fiskomm
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Fiskomm
1/26
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Perkembangan dan pertumbuhan ilmu pengetahuan dan teknologi dewasa
ini sangat pesat sehingga tidak lepas dari bermacam-macam ilmu yang digunakan
dalam menuju perkembangan dan pertumbuhan ilmu pengetahuan. Salah satu
ilmu yang digunakan adalah Matematika. Kenyataan bahwa matematika banyak
digunakan dalam pengembangan IPTEK menunjukkan bahwa antara IPTEK dan
matematika mempunyai hubungan yang sangat erat. Menurut Sudjono !"##$%&
kemajuan teknologi yang sangat mengagumkan dewasa ini tidak mungkin dapat
terjadi tanpa bantuan matematika. Matematika mempunyai peranan yang sangat
utama' yaitu memberikan cara ber(ikir yang jelas' tegas' tepat dan konsisten
sebagai sarana pengembang ilmu pengetahuan dan teknologi.
Sebagian besar dari sejarah Ilmu Pengetahuan )lam merupakan catatan
dari usaha manusia secara kontinu untuk merumuskan konsep-konsep yang akan
dapat menguraikan dunia nyata ke dalam istilah-istilah matematika. Metode
numerik merupakan salah satu cabang ilmu matematika' khususnya matematika
rekayasa' yang menggunakan bilangan untuk menirukan proses matematik.
Proses matematik ini selanjutnya telah dirumuskan untuk menirukan keadaan
sebenarnya. *idalam kegiatan rekayasa dan penelitian' setiap analisis diharapkan
dapat menghasilkan bilangan yang diperlukan dalam perencanaan teknik ataupun
penghayatan masalah.
Persamaan di(erensial merupakan suatu persamaan yang mengandung
turunan (ungsi. +erdasarkan ,ariabel bebas' persamaan di(erensial dibagi menjadi
dua yaitu persamaan di(erensial biasa hanya mengandung satu ,ariabel bebas&
dan persamaan di(erensial parsial mengandung lebih dari satu ,ariabel bebas&.
)da beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan
di(erensial.Pertama,persamaan di(erensial biasa' metode yang digunakan adalah
metode Euler' metode unge-Kutta' metode eun' dan sebagainya. Kedua,
persamaan di(erensial parsial' metode yang digunakan adalah metode beda hingga
skema Eksplisit' skema Implisit' skema /rank-0icholson dan sebagainya.
!
-
7/25/2019 Fiskomm
2/26
2
Metode penyelesaian numerik tidak ada batasan mengenai bentuk
persamaan di(erensial. Penyelesaian diperoleh berupa iterasi numerik dari (ungsi
untuk berbagai ,ariabel bebas. Penyelesaian suatu persamaan di(erensial
dilakukan pada titik-titik yang ditentukan berurutan. 1ntuk mendapatkan hasil
yang lebih teliti' maka inter,al antara titik-titik yang berurutan dibuat semakin
kecil. Sasaran akhir dari analisis numerik yang dilakukan dalam metode numeric
adalah diperolehnya metode yang terbaik untuk memperoleh jawaban yang
berguna dari berbagai jawaban yang dapat diperoleh yang tidak dinyatakan dalam
bentuk aljabar' persamaan di(erensial biasa atau parsial' persamaan integral' atau
kumpulan dari persamaan tersebut.
1.2. Rumusan Masalah
*alam penelitian ini' diberikan beberapa rumusan masalah sebagai
berikut $
!. +agaimana penyelesaian integrasi numerik menggunakan persamaan
di(erensial parsial dan metode beda hingga skemaImplicit Crank Nicholson 2
3. +agaimana penyelesaian persamaan di(erensial parsial dengan metode
beda hingga skemaImplicitCrank Nicholson24. +agaimana analisis perbandingan metode beda hingga skema Implicit
Crank Nicholsonpada persamaan di(erensial parsial 2
1.3. Batasan Masalah
*alam pembahasan ini penulis membatasi ruang lingkup
permasalahanpenelitian ini' antara lain $
!. Panjang Kanal 5& yang dimodelkan 3666 meter'
3. 5ebar 7rid 89& : !66 meter'4. Koe(isien *i(usi )*& : !6 m3;detik'
. 5angkah ?aktu 8t& :
-
7/25/2019 Fiskomm
3/26
3
!. Mempelajari persamaan di(erensial parsial dan metode beda hingga skema
Implicit Crank Nicholson untuk penyelesaian integrasi numerik.
