dasar-dasar logika · web view2014-09-24 · dasar logika. 1.1 kalimat deklaratif. ... karena di...

Logika Informatika

BAB I

DASAR LOGIKA

1.1 Kalimat Deklaratif

Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen-argumen) dan hubungan

yang ada di antara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah memeberikan aturan-

aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernialai benar.

Kalimat yang dipelajari dalam logika bersifat umum, baik bahasa sehari-hari maupun

bukti matematika yang didasarkan atas hipotesa-hipotesa. Oleh karena itu, aturan-

aturan yang berlaku di dalamnya haruslah bersifat umum dan tidak tergantung pada

kalimat atau disiplin ilmu tertentu.Ilmu logika lebih mengarah pada bentuk kalimat

(sintaks) daripada arti kalimat itu sendiri (semantik)

Suatu Kalimat Deklaratif (Proposisi) adalah kalimat yang bernilai benar atau salah,

tetapi tidak keduanya.

Contoh Proposisi:

a. 2 + 2 = 4 (bernilai benar)

b. 4 adalah bilangan prima (bernilai salah)

c. Jakarta adalah ibukota negara Indonesia. (bernilai benar)

d. Penduduk Indonesia berjumlah 50 juta. (bernilai salah)

Contoh Bukan Proposisi :

a. Dimana letak pulau Bali ? (kalimat tanya)

b. Simon lebih tinggi dari Lina (ada banyak orang bernama Simon

atau Lina di dunia)

c. x + y = 2 (nilaikebenaran tergantung niali x

dan y)

d. 2 mencintai 3 (relasi mencintai tidak berlaku di

bilangan)

.

STMIK ‘Sinus’ Ska i Wawan Laksito YS

Logika Informatika -1

1.2 Penghubung Kalimat

Seringkali beberapa kalimat perlu digabungkan menjadi satu kalimat yang lebih

panjang, sehingga diperlukan penghubung kalimat. Dalam Logika dikenal 5

penghubung :

Simbol Arti Bentuk

~ Tidak / Not / Negasi Tidak ….. Dan / And / konjungsi …… dan ……. Atau / Or / Disjungsi …… atau …… Imlikasi Jika …. Maka ….. Bi-Implikasi ….. bila dan hanya bila ….

Dalam matematika digunakan huruf-huruf kecil seperti p, q, r,…. Untuk menyatakan

sub kalimat dan simbol-simbol penghubung untuk menyatakan penghubung kalimat.

Contoh :

a. Misal p menyatakan kalimat “ 4 adalah bilangan genap”

q menyatakan kalimat “3 adalah bilangan ganjil”

maka kalimat “ 4 adalah bilangan genap dan 3 adalah bilangan ganjil” dapat

dinyatakan dengan simbol p q

b. Misal p : 2 + 2 = 4

q : bunga melati berwarna putih.

maka kalimat “Jika 2 + 2 = 4, maka bunga melati berwarna putih” dapat

dinyatakan dengan simbol p q

Pada contoh b diatas, kalau kalimat tersebut diartikan dalam kehidupan sehari

maka kalimat tersebut tidak berarti (tidak ada hubungan antara kedua kalimat

penyusunnya). Tetapi secara logika matematis hal tersebut dapat diterima, karena

di dalam matematika tidak disyaratkan adanya adanya hubungan antara kedua

kalimat penyusunnya. Dalam Logika matematika, penekanan lebih ditujukan

kepada bentuk/susunan kalimat saja (sintak), dan bukan pada arti kalimat

penyusunnya dalam kehidupan sehari-hari (semantik). Kebenaran suatu kalimat

berimplikasi semata-mata hanya tergantung pada nilai kebenaran kalimat

STMIK ‘Sinus’ Ska Wawan Laksito YS


penyusunnya, dan tidak tergantung pada ada/tidaknya relasi antara kalimat-

kalimat penyusunnya.

