dasar-dasar logika

22
1 BAB I DASAR-DASAR LOGIKA 1.1 Pendahuluan Logika adalah suatu displin yang berhubungan dengan metode berpikir. Pada tingkat dasar, logika memberikan aturan-aturan dan teknik-teknik untuk menentukan apakah suatu argumen yang diberikan adalah valid. Berpikir logis digunakan dalam matematika untuk membuktikan teorema-teorema, dalam ilmu komputer untuk menguji kebenaran dari program dan untuk membuktikan teorema-teorema, dalam ilmu pengetahuan alam untuk menarik kesimpulan dari eksperimen-eksperimen, dalam ilmu pengetahuan sosial dan dalam kehidupan sehari-hari untuk menyelesaikan banyak masalah. Tentu saja, kita tak henti- hentinya menggunakan pemikiran yang logis. Dalam logika kita tertarik kepada benar atau salahnya dari pernyataan- pernyataan (statemen-statemen), dan bagaimana kebenaran/kesalahan dari suatu statemen dapat ditentukan dari statemen-statemen lain. Akan tetapi, sebagai pengganti dari statemen-statemen spesifik, kita akan menggunakan simbol-simbol untuk menyajikan sebarang statemen-statemen sehingga hasilnya dapat digunakan dalam banyak kasus yang serupa. 1.2 Pernyataan Unit terkecil yang berhubungan dengan logika (proposisional) adalah kalimat. Kalimat-kalimat yang diperhatikan dalam logika bukan sebarang kalimat tetapi kalimat-kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Jenis kalimat ini disebut pernyataan atau statemen (statement). Setiap pernyataan adalah sebuah kalimat, tetapi sebuah kalimat belum tentu sebuah pernyataan. Hanyalah kalimat-kalimat yang bersifat “menerangkan sesuatu” (kalimat deklaratif) yang dapat digolongkan sebagai pernyataan. Akan tetapi, tidak semua kalimat yang menerangkan sesuatu dapat digolongkan sebagai pernyataan.

Upload: bernat-siregar

Post on 23-Jun-2015

937 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: dasar-dasar logika

1

BAB I

DASAR-DASAR LOGIKA

1.1 Pendahuluan

Logika adalah suatu displin yang berhubungan dengan metode berpikir.

Pada tingkat dasar, logika memberikan aturan-aturan dan teknik-teknik untuk

menentukan apakah suatu argumen yang diberikan adalah valid. Berpikir logis

digunakan dalam matematika untuk membuktikan teorema-teorema, dalam ilmu

komputer untuk menguji kebenaran dari program dan untuk membuktikan

teorema-teorema, dalam ilmu pengetahuan alam untuk menarik kesimpulan dari

eksperimen-eksperimen, dalam ilmu pengetahuan sosial dan dalam kehidupan

sehari-hari untuk menyelesaikan banyak masalah. Tentu saja, kita tak henti-

hentinya menggunakan pemikiran yang logis.

Dalam logika kita tertarik kepada benar atau salahnya dari pernyataan-

pernyataan (statemen-statemen), dan bagaimana kebenaran/kesalahan dari suatu

statemen dapat ditentukan dari statemen-statemen lain. Akan tetapi, sebagai

pengganti dari statemen-statemen spesifik, kita akan menggunakan simbol-simbol

untuk menyajikan sebarang statemen-statemen sehingga hasilnya dapat

digunakan dalam banyak kasus yang serupa.

1.2 Pernyataan

Unit terkecil yang berhubungan dengan logika (proposisional) adalah

kalimat. Kalimat-kalimat yang diperhatikan dalam logika bukan sebarang kalimat

tetapi kalimat-kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Jenis

kalimat ini disebut pernyataan atau statemen (statement).

Setiap pernyataan adalah sebuah kalimat, tetapi sebuah kalimat belum

tentu sebuah pernyataan. Hanyalah kalimat-kalimat yang bersifat “menerangkan

sesuatu” (kalimat deklaratif) yang dapat digolongkan sebagai pernyataan. Akan

tetapi, tidak semua kalimat yang menerangkan sesuatu dapat digolongkan

sebagai pernyataan.

Page 2: dasar-dasar logika

2

Jadi, pernyataan adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah,

tetapi tidak keduanya. Istilah lain dari pernyataan adalah proposisi (propositions)

atau kalimat tertutup.

Jika sebuah pernyataan benar, maka pernyataan tersebut dikatakan

mempunyai nilai kebenaran “benar”; jika sebuah pernyataan salah, maka nilai

kebenarannya adalah “salah”.

Contoh 1.1

Berikut ini adalah contoh pernyataan:

(a) Bumi adalah bulat.

(b) 2 3 5+ = .

(c) Air adalah benda padat

(d) Temperatur pada permukaan planet Venus adalah 8000F.

(e) Matahari akan terbit besok pagi.

Kalimat (a) dan (b) adalah pernyataan dengan nilai kebenaran “benar”. Kalimat (c)

adalah pernyataan dengan nilai kebenaran “salah”. Kalimat (d) adalah kalimat

deklaratif yang nilai benar atau salahnya kita tidak tahu pada saat ini.; akan tetapi

pada prinsipnya kita dapat menentukan nilai kebenarannya sehingga (d) adalah

pernyataan. Kalimat (e) adalah pernyataan karena bernilai benar atau salah,

tetapi tidak keduanya, meskipun kita harus menunggu sampai besok pagi untuk

memastikan nilai kebenarannya.

Contoh 1.2

Berikut ini adalah contoh bukan pernyataan:

(a) Bukalah pintu itu!

(b) Apakah anda dapat berbahasa Cina?.

(c) x lebih besar dari 3 ( x adalah variabel yang menunjukkan bilangan).

Kalimat (a) adalah perintah dan kalimat (b) adalah pertanyaan. Kalimat (c) bukan

pernyataan karena nilai tertentu yang diberikan untuk x kita tidak dapat

mengatakan apakah bernilai benar (lebih besar 3) atau salah (lebih kecil atau

sama dengan 3).

Page 3: dasar-dasar logika

3

1.3 Pernyataan Majemuk dan Penghubung Logika

1.3.1 Pernyataan Majemuk

Kalimat-kalimat sederhana yang benar atau salah adalah dasar dari

pernyataan. Kalimat-kalimat yang lebih besar dan kompleks dapat dikonstruksi

dari pernyataan dasar dengan mengkombinasikannya dengan penghubung logika

(connectives). Jadi, proposisi dan penghubung logika adalah unsur dasar dari

logika proposisional.

Dalam matematika, huruf-huruf , , ,...x y z melambangkan variabel yang

dapat diganti dengan bilangan riil dan variabel-variabel ini dapat dikombinasikan

dengan operasi hitung +, ×, −, dan ÷. Dalam logika, huruf-huruf , , ,...p q r me-

lambangkan variabel-variabel pernyataan, artinya variabel yang dapat diganti

dengan pernyataan.

Contoh 1.3

Berikut ini adalah contoh variabel pernyataan:

:p 2 3 5+ = .

:q 2 adalah bilangan prima.

:r 2 adalah bilangan rasional.

Pernyataan-pernyataan yang disajikan dengan huruf-huruf qp, dan r

dinamakan sebagai pernyataan primitif.

Variabel-variabel pernyataan dapat digabungkan dengan penghubung-

penghubung logika untuk memperoleh pernyataan majemuk (compound

statements). Nilai kebenaran dari sebuah pernyataan majemuk hanya bergantung

pada nilai-nilai kebenaran dari variabel-variabel pernyataannya (komponen-

komponennya) dan pada jenis penghubung logika yang digunakan. Sebagai

contoh, kita dapat mengkombinasikan variabel-variabel pernyataan dalam Contoh

1.3 dengan penghubung dan (and) untuk membentuk pernyataan majemuk

2 adalah bilangan prima dan 2 adalah bilangan rasional

atau

q dan r .