3. Mengetahui penyelesaian persamaan di(erensial parsial dengan metode beda
hingga skemaImplicit Crank Nicholson.
4. Menganalisis metode beda hingga skemaImplicit Crank Nicholson.
1.!. Man"aat
!. *apat mempelajari persamaan di(erensial parsial dan metode beda hingga
hingga skemaImplicit Crank Nicholson untuk penyelesaian integrasi numerik.
3. *apat mengetahui penyelesaian persamaan di(erensial parsial dengan metode
beda hingga skemaImplicit Crank Nicholson.
4. *apat menganalisis metode beda hingga skemaImplicit Crank Nicholson.
-
7/25/2019 Fiskomm
4/26
4
BAB II
TIN#AUAN PU$TA%A
2.1 Persamaan D&"erens&al
Persamaan di(erensial adalah persamaan yang melibatkan ,ariabel-
,ariabel tak bebas dan deri,ati(-deri,ati(nya terhadap ,ariabel-,ariabel
bebas. +erikut ini adalah contoh persamaan di(erensial$
x2
d2y
d x2 - >9
dx
dy : 6 ,ariabel bebas : 9@ ,ariabel tak bebas : y
3.!&
yA : e9 B sin 9 ,ariabel bebas : 9@ ,ariabel tak bebas : y 3.3&
d2Q
d t2 - 4
dQ
dt B !6C : < ,ariabel bebas : t@ ,ariabel tak bebas : C
3.4&
2
v
x2 B
2v
y2 : 6 ,ariabel bebas : 9'y@ ,ariabel tak bebas : D
3.
-
7/25/2019 Fiskomm
5/26
5
9dy
dx - y3 : 6 adalah P*+ orde satu
9yd2y
d x2 - y3 sin 9 : 6 adalah P*+ orde dua
d2y
d x2 - y
dy
dx B e
-
7/25/2019 Fiskomm
6/26
6
3. ika F9& : 6' maka disebut persamaan di(erensial linier homogen' jika F9&0
6 disebut tidak homogen Pamuntjak'!""6$!-!3&.
2.1.2 Persamaan D&"erens&al Pars&al
Kebanyakan permasalahan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi dapat
dipresentasikan dalam bentuk persamaan di(erensial parsial. Persamaan tersebut
merupakan laju perubahan terhadap dua atau lebih ,ariabel bebas yang biasanya
adalah waktu dan jarak ruang&. +entuk umum persamaan di(erensial parsial order
3 dan dua dimensi adalah$
6g(y
e9
dy
c9y
b9
a3
33
3
3
=++
+
+
+
+
3.>&
dengan a, b, c, d, e, fdang merupakan (ungsi dari ,ariabelxdanydan ,ariabel
tidak bebas . Persamaan di(erensial parsial dapat dibedakan menjadi 4 tipe yaitu$
!& Persamaan Ellips jika $ b3 H
-
7/25/2019 Fiskomm
7/26
7
*aerah tinjauan S dibagi menjadi sejumlah pias titik hitungan P& dengan jarak
antara pias adalahx dan
y. Kondisi di mana ,ariabel tidak bebas & harus
memenuhi di sekeliling kur,e / disebut dengan kondisi batas. Penyelesaian
persamaan di(erensial merupakan perkiraan dari nilai pada titik-titik hitungan
P!!'P!3' 'Pij' Perkiraan dilakukan dengan mengganti turunan dari persamaan
di(erensial parsial dengan menggunakan perkiraan beda hingga
*jojodiharjo'3666$46=&.
amar 2.1Penyelesaian persamaan di(erensial parsial
A+ Beera)a Bentuk Persamaan D&"erens&al Pars&al
+erikut ini diberikan beberapa bentuk persamaan di(erensial parsial.
