III MENGHITUNG NILAI RATA-RATA

A. Nilai Rata-rata1. Pengertian Nilai Rata-rata Adalah merupakan penjelasan kelompok yang didasarkan nilai rata-rata dari kelompok tersebut. Maka individu-individu yang mewakili kelompok itu diharapkan tidak terjadi penyimpangan yang ekstrem sehingga bisa mewakili ( representatif) dari kelompok atau populasi / obyek penelitian

Teknik statistik untuk menjelaskan nilai rata-rata pada kelompok ini disebut tendency central (gejala pusat) dapat menggunakan tekhnik yaitu modus, median, mean 2. Sifat Nilai Rata-rata

a. Modus : Digunakan bila peneliti ingin cepat memberikan penjelasan kepada kelompok dengan hanya mempunyai data yang

populer pada kelompok saja. Teknik ini kurang teliti karena merupakan penghitungan kasar.

b. Median : digunakan bila ada data yang ektrem dalam kelompok

c. Mean : digunakan bila dalam kelompok itu mempunyai data yang merata.

Namun demikian agar pembaca memberikan interpretasi sendiri maka ketiga tekhnik tersebut digunakan semua dan hasilnya juga disajikan semua

MENGHITUNG Data Modus, Median, Mean DATA TUNGGALModus

Merupakan tekhnik penjelasan kelompok yang dilaksanakan atas niai yang sedang populer ( yang sedang menjadi mode) atau yang sering muncul dalam kelompok tersebut.Contoh Data kualitatif:1. Kebanyakan pemuda Indonesia merokok2. Kebanyakan tentara berambut pendekContoh Data KuantitatifHasil pencatatan umur pegawai di kantor X adalah sbb ( dalam tahun). 20, 45, 60, 56, 45, 45, 20, 19, 57, 45, 45, 51, 35.

Tabel data sbb

UMUR PEGAWAI JUMLAH

19

20

35

45

51

56

57

60

1

2

1

5 ( Modus)

1

1

1

1

JUMLAH 13

Median

Merupakan salah satu tekhnik pejelasan kelompok yang didasarkan atas nilai tengah dari kelmpok data yang telah disusun urutannya dari terkecil sampai terbesar atau sebaliknya. Mis kelompok umur sbb;

19, 20, 20, 35, 45, 45, 45, 45, 45, 51, 56, 57,60. n ganjil

180, 171, 170, 167, 166, 165, 164, 160, 147, 145, cm (TB )

Bila n genap maka nilai dibagi dua sehingga

166 +165 = 165,5 artinya tinggi badan rata-rata kelompok

2 itu = 165,5

Meanmerupakan pejelasan kelompok yang didasarkan atas nilai rata-rata dari kelompok tersebut . Rata-rata ( mean ) dapat dihitung dengan menjumlah data seluruh individu dalam kelompok itu kemudian dibagi n sehingga rumus sbb.Mε = Σ X i nKet : Mε = Mean ( rata-rata ) Σ = Epselon ( jumlah )

Xi = Nilai x ke 1 sampai ke n n = jumlah individu / sampel/ responden

Contoh : tinggi badan ( cm )(90 +120+160+60+180+190+90+180+70+160) : 10

Mε = 1300 : 10 = 130. Mε harus mewakili individu

artinya data jangan terjadi penyimpangan yang ektrem

Menghitung Data Bergolong Contoh data hasil Test kemampuan managerial terhadap 100

pegawai di kantor X dengan distribusi sbb

DISTRIBUSI NILAI KEMAMPUAN MANAGERIAL 100 PEGAWAI DIKANTOR X

INTERVAL NILAI KEMAMPUAN FREKUENSI / JUMLAH21 - 30

31 – 40

41 – 50

51 – 60

61 – 70

71 – 80

81 – 90

91 - 100

2

6

18

30

20

10

8

6

jumlah 100

a. Modus ( data bergolong )

Rumus

Mo = b+p ( b1 )

b1 + b2

Mo = Modus

b = tepi bawah klas interval dengan frekuensi terbanyak

p = panjang klas interval

b1 = frekuensi pada klas modus (frekuensi pada klas interval

terbanyak) dikurangi frekuensi klas interval terdekat

sebelumnya

b2 = frekuensi klas modus dikurangi frekuensi klas interval

berikutnya

Hitungannya sbb ;

Klas modus adalah klas ke 4 , frekuensinya = ( f, 30 )

b = 51 – 0,5 = 50,5

b1 = 30 –18 = 12

b2 = 30 – 20 = 10 MO = 50,5 + 10( 12 ) = 55, 95

12 + 10

b. Menghitung Median

Rumus Md = b + p ( ½n –F )

f

Md = Median n = jumlah smpel/data

b. = tepi bawah dimana median akan terletak

F = jumlah semua frekuensi sebelum klas median

f = frekuensi klas median

Cara menghitung

½ n : ½ x 100 = 50 klas median akan terletak pada interval ke 4 b : Tepi bawah adalah 51 – 0,5 = 50,5 p : panjang klas = 10 F : 2 + 6 + 18 = 26 f : frekuensi klas median = 30

Jadi Median = 50,5 + 10 ( 50 – 26 ) = 58,5 30

C.Menghitung Meana Rumus x = Σf N t n

Ket : x = rata-rata Σ = jumlah

f = frekuensi Nt = nilai tengah klas n = jml data

ContohBerat Badan Penderita TBC

no Berat Badan f Nt f Nt

12345678

41 -- 4546 -- 5051 -- 5556 -- 6061 -- 6566 -- 7071 -- 7576 -- 80

44125752

4348535863687378

17219253

116315476365156

jumlah 30 1.845

jadi x = 1845 = 61,5 kg 30

Rumus ( b) x = N t0 + i ( Σ f d ) nKet x = rata-rata

N t0 = nilai titik tengah n = jumlah pengamatand = kode I = interval klas

Langkah-langkah1. Pilih satu titik klas sebagai titik nol yang diberi kode (d)2. Pemilihan titik tengah boleh disembarang tempat tapi

sebaiknya ditengah3. Untuk diatas titik nol diberi tanda negatif secara berurutan

sedangkan untuk titik dibawah titik nol diberi tanda positif4. fd adalah hasil perkalian frekuensi dengan d

Rata-rata Menggunakan Kode

5. Hitung nilai tengah titik nol ( pertengahan nilai tengah pada klas tersebut ) 6.Bagilah hasil pada point C dengan jumlah pengamatan dan kalikan dengan interval klas ( i ) kemudian

hasilnya ditambah dengan nilai tengah titik nol

Contoh rata-rata BB Px penyakit jantung di RS X 2008

no Berat Badan f d fd ket

1

2

3

4

5

6

7

8

41 -- 45

46 -- 50

51 -- 55

56 -- 60

61 -- 65

66 -- 70

71 -- 75

76 -- 80

4

4

1

2

5

7

5

2

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

-16

-12

-2

-2

0

+7

+10

+6

( d )

JML 30 Σ -9

X = 63 + 5 ( - 9/30 ) = 61,5 kg

Ket tabel diatasBB Mhs nilai ujianrange 30 range 30 rata-rata 50 rata-rata 50rata-rata : 58,2 rata-rata ; 47,4 range 20 range 80

UKURAN KUARTIL

Data yang telah disusun menjadi suatu distribusi dibagi

mejadi 4 bagian yang sama atau disebut kuartil ( K ) Kuartil

I disebut K 1 merupkan 25 % dari seluruh distribusi. K 2

Merupkan 50% dan K 3 75 % dari bagian distribusi.

Kelebihan kuartil adalah ;

1. Kuartil menggunakan 50 % bagian tengah hingga tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem.

2. Posisi K1, K 2, K 3, dapat dihitung deviasi terhadap median

Selisih antara K3 --- K1 disebut rentang antar kuartil ( inter kuarti range ) yang sama dengan 50 % bagian tengah dari seluruh distribusi , sedangkan setengah antar kuartil disebut simpangan kuartil ( quartile Deviation ) Cara menghitung rentang kuartil & simpangan

Setelah data didistribusi tersusun, tentukan letak juga nilai dari K1 dan K3 berada, dengan meggunakan rumus I. Letak K3 = ¾( n + 1 ) K1 = ¼( n+1 )II Nilai = K3 atau K1

Nilai Kuartil = L + b ( S – L )

Tabel Rentang antar Kuartil

25% 25 % K1 K2 K3

Contoh mengetahui rentang kuartil ( kolesterol ) data tunggal

150, 152, 160, 165, 167, 169, 171, 174, 175, 593 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 Menentukan Letak

K3 = ¾( 10 + 1 ) = 8,25 K1 = ¼( 10+1 ) = 2,75

( berada antara 8 & 9 berada antara 2 & 3 )

2. Nilai K3 = 174 + 0,25 ( 175 – 174 )

= 174 + 0,25 x 1 174 + 0,25 = 174,25

Nilai K1 = 152 + 0,75 ( 160 – 152)

= 152 + (0,75 x8) 152 +6 = 158

Jadi rentang kuartil adalah 174,25 – 158 = 16,25

Rentang Data Bergolong

Untuk menghitung data rentang kuartil pada data bergolong

Maka : Letak kuartil diubah menjadi jumlah unit :

Letak : ⅹ = ( i x n ) / 4.

Nilai Kuartil = K k = b + i ( x – f kum )

fb = tepi bawah klas dimana kuartil

beradai = interval klasf kum = frekuensi kumulatif sebelum

kuartilf = frekuensi dimana kuartil beradax = letak kuartil

Data kuartil bergolong ( frekuensi distribusi kumulatif penderita hepatitis )

no umur f f kum

1

2

3

4

5

6

7

10 -- 19

20 -- 29

30 -- 39

40 -- 49

50 -- 59

60 -- 69

70 -- 79

2

23

15

11

9

5

2

2

25

40

51

60

65

67

jml 67

Letak K 3 = ( 3 x 67 ) / 4 = 50,25 terletak di kelas 4Letak K 1= ( 1 x 67 ) / 4 = 16, 75 terletak di kelas 2

Nilai kuartil K3 = 39,5 + 10 ( 50,25 – 40 ) / 11 = 39,5 + 10 x (10,25/11) = 39,5 + (10x0,93)

= 39,5 + 9.3 = 48,8Nilai Kuartil K1= 19,5 + 10 ( 16,75 – 2 ) / 23 =

19,5 + 10 (14,75/23) = 19,5 + (10x0,64) = 19,5 + 6,4 = 25,9

jadi rentang kuartil adalah 48,8 – 25, 9 = 12,9

Desil ( Decile )

Bila data yang telah disusun menjadi distribusi dan dibagi

menjadi 10 bagian yang sama maka disebut decil.

Prinsip penghitungan sama dengan penghitungan untuk

Kuartil. Dengan menghitung desil kita akan mendapat

informasi yang lebih teliti dibanding kuartil.

Contoh Hasil pemeriksaan kolesterol darah 10 orang Px Hypertensi, sbb

150, 152, 160, 165, 167, 169, 171, 174, 175, dan 180 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Letak Dd = data ke d ( n+ 1 ) / 10

Letak data D itu bisa dihitung mulai dat no 2 s/d 9

letak D4 = 4 ( 10 + 1 ) /10 = 4,4 antara data 4 & 5

letakD9 = 9(10+1 ) /10 = 9,9 antara data 9 & 10

Rumus Nilai D = Dd =L + b( S - L )

L ; nilai sebelum Dd

S : Nilai dimana D berada

B : Selisih unit untuk mencapai Dd

Nilai D4 adalah : 165+0,4(167-165) = 165 + 0.8 = 165,8Nilai D9 adalah : 175 + 0,9 ( 180 – 175) = 175 + 4,5= 179,5

Rentang decil adalah 175,5 – 163 = 12,5

Persentil ( Percentile )Persentil adalah suatu distribusi dibagi mejadi 100 bagian yang sama, dengan demikian akan mendapatkan 99 bagian yang sama. Pada prinsipnya penghitungannya sama dengan decile dan kuartil. Dengan persentil akan mendapatkan hasil yang lebih cermat.Letak Pp = ( Pp ) ke p ( n+1 ) / 100Nilai Pp = L + b ( S - L )

L = Nilai sebelum Pp S = Nilai dimana Pp berada b = kekurangan unit untuk mencapai Pp

Contoh pemeriksaan BB dari 15 orang penyakit jantung45, 46, 47, 48, 50, 51, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 63, 65 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Bila seseorang pasien dikatakan mempunyai BB yang

Terletak pada percentile 30 % maka berapakah berat

badannya

Jawab : Letak P30 = 30 ( 15 + 1) / 100 = 4,8

berada pada data antara 4 & 5

Nilai P30 = 48 + 0,8 ( 50 – 48 )

= 48 + 1,6 = 49,6

RANGE ( RENTANG )

Rentang merupakan ukuran despersi ( penyimpangan )

yang paling sederhana karena hanya melibatkan 2 nilai

dalam distribusi . Yaitu nilai terbesar dan terkecil. Range

merupakan gambaran kasar tentang besarnya variasi

sehingga dengan range saja belum bisa mengetahui variasi

yang sebenarnya

Contoh :

1. Distribusi berat badan dengan range yang sama tetapi mean berbeda

2. Range berbeda tapi mean sama

Range digunakan sebagai ukuran, apabila di dalam waktu yang sangat singkat kita ingin memperoleh gambaran tentang penyebaran data yang sedang kita selidiki dengan mengabaikan factor ketelitian atau kecermatan.

Kelebihan : Dengan menggunakan range dalam waktu singkat kita

dapat memperoleh gambaran umum mengenai luas penyebaran data yang kita hadapi.

Kelemahan : Range akan sangat bergantung kepada nilai-nilai

ekstrimnya. Range sebagai ukuran penyebaran data tidak

memperhatikan distribusi yang terdapat di dalam Range itu sendiri.

Range data tunggal

Range (jangkauan) = xn – x1

Range data berkelompok

1. Selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah (Berdasarkan titik tengah kelas)

2. Selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah (Berdasarkan tepi kelas)

Deviasi Dalam statistik yang dimaksud dengan Deviasi ialah

selisih atau simpangan dari masing-masing skor atau interval dari nilai rata-rata hitungnya. Deviasi merupakan salah satu ukuran variabilitas data yang biasa dilambangkan dengan huruf kecil dari huruf yang digunakan sebagai lambang skornya

Deviasi yang berada di atas Mean disebut deviasi positif bertanda +, sedangkan deviasi yang berada di bawah Mean disebut deviasi negatif bertanda – . Deviasi ada dua jenis yaitu deviasi rata-rata dan deviasi standar

DEVIASI RATA-RATA. ( Mean deviasi)

Pada prinsipnya simpangan rata-rata merupakan modifikasi dari ukuran rata-rata, yaitu apabila rata-rata ( mean) adalah jumlah pengamatan setiap individu dibagi dengan banyaknya pengamatan, sedangkan pada simpangan rata-rataAdalah ; “ jumlah selisih antara hasil setiap pengamatan dengan rata-rata dibagi dengan banyaknya pengamatan “ Simpangan rata-rata bermanfaat untuk mengetahui variasi yang terjadi di dalam suatu kelompok pengamatan atau membandingkan tingkat variabilitasnya dalam dua kelompok atau lebih.Rumus Mean Deviation ( MD ) adalah

MD = Σ X – X n

Rumus Mean Deviation ( MD ) adalah MD = Σ X – X

nContoh

Berat badan 2 kelompok penderita yang masing-masing

terdiri dari 5 orang

Kelompok I Kelompok II

BB Kg Mean selisih BB Kg Mean selisih

40

45

50

55

60

50 10

5

0

5

10

25

35

55

60

75

50 25

15

5

10

25

250 30 250 80

Kelompok I Kelompok II

X = 50 X = 50 ∑ X – X = 30 ∑ X - X = 80 MD = 30/5 = 6 MD = 80/5 = 16 Dari hasil perhitungan diatas dinyatakan bahwa variablitas

kelompok 2, adalah 3 X lebih besar dari pada kelompok 1

Deviasi rata-rata untuk data berkelompok

Varians

Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata-rata kuadrat. Untuk sampel, varians sampel disimbolkan dengan s2 dan untuk populasi disimbolkan dengan 2 (baca: sigma)

a. Varians data tunggal

1. Metode biasa

a. Untuk sampel besar (n>30)

b. Untuk sampel kecil (n30)

2. Metode Angka Kasar

a. Untuk sampel besar (n>30) :

b. Untuk sampel kecil (n30)

Contoh Soal

X X - X (X - X)2 X2

2 -4 16 4

3 -3 9 9

6 0 0 36

8 2 4 64

11 5 25 121

30 54 234

b. Varian data berkelompok

1. Metode biasa

a. Untuk sampel besar (n>30)

b. Untuk sampel kecil (n30)

2. Metode angka kasar

a. Untuk sampel besar (n >30)

b. Untuk sampel kecil (n30)

3. Metode coding

a. Untuk sampel besar ( n > 30)

b. Untuk sampel kecil (n30)

Metode Biasa

Diameter X f X - X (X - X)2 f (X - X)2

65 – 67 66 2 -7,425 55,131 110,262

68 – 70 69 5 -4,425 19,581 97,905

71 – 73 72 13 -1,425 2,031 26,403

74 – 76 75 14 1,575 2,481 34,734

77 – 79 78 4 4,575 20,931 83,724

80 – 82 81 2 7,575 57,381 114,762

40 467,790

Metode angka kasarDiameter X f X2 f X f X2

65 – 67 66 2 4.356 132 8.712

68 – 70 69 5 4.761 345 23.805

71 – 73 72 13 5.184 936 67.392

74 – 76 75 14 5.625 1.050 78.750

77 – 79 78 4 6.084 312 24.336

80 – 82 81 2 6.561 162 13.122

40 2.937 216.117

Metode Coding

Diameter X f u u2 fu fu2

65 – 67 66 2 -3 9 -6 18

68 – 70 69 5 -2 4 -10 20

71 – 73 72 13 -1 1 -13 13

74 – 76 75 14 0 0 0 0

77 – 79 78 4 1 1 4 4

80 – 82 81 2 2 4 4 8

40 -21 63

Latihan

Gaji (juta) Frekuensi

1 – 3 2

4 – 6 4

7 – 9 6

10 – 12 8

13 - 15 4

Tentukan variannya berdasarkan metode biasa, angka kasar, dan metode coding

Standar Deviasi ( Deviation Standart )

Simpangan baku merupakan ukuran dispersi yang sangat

penting dan sangat banyak digunakan dalam statistik.

Penyimpangan atau selisih nilai hasil pengamatan dengan rata-rata dapat menghasilkan nilai yang negatif, untuk menghindari hal ini tanpa memperhatikan nilai aljabarnya maka hasilnya dipangkatkan 2 sehingga hasilnya menjadi positif.

“ jumlah seluruh selisih hasil pengamatan dengan rata-rata

yang telah dipangkatkan dua dibagi dengan jumlah

pengamatan disebut VARIANS, bila varians ini ditarik akar

maka akan menghasilkan STANDAR DEVIATION. Dengan

kata lain standar deviasi adalah akar dari varians”

Simpangan baku data tunggal1. Metode Biasa

a. Untuk sampel besar (n>30)

b. Untuk Sampel kecil (n<30)

2. Metode angka kasara. Untuk sampel besar (n>30)

b. Untuk sampel kecil (n<30)

ContohBerikut ini adalah sampel nilai mid test statistik I dari sekelompok mahasiswa UMSU :

30 35 42 50 58 66 74 82 90 98

Tentukan simpangan bakunya !

Penyelesaian :

X X - X (X - X)2 X2

30 -32,5 1.056,25 900

35 -27,5 756,25 1.225

42 -20,5 420,25 1.764

50 -12,5 156,25 2.500

58 -4,5 20,25 3.364

66 3,5 12,25 4.356

74 11,5 132,25 5.476

82 19,5 380,25 6.724

90 27,5 756,25 8.100

98 35,5 1.260,25 9.604

625 4.950,5 44.013

1. Dengan metode biasa

2. Dengan metode angka kasar

Simpangan Baku Data Berkelompok

Rumus Varians = a2 = Σ( X - µ )2 / n

Deviasi standar = a = ( X - µ )2 / na : deviasi standar x : hasil pengamatanµ : rata-rata n ; banyaknya pengamatan

Caramenghitung:1. Data mentah disusun secara berurutan2. Jumlahkan hasil pengamatan3. Bagilah sigma X dengan banyaknya pengamatan(Σx/N:

µ)4. Kurangkan hasil pengamatan dengan rata-rata5. Pangkatkan hasil no 46. Jumlahkan hasil no 57. Bagilah hasil no 5 dengan banyaknya pengamatan 8. Hasil no 7 ditarik akarnya

Contoh : hasil pemeriksaan gula darah 10 orang sbb

no Gula darah X (rata-rata) X - X (X - X)2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

70

72

76

77

78

79

80

85

86

81

78,4 -8,4

-6,4

-2,4

-1,4

-0,4

0,6

1,6

6,6

7,6

2,6

70,56

40,97

5,76

1,96

0,16

0,36

2,56

43,56

57,76

6,76

jml 784 230,40

Varians = 230,40 = 23,04 10

SD = 23,04 = 4,8 mg

KOEFISIEN VARIASI ( coefisien of variation )

Standar deviasi tidaklah bisa untuk dua variasi dengan

satuan yang berbeda, karena standar deviasi hanya

bisa untuk membedakan atau menghitung dispersi absolut.

Cara yang lebih tepat untuk mrnghitung dua variasi dengan

satuan yang berbeda adalah dengan tekhnik koefisien

Variasi, yaitu dengan mengadakan perbandingan secara

relatif

Rumus : KV = ( SD/ X ) x 100%

Rumus : KV = ( SD/ X ) x 100%

Contoh 1

Seorang analis A dalam sehari rata-rata mampu memeriksa

40 sampel darah dengan deviasi sandar/ tingkat kesalahan 5 Analis B mampu Memeriksa 160 sampel dengan deviasi Standar/ tingkat kesalahan 15. Sepintas dapat dilihat analis B mempunyai variasi kesalahan lebih besar dibanding Dengan analis A. tetapi analis B mampu memeriksa sampel darah 4 kali lebih besar dari pada analis A sehingga perbandingannya dapat dilihat sbb :

Analis A : KV ( 5/40 ) x 100% = 12,5%

Analis B : KV ( 15/160 ) x 100% = 9,4

Kesimpulan : analis B mempunyai deviasi variasi lebih kecil

dibanding analis A

Contoh 2 ( Data Kelompok )Berat Badan

No Kelompok 1 Kelompok 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

12

14

16

18

20

27

30

35

25

30

40

45

50

55

60

65

70

75

80

jml 207 570

Ket: KV = ( SD/ X ) x 100%Kelompok I Kelompok IIn = 10 n = 10x =20,7 x = 57SD 7,52 SD = 15,5KV =( 7,52 / 20,7 ) x 100% KV = ( 15,5/57) x 100% = 36,33 = 27,2%

Contoh 3:Hasil pemeriksaan suhu dan nadi dari sekelompok PX fibris

Suhu = x = 38,5° c Nadi x 120 / menit

SD = 1,5 SD = 6

KV= (1,5/38,5)x 100=3,9% KV = ( 6/120) x 100 = 5%

Kesimpulan : nadi mempunyai variasi kira-kira 1,3 kali lebih

besar dibanding suhu.

Dari kedua contoh diatas dapat disimpulkan :1. KV dapat dipergunakan untuk membandingkan satu variabel dari dua kelompok yang sama.2. Membandingkan dua variabel dari satu kelompok dengan satuan yang berbeda3. KV juga dapat untuk mengetahui homogenitas dari suatu kelompok, yaitu apa bila koefisien variasi kurang dari 10 % maka kelompok tersebut dianggap cukup homogen