makalah garis lurus dan bidang datar

15
BAB I PENDAHULUAN 1.1. L atar Belakang Bidang dangaris merupakan dua dari tiga istilah- istilah dasar. Sebagaimana kita ketahui bahwa istilah dasar adalah suatu istilah yanh hanya dapat dideskripsikan atau dipaparkan. Dengan demikian, garis dan bidang (sebagai istilah dasar) dapat dideskripsikan sebagai berikut : 1. Garis (dimaksudkan adalah garis lurus) Dapat diperpanjang ke arah mana saja. Namun mengingat terbatasnya bidang tempat gambar, sebuh garis hanya dituliskan sebagian saja. Garis hanya mempunyai ukuran panjang, tetapi tidak mempunyai ukuranlebar. 2. Bidang (dimaksudkan adalah bidang rata) Dapat diperluas seluas-luasnya. Pada umunya, sebuah bidang hanya dilukiskan sebagian saja yang disebut wakil bidang. 1.2. M asalah 1) Jelaskan kedudukan garis lurus dan bidang rata ? 2) Bagaimana menentukan persamaan garis lurus yang memotong dua garis lurus lain ?

Upload: thiya-saiank-diia

Post on 05-Jul-2015

4.414 views

Category:

Documents


84 download

TRANSCRIPT

Page 1: makalah garis lurus dan bidang datar

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Bidang dangaris merupakan dua dari tiga istilah-istilah dasar. Sebagaimana kita

ketahui bahwa istilah dasar adalah suatu istilah yanh hanya dapat dideskripsikan atau

dipