bidang dan garis dalam d3

Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga

PendidikanMatematika

Bidang dan Garisdalam RuangDimensi TigaBidang dan Garis dalam Ruang Dimensi Tiga

Geometri Analitik Ruang

Yulian Sari, M.Si

Universitas Riau Kepulauan

March 2015

Bidang dalam Ruang Dimensi Tiga

De�nition 1Jika N adalah vektor tak nol, P0 adalah suatu titik padaruang dimensi tiga, maka himpunan semua titik P yangmana

�!P0P dan N adalah orthogonal dide�nisikan sebagai

bidang yang melalui P0 terhadap N sebaga vektor normal.

Theorem 2Jika P0(x0, y0, z0) titik pada bidang dan vektor normalN =(a, b, c), maka persamaan bidang tersebut adalah

a(x� x0) + b(y� y0) + c(z� z0) = 0 (1)

Theorem 3Jika a, b, c adalah konstanta yang tidak semuanya nol, kurvadari persamaan

ax+ by+ cz+ d = 0 (2)

adalah bidang dan (a, b, c) adalah vektor normal bidangtersebut.

De�nition 4Dua bidang dikatakan paralel jika dan hanya jika vektornormal masing-masing bidang tersebut saling paralel

I Misalkan terdapat dua bidang dengan persamaansebagai berikut

a1x+ b1y+ c1z+ d1 = 0

dana2x+ b2y+ c2z+ d2 = 0

dengan vektor normal berturut-turut N1 = (a1, b1, c1)dan N2 = (a2, b2, c2), maka dua bidang tersebut paraleljika dan hanya jika

N1 = kN2, dengan k konstanta.

De�nition 5Dua bidang dikatakan tegak lurus jika dan hanya jika vektornormal masing-masing bidang tersebut orthogonal.

I Misalkan terdapat dua bidang dengan persamaansebagai berikut

a1x+ b1y+ c1z+ d1 = 0

dana2x+ b2y+ c2z+ d2 = 0

dengan vektor normal berturut-turut N1 = (a1, b1, c1)dan N2 = (a2, b2, c2), maka dua bidang tersebut tegaklurus jika dan hanya jika

N1 �N2 = 0.

Example 6Tentukan jarak bidang 2x� y+ 2z+ 10 = 0 ke titik (1, 4, 6)Penyelesaian.

I Misalkan P adalah titik (1, 4, 6) dan pilih sebarang titikQ pada suatu bidang.

I Agar lebih mudah, pilihlah titik yang berpotongan padasumbu x. Misal Q(�5, 0, 0)

I Diperoleh �!QP = 6i+ 4j+ 6k

dan vektor normalnya

N = 2i� j+ 2k

I Perhatikan gambar berikut

I Karenad =

��!QP�� cos θ

cos θ =

��N0 � �!QP��

jN0j��!QP

�� ,

I Karenad =

cos θ =

��N0 � �!QP��

jN0j��!QP

�� ,

I Karenad =

cos θ =

��N0 � �!QP��

jN0j��!QP

�� ,

sehingga

d =��!QP

��N0 � �!QP

��jN0j

��!QP�� =

��N0 � �!QP��

=j(2i� j+ 2k) � (6i+ 4j+ 6k)jp

4+ 1+ 4

Persamaan Parametrik dan Persamaan SimetrikI Misalkan L adalah garis dalam ruang dimensi tigasedemikian sehingga memuat titik P0(x0, y0, z0) danparalel dengan vektor R = (a, b, c), sehingga garis Ladalah himpunan titik P(x, y, z) sedemikian sehingga�!P0P paralel dengan vektor R.

I Misalkan t adalah skalar yang bukan nol, maka�!P0P = tR.

I Perhatikan gambar berikut.

I Karena �!P0P = (x� x0, y� y0, z� z0)

sehingga

(x� x0, y� y0, z� z0) = t(a, b, c).

I Hal tersebut berarti

x� x0 = ta, y� y0 = tb, z� z0 = tc.

x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc.

I Misalkan parameter t adalah sebarang bilangan riil, titikP adalah suatu titik pada garis L sedemikian sehinggamerepresentasikan garis L, sehingga persamaan diatasdisebut sebagai persamaan parametrik pada garis.

I Jika salah satu nilai a, b, c adalah 0, maka denganeliminasi diperoleh

x� x0

y� y0

z� z0

cdisebut sebagai persamaan simetrik pada garis.

sehingga

(x� x0, y� y0, z� z0) = t(a, b, c).

x� x0 = ta, y� y0 = tb, z� z0 = tc.

x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc.

x� x0

y� y0

z� z0

sehingga

(x� x0, y� y0, z� z0) = t(a, b, c).

x� x0 = ta, y� y0 = tb, z� z0 = tc.

x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc.

x� x0

y� y0

z� z0

sehingga

(x� x0, y� y0, z� z0) = t(a, b, c).

x� x0 = ta, y� y0 = tb, z� z0 = tc.

x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc.

x� x0

y� y0

z� z0

Example 7

Persamaan parametriks dari suatu garis yang paralel denganvektor yang direpresentasikan oleh R = (11, 8, 10) danmemuat titik (8, 12, 6) adalah

x = 8+ 11t, y = 12+ 8t, z = 6+ 10t

Berikut gambar yang sesuai dengan ilustrasi tersebut

Soal Latihan

1. Tentukan dua persamaan simetriks dari garis yangmelalui titik (-3,2,4) dan (6,1,2)

2. Diberikan dua bidang x+ 3y� z� 9 = 0 dan2x� 3y+ 4z+ 3 = 0 yang saling berpotongan.Tentukan

2.1 persamaan simetrik2.2 persamaan parametrik

3. Tentukan persamaan simetrik dari garis yang melaluititik (1,�1, 1) tegak lurus dengan garis 3x = 2y = zdan paralel dengan bidang x+ y� z = 0

Soal Latihan

2.1 persamaan simetrik

2.2 persamaan parametrik

Soal Latihan

bidang dan garis dalam d3

Science