Page 4: dasar-dasar logika

4

Hubungan dari nilai kebenaran pernyataan majemuk dan variabel-variabel

penyusunnya dapat disajikan dengan sebuah tabel. Tabel ini menyajikan nilai dari

sebuah pernyataan majemuk untuk semua nilai yang mungkin dari variabel-

variabel penyusunnya dan disebut tabel kebenaran (truth table). Dalam

membuat tabel kebenaran, ditulis “T” untuk benar (True) dan “F” untuk salah.

(False)

1.3.2 Penghubung Logika

Ada lima jenis penghubung logika yang dapat dipakai untuk meng-

gabungkan pernyataan-pernyataan menjadi pernyataan majemuk, yaitu: negasi

(negation), konjungsi (conjunction), disjungsi (disjunction), implikasi (implication) ,

dan biimplikasi (biimplication). Tabel 1.1 menyajikan jenis, simbol dan bentuk

dari lima penghubung logika.

Tabel 1.1

Jenis Penghubung Simbol Bentuk

Negasi (Not) ¬ atau ~ tidak …

Konjungsi (And) ∧ …dan…

Disjungsi (Or) ∨ …atau…

Implikasi � Jika… maka…

Biimplikasi ⇔ …jika dan hanya jika…

Prioritas dari penghubung-penghubung logika disajikan dalam Tabel 1.2 .

Penghubung dengan prioritas lebih tinggi harus diselesaikan lebih dahulu.

Tabel 1.2

Penghubung Prioritas

Negasi (Not) 5

Konjungsi (And) 4

Disjungsi (Or) 3

Implikasi 2

Biimplikasi 1

Page 5: dasar-dasar logika

5

Untuk mereduksi jumlah tanda (simbol) dan bentuk digunakan perjanjian

“Tanda kurung dapat dihilangkan apabila pernyataan dapat dikonstruksi dengan

prioritas penghubung”.

1. Negasi

Misalkan p sebuah pernyataan. Negasi (ingkaran) dari p adalah

pernyataan tidak p , yang dilambangkan dengan p¬ atau ~ p . Jadi, jika p

bernilai benar, maka p¬ bernilai salah, dan jika p bernilai salah, maka p¬

bernilai benar. Tabel kebenaran p¬ relatif terhadap p disajikan dalam Tabel 1.3.

Tabel 1.3

p p¬

T F

F T

Contoh 1.4

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:

(a) : 2 3 5p + >

(b) : 5 2 3q − =

(c) :r Hari ini hujan

Penyelesaian:

(a) : 2 3 5p¬ + ≤

(b) : 5 2 3q¬ − ≠

(c) :r¬ Hari ini tidak hujan.

2. Konjungsi

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Konjungsi dari p dan q adalah

pernyataan majemuk “ p dan q ”, yang dilambangkan dengan p q∧ . Pernyataan

majemuk p q∧ bernilai benar jika p dan q keduanya benar. Pernyataan

majemuk p q∧ bernilai salah jika salah satu p atau q salah, atau p dan q

keduanya salah. Tabel kebenaran p q∧ disajikan dalam Tabel 1.4.

Page 6: dasar-dasar logika

6

Tabel 1.4

p q p q∧

T T T

T F F

F T F

F F F

Contoh 1.5

Bentuklah konjungsi dari p dan q :

(a) : 2 3 5p + > ; : 5 2 3q − =

(b) : 3 7p − > − ; : 3 5q <

(c) :p 2 adalah bilangan prima; : 2 4q <

Penyelesaian:

(a) : 2 3 5 dan 5 2 3p q∧ + > − = (F)

(b) : 3 7 dan 3<5p q∧ − > − (T)

(c) : 2 adalah bilangan prima dan 2 4p q∧ < (T)

3. Disjungsi

Disjungsi (inklusif) dari pernyataan-pernyataan p dan q adalah pernyataan

majemuk “ p atau q ”, yang dilambangkan dengan p q∨ . Pernyataan majemuk

p q∨ bernilai benar jika salah satu p atau q benar atau kedua-duanya benar.

Dalam praktek, kadang-kadang ditulis “dan/atau”. Sedangkan kata ”atau” dalam

arti eksklusif dilambangkan dengan ∨ . Pernyataan majemuk p q∨ bernilai benar

jika salah satu benar tetapi tidak keduanya p atau q benar. Tabel kebenaran

p q∨ dan p q∨ disajikan dalam Tabel 1.5.

Page 7: dasar-dasar logika

7

Tabel 1.5

p q p q∨ p q∨

T T T F

T F T T

F T T T

F F F F

Contoh 1.6

Bentuklah disjungsi dari p dan q :

(a) : 2 3 5; : 5 3p q+ ≠ <

(b) :p 2 adalah bilangan prima; : 2q adalah bilangan rasional.

Penyelesaian:

(a) : 2 3 5 atau 5 3p q∨ + ≠ < (F)

(b) p q∨ : 2 adalah bilangan prima atau 2 adalah bilangan rasional (T).

4. Implikasi

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Pernyataan majemuk “jika p , maka

q ”, yang dilambangkan dengan qp � disebut pernyataan bersyarat atau

implikasi. Pernyataan p disebut hipotesis atau anteseden (antecedent) dan q

disebut konklusi atau konsekuen (consequent). Pernyataan majemuk qp �

bernilai salah jika p benar dan q salah. Dalam kemungkinan lainnya, qp �

bernilai benar. Tabel kebenaran qp � disajikan dalam Tabel 1.6.

Tabel 1.6

p q qp �

T T T

T F F

F T T

F F T

Page 8: dasar-dasar logika

8

Contoh 1.7

Tulislah implikasi dari p dan q :

a) :p Saya lapar; :q Saya akan makan

b) :p 2 adalah bilangan prima; : 2 4q <

Penyelesaian:

a) Jika saya lapar, maka saya akan makan

b) Jika 2 adalah bilangan prima, maka 2 4< .

Dalam matematika (praktek), pernyataan-pernyataan berikut merupakan

bentuk yang ekuivalen, artinya jika salah satu benar maka semua yang lain juga

benar dan jika salah satu salah, semua yang lain juga salah.

(a) Jika p , maka q .

(b) p mengimplikasi q .

(c) Jika p , q .

(d) p hanya jika q .

(d) q jika p .

(e) p adalah syarat cukup untuk q .

(f) q adalah syarat perlu untuk p .

(g) q bilamana saja p .

5. Biimplikasi (ekuivalensi)

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Pernyataan majemuk “ p jika dan

hanya jika q ”, yang dilambangkan dengan p q⇔ disebut biimplikasi atau

ekuivalensi. Tabel kebenaran p q⇔ disajikan dalam Tabel 1.7. Pernyataan

majemuk p q⇔ bernilai benar jika p dan q keduanya benar atau keduanya

salah. Biimplikasi p q⇔ juga dinyatakan sebagai p adalah syarat perlu dan

cukup untuk q .

Page 9: dasar-dasar logika

9

Tabel 1.7

p q p q⇔

T T T

T F F

F T F

F F T

Contoh 1.8

Apakah biimplikasi berikut benar?

3 4< jika dan hanya jika .034 >−

Penyelesaian:

Misalkan p adalah pernyataan 3 4< dan q adalah pernyataan 034 >− .

Karena p dan q keduanya bernilai benar, maka disimpulkan bahwa

p q⇔ bernilai benar.

Secara umum, sebuah pernyataan majemuk mungkin mempunyai banyak

bagian komponen, masing-masing dari komponen ini merupakan pernyataan yang

disajikan dengan variabel-variabel pernyataan. Pernyataan majemuk

))((: rpqps �∨�

memuat tiga pernyataan p , q dan r , masing-masing pernyataan secara

independen bisa bernilai benar atau salah. Secara keseluruhan terdapat 823 =

kombinasi yang mungkin dari nilai-nilai untuk p , q dan r , dan tabel kebenaran

untuk s harus memberikan nilai benar atau salahnya s dalam semua kasus.