a& Persamaan llips
Persamaan yang termasuk dalam tipe ini adalah persamaan Poisson$
6gy9 3
3
3
3
=+
+
3.%&
dan persamaan 5aplace$
63
3
3
3
=
+
yx
3.#&
b& Persamaan Parabola
-
7/25/2019 Fiskomm
8/26
8
Permasalahan yang mengandung waktu sebagai ,ariabel bebas biasanya
termasuk dalam persamaan parabola. Persamaan parabola yang paling sederhana
adalah perambatan panas dan di(usi polutan' yang mempunyai bentuk$
3
3
x
!K
t
!
=
*alam persamaan perambatan panas' T temperatur&' K koe(isien kondukti,itas&'
serta ,ariabel twaktu& danxjarak&.
c& Persamaan "iperbola
Persamaan hiperbola yang paling sederhana adalah persamaan gelombang
yang mempunyai bentuk berikut$
3
33
3
3
x
yC
t
y
=
3."&
denganyadalah perpindahan (luktuasi pada jarakxdari ujung tali yang bergetar
yang mempunyai panjang 5 sesudah waktu t.
B+ Perk&raan D&"erens&al Dengan Be(a H&ngga
7ambar 3.3 adalah jaringan titik hitungan pada bidang x-y yang dapat
dibagi menjadi sejumlah pias segi empat dengan sisi x dan y. Panjang pias
dalam arah x adalah x dan dalam arah y adalah y. *engan menggunakan
jaringan titik hitungan pada gambar 3.3' semua di(erensial ditulis pada titik
hitungan i'#&. bentuk turunan pertama dan kedua didekati oleh$
xx
+ j'ij'!i
3."a&
xx
j'!ij'i
3."b&
xx
+
3
j'!ij'!i
3."c&
-
7/25/2019 Fiskomm
9/26
9
3
j'!ij'ij'!i
3
3 3
xx
+
+
3."d&
amar 2.2 aringan titik hitungan dalam bidangx-y
+entuk Persamaan 3."a&' 3."b& dan 3."c& disebut dengan di(erensial maju'
mundur dan terpusat. *i(erensial terhadap y juga dapat ditulis dalam bentuk
seperti di atas' yaitu $
yy
'!'
+ #i#i
3.!6a&
yy
!j'ij'i
3.!6b&
yy
+
3
!j'i!j'i
3.!6c&
3
!j'ij'i!j'i
3
3 3
yy +
+
3.!6d&
+entuk di(erensial melintang dapat didekati dengan $
yxyx
+
++++
&
1
tTi
i+1 K
x2Ti1
i+1+2K
x2Ti
i+1 K
x2Ti+1
i+1= 1
tTi
1
3.!%&
K
x2Ti1
i+1 +( 1 t+ 2K x2 )Tii+1
K
x2
Ti+1i+1=
1
tTi
1
3.!#&
atau
ATi1i+1+B Ti
i+1+C Ti+1i+1=
1
tTi
1
3.!"&
*imana $
):
K
x2
+:
1
t+2K
x2
/:
K
x2
0ilai Til+1
tidak diketahui besarnya' sedangkan nilai Til
diketahui
besarnya. *iasumsikan bahwa untuk i : !' 3' 4' ... ' n-!' maka dari persamaan 3.&
akan terbentuk sistem persamaan seperti berikut $
i : !AT
0
i+1+B T1
i+1C T2
i+1= 1
tT
1
1
i : 3Ac
1
i+1+B c2
i+1C c3
i+1= 1
tT
2
1
i : 4AT
2
i+1+B T3
i+1C T4
i+1= 1
tT
3
1
-
7/25/2019 Fiskomm
16/26
16
i : n-!ATn2
i+1 +B Tnii+1C Tn
i+1= 1
tTn1
1
3.36&
dengan diketahui nilai awal dan nilai batasnya' dalam bentuk matrik adalah$
[ BC0 0 .. 000A BC0 ..0000A BC ..000
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .0000 . .0A B
][
T1
i+1
T2
i+1
T3
i+1
.