Jika p dan q merupakan kalimat-kalimat, maka tabel kebenaran penghubung

tampak pada tabel berikut :

p q ~p p q p q p q p q

T T F T T T T

T F F F T F F

F T T F T T F

F F T F F T T

( T = True/benar, F = False/salah )

Secara umum, jika ada n variabel (p,q,…), maka tabel kebenaran memuat 2n baris.

Dari tabel :

p q bernilai benar jika p maupun q benar, selain itu bernilai salah

p q bernilai benar jika ada sedikitnya satu variabel bernilai benar

Dalam kalimat p q , p disebut hipotesis (anteseden) dan q disebut konklusi

(konsekuen). Kalimat p q disebut kalimat berkondisi karena kebenaran kalimat

q tergantung pada kebenaran kalimat p. kalimat p q akan berniali salah kalau p

benar dan q salah. Sebagai contoh perhatikan apa yang diucapkan seorang pria

terhadap kekasihnya berikut ini :

“Jika besok cerah, maka aku datang” >> p : “besok cerah” , q : “aku akan

datang”

- Jika baik p maupun q keduanya benar (baris ke-1 tabel kebenaran), pria tersebut

tidak berbohong.

- jika p salah (ternyata keesokan harinya hujan, tidak cerah), maka pria tersebut

terbebas dari janjinya karena janji tersebut bersyarat, yaitu kalau besok cerah.

Jadi, baik pria tersebut datang (berarti q benar, sehingga menyatakan baris ke-3



tabel) maupun tidak datang (q salah ,sehingga menyatakan baris ke-4 tabel), pria

tersebut tidak akan disalahkan.

- Akan tetapi, pria tersebut akan disalahkan (berarti implikasi berniali salah)

apabila keesokkan harinya cuaca cerah ( p benar) tetapi ia tidak datang (q salah).

Ini sesuai baris ke-2 tabel.

Kalimat kondisi ganda (biconditional) p q ,berarti (p q) (q p). Supaya p

q berniali benar maka p q maupun q p, keduanya harus bernilai benar (ingat

bahwa kedua implikasi tersebut dihubungkan dengan kata hubung “dan”). Perhatikan tabel

berikut :

p q p q q p p q atau (p q) ( q p)

T T T T T

T F F T F

F T T F F

F T T T T

Jadi p q bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar atau keduanya

bernilai salah

Soal Latihan :

1. Misal k : Monde orang kaya, s : Monde bersuka cita

Tulislah bentuk simbolis kalimat-kalimat berikut :

a. Monde orang yang miskin tetapi bersuka cita

b. Monde orang kaya atau ia sedih

c. Monde tidak kaya ataupun bersuka cita

d. Monde seorang yang miskin atau ia kaya tetapi sedih.

Anggaplah ingkaran kaya adalah miskin, ingkaran dari bersuka cita adalah

sedih.

2. Buatlah tabel kebenaran untuk kalimat dalam bentuk simbol-simbol logika dibawah

ini !



a. ~(~p ~q) c. (p q) ~(p q)

b. ~(~p q) d. (~p (~q r)) (q r) (p r)

3. Pada kondisi bagaimanakah agar kalimat di bawah ini bernilai benar ?

“Tidaklah benar kalau rumah kuno selalu bersalju atau angker, dan tidak juga

benar kalau sebuah hotel selalu hangat atau rumah kuno selalu rusak.”

4. Jika p dan q bernilai benar (T) ; r dan s bernilai salah (F)

Tentukan nilai kebenaran kalimat berikut ini :

a. p (q r)

b. (p q r) ~((p q) ( r s))

c. (~(p q) ~r) (((~p q) ~r) s)

Dua kalimat disebut Ekuivalen (secara logika) bila dan hanya bila keduannya

mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran

masing-masing kalimat penyusunnya. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat yang

ekuivalen, maka dituliskan p q .

Soal Latihan

5. Tentukan apakah pasangan kalimat-kalimat di bawah ini ekuivalen

a. ~(~p) dengan p

b. ~(p q) dengan ~p ~q

c. p q dengan ~p q

Beberapa hukum ekuivalensi logika disajikan dalam daftar dibawah ini :

1. Hukum Komutatif : p q q p ; p q q p

2. hukum Asosiatif : (p q) r p (q r)

(p q) r p (q r)

3. Hukum Distributif : p (q r) (p q) (p r)

p (q r ) (p q) (p r)

4. Hukum Identitas : p T p ; p F p



5. Hukum Ikatan : p T T ; p F F

6. Hukum Negasi : p ~p T ; p ~p F

7. Hukum Negasi Ganda : ~(~p) p

8. Hukum Idempoten : p p p ; p p p

9. Hukum De Morgan : ~(p q) ~p ~q

~(p q) ~p ~q

10. Hukum Absorbsi : p (p q) p ; p (p q) p

11. Negasi T dan F : ~T F ; ~F T

Dengan hukum-hukum tersebut, kalimat-kalimat yang kompleks dapat

disederhanakan.

Contoh :

Sederhanakan bentuk ~(~p q) (p q)

Penyelesaian :

~(~p q) (p q) (~(~p) ~q) (p q)

(p ~q) (p q)

p (~q q)

p F

p

Jadi ~(~p q) (p q) p

Dalam membuktikan ekuivalensi P Q, ada 3 macam cara yang bisa dilakukan :

1. P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum yang ada),

sehingga akhirnya didapat Q

2. Q diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum yang ada)

sehingga akhirnya didapat P.

3. P dan Q masing-masing diturunkan secara terpisah ( dengan menggunakan

hukum-hukum yang ada ) sehingga akhirnya sama-sama didapat R

Sebagai aturan kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks diturunkan ke bentuk

yang lebih sederhana.



Soal Latihan

6. Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimat dibawah ini tanpa menggunakan tabel

kebenaran

a. ~(p ~q) V (~p ~q) ~p

b. ~((~p q) (~p ~q) ) (p q) p

c. (p (~(~p q))) (p q) p

Untuk menunjukkan ekuivalensi 2 kalimat yang melibatkan penghubung

(implikasi) dan (bi-implikasi), Kita harus terlebih ahulu mengubah penghubung

dan menjadi penghubung , dan ~. (kenyataan bahwa (p q) (~p q)

mempermudah kita untuk melakukannya)

7. Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimat dibawah ini tanpa menggunakan tabel

kebenaran

a. (q p) (~p ~q)

b. (p (q r)) ((p q) r)

8. Ubahlah bentuk ~(p q) sehingga hanya memuat penghubung , atau ~

1.3 Tautologi dan Kontradiksi

Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (T), Tidak peduli

bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Sebaliknya,

Kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (F), tidak peduli

nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.

Dalam tabel kebenaran, suatu Tautologi selalu bernilai T pada semua barisnya, dan

kontradiksi selalu bernilai F pada semua barisnya. Kalau kalimat tautologi

diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya selalu menghasilkan

T. Sebaliknya , Kontradisi akan selalu menghasilkan F.

9. Tunjukkan bahwa kalimat-kalimat di bawah ini adalah Tautologi dengan

menggunakan tabel kebenaran.



a. (p q) q

b. q (p q)

Kesatuan dari 2 buah kalimat ekuivalen p dan q yang dihubungkan dengan

penghubung selalu merupakan Tautologi karena jika p q maka p dan q selalu

mempunyai nilai kebenaran yang sama. Jika p dan q mempunyai nilai kebenaran

yang sama, maka p q selalu akan berniali benar.

10. Tunjukkan bahwa (p q) (~q ~p) berupakan Tautologi, tanpa

menggunakan tabel kebenaran

1.4 Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Misal diketahui implikasi p q

Konvers-nya adalah q p

Invers-nya adalah ~p ~q

Kontraposisinya adalah ~q ~p

Suatu yang penting dalam logika adalah kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen

dengan konraposisinya. Akan tetapi, tidak demikian dengan Invers dan konvers. Suatu

implikasi tidak selalu ekuivalen dengan Invers ataupun Konvers-nya. Hal ini dapat dilihat

pada tabel kebenaran yang tampak pada pada tabel berikut :

p q ~p ~q p q q p ~p ~q ~q ~p

T T F F T T T T

T F F T F T T F

F T T F T F F T

F F T T T T T T

Dalam tabel terlihat bahwa nilai kebenaran kolom p q selalu sama dengan nilai

kebenaran kolom ~q ~p (Kontraposisi), tetapi tidak selalu sama dengan kolom q

p (konvers) maupun kolom ~p ~q (invers).

Disimpulkan bahwa (p q) (~q ~p) merupakan suatu Tautologi.



11. Apakah Konvers, invers, dan Kontraposisi kalimat dibawah ini :

a. Jika A merpakan suatu bujursangkar, maka A merupakan suatu persegi

panjang.

b. Jika n adalah bilangan prima > 2, maka n adalah bilangan ganjil

1.5 Inferensi Logika

Logika selalu berhubungan dengan pernyataan-pernyataan yang ditentukan nilai

kebenarannya. Sering kali diinginkan untuk menentukan benar tidaknya kesimpulan

berdasarkan sejumlah kalimat yang diketahui nilai kebenarannya.Argumen Valid

dan Invalid

Argumen adalah rangkaian kalimat-kalimat. Semua kalimat-kalimat tersebut kecuali

yang terakhir disebut Hipotesa (atau assumsi/premise). Kalimat terakhir disebut

kesimpulan.

Secara umum, hipotesa dan kesimpulan dapat digambarkan sebagai berikut :

p1

p2

…….

pn

q } kesimpulan (tanda q dibaca “ jadi q”)

Suatu Argumen dikatakan Valid apabila untuk sembarang pernyataan yang disu yang

disubstitusikan ke dalam hipotesa, jika semua hipotesa tersebut benar, maka

kesimpulan juga benar. Sebaliknya, meskipun semua hipotesa benar tetapi ada

kesimpulan yang salah, maka argumen tersebut dikatakan Invalid.

Kalau suatu argumen dan semua hipotesanya bernilai benar, maka kebenaran nilai

konklusi dikatakan sebagai “diinfernsikan” (diturunkan) dari kebenaran hipotesa”

Untuk mengecek apakah suatu argumen merupakan kalimat yang valid, dapat

dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Tentukan hipotesa dan kesimpulan kalimat


}hipotesa


2. Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua hipotesa dan

kesimpulan.

3. Carilah baris kritis, yaitu baris dimana semua hipotesa bernilai benar.

4. Dalam Baris kritis tersebut, jika semua nilai kesimpulan benar, maka argumen itu

valid. Jika diantara baris kritis tersebut ada baris dengan nilai kesimpulan yang

salah, maka argumen tersebut invalid.

Contoh :

Tentukan apakah Argumen di bawah ini Valid/Invalid.

a. p (q r) b. p (q ~r)

~r q (p r)

-------------- ----------------

p q p r

Penyelesaian :

a. Ada 2 Hipotesa, masing-masing p (q r) dan ~ r. Kesimpulannya adalah p q.

Tabel kebenaran hipotesa-hipotesa dan kesimpulan adalah sbb :

Baris ke p q r q r p (q r) ~r p q

1. T T T T T F T

2. * T T F T T T T

3. T F T T T F T

4. * T F F F T T T

5. F T T T T F T

6. * F T F T T T T

7. F F T T T F F

8. F F F F F T F

Baris Kritis adalah baris 2, 4, dan 6 (baris yang semua hipotesanya bernilai T ). Pada

baris-baris tersebut kesimpulannya juga bernilai T. Maka argumen tersebut bernilai

valid.

b. silahkan anda coba sendiri.