Jika pernyataan majemuk s memuat n pernyataan komponen , maka

akan ada n2 unsur yang diperlukan dalam tabel kebenaran s . Tabel kebenaran

ini dapat dikonstruksi secara sistematis dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1. n kolom pertama dari tabel kebenaran diberi label variabel-variabel

pernyataan komponen. Kolom-kolom selanjutnya dikonstruksi untuk

semua kombinasi-kombinasi pernyataan berikutnya, dan kolom

terakhir untuk pernyataan yang ditanyakan.

Page 10: dasar-dasar logika

10

Langkah 2. Terhadap masing-masing n bagian atas pertama, kita tulis n2

kemungkinan kemungkinan ( n-tuple) nilai-nilai kebenaran dari

pernyataan komponen s . Masing-masing n-tuple ditulis pada baris

terpisah.

Langkah 3. Untuk setiap baris kita memperhitungkan (dalam urutan) semua nilai

kebenaran sisanya.

Contoh 1.9

Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan-pernyataan majemuk berikut:

a) )( qp ¬∧¬

b) )()( pqqp ¬�¬⇔�

Penyelesaian: Tabel kebenaran berikut dikonstruksi menggunakan ketiga langkah

di atas.

a) Tabel 1.8

p q q¬ qp ¬∧ )( qp ¬∧¬

T T F F T

T F T T F

F T F F T

F F T F F

b) Tabel 1.9

p q qp � p¬ q¬ pq ¬�¬ )()( pqqp ¬�¬⇔�

T T T F F T T

T F F F T F T

F T T T F T T

F F T T T T T

Page 11: dasar-dasar logika

11

1.4 Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi

1.4.1 Tautologi

Definisi 1.1

Sebuah pernyataan majemuk disebut tautologi jika pernyataan tersebut

selalu bernilai benar untuk semua nilai yang mungkin dari pernyataan-

pernyataan komponennya.

Contoh 1.10

Menggunakan tabel kebenaran , tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut

adalah tautologi.

a) pqp �∧ )(

b) qpqp �¬∧∨ ))((

Penyelesaian:

a) Tabel 1.10

p q qp ∧ pqp �∧ )(

T T T T

T F F T

F T F T

F F F T

b) Tabel 1.11

p q qp ∨ p¬ pqp ¬∧∨ )( qpqp �¬∧∨ ))((

T T T F F T

T F T F F T

F T T T T T

F F F T F T

Page 12: dasar-dasar logika

12

1.4.2 Kontradiksi

Definisi 1.2

Sebuah pernyataan majemuk disebut kontradiksi jika pernyataan tersebut

selalu bernilai salah untuk semua nilai yang mungkin dari pernyataan-

pernyataan komponennya.

Istilah lain dari kontradiksi adalah mustahil (absurdity).

Contoh 1.11

Menggunakan tabel kebenaran , tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut

adalah kontradsiksi.

a) pp ¬∧

b) pqp ¬∧∧ )( .

Penyelesaian:

a) Tabel 1.12

p p¬ pp ¬∧

T F F

T F F

F T F

F T F

b) Tabel 1.13

p q qp ∧ p¬ pqp ¬∧∧ )(

T T T F F

T F F F F

F T F T F

F F F T F

Negasi dari sebuah tautologi adalah kontradiksi, dan sebaliknya.

Page 13: dasar-dasar logika

13

1.4.3 Kontingensi

Definisi 1.3

Kontingensi (contingency) adalah sebuah pernyataan majemuk yang

dapat bernilai benar atau salah, bergantung pada nilai-nilai kebenaran dari

variabel-variabel pernyataannya.

Contoh 1.12

Menggunakan tabel kebenaran , tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut

adalah kontingensi.

a) )( pqp ∧�

b) )()( qpqp ∨∧�

Penyelesaian:

a) Tabel 1.14

p q pq ∧ )( pqp ∧�

T T T T

T F F F

F T F T

F F F T

b) Tabel 1.15

p q qp � qp ∨ )()( qpqp ∨∧�

T T T T T

T F F T F

F T T T T

F F T F F

Page 14: dasar-dasar logika

14

1.5 Konvers, Kontraposisi dan Invers

Jika qp � adalah sebuah implikasi, maka terdapat beberapa

pernyataan yang berhubungan dengan qp � , yaitu:

Konvers (converse) dari qp � adalah q p� ;

Kontraposisi/Kontrapositif (contrapositive) dari qp � adalah

( ) ( )q p¬ � ¬ ;

Invers (inverse) dari qp � adalah )()( qp ¬�¬ .

