Percobaan Satu Faktor:Rancangan Acak Lengkap (RAL)Oleh: Arum Handini Primandari, M.Sc.

Rancangan Acak Lengkap (RAL)

• RAL merupakan rancangan paling sederhana di antararancangan-rancangan percobaan baku.

• Jika kita ingin mempelajari t perlakuan dengan r satuanpercobaan untuk setiap perlakuan (menggunakan rtpercobaan untuk setiap perlakuan (menggunakan rtsatuan percobaan), maka RAL mengalokasikan tperlakuan secara acak pada rt satuan percobaan. Polaini disebut dengan pengacakan lengkap.

• Penggunaan RAL akan tepat dalam kasus:– Bahan percobaan homogen atau relatif homogen.

– Jumlah perlakuan terbatas

Keuntungan RAL

• Keuntungan RAL:– Denah perancangan percobaan lebih mudah

– Analisis statistika terhadap subyek, sangat sederhana

– Fleksibel dalam penggunaan jumlah perlakuan dan ulangan

– Kehilangan informasi relatif sedikit, dalam hal data hilang– Kehilangan informasi relatif sedikit, dalam hal data hilangdibanding rancangan lain

Kekurangan RAL

• Rancangan hanya dapat digunakan dengan beberapaperlakuan (yang tidak banyak) serta untuk unitpercobaan yang relatif homogen.

• Apabila harus melibatkan cukup banyak unit percobaan,• Apabila harus melibatkan cukup banyak unit percobaan,maka variabilitas seluruh unit percobaan akan cukupbesar. Sehingga tidak disarankan menggunakan RALkarena tidak efisien

Pengacakan dan Denah Rancangan

• Misalkan:

– Kita memiliki 3 perlakuan yaitu: A, B, C

– Setiap perlakuan diulang 5 kali, sehingga kita memiliki 15 unitpercobaan.

• Pengacakan dilakukan secara langsung pada 15 unit percobaan.

• Contoh denah pengacakan:

1; A 2; C 3; C

4; B 5; B 6; C

7; A 8; A 9; A

10; B 11; B 12; C

13; B 14; C 15; A

Nomor Perlakuan

Tabulasi Data

• Tabulasi data dapat disajikan sebagai berikut:

UlanganPerlakuan Total

KeseluruhanA B C

1 Y11 Y21 Y311 Y11 Y21 Y31

2 Y12 Y22 Y32

3 Y13 Y23 Y33

4 Y14 Y24 Y34

5 Y15 Y25 Y35

Total

Rata-rata

1Y 2Y 3Y

1Y 3Y 2Y

Y

Y

Model Linier dan Analisis VariansiUntuk RAL

• Bentuk umum dari model linier aditif untuk RAL:

Dimana:

ij i ij

i ij

i ij

Y

i

i 1,2,...,t

j 1,2,...,r

Dimana:Yij: pengamatan pada perlakuan ke-i dan ulangan ke-jμ: rataan umumτi: pengaruh perlakuan ke-iεij: pengaruh acak pada perlakuan ke-i, ulangan ke-j

• Persamaan tersebut disebut juga analisis satu-arah (one-way)atau faktor analisis variansi tunggal (single-factor analisys ofvariance) karena hanya satu faktor yang diinvestigasi.

• Berdasarkan model untuk RAL, pendugaan terhadappengaruh perlakuan dengan metode kuadrat terkecil(least square method) ditentukan dengan asumsi bahwa

t

i ii

ˆ 0 atau E 0

diperoleh:

i

i i

ij ij ij i

ˆ Y

ˆ Y

e Y Y

Model dalam analisis variansi

1. Model Tetap (Fixed Model)

• Dalam model ini, τi bersifat tetap dan galat percobaan

• Keadaan ini menggambarkan bahwa peneliti hanya

iid

2ij N 0,

• Keadaan ini menggambarkan bahwa peneliti hanyadapat mengambil kesimpulan yang berhubungandengan perlakuan yang dicobakannya.

• Asumsi model tetap dapat dituliskan:

iid

2 2i ij ij ij0;Var , ; N 0,

• Hipotesis untuk model tetap:

• atau dapat dituliskan:

0 1 2 t

1

H : ... (rataan semua perlakuan sama)

H : minimal ada satu rataan yang tidak sama

• atau dapat dituliskan:

• Hipotesis dirumuskan untuk menguji bahwa tidak adapengaruh perlakuan terhadap respon.

0 1 2 t

1 i

H : ... 0

H : minimal ada satu, 0(i 1,2,...,t)

2. Model Acak (Random Model)

• Dalam model acak, peneliti akan berhadapan denganpopulasi perlakuan.

• Kesimpulan yang ditarik mengenai populasi perlakuan• Kesimpulan yang ditarik mengenai populasi perlakuandidasarkan atas sejumlah (t buah) perlakuan yangdipilih secara acak

• Asumsi model acak:

iid

2 2 2i i ij ij ijE 0;Var ;Var , ; N 0,

• Hipotesis untuk model acak

(rata-rata yang sesungguhnya dari ke-t buah grup perlakuan sama)

(paling sedikit ada rata-rata satu grup perlakuan yang berbedadengan yang lain)

0 1 2 tH : ... 0

1 iH : 0

dengan yang lain)

• Atau

(tidak ada keragaman dalam dalam populasi perlakuan)

(ada keragaman dalam populasi perlakuan)

20H : 0

21H : 0

Dekomposisi Jumlah Kuadrat Total

• Keragaman total diuraikan sebagai berikut:

• Jika dikuadratkan kedua ruas:

ij ij

i i

i

i

i

j

Y YY Y Y Y

Y Y Y Y

• Jika dikuadratkan kedua ruas:

22

ij ij i i

2 2

ij i i ij i i

Y Y Y Y Y Y

Y Y Y Y 2 Y Y Y Y

• Kemudian jika dijumlahkan untuk semua pengamatan:

t r t r t r2 2 2

ij ij i ii 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1

t r

ij i i

Y Y Y Y Y Y

2 Y Y Y Y

• karena

• Sehingga:

ij i ii 1 j 1

2 Y Y Y Y

t r

ij i ii 1 j 1

Y Y Y Y 0

t r t r t r2 2 2

ij i ij ii 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1

Y Y Y Y Y Y

• Atau:

Jumlah kuadrat total = Jumlah kuadrat perlakuan +Jumlah kuadrat galat

t r t r t r2 2 2

Y Y Y Y Y Y 2 2 2

ij i ij ii 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1

JKT JKP JKG

Y Y Y Y Y Y

Perhitungan jumlah kuadrat untukulangan sama

• FK = Faktor koreksi

• JKT = Jumlah kuadrat total

2YFK

tr

t r t r2

2JKT Y Y Y FK

• JKP = Jumlah kuadrat perlakuan

• JKG = Jumlah kuadrat galat

2ij ij

i 1 j 1 i 1 j 1

JKT Y Y Y FK

t r t2

2i i

i 1 j 1 i 1

1JKP Y Y Y FK

r

t r 2

ij ii 1 j 1

JKG Y Y JKT JKP

Perhitungan jumlah kuadrat untukulangan yang tidak sama

• FK = Faktor koreksi

• JKP = Jumlah kuadrat perlakuan

2

t

ii 1

YFK

r

• untuk JKT dan JKG rumusnya sama dengan yangmenggunakan ulangan sama.

2t r t2i

ii 1 j 1 i 1 i

YJKP Y Y FK

r

Tabel Analisis Variansi

SumberKeragaman

Derajatbebas

Jumlahkuadrat

(JK)Kuadrat tengah (KT) F-hitung

Ulangan sama

Perlakuan t – 1 JKP KTP = JKP/ (t – 1) F = KTP/KTG

Galat t(r – 1) JKG KTG = JKG/ [t(r – 1) ]

Total tr – 1 JKT

Ulangan tidak sama

Perlakuan t – 1 JKP KTP = JKP/ (t – 1) F = KTP/KTG

Galat JKG KTG = JKG/

Total JKT

ir 1

ir 1

ir 1

Pengujian hipotesis

• Statistik Uji:

mengikuti sebaran F dengan derajat bebas pembilangsebesar (t – 1) dan derajat bebas penyebut [t(r – 1)].

hitungF KTP KTG

• Hipotesis ditolak jika:

penolakan hipotesis nol berimplikasi bahwa perlakuanyang diberikan terhadap unit-unit percobaanmemberikan pengaruh yang nyata terhadap respon yangdiamati

1 2hitung ;db ;dbF F

Koefisien Keragaman (KK)

• Koefisien keragaman (KK) atau disebut juga keragamanrelatif terhadap besaran data adalah:

• Nilai KK yang terlalu besar bila dibandingkan dengan nilaibiasa diperoleh peneliti, mencerminkan bahwa unit-unit

ˆ KTGKK 100% 100%

Y Y

biasa diperoleh peneliti, mencerminkan bahwa unit-unitpercobaan yang digunakan tidak homogen.

• KK merupakan indeks keterandalan yang baik bagi suatupercobaan. Semakin tinggi nilai KK makin rendah keandalanpercobaan tsb.

• Besarnya KK ideal tergantung pada bidang yang studi yangdigeluti. Misal: untuk bidang pertanian dianggap wajar adalah20% - 25%.