1.5.1 Metode-Metode Inferensi

Pada bagian ini dipelajari beberapa metode infernsi, yaitu teknik untuk

menurunkan kesimpulan berdasarkan hipotesayang ada, tanpa harus menggunakan

tabel kebenaran.

1. Modus Ponens

Perhatikan implikasi “ bila p maka q “ yang diasumsikan bernilai benar.

Apabila selanjutnya diketahui bahwa anteseden (p) benar, supaya implikasi p

q benar, maka q juga harus bernilai benar. Infersi seperti itu disebut Modus

Ponens.

Secara simbolik, Modus Ponens dapat dinyatakan sbb :

p q

p

---------

qHal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran yang tampak pada tabel berikut.

Baris ke p q p q p q1. * T T T T T2. T F F T F3. F T T F T4. F F T F F

Baris Kritis adalah baris pertama. Pada baris tersebut, konklusi (q) bernilai T

sehingga argumennya valid.



2. Modsus Tollens

Bentuk Modus Tollens mirip dengan Modus Pones, hanya saja hipotesa

kedua dan kesimpulan merupakan kontraposisi hipotesa pertama modus

ponens. Hal ini mengingat kenyataan bahwa suatu implikasi selalu

ekuivalen dengan kontraposisinya.

Secara simbolik, bentuk inferensi Modus Tollens adalah sebagai berikut :

p q~q--------- ~p

Contoh:

Jika Zeus seorang manusia, maka ia dapat mati

Zeus tidak dapat mati

---------------------------------------------------------

Zeus bukan seorang manusia.

3. Penambahan Disjungtif

Inferensi Penambahan Disjungtif didasarkan atas fakta bahwa suatu

kalimat dapat digeneralisasikan dengan penghubung “ ”. Alasannya

adalah karena penghubung “ “ bernilai benar jika salah satu

komponennya bernilai benar.

Sebagai contoh : “Ani suka jeruk” (bernilai benar). Kalimat tersebut tetap

bernilai benar jika ditambahkan kalimat lain dengan penghubung “ ”. Jadi

kalimat “Ani suka jeruk atau apel” juga tetap bernilai benar dan tidak

tergantung pa suka/tidaknya Ani akan apel.

Bentuk Simbolis metode Infernsi Penambahan Disjungtif adalah sebagai

berikut :

p q

a. ---------- b. ----------

p q p q



4. Penyderhanaan Konjungtif

Inferensi penyederhanaan Konjungtif merupakan kebalikan dari inferensi

Penambahan Disjungtif. Jika beberapa kalimat dihubungkan dengan

penghubung ” “, kalimat tersebut dapat diambil salah satunya secara

Khusus. Penyempitan kalimat ini merupakan kebalikan dari penambahan

Disjungtif yang merupakan perluasan kalimat.

Bentuk simbolis metode Inferensi penyederhanaan Konjungtif adalah sbb :

p q p qa. ---------- b. ---------- p qContoh :

Lina menguasai bahasa Basic dan Pascal------------------------------------------------- Lina mengusai bahasa Basic

5. Silogisme Disjungtif

Prinsip dasar Silogisme Disjungtif adalah kenyataan bahwa apabila kita

diperhadapkan pada satu diantara 2 pilihan yang ditawarkan (A atau B),

sedangkan kita tidak memilih A, Maka satu-satunya pilihan yang mungkin

adalah memilih B. Hal ini sering dijumpai dalam kehidupan sehar-hari.

Jika seseorang ditanyai oleh penjual warung : “ Kamu minum es jeruk atau

es the?”. Dan orang yang ditanya tersebut harus memilih salah satu,

sedangkan ia tidak suka es jeruk, pastilah ia memilih es teh.

Secara simbolis, bentuk metode inferensi Silogisme Disjungtif adalah

sebagai berikut :

p q p qa. ~p b. ~q

---------- -----------q p

Contoh :

Kunci kamarku ada di sakuku atau tertinggal di rumah

Kunci kamarku tidak ada di sakuku

-----------------------------------------------------------------

Kunci kamarku tertinggal di rumah



6. Silogisme Hipotesis

Prinsip Silogisme Hipotesis adalah sifat transitif pada implikasi. Jika

implikasi p q dan q r keduanya bernilai benar, maka implikasi p r

bernilai benar pula.

Secara simbolis, bentuk metode inferensi Silogisme Hipotesis adalah sbb :

p qq r---------- p r

Contoh :

Jika 18486 habis dibagi 18, maka 18486 habis dibagi 9

Jika 18486 habis dibagi 9, maka jumlah digit-digitnya habis dibagi 3

-----------------------------------------------------------------------------------

18486 habis dibagi 18, maka jumlah digit-digitnya habis dibagi 9.

7. Dilema (Pembagian Dalam Beberapa Kasus)

Kadeng-kadang, dalam kalimat yang dihubungkan dengan penghubung “

“, Masing-masing kalimat dapat mengimplikasikan sesuatu yang sama.

Berdasrkan hal itu maka suatu kesimpulan dapat diambil.

Secara simbolis, bentuk metode infernsi Dilema adalah sebahgai berikut :

p qp rq r--------- r

Contoh :

Nanti malam Adi mengajak saya nonton atau mengajak saya makan di

restoran

Jika Adi mengajak saya nonton, maka saya akan senang

Jika Adi mengajak saya makan di restoran, maka saya akan senang

---------------------------------------------------------------------------------

Nanti malam saya akan senang



8. Konjungsi

Inferensi Konjungsi sebenarnya sudah dibahas pada sub-bab awal. Jika ada

dua kalimat yang masing-masing benar, maka gabungan kedua kalimat

tersebut dengan menggunakan ““ (konjungsi) juga bernilai benar.

Bentuk Inferensi dengan Konjungsi adalah sbb :

pq

------------ p q

Kedelapan bentuk infernsi dapat dirngkas pada tabel berikut :Aturan Bentuk Argumen

Modus Ponen

p qp

--------- q

Modus Tollen p q~q--------- ~p

Penambahan Disjungtif p-------- p q

q-------- p q

Penyederhanaan Konjungtif p q------p

p q------q

Silogisme Disjungtif p q~p

------- q

p q~q

------- p

Silogisme Hipotesis p qq r

--------r

Dilema P qp rq r

--------r

Konjungsi pq

-------- p q

Soal latihan :



12. Pada suatu hari, Anda hendak pergi ke kampus dan baru sadar bahwa Anda tidak

memakai kacamata. Setelah mengingat-ingat, ada beberapa fakta yang Anda pastikan

kebenaranya :

a. Jika kacamataku ada di meja dapur, maka aku pasti sudah melihatnya ketika

sarapan pagi.

b. Aku membaca koran di ruang tamu atau akau membacanya di dapur.

c. Jika aku membaca koran di ruang tamu, maka pastilah kacamataku kuletakkan di

meja tamu.

d. Aku tidak melihat kacamataku pada waktu sarapan pagi

e. Jika aku membaca buku di ranjang, maka kacamata kuletakkan di meja samping

ranjang.

f. Jika aku membaca koran di dapur, maka kacamataku ada di meja dapur.

Berdasarkan fakta-fakta tersebut, tentukan dimana letak kacamata tersebut!

13. Buktikan Kevaidan Argumen di bawah ini dengan menggunakan prinsip=prinsip

infernsi Logika.

p q

(p q) r

-----------------

r


dasar-dasar logika · web view2014-09-24 · dasar logika. 1.1 kalimat deklaratif. ... karena di...

Documents