.
Tn1i+1
]
=[ A b
0+ 1
tT
1
1
1
tT
2
1
1
tT
3
1
.
.
1 t
Tn11 +C b1
] 3.3!&Lang' 366=$
-
7/25/2019 Fiskomm
17/26
17
yang memengaruhi kecepatan di(usi adalah suhu. Semakin tinggi suhu' partikel
mendapatkan energi untuk bergerak dengan lebih cepat. Maka' semakin cepat
pula kecepatan di(usinya.
/ontoh proses di(usi satu dimensi adalah perambatan energi panas pada
logam besi. Proses di(usi akan terus berlangsung sampai panas tersebar luas
secara merata pada logam besi atau mencapai keadaan kesetimbangan dimana
perpindahan energi panas tetap terjadi walaupun tidak ada perbedaan suhu )mes'
!"%%&.
2.4 Persamaan M/(el
2.4.1 Persamaan Pemangun
Persamaan di(usi ! dimensi yang digunakan adalah$
F
t=D
2F
x2
3.3&
Tin+1Ti
n
t =D(
Ti+1n 2Ti
n+Ti1n
hx2
) 3.3%&
Tin+1=
D t
hx2 (Ti+1
n 2Tin+Ti1
n )+Tin
3.3#&
dengan * : k;pc adalah tetapan di(usi' k adalah kondukti,itas termal penghantar'
p adalah massa jenis penghantar' dan c adalah panas jenis penghantar. Proses
di(usi ini dapat diselesaikan melalui pendekatan numerik dengan bantuan
so(tware Matlab' kemudian disimulasikan dengan so(tware ParaDiew. 5angkah
pertama yang harus diambil adalah dengan menyelesaikan persamaan diatas
melalui pendekatan numerik dengan menggunakan pendekatan beda hingga untuk
deri,ati(nya. Sebelumnya persamaan tersebut diubah menjadi bentuk diskret agar
-
7/25/2019 Fiskomm
18/26
18
lebih mudah melakukan proses komputasinya dan diperoleh ketelitian proses
komputasi yang tinggi )mes' !"%%&.
2.4.2 Deskr&t&sas& M/(el
Persamaan beda hingga metode ini adalah pendekatan beda maju untuk
turunan waktu dan beda puat untuk turunan ruang. +ila indeks n untuk waktu'
indeks i untuk ruang' dan )d dianggap konstan terhadap ruang dan waktu' maka
persamaan di atas dapat dideskritasi menjadi$
Fin+1=Fi
n+(Fi+1n 2Fi
n+Fi1n ) 3.3"&
dimana=Ad t
x2
Kriteria stabilitas untuk menyelesaikan persamaan di(usi dengan metode beda
hingga eksplisit adalah$
=Ad t
x2
1
2
)mes' !"%%&.
-
7/25/2019 Fiskomm
19/26
19
BAB III
MET'DE
3.1. Alg/r&tma
!. Mulai
3. *iinput semua parameter batas $
a. Panjang Kanal 5& yang dimodelkan 3666 meter'
b. 5ebar 7rid 89& : !66 meter'
c. Koe(isien *i(usi )*& : !6 m3;detik'
d. Konsentrasi di kanan persamaanFimax
n+1
:Fimax 1
n+1
'e. 5ama Simulasi T& : 366 detik'
(. 5angkah ?aktu 8t& :
-
7/25/2019 Fiskomm
20/26
20
3.2. 8l/-9hart
-
7/25/2019 Fiskomm
21/26
21
-
7/25/2019 Fiskomm
22/26
22
3.3.Script Program
N=15;
dx=100;dt=40;
D=10;
U=0;
l=0;
Cin=(D*dt)/(dx^2);
M = 200; tic;
c = zeros(N,M1);
! "ondisi #$t$s
%orn = 1&N
c(n,1) =Cin;
c(n,M1) = 0;
end
! "ondisi '$l%ori = 1&M
c(1,i) = 0;
end
! ter$si Cr$n+Nicolson
'=D/(2*(dx^2))U/(4*dx);
#=(11/(2*dt))(D/(dx^2));
