawah indeks dari tenaga kerja dan batas atas indeks dari modal.

Setelah berkonsultasi dengan temannya Charles W. Cobb, seorang

matematikawan, mereka memutuskan, berdasarkan pengamatan ini,

kontribusi relatif masing-masing faktor produksi, tenaga kerja dan modal,

terhadap hasil produksi. Bentuk Euler fungsi homogen sederhana dengan

derajat satu dipilih untuk menjelaskan persamaan ini.



Fungsi Produksi Cobb-Douglas diduga dengan menggunakan metode

kuadrat terkecil biasa sehingga didapatlah nilai untuk parameter , dan

, dengan cara merubah model regresi linear menjadi model linear

intrinsik terlebih dahulu. Meskipun ada banyak faktor lain yang

mempengaruhi kinerja ekonomi, menurut Tan model mereka terbukti

sangat akurat.

B. Saran

Berdasarkan pembahasan dan kesimpulan yang telah dijabarkan

sebelumnya, maka diajukan saran bagi penelitian selanjutnya dengan

mengembangkan fungsi produksi Cobb-Douglas menjadi fungsi produksi


77

CES (Constant Elasticity of Substitution) yang dapat diduga dengan

metode pendugaan parameter model non-linear.


78

DAFTAR PUSTAKA

Asri, Marwan & John Suprihanto. (1986). Manajemen perusahaan

pendekatan operasional. Yogyakarta: BPFE.

Beattie, Bruce R & C. Robert Taylor. (1985). The economics of

production. Yogyakarta: Gajah Mada University press.

Biddle, Jeff E. (2010). The Introduction of the Cobb Douglas Regression

and its Adoption. agricultural economics.

Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental methods of mathematical

economics. New York: McGraw-Hill. Inc.

Griffin, Ronald C. & John M. Montgomery & M. Edward Rister. (1987).

Selecting functional form in production function analysis. Western

journal of agricultural economics, 12(2) : 216-227.

Gujarati, Damodar N. & Dawn C. Porter. (2009). Basic Econometrics.

New York: McGraw-Hill. Inc.

Intriligator, Michael D. & Ronald Bodkin & Cheng Hsiao. (1996).

Econometric Models, Techniques, and Applications. London:

Prentice Hall.

Myers, Raymond H., Montgomery, Dougla C., & Vining, G. Geoffrey.

2002. Generalized Linear Models: With Applications in

Engineering and The Sciences. New York : John Wiley & Sons,

INC.


Nerlove, Marc. (1965). Estimation and Identification of Cobb-Douglas

Production Function. Chicago: Rand Mcnally and Company.

Tan, Bao Hong. (2008). Cobb-Douglas Production Function.

Wackerly, Dennis D. & William Mendenhall III & Richard L. Scheaffer.

(2008). Mathematical Statistics with Applications . USA: Thomson

Learning.

Zellner, A. & J. Kmenta & J. Dreze. (1966). Specification and estimation

of cobb-douglas. Econometrica,Vol. 34, No. 4.


80

LAMPIRAN

Tabel data area manufaktur untuk 50 kota, pada tahun 2005

No Nama Kota

Output

Tenaga

kerja

Input

Modal

Y X1 X2

1 Alabama 38,372,840 424,471 2,689,076

2 Alaska 1,805,427 19,895 57,997

3 Arizona 23,736,129 206,893 2,308,272

4 Arkansas 26,981,983 304,055 1,376,235

5 California 217,546,032 1,809,756 13,554,116

6 Colorado 19,462,751 180,366 1,790,751

7 Connecticut 28,972,772 224,267 1,210,229

8 Delaware 14,313,157 54,455 421,064

9 District of Columbia 159,921 2,029 7,188

10 Florida 47,289,846 471,211 2,761,281

11 Georgia 63,015,125 659,379 3,540,475

12 Hawaii 1,809,052 17,528 146,371

13 Idaho 10,511,786 75,414 848,220

14 Illinois 105,324,866 963,156 5,870,409

15 Indiana 90,120,459 835,083 5,832,503

16 Iowa 39,079,550 336,159 1,795,976


17 Kansas 22,826,760 246,144 1,595,118

18 Kentucky 38,686,340 384,484 2,503,693

19 Louisiana 69,910,555 216,149 4,726,625

20 Maine 7,856,947 82,021 415,131

21 Maryland 21,352,966 174,855 1,729,116

22 Massachusetts 46,044,292 355,701 2,706,065

23 Michigan 92,335,528 943,298 5,294,356

24 Minnesota 48,304,274 456,553 2,833,525

25 Mississippi 17,207,903 267,806 1,212,281

26 Missouri 47,340,157 439,427 2,404,122

27 Montana 2,644,567 24,167 334,008

28 Nebraska 14,650,080 163,637 627,806

29 Nevada 7,290,360 59,737 522,335

30 New Hampshire 9,188,322 96,106 507,488

31 New Jersey 51,298,516 407,076 3,295,056

32 New Mexico 20,401,410 43,079 404,749

33 New York 87,756,129 727,177 4,260,353

34 North Carolina 101,268,432 820,013 4,086,558

35 North Dakota 3,556,025 34,723 184,700

36 Ohio 124,986,166 1,174,540 6,301,421

37 Oklahoma 20,451,196 201,284 1,327,353

38 Oregon 34,808,109 257,820 1,456,683


39 Pennsylvania 104,858,322 944,998 5,896,392

40 Rhode Island 6,541,356 68,987 297,618

41 South Carolina 37,668,126 400,317 2,500,071

42 South Dakota 4,988,905 56,524 311,251

43 Tennessee 62,828,100 582,241 4,126,465

44 Texas 172,960,157 1,120,382 11,588,283

45 Utas 15,702,637 150,030 762,671

46 Vermont 5,418,786 48,134 276,293

47 Virginia 49,166,991 425,346 2,731,669

48 Washington 46,164,427 313,279 1,945,860

49 West Virginia 9,185,967 89,639 685,587

50 Wisconsin 66,964,978 694,628 3,902,823

51 Wyoming 2,979,475 15,221 361,536


pendugaan model fungsi produksi cobb-douglas …secure site...

Documents