fungsi - expertcourse.netexpertcourse.net/assets/document/modul/teknik/kalkulus-1/bab2.pdf ·...
TRANSCRIPT
Fungsi
EXPERT COURSE
#bimbelnyamahasiswa
MA 1114 Kalkulus I 2
Pengertian Fungsi
Relasi : aturan yang mengawankan 2 himpunan
Fungsi
Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke Bmerupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam Adihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B, artinya:
212121 ,,, xfxfmakaxxjikaAxx
MA 1114 Kalkulus I 3
Pengertian Fungsi
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
f : A B
yang artinya f memetakan A ke B.
A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut
daerah hasil (codomain) dari f.
Relasi di bawah ini merupakan fungsi
a
i
u
e
i
o
1
2
3
4
5
A B
MA 1114 Kalkulus I 4
Pengertian Fungsi
Relasi di bawah ini bukan merupakan fungsi :
a
i
u
e
o
1
2
3
4
5
A B
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut
jelajah (range) / jangkauan dari f. Perhatikan bahwa jelajah
dari f adalah himpunan bagian dari B.
a mempunyai
2 nilai
MA 1114 Kalkulus I 5
Pengertian Fungsi
Jelajah : BAxyxfy ,
Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan Rf
Contoh :
1. Carilah domain dan range dari fungsi :
34
1
xxf
Jawab :
a. Mencari domain
MA 1114 Kalkulus I 6
Pengertian Fungsi
034 x4
3x
,
4
3
4
3,fD
4
3
0fR ,00,fR
syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
Sehingga atau
b. Mencari Range
Hal ini dikarenakan f(x) tidak mungkin bernilai nol
atau
MA 1114 Kalkulus I 7
Contoh
13
2
x
xxf
013 x
3
1x
a. Mencari domain
Sehingga
,
3
1
3
1,tD
2. Carilah domain dan range dari fungsi :
Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
MA 1114 Kalkulus I 8
Contoh
13
2
x
xyxf
23 xyxy
yxxy 23
yyx 213
b. Range
13
2
y
yx
013 y
3
1y
,
3
1
3
1,fR
3
1
Syarat fungsi tersebut terdefinisi,
Jadi
Atau
MA 1114 Kalkulus I 9
Contoh
652 xxxf
0652 xx
0652 xx
032 xx
a. Mencari domain
TP = -2, -3
-3 -2
++ ++--
Jadi 2,3 fD
3. Carilah domain dan range dari fungsi :
Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
MA 1114 Kalkulus I 10
Contoh
652 xxyxf
6522 xxy
065 22 yxx
x
b. Mencari Range
Agar , maka D ≥ 0
061.425 2 y
024425 2 y
041 2 y
MA 1114 Kalkulus I 11
Contoh
02121 yy
2
1,
2
1TP
,0
2
1,
2
1fR
21
21
++ ----
Jadi,
2
1,0
MA 1114 Kalkulus I 12
Macam-macamFungsi
n
nxaxaxaaxf ...2
210
0axf
xaaxf 10
2
210 xaxaaxf
Macam-macam fungsi :
-Fungsi konstan,
-Fungsi linier,
-Fungsi kuadrat,
1. Fungsi polinom
MA 1114 Kalkulus I 13
Macam-macam Fungsi
xq
xp
1
123
2
xx
xxf
2. Fungsi Rasional
p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0
contoh :
3. Fungsi harga/nilai mutlak
2213 xxxf
Bentuk umum :
Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :
MA 1114 Kalkulus I 14
Macam-macam Fungsi
x
1 nxnnx
55
32,3
4. Fungsi bilangan bulat terbesar
= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau
sama dengan x
xfxf
5. Fungsi Genap
dan grafiknya simetris Disebut fungsi genap jika
terhadap sumbu y
22,1
MA 1114 Kalkulus I 15
Macam-macam Fungsi
2xxf
xxf
xxf cos
xfxf
xxf sin
3xxf
Contoh :
6. Fungsi Ganjil
simetris terhadap titik asal, contoh :
Disebut fungsi ganjil jika dan grafiknya
MA 1114 Kalkulus I 16
Macam-macam Fungsi
xf xg
xf xg xgfxgf
xgf
xg xg fD
7. Fungsi Komposisi
dan , komposisi fungsi antara
dan ditulis Domain dari
adalah himpunan semua bilangan x dengan domain
sehingga di dalam
Diberikan fungsi
Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan,
terpenuhi
maka harus
fg DR
MA 1114 Kalkulus I 17
Fungsi Komposisi
Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut :
g(x) f(x)
(fog)(x)
Dg
Rg Df R
f
fg DR
MA 1114 Kalkulus I 18
Fungsi Komposisi
Dengan cara yang sama, xfgxfg
Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan,
terpenuhi
maka harus
gf DR
Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :
fggf DxgDxD
gffg DxfDxD
Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi
fgfg RtRtgR fgfg RttgyRyR ,
gfgf RtRtfR gfgf RttfyRyR ,
atau
atau
MA 1114 Kalkulus I 19
Fungsi Komposisi
xfgxgf
xhgfxhgf
Sifat-sifat fungsi komposisi :
xxf 21 xxg
fg gf
Contoh :
Tentukan
dan beserta domain dan range-nya!
1. Jika diketahui
,0fD
,0fR
gD
1,gR
MA 1114 Kalkulus I 20
Contoh
gf DR ,0 fg
xxgxfgxfg 1
Karena = , maka fungsi
terdefinisi
fg
gffg DxfDxD
xx ,0
xx 0
a. Mencari Domain
MA 1114 Kalkulus I 21
Contoh
00 xx
00 xx
,0,0x
,0x
fg
fgfg RttgyRyR ,
,0,11, 2 ttyyR fg
b. Mencari Range
1,1, yR fg
1, y
Jadi
MA 1114 Kalkulus I 22
Contoh fg DR ,01, 1,0
gf
xgf xgf 21 xf 21 x
Karena , maka fungsi
terdefinisi dengan
gf
fggf DxgDxD
,01 2xx
01 2 xx
c.Domain
11 xx
1,1
1,1
MA 1114 Kalkulus I 23
Contoh
gf
gfgf RttfyRyR ,
1,,,0 ttyy
10,0 ttyy
100 yy
1,0,0
1,0
d. Range
MA 1114 Kalkulus I 24
Contoh
xxxf 1 xxg
fD fR gDgR
2. Jika diketahui fungsi
fg
gf DR fg
Tentukan beserta domain dan range-nya!
= , sehingga terdefinisi
fg
gffg DxfDxD
xxx
a. Domain
MA 1114 Kalkulus I 25
Contoh
fg
fgfg RttgyRyR ,
ttyy ,1
b. Range
MA 1114 Kalkulus I 26
Grafik dari fungsi
1. Garis Lurus
cmxy
persamaan garis lurus yang melewati (0,c)
3 xy
3
-3
contoh :
MA 1114 Kalkulus I 27
Garis Lurus
11 xxmyy
11, yx
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
2211 ,&, yxyx
Persamaan garis lurus melalui
Persamaan garis lurus melalui
cbxaxy 2
acbD 42
2. Grafik fungsi kuadrat (parabola)
Diskriminan
MA 1114 Kalkulus I 28
Grafik Fungsi Kuadrat
Titik puncak =
a
D
a
b
4,
2
D>0 D=0 D<0
a>0
x
y
MA 1114 Kalkulus I 29
Grafik Fungsi Kuadrat
Gambarlah grafik fungsi 12 xxy
Contoh :
a =1 jadi a > 0
acbD 42
412
= -3 < 0
grafik menghadap ke atas
tidak menyinggung sumbu x
MA 1114 Kalkulus I 30
Grafik Fungsi Kuadrat
Titik potong dengan sumbu koordinat
• Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu x tidak ada
• Titik potong dengan sumbu y
x = 0 y = 1
dengan demikian grafik melalui (0,1)
• Titik puncak =
a
D
a
b
4,
2
4
3,
2
1
MA 1114 Kalkulus I 31
Grafik Fungsi Kuadrat
cbyayx 2
a
b
a
D
2,
4
a
b
2
Untuk persamaan kuadrat
Titik puncak =
Sumbu simetri =
Gambar grafik fungsi
12 xxy
-1
1
21
43
MA 1114 Kalkulus I 32
Grafik Fungsi Majemuk/banyak
aturan
3. Grafik Fungsi Majemuk
xxf )(
Contoh :
1. Gambarkan grafik fungsi
0,
0,
xx
xxx
y=xy=-x
MA 1114 Kalkulus I 33
Grafik Fungsi Majemuk
22
21
xx
xxf
1y
2x
2 xy
2. Gambarkan grafik fungsi
Grafiknya terdiri dari 2
untuk dan garis
untuk 2x
bagian, yaitu garis
2 xy
2
1y
MA 1114 Kalkulus I 34
Grafik Fungsi Majemuk
3. Gambarkan grafik dari fungsi
2
42
x
xxf
f(x) terdefinisi untuk setiap x kecuali 2, sehingga
domain dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 2
Fungsi f(x) dapat diuraikan sebagai berikut :
2
22
x
xxxf
MA 1114 Kalkulus I 35
Grafik Fungsi Majemuk
2 xxf 2xatau , jika
Range dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 4.
Jadi grafiknya terdiri dari semua titik pada garis 2 xy
kecuali titik (2,4).
2 xy
2
4
MA 1114 Kalkulus I 36
Grafik Fungsi Majemuk3. Gambarkan grafik dari fungsi
xxf 31
031
03131
xx
xxx
Kita definisikan :1
31
31
xy 31 xy 31
MA 1114 Kalkulus I 37
Translasi
axfy
xfy
axfy
xfy
axfy
xfy
axfy
xfy
grafik mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
grafik mengalami pergeseran sejauh a ke kiri
grafik mengalami pergeseran sejauh a ke atas
grafik
Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai xfy
mengalami pergeseran sejauh a ke bawah
, a > 0
MA 1114 Kalkulus I 38
Translasi
ayfx
yfx
ayfx
yfx
ayfx
yfx
ayfx
yfx
grafik mengalami pergeseran sejauh a ke atas
grafik mengalami pergeseran sejauh a ke bawah
grafik mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
grafik
Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai yfx
mengalami pergeseran sejauh a ke kiri
, a > 0
MA 1114 Kalkulus I 39
Contoh Translasi
542 xxxf
54442 xx
122 x
2xy
22 xy
digeser sejauh
1. Gambarkan grafik dari fungsi
2 ke kanan
2
42xy 22 xy
MA 1114 Kalkulus I
40
Contoh Translasi
22 xy
122 xy
Kemudian digeser sejauh 1 ke atas
maka akan terbentuk
2
4
22 xy
122 xy
MA 1114 Kalkulus I 41
Contoh Translasi
xxf 31
xy 3
2. Gambarkan grafik fungsi
Kita lihat dahulu grafik
:
3
xy 3 xy 3
MA 1114 Kalkulus I 42
Contoh Translasi
xy 31
xy 3
Grafik dapat
yang digeser
dipandang sebagai grafik
ke atas sejauh 1 satuan
1
xy 3
xy 31
MA 1114 Kalkulus I 43
Soal Latihan
1
3
x
xxxf
xxf 423
2 xxxf
Tentukan domain dan range dari fungsi di bawah ini
652 xxxf
21
3 x
xxf
Diketahui
Apakah f o g terdefinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari
f o g dan domain dari f o g.
xxf 4)( xxg )(,
1
2
3
4
5
23 xxf6
Gambarkan grafik dari fungsi di bawah ini
7