Contoh 1.13

Tulislah konvers, kontrapositif dan invers dari implikasi-implikasi berikut:

a) x positif � 2x positif

b) Jika hari hujan, maka saya basah kuyup.

c) 3=x � x bilangan bulat ganjil.

Penyelesaian:

a) Konvers : 2x positif � x positif.

Kontraposisi : 2x tidak positif � x tidak positif.

Invers : x tidak positif � 2x tidak positif.

b) Konvers : Jika saya basah kuyup, maka hari hujan.

Kontraposisi : Jika saya tidak basah kuyup, maka hari tidak hujan.

Invers : Jika hari tidak hujan, maka saya tidak basah kuyup.

c) Konvers : x bilangan bulat ganjil � 3=x .

Kontraposisi : x bukan bilangan bulat ganjil � 3x ≠

Invers : 3x ≠ � x bukan bilangan bulat ganjil.

1.6 Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis

1.6.1 Implikasi Logis

Jika qp � tautologi, maka qp � selalu bernilai benar untuk semua nilai

p dan q yang mungkin. Dilambangkan dengan p q→ dan dibaca “ p implikasi

Page 15: dasar-dasar logika

15

logis q ”. Artinya p q→ digunakan apabila pernyataan p selalu mengimplikasi

pernyataan q tanpa memperhatikan nilai dari variabel-variabel penyusunnya.

Contoh 1.14

Menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan

majemuk berikut adalah tautologi :

a) pqp �∧ )(

b) )( qpp ��¬

Penyelesaian:

a) Tabel 1.16

p q qp ∧ pqp �∧ )(

T T T T

T F F T

F T F T

F F F T

Jadi, pqp →∧ )(

b) Tabel 1.17

p q p¬ qp � )( qpp ��¬

T T F T T

T F F F T

F T T T T

F F T T T

Jadi, )( qpp �→¬ .

Page 16: dasar-dasar logika

16

1.6.2 Ekuivalensi Logis

Definisi 1.4

Dua pernyataan 1s dan 2s dikatakan ekuivalen logis (ekuivalen) dan ditulis

21 ss ↔ (dibaca “ 1s ekuivalen logis dengan 2s ”) atau 21 ss ≡ (dibaca

“ 1s ekuivalen dengan 2s ”) jika 1s dan 2s selalu bernilai sama (artinya

21 ss ⇔ tautologi).

Contoh 1.15

Menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan

majemuk berikut adalah tautologi :

a) pp ⇔¬¬ )(

b) )()()( qpqp ¬∨¬⇔∧¬ .

Penyelesaian:

a) Tabel 1.18

p p¬ )( p¬¬ pp ⇔¬¬ )(

T F T T

T F T T

F T F T

F T F T

Jadi, pp ↔¬¬ )( atau pp ≡¬¬ )( .

b) Tabel 1.19

p q p¬ q¬ qp ∧ )( qp∧¬ )()( qp ¬∨¬ )()()( qpqp ¬∨¬⇔∧¬

T T F F T F F T

T F F T F T T T

F T T F F T T T

F F T T F T T T

Jadi, )()()( qpqp ¬∨¬↔∧¬ atau )()()( qpqp ¬∨¬≡∧¬ .

Page 17: dasar-dasar logika

17

Teorema 1.1

Pernyataan-pernyataan qp � dan )()( pq ¬�¬ adalah ekuivalen.

Bukti :

Tabel 1.19 berikut menyajikan tabel kebenaran untuk membandingkan

nilai )()( pq ¬�¬ dan nilai qp � .

Tabel 1.20

p q qp � q¬ p¬ )()( pq ¬�¬

T T T F F T

T F F T F F

F T T F T T

F F T T T T

Karena kolom 3 dan kolom 6 dari Tabel 1.20 adalah identik, maka disimpulkan

bahwa pernyataan-pernyataan qp � dan )()( pq ¬�¬ adalah ekuivalen.

Jadi, kontrapositif dari sebuah implikasi selalu ekuivalen dengan implikasi semula.

Teorema 1.2

Pernyataan-pernyataan qp � dan qp ∨¬ )( adalah ekuivalen.

Bukti:

Tabel 1.21 menyajikan tabel kebenaran untuk membandingkan nilai

qp ∨¬ )( (kolom 5) dan nilai qp � (kolom 3).

Tabel 1.21

p q qp � p¬ qp ∨¬ )(

T T T F T

T F F F F

F T T T T

F F T T T

Page 18: dasar-dasar logika

18

Soal-soal Latihan 1

1. Manakah diantara kalimat-kalimat berikut yang termasuk pernyataan?

a) Apakah 3 sebuah bilangan positif?

b) 753 =+

c) Pada tahun 2004 Susilo Bambang Yudoyono menjadi presiden RI.

d) Bukalah pintu itu!

e) 012 =−x .

f) Jika Romi terlambat ke pesta, maka Yuli akan marah sekali.

2. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut :

a) Harga buah apel tidak mahal di Malang.

b) 743 ≤+

c) Surabaya adalah kota besar di Indonesia.

d) Semua mahasiswa rajin belajar.

3. Misalkan p dan q adalah pernyataan-pernyataan

:p Mobilmu kehabisan bensin.

:q Kamu tidak dapat mengemudikan mobilmu.

Tulislah pernyataan-pernyataan berikut menggunakan p dan q dan

penghubung logika.

a) Mobilmu tidak kehabisan bensin.

b) Kamu tidak dapat mengemudikan mobilmu jika mobilmu kehabisan bensin.

c) Mobilmu tidak kehabisan bensin jika kamu dapat mengemudikannya.

d) Jika kamu tidak dapat mengemudikan mobilmu, maka mobilmu kehabisan

bensin.

4. Misalkan p , q dan r adalah pernyataan-pernyataan tentang segitiga ABC

berikut:

:p Segitiga ABC samakaki.

:q Segitiga ABC sama sisi.

:r Segitiga ABC sama siku-siku.

Page 19: dasar-dasar logika

19

Terjemahkan dan tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan

majemuk berikut :

a) qp � d) pr �

b) pq ¬�¬ e) pr ¬� .

c) qp ¬∧

5. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan majemuk berikut:

a) 43 < dan 4 bilangan bulat positif.

b) 43 ≥ dan 4 bilangan bulat positif.

c) 43 < dan 4 bukan bilangan bulat positif.

d) 43 ≥ dan 4 bukan bilangan bulat positif.

6. Pilih pernyataan yang merupakan negasi dari pernyataan “3 bilangan genap

dan -4 bilangan negatif”.

a) 3 bilangan genap dan -4 bukan bilangan negatif.

b) 3 bukan bilangan genap atau -4 bukan bilangan negatif.

c) 3 bukan bilangan genap dan -4 bukan bilangan negatif.

d) 3 bilangan genap atau -4 bukan bilangan negatif.

7. Tentukan nilai kebenaran dari implikasi-implikasi berikut:

a) Jika 3,0 bilangan bulat, maka 33,01 =+ .

b) Jika manusia dapat terbang, maka 321 =+ .

c) Jika 24 > , maka kuda dapat terbang.

d) Jika 1052 =x , maka 431 =+ .

8. Misalkan p dan q adalah pernyataan-pernyataan primitif sehingga implikasi

qp � salah. Tentukan nilai kebenaran untuk

a) qp ∧

b) qp ∨¬

c) pq �

d) pq ¬�¬

Page 20: dasar-dasar logika

20

9. Konstruksikan tabel kebenaran untuk setiap pernyataan majemuk berikut:

a) )( rqp ��

b) rqp �� )(

c) pqp �∧ )(

d) )( qpq ¬∨¬⇔

10. Nyatakan konvers, kontrapositif dan invers dari implikasi-implikasi berikut:

a) Jika hari ini hujan, maka saya akan tinggal di rumah.

b) Jika 422 =+ , maka 321 =+ .

c) Jika 24 > , maka saya bukan gubernur Jawa Timur.

d) Jika x bilangan prima, maka x tidak mempunyai pembagi selain 1

dan x sendiri .

e) Jika saya mempunyai waktu dan saya tidak lelah, maka saya akan ke

toko buku.

f) Jika saya mempunyai cukup uang, maka saya akan membeli mobil dan

saya akan membeli rumah.

11. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan dalam soal (10).

12. Tentukan nilai kebenaran jawaban soal (10).

13. Misalkan p , q dan r adalah pernyataan-pernyataan berikut:

:p Saya akan belajar matematika.

:q Saya akan pergi ke toko buku.

:r Saya dalam keadaan baik.

Tulislah pernyataan-pernyataan berikut dalam p , q dan r dan penghubung

logika.

a) Jika saya tidak dalam keadaan baik, maka saya akan pergi ke toko buku.

b) Saya tidak akan pergi ke toko buku dan saya akan belajar matematika.

c) Saya akan pergi ke toko buku hanya jika saya tidak belajar matematika.

d) Jika saya tidak belajar matematika, maka saya tidak dalam keadaan baik.

13. Misalkan p , q dan r adalah pernyataan-pernyataan berikut:

:p Saya akan belajar matematika.

Page 21: dasar-dasar logika

21

:q Saya akan pergi ke toko buku.

:r Saya dalam keadaan baik.

Tulislah kalimat-kalimat yang berhubungan dengan pernyataan-pernyataan

berikut:

a) qp ∧¬ .

b) )( qpr ∨� .

c) )( pqr ∨¬�¬ .

d) rpq ⇔¬∧ )( .

14. Tentukan tabel kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut:

a) qqp �¬∨ )( . f) )( rqp �� .

b) )( pqq �� . g) rqp �� )( .

c) qpq �∧ )( . h) )( qpq ¬∨¬⇔

d) pqp ¬�¬∨¬ )( i) )()( qpqp ¬∨¬⇔∧¬ .

e) qqpp ��∧ )]([ . j) )()]()[( rprqqp ���∧�

15. Pernyataan-pernyataan manakah dalam Soal (14) yang merupakan

tautologi, kontradiksi atau kontingensi.

16. Menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa implikasi-implikasi berikut

adalah tautologi.

a) )( qpp ∨� .

b) pqp ¬�∨¬ )( .

c) pqp ��¬ )( .

d) qqpp ��∧ )]([ .

f) qpqp �¬∧∨ ])[( .

g) pqpq ¬��∧¬ )]([ .

h) pqqp ¬�¬∧� ])[( .

i) ])[()]()[( rqprqrp �∨��∧�

17. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut adalah kontradiksi

a) )( pqp ¬∧∧

Page 22: dasar-dasar logika

22

b) pqp ∨¬∨¬ )(

c) )( pqp ¬∧⇔ .

d) )]()[()]()[( rqrprqrp ¬∧¬∨∧¬⇔¬∧∨∧ .

18. Menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa s dan t ekuivalen jika

a) qptqps ¬∧¬∨¬ :)(: .

b) qptqps ¬∧�¬ :)(: .

c) )()(:: pqqptqps �∧�� .

d) )()(:: pqqptqps �∧�⇔ .

e) )()(:)(: pqqptqps ¬∧∨¬∧⇔¬ .

19. Menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa s dan t ekuivalen jika

a) )()(:)]([: rpqptrqps ¬∧¬∨¬∧¬∧∨¬

b) )()(:)(: rpqptrqps �∧�∧� .

c) )()(:)(: rqrptrqps �∧��∨ .

d) )(:)(: qprtrqps ��¬∨� .

e) ))(:)(: rqptrqps ∨∧¬�∧ .

20. Tanpa menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa pernyataan-

pernyataan berikut tautologi

a) )( qpp ∨� .

b) )()( qpqp ��∧ .

c) qqp ¬��¬ )( .