1

VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS (DISTRIBUSI TEORITIS)

2

Variabel = karakteristik unit yang diukur dalam pengumpulan data yang nilainya bervariasi umur, tinggi badan, berat badan, tekanan darah, diagnosis, pengobatan dll

Variabel acak (random variable) = jika variabel diukur sebagai bagian dari suatu percobaan atau pada pengambilan sampel.

Variabel acak ada 2 : diskrit dan kontinyu

3

Distribusi Probabilitas Distribusi Binomial (Bernaulli) Distribusi Poisson Distribusi Normal (Gauss) Distribusi Student (t W Gosset) Distribusi Chi Square Distribusi Fisher (F) dll

4

Distribusi Binomial

Distribusi random diskrit Distribusi probabilitas diskrit Distribusi Bernaulli (penemu: James Bernaulli) Bernaulli trial mempunyai 4 syarat: 1. Jumlah trial merupakan bilangan bulat 2. Setiap eksperimen mempunyai 2 outcome (hasil) 3. Peluang sukses sama setiap eksperimen 4. Setiap eksperimen independen satu sama lain

5

Contoh: Jumlah pasien tidak sembuh dalam suatu

trial pengobatan 10 orang dari 200 orang. Peluang tidak sembuh (p) = 10/200 = 0,05, peluang sembuh = 0,95

Peluang seorang ibu hamil memeriksakan kehamilan ke puskesmas 3/10. Peluang ibu tidak periksa ke puskesmas = 7/10.

6

Kalau suatu trial dilakukan n kali (n = 1, 2, 3, …, n) maka jumlah sukses (variabel random X) dapat menjalani nilai dari 0 sampai n (0, 1, 2, …, n) kali.

Contoh: Seorang ibu ingin mempunyai tiga orang anak (n = 3). Maka kalau yang dianggap sukses adalah lahirnya anak perempuan maka variabel random X dapat menjalani nilai 0, 1, 2, 3.

Simbol untuk suatu trial Bernaulli/Binomial b(X,n,p)

Suatu probabilitas binomial/Bernaulli, banyaknya sukses yang akan terjadi, pada n kali trial, dimana probabilitas sukses setiap trial adalah p

7

Contoh: Probabilitas seorang bayi tidak diimunisasi 0.2.

Kalau pada suatu hari di puskesmas ada sebanyak 5 bayi, berapa peluang 2 bayi belum diimunisasi.

b(X=2, n=5, p=0.2) b(2, 3, 0.2) Rumus umum:

xnxn

xp)(1p

x)!(nx!n!n

x

8

Peluang bayi belum diimunisasi dari 5 bayi yang berkunjung ke puskesmas kalau peluang tidak imunisasi 0.2

Kalau trial sudah banyak perhitungan probabilitas memakai rumus sudah sulit tabel binomial

0.20480.80.21)21(3212345

p 32

9

Latihan

1. Seorang ahli gizi di RSCM sudah berpengalaman menyatakan bahwa jeruk import selalu rusak sebanyak 20%. Pada suatu hari ia membuka sebanyak 10 jeruk, berapa peluang yang rusak:

a. paling banyak 3 jeruk

b. antara 2-4 jeruk

10

2. Biasanya di suatu puskesmas dari semua resep yang masuk 30% resep berisi antibiotik. Pada suatu hari diambil acak 20 resep, berapa peluang dari 20 resep akan berisi antibiotik:

a. tepat 5 resep

b. paling sedikit 8 resep

11

Distribusi Poisson Variabel random diskrit p<<<<< n >>>>> Contoh: Kejadian seseorang akan

meninggal karena shok pada waktu disuntik dengan vaksin meningitis 0,0005.

12

Rumus fungsi distribusi Poisson:

= = np = E(x) nilai rata-rata E = konstanta = 2,71828 X = variabel random diskrit (1, 2, …, x)

x!eλ

x!eμ

p(x)λxμx

13

Contoh Kejadian seseorang akan meninggal karena

shok pada waktu disuntik dengan vaksin meningitis 0,0005. Kalau di suatu kota jumlah orang yang dilakukan vaksinasi sebanyak 4000, berapa peluang tepat 3 orang akan terjadi shok.

Jawab: = = np = 4000 x 0,0005 = 2

0,18041*2*3

2*23)p(x

23

71828,

14

Distribusi Normal

Paling banyak digunakan dalam analisis statistik Variabel random kontinu Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x Simetris Mempunyai satu modus kurva unimodal Seperti lonceng Grafiknya mendekati sumbu datar x dimulai dari

x = - 3 ke kiri dan x = + 3 kanan Luas = probability = 1

15

Fungsi :

f(x) distribusi kontinu akan selalu dapat dicari dengan persamaan fungsi kurva normal (secara integral) tetapi tidak praktis.

Agar lebih praktis ada tabel kurva normal. Kurva normal standar mempunyai =0

dan =1 N(0,1)

22 )(

2

1

21

f(x)

xe

16

Untuk suatu sampel yang cukup besar biasanya kurva yang dibentuk dari distribusi tersebut simetris dengan dan simpangan baku tertentu kurva normal umum.

Untuk dapat menentukan probabilitas di dalam kurva normal umum, maka nilai yang akan dicari ditransformasikan dulu ke nilai kurva normal standar melalui transformasi Z (deviasi relatif)

x

x

zs

xxz

17

Contoh: Suatu penelitian terhadap 150 orang laki-

laki yang berumur 40-60 tahun didapatkan rata-rata kadar kolesterol mereka 215 mg% dan simpangan baku 45 mg%. Berapa peluang mendapatkan seseorang yang kadar kolesterolnya:a. > 250 mg%

b. < 200 mg%

c. antara 200-275 mg%

18

Distribusi Student (t) Fungsi:

t = - < t < K = bilangan tetap yang tergantung pada n

sehingga luas daerah di bawah kurva sama dengan 1 unit.

Terdapat bilangan (n-1) derajat kebebasan. Untuk harga-harga n yang besar (n > 30)

mendekati distribusi normal.

19

Distribusi CHI KUADRAT Persamaan: f(u) = K.u1/2v-1.e-1/2u

u = 2 dan harga u > 0 v = derajat kebebasan K = bilangan tetap tergantung pada v luas daerah di bawah kurva sama dengan 1 satuan luas Umumnya merupakan kurva positif mring

ke kanan.

20

Distribusi F Persamaan :

F memenuhi F > 0

K = bilangan tetap tergantung pada v1 dan v2 sehingga luas di bawah kurva sama dengan 1

v1 = dk pembilang

v2 = dk penyebut Mempunyai 2 dk Tidak simetris dan umumnya sedikit positif

)21(2/1

2

1

)21(2/1

1

.)(vv

v

vFv

FKFf