C=D/(2*(dx^2))+U/(4*dx);
-=(1+1/(2*dt))+(D/(dx^2));
! .ensn$n $tris oe%isien
=zeros(M+1,M+1);
(1,1)=#; (1,2)=+C;
%ori = 2&M+2
(i,i+1)=+'; (i,i)=#; (i,i1)=+C;end
(M+1,M+2)=+'; (M+1,M+1)=#;
! 3ensn$n $tris oe%isien
=zeros(M+1,M+1);
(1,1)=#; (1,2)=+C;
%ori = 2&M+2
(i,i+1)='; (i,i)=-; (i,i1)=C;
end
%ire(1)
3lot(1&N,c,6+*6);
rid on;
xl$7el(6iter$si (i)6);l$7el(6onsentr$si (c(x,t))6);
%ire(2)
es(1&M1,1&N,c);
rid on;
xl$7el(68$r$6);
l$7el(6$t6);
zl$7el(6onsentr$si (c(x,t))6);
-
7/25/2019 Fiskomm
23/26
23
BAB I:
HA$IL DAN PEMBAHA$AN
4.1. Has&l
ra"&k 4.1. 7ra(ik Konsentrasi terhadap ?aktu
ra"&k 4.2. 7ra(ik Konsentrasi terhadap ?aktu 4 *imensi&
4.2. Pemahasan
Metode Crank Nicholson yaitu metode yang menghilangkan
ketergantungan terhadap syarat kestabilan' dan menggunakan metode implisit
dimana turunan kedua (ungsi turunan kedua (ungsi didekati dengan harga harga3!
-
7/25/2019 Fiskomm
24/26
24
rata-rata pada langkah ke nB! dan ke n. Seharusnya metode crank nicholson
adalah metode yang hasil penyebaran konsentrasinya lebih baik dan stabil' tetapi
terdapat kesalahan pada pemograman sehingga praktikan tidak mendapat hasil
yang lebih baik
*engan beberapa parameter acuan yaitu
!. Panjang Kanal 5& yang dimodelkan 3666 meter'
3. 5ebar 7rid 89& : !66 meter'
4. Koe(isien *i(usi )*& : !6 m3;detik'
. 5angkah ?aktu 8t& :
-
7/25/2019 Fiskomm
25/26
25
BAB :
PENUTUP
!.1. %es&m)ulan
!. Metode Implicit Crank Nicholson ini menggunakan beda maju untuk
waktu dan beda pusat untuk ruang yang didekati dengan harga rata-rata
pada langkah waktu ke-nB!& dan ke-n.
3. asil diskritisasi mendekati solusi analitik dikarenakan dari skema
Implicit Crank Nicholsonpada persamaan di(usi stabil pada saat 8dan 8
berapapun' hasil diskritisasi memenuhi syarat konsistensi karena error
pemotongannya menuju nol untuk 8N6 dan 8tN6.3. Suatu syarat batas bukan syarat batas yang berlaku untuk seluruh kondisi
waktu& dapat digunakan untuk mengetahui seberapa lama dan panjang
pengaruh dari suatu konsentrasi hingga tara( yang aman sesuai ketetapan.
!.2. $aran
Penulis menyarankan untuk menambahkan metode lainnya seperti dengan
menggunakan metode xplicit agar dapat diketahui perbandingannya di setiap
metode.
34
-
7/25/2019 Fiskomm
26/26
26
DA8TAR PU$TA%A
)mes' ?illiam F. !"%%. Computer $cience and %pplied &athematics Numerical
ðods 'or Partial (ifferential quations, )nd dition* 5ondon-
1S)$ )cademic Press. I0/
*jojodihardjo' arijono. !"#4.&etoda Numerik. akarta$ Erlangga
Pamuntjak O Santoso. !""6. Persamaan (iferensil +iasa' (akultas
MIP).+andung$ Institut Teknologi +andung.
Lang' ?on Lung. 366=. %pplied Numerical ðode sing &atlab* 1S)$
?ileyInterscience