fp unsam 2009 sampling, estimasi dan pengukuran kepercayaan

GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007

Sampling, Estimasi, dan pengukurankepercayaan

Sampling

1. Distribusi frekuensi

• Diagram batang dan histogram

• Histogram dua-arah (stereogram)

2. Analisis lokasi

• Nilai menengah sampel

– Typeset by FoilTEX – 1


• Median

• Modus

• Nilai tengah

3. Analisis sebaran/dispersi (variansi dan kovariansi)

• Range/jangkauan

• Deviasi nilai menengah

• Variansi dan standar deviasi

• Kovariansi sampel-sampel.

4. Momen-momen sampel.



Estimasi

Contoh estimator

x̄ untuk µ

s2x untuk σ2

x dan

sxy untuk σxy

Kriteria untuk menilai kualitas hasil estimasi:

1. Konsistensi



Sebuah estimator disebut “konsisten” bilamana probabilitas

untuk estimator p̂ mendekati parameter p untuk n → ∞konvergen menuju 1. Sehingga untuk ε > 0,

limn→∞

P (|p̂− p| < ε) = 1

untuk ε > 0 yang kecil.

2. Estimasi tak-bias (unbiased estimation)

Dalam beberapa kasus, “konsistensi” tidak bisa berfungsi

untuk ukuran sampel yang kecil. Dari sejumlah kemungkinan,

sebuah estimator harus dalam kondisi tak-bias (unbiased).



Artinya, ekspektasi sebuah statistik sampel p̂ harus identik

dengan parameter p itu sendiri untuk sampel n berapa saja

E(p̂) = p

Jika sifat ini digunakan untuk n → ∞, maka

estimator tersebut dikatakan tak-bias secara asymptotik

(asymptotically unbiased).

bias = E(p̂)− p

3. Variansi minimum

MSE = m2 = E[(p̂− E(p̂))2

]MSE = m2 = σ2

p + (bias)2



4. Efisiensi dan kecukupan (sufficient)

σ2x̄ = E

[(x̃− E(x̄))2

]= E(x̄− µ)2

σ2x̄ = σ2

n



Metoda-metoda estimasi

• Metoda momen (moment method) untuk momen ke-k

mk = 1n

∑xk

i

• Metoda maksimum likelihood (maximum likelihood method)

Fungsi padat bersama untuk variabel acak xi yang memiliki

fungsi padat f(xi) adalah

L(x1, x2, · · · , xn; p1, p2, · · · , pm) = Πnf(xi; p1, p2, · · · , pm)

harus maksimum.



∂L∂p = 0 atau ∂ ln L

∂p = 0

Perlu pemahaman tentang fungsi distribusi dari variabel acak

yang terlibat.

• Metoda kuadrat terkecil (least square)

Legendre (1805), Gauss(1795), Laplace.

Tidak perlu pemahaman tentang fungsi distribusi, walaupun

nantinya diperlukan dalam memahami masalah selang

kepercayaan dan uji hipotesa.



f(v) = C exp[−1

2 (v − E(v))t Σ−1 (v − E(v))]

= C exp[−1

2vtΣ−1v

]dengan v = vektor residu pengamatan (l̂− l), dan Σ adalah

matriks kovariansi.

kriteria kuadrat terkecil adalah

vtΣ−1v → min yang berarti memaksimalkan f(v) atau

menghasilkan sebuah estimasi maximum likelihood.



Selang Kepercayaan

Hampir semua paramtere yang ingin diestimasi akan berada

pada suatu himpunan “kemungkinan-kemungkinan nilai” dalam

interval bilangan tertentu.

Misalnya, jika ingin di-estimasi panjang satu baseline

sepanjang 50.00 meter, maka µ akan berupa satu bilangan,

katakanlah, 49.95 dan 50.05 meter.

Hal ini membuat hasil estimasi disebut sebagai “pendekatan

terbaik” untuk “nilai yang sebenarnya”. Mungkin nilainya



mendekati, tetapi secara virtual tidak akan sama dengan nilai

sebenarnya.

Satu cara untuk menguji “kebenaran” nilai hasil estimasi

adalah dengan menampilkan hasil estimasi beserta simpangan

bakunya (standard deviation).

Jika estimator tersebut memiliki distribusi normal (atau

paling tidak mendekati), maka cukup dapat dipercaya

(confident) bahwa “nilai sebenarnya” terletak antara dua atau

tiga kali simpangan baku dari nilai hasil estimasi.

Estimasi interval atau interval kepercayaan (confidenceinterval) adalah interval (selang) nilai-nilai estimasi parameter



yang mungkin muncul. Derajat kemungkinan tersebut

dinyatakan dengan tingkat kepercayaan (confidence level),misalnya 95% atau 99%, dsb. Jika tingkat kepercayaannya

tinggi dan menghasilkan interval yang sempit, maka nilai

parameter tersebut dapat dikatakan “presisi”.

Probabilitas bahwa nilai variabel acak x̃ berada dalam batas

x1 dan x2 adalah

P (x1 < x̃ < x2) = F (x2)− F (x1) =∫ x2

x1f(x)dx.

untuk probabilitas selang kepercayaan (confidence interval)

P (p1 < p̃ < p2) = 1− α.



Contoh:

Ada suatu fungsi estimator (x̄− µ)/(σ/√

n).

P{−zα/2 < x̄−µ

σ/√

n< zα/2

}= 1− α

atau

P{

x̄− zα/2 · σ√n

< µ < x̄ + zα/2 · σ√n

}= 1− α

misalnya untuk α = 0.05, z = 1.96 ditulis sebagai

P [x̄− 1.96σ/√

n < µ < x̄ + 1.96σ√

n] = 0.95

yang disebut juga selang kepercayaan dua sisi/arah (two-sided confidence interval).


GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007(x̄− 1.96 · σ√

n, x̄ + 1.96 · σ√

n

)adalah selang kepercayaan 95% untuk µ.

atau

x̄− 1.96 · σ√n

< µ < x̄ + 1.96 · σ√n

dengan kepercayaan 95%

Untuk yang satu sisi

P{

µ < x̄ + zα

(σ√n

)}= 1− α



Untuk kasus σ tidak diketahui dan diganti dengan simpangan

baku s, maka estimator (x̄ − µ)/(s/√

n) memiliki distribusi

student dengan derajat kebebasan (n − 1). Dan probabilitas

untuk estimator tsb menjadi.

P{−tα/2,n−1 < x̄−µ

s/√

n< tα/2,n−1

}= 1− α

atau

P{

x̄− tα/2,n−1 · s√n

< µ < x̄ + tα/2,n−1 · s√n

}= 1− α



Selang kepercayaan untuk variansi-kovariansi

Digunakan estimator ms2

σ2 . Diketahui ukuran lebih atau

derajat kebebasan (m), variansi sampel (s2), dan nilai

menengah sampel (x̄). Selang kepercayaan untuk variansi

populasi (σ2):

P{

χ21−α/2,m < ms2

σ2 < χ2α/2,m

}atau

P

{ms2

χ21−α/2,m

< σ2 < ms2

χ2α/2,m

}– Typeset by FoilTEX – 16


Selang kepercayaan untuk perbandinganvariansi

Diketahui: dua sampel acak yang independen dengan jumlah

sampel n1 dan n2 dari populasi normal yang memiliki variansi σ21

dan σ22. Setiap variabel acak

m1s21

σ21

danm2s2

2

σ22

memiliki distribusi

χ2 dengan derajat kebebasan m1 dan m2. Perbandingan

F = m1s21/σ2

1

m2s22/σ2

2

memiliki distribusi F dengan derajat kebebasan m1 dan m2.

Tingkat kepercayaan (1− α) variabel acak F adalah



P{

F1−α/2,m1,m2<

s21/σ2

1

s22/σ2

2< Fα/2,m1,m2

}= 1− α

atau

P{

s22

s21F1−α/2,m1,m2

<σ2

1

σ22

<s22

s21Fα/2,m1,m2

}= 1− α

Contoh: dari 17 buah ukuran jarak diperoleh simpangan baku

±0.004 m. (atau S2 = 0.000016). Dengan derajat kebebasan

(17 − 1) = 16, sebuah interval kepercayaan 95% memerlukan

χ20.975,16 = 6.908 dan χ2

.025,16 = 28.245. Intervalnya adalah(16·(0.000016)

28.845 , 16·(0.000016)6.908

)= (0.000008875, 0.00003706)



maka (0.00298, 0.00609) adalah selang kepercayaan 95%

untuk σ.



Uji Statistik (Statistical Test)

Digunakan untuk membandingkan hasil-hasil (hitungan

statistik) dengan hasil sebelumnya atau dengan standar

tertentu.

Hipotesa: Pernyataan - explisit maupun implisit - tentang

distribusi probabilitas sebuah variabel acak. Hipotesa dikatakan

“sederhana” bila mencakup semua parameter distribusi, dan

dikatakan “komposit” apabila hanya mencakup sebagian

parameter distribusi.



Prosedur umum: Selalu mengacu pada satu “hipotesa nol”

H0 (null hypothesis), yaitu parameter-parameter distribusi

yang menjadi pembanding hasil estimasi sampel. H0 ini

sering disebut sebagai hipotesa yang di-klaim sebagai nilai

yang “benar”. Hasil pengujian adalah sebuah pernyataan

bahwa hipotesa nol tersebut dapat diterima atau tidak dalam

hubungannya dengan bukti-bukti (statistik) yang ada.

Penggunaan lain uji statistik ini adalah mengambil keputusan

antara hipotesa nol H0 dibandingkan dengan hipotesa-hipotesa

alternatif (Ha, alternative hypothesis) lain, yang disebut juga

sebagai hipotesa tandingan.



Hipotesa tandingan ini yang sering disebut sebagai “hipotesa

peneliti/pengukur” karena nilai ini yang akan divalidasi.

Contoh: Pengukur diharuskan mencapai nilai menengah

ukuran jarak adalah µ =75.50 m. Maka dapat dilakukan uji

H0 : µ = 75.50 melawan hipotesa tandingan Ha : µ 6= 75.50.

Prosedure pengujian melingkupi dua hal

1. Uji statistik atau fungsi dari sampel untuk basis pengambilan

keputusan.

2. Daerah penolakan, himpunan nilai statistik pengujian yang

akan menolak H0.



Kemungkinan hasil pengujian

H0 Diterima Ditolak

(accepted) (rejected)

True ok Kesalahan Tipe I (α)

False Kesalahan Tipe II (β) ok



Probabilitas tipe I (α): disebut sebagai level signifikan uji

(significance level of the test). Bisa 5%, 2%, atau 1%. Dalam

kasus ini, uji hipotesa ditolak apabila H0 benar.

Probabilitas tipe II (β): (1 − β) disebut sebagai kekuatan

uji (power of a test). Dalam kasus ini, uji hipotesa diterima

apabila H0 salah.

Ilustrasi: Misalkan D1 = f(p̂|H0) adalah fungsi padat

probabilitas kondisional untuk parameter estimasi p bila

hipotesa H0 true; dan D2 = f(p̂|H1) adalah fungsi padat

probabilitas kondisional untuk parameter estimasi p bila



hipotesa alternatif H1 true;

Ada nilai pα yang menjadi batas nilai sampel antara H0

diterima dan H0 ditolak (= H1 diterima).

H0 diterima → p̂ < pα

H0 ditolak (H1 diterima) → p̂ > pα

Tidak mungkin pada saat yang sama mendapatkan α dan β

bernilai kecil.

Uji satu sisi (one-tail atau one-sided test): H0 adalah

p = p0 dengan hipotesa alternatif H1 : p > p0 atau bisa juga

H1 : p < p0.



Uji dua sisi: Hipotesa nol H0:p = p0 dengan hipotesa

alternatif H1 : p 6= p0



Uji pada nilai menengah sampel untuk σ

diketahui

Diberikan: Sampel berukuran (n) dengan nilai-nilai xi atau

nilai menengah sampel x̄, dan juga simpangan baku populasi

normal σ. Hipotesa nol yang dipakai adalah H0 : µ = µ0, untuk

menguji apakah nilai menengah populasi sama dengan nilai µ0

a priori. Tiga kemungkinan hipotesa alternatifnya: µ < µ0,

µ > µ0, atau kasus uji dua sisi µ 6= µ0.

Digunakan rumusan variabel acak normal terstandarisasi

z = x̄−µ0σ/√

n



Dengan tingkat signifikan α, ada tiga kemungkinan

kesimpulan:

1. H0 : µ = µ0; H1 : µ < µ0; H1 ditolak bila z < −zα karena

P{

z = x̄−µ0σ/√

n< −zα

}= α

2. H0 : µ = µ0; H1 : µ > µ0; H1 ditolak bila z > zα karena

P{

z = x̄−µ0σ/√

n> zα

}= α

3. H0 : µ = µ0; H1 : µ 6= µ0; H1 ditolak bila z < −zα/2 atau

z > zα/2 karena

P{

zα/2 < x̄− µ0σ/√

n> −zα/2

}= 1− α



Uji pada nilai menengah sampel untuk σ tidakdiketahui

Digunakan variabel acak

t = x̄−µ0s/√

n.

dan batas-batas tα,m dan tα/2,m

dengan m adalah derajat kebebasan.



membandingkan dua nilai menengah sampel(x̄1 dan x̄2)

Hipotesa nol yang diuji adalah µ1 − µ2 = δ

Untuk σ1 dan σ2 diketahui, digunakan variabel acak normal

terstandarisasi

z = x̄1−x̄2−δ√σ2

1/n1+σ22/n2



Untuk σ1 dan σ2 tidak diketahui tetapi diasumsikan sama,

digunakan variabel acak

t = x̄1−x̄2−δr(n1−1)s21+(n2−1)s22

n1+n2−2

q1

n1+ 1

n2



Uji mengenai variansi-variansi

Hipotesa nol σ2 = σ20 diuji terhadap hipotesa tandingan

σ2 6= σ20, σ2 > σ2

0, dan σ2 < σ20. Variabel yang digunakan

adalah

χ2m = ms2

σ20



1. H0 : σ2 = σ20; H1 : σ2 < σ2

0; H0 ditolak bila χ2m < χ2

1−α,m

karena

P{ms2

σ20

< χ21−α,m} = α

2. H0 : σ2 = σ20; H1 : σ2 > σ2

0; H0 ditolak bila χ2m > χ2

α,m

karena

P{ms2

σ20

> χ2α,m} = α

3. H0 : σ2 = σ20; H1 : σ2 6= σ2

0; H0 ditolak bila χ2m < χ2

1−α,m

atau χ2m > χ2

α,m karena



P{χ21−α/2,m < ms2

σ20

< χ2α/2,m} = 1− α

Contoh:

Diberikan sebuah sampel dengan n = 12, nilai menengah

sampel x̄ = 10.0 dan variansi sampel s2 = 0.07.

Ujilah hipotesa H0 : σ0 = 0.10 melawan hipotesa alternatif

H1 bahwa σ2 < 0.10 untuk tingkat kepentingan (level ofsignificance) 0.05!

Jawab:

χ2m = ms2

σ20

= (n−1)s2

σ20

= (11)(0.07)0.10 = 7.70



H0 akan ditolak bila χ2m < χ2

α/2,m. Karena χ0.95,11 = 4.57,

maka H0 tidak dapat ditolak.



Kasus lain tentang perbandingan dua variansi:

Hipotesa nol H0 : σ21 = σ2

2. Digunakan variabel acak

Fm1,m2 = s21

s22

dalam uji statistiknya.

Kemungkinan solusi:

1. H0 : σ21 = σ2

2; H1 : σ21 < σ2

2; H0 ditolak bila Fm1,m2 <

F1−α,m1,m2, karena

P{s21

s22

< F1−α,m1,m2} = α

2. H0 : σ21 = σ2

2; H1 : σ21 > σ2

2; H1 ditolak bila Fm1,m2 >

F1−α,m1,m2, karena



P{s21

s22

> Fα,m1,m2} = α

3. H0 : σ21 = σ2

2; H1 : σ21 6= σ2

2; H1 ditolak bila Fm1,m2 >

Fα/2,m1,m2ketika s2

1 > s22, yang mengacu pada batas atas

saja. Atau bila Fm1,m2 < F1−α/2,m1,m2

Karena a21 > s2

2, maka nilai Fm1,m2 > 1. →F1−α/2,m1,m2

= 1/Fα/2,m1,m2dan Fm1,m2 > 1 sehingga

F1−α/2,m1,m2< 1

Contoh:

Diberikan dua himpunan data sebagai berikut



n1 = 8 x̄1 = 10.1 s21 = 0.10

n2 = 12 x̄2 = 10.0 s22 = 0.07

Ujilah hipotesis (H0) bahwa σ21 = σ2

2 melawan hipotesa

tandingan (H1) bahwa σ21 6= σ2

2 pada tingkat kepentingan

(level of significance) 0.05!

Jawab:

m1 = 8− 1 = 7 m2 = 12− 1 = 11

F7,11 = s21

s22

= 0.100.07 = 1.429 (catat bahwa s2

1 > s22)

H0 akan ditolak bila Fm1,m2 > Fα/2,m1,m2. Karena α/2 =

0.025, dan F0.025,7,11 = 3.76, maka H0 tidak dapat ditolak.



next: Sifat-sifat kesalahan dari pengamatan

1. Kesalahan acak (random errors)

2. Presisi, akurasi, kofaktor, dan pembobotan

3. Kekeliruan (blunders)

4. Kesalahan sistematis (Systematics errors)


fp unsam 2009 sampling, estimasi dan pengukuran kepercayaan

Documents