Penerapan RAL Model Tetap dengan UlanganSama

Terdapat suatu penelitian mengenai kandungan nitrogendalam miligram dari tanaman ‘Red Clover’ yang disuntikdengan jamur Rhizobium trifolii ditambah gabungan dari limastrain Rhizobium melitoti. Terdapat enam perlakuan, dimana5 perlakuan merupakan penularan R. Trifolii dengan salahsatu strain R. melitoti serta satu perlakuan merupakansatu strain R. melitoti serta satu perlakuan merupakangabungan dari semua strain. Penularan dilakukan di rumahkaca, dimana setiap perlakuan dilakukan 5 pot tanaman.Jumlah pot yang disediakan adalah 30 buah dengantanaman yang serupa. Penyuntikan keenam perlakuandilakukan secara acak. Percobaan menggunakanRancangan Acak Lengkap.

Hasil Pengukuran Kandungan Nitrogen(mg)

UlanganPerlakuan

1 2 3 4 5 gabungan

1 19.4 17.7 17 20.7 14.3 17.3

2 32.6 24.8 19.4 21 14.4 19.4

3 27 27.9 9.1 20.5 11.8 19.1

4 32.1 25.2 11.9 18.8 11.6 16.9

5 33 24.3 15.8 18.6 14.2 20.8

Penyelesaian :

1. Model

• model yang cocok adalah model tetap.

karena hanya terdapat enam perlakuan yang tersedia untukpercobaan ini. Sehingga model liniernya adalah

ij i ijY ;i 1,2,...,6; j 1,2,...,5

Dimana :– Yij: kandungan nitrogen dari tanaman ke-j yang memperoleh

perlakuan ke-i.

– µ: nilai tengah umum (rata – rata populasi) kandungan nitrogen.

– τi: pengaruh perlakuan ke-I

– εij: pengaruh galat percobaan pada tanaman ke-j yang memperolehperlakuan ke-i

ij i ijY ;i 1,2,...,6; j 1,2,...,5

2. Asumsi

• Komponen-komponen bersifat aditif

• Nilai-nilai tetap,

•

i ij, ,

i i 1,2,...,6 i i i0;E 2 2

ij ijE 0;E

3. Hipotesis

(yang berarti tidak ada pengaruh perlakuan terhadapkandungan nitrogen tanaman).

0 1 2 6H : ... 0

1 iH : minimal ada satu, 0(i 1,2,...,t)

(artinya minimal ada satu perlakuan yangmempengaruhi hasil kandungan nitrogen tanaman)

4. Taraf signifikasi

5. Statistik Uji dan daerah kritis

6. Perhitungan

7. Kesimpulan

Latihan 1:

Latihan 2

Suatu pabrik tekstil memproduksi kain tenun denganmenggunakan peralatan tenun dalam jumlah yangbanyak. Pengusaha pabrik menginginkan agar peralatantsb homogen sehingga kain tenun yang dihasilkanmempunyai kekuatan (daya tahan) yang sama. Untukmengetahui apakah peralatan tenun yang dimilikinyabersifat homogen dalam menghasilkan kain tenun, makamengetahui apakah peralatan tenun yang dimilikinyabersifat homogen dalam menghasilkan kain tenun, makadilakukan suatu penelitian. Penelitian dilakukan denganmengambil secara acak empat buah peralatan tenun darisemua peralatan tenun yang ada (katakanlah m buahperalatan tenun yang dimiliki pabrik tsb). Dengan teknikpenentuan daya tahan (kekuatan) tertentu sertamenggunakan satuan pengukuran tertentu diperolehhasil pengamatan sbb :

Hasil pengamatan

Ulangan Peralatan Umum

1 2 3 4

1 98 91 96 95

2 97 90 95 96

3 99 93 97

4 96

Model linier aditif ral

• Model yang cocok untuk analisis model acak adalah :

Dimana :

Yij : nilai kekuatan kain dari mesin ke-i pada pengamatanke-j.ke-j.

µ : nilai tengah umum (rata – rata populasi) kekuatankain.

τi : pengaruh mesin ke-i terhadap kekuatan kain

εij : pengaruh galat percobaan dari mesin ke-i padapengamatan ke-j

Hipotesis & Perhitungan

• Hipotesis yang akan diuji adalah

(yang artinya tidak terdapat keragaman kekuatan kainyang dihasilkan oleh peralatan tenun).

(yang berarti ada keragaman kekuatan kain yangdihasilkan oleh peralatan tenun)

• Tahap Perhitungan !!!

• Penarikan Kesimpulan

• Koefisien Keragaman (KK)

Referensi

• Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis DalamPenelitian Percobaan, Tarsito, Bandung.

• Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I,Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS danPerancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS danMinitab, IPB Press, Bandung.

• Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis ofExperiments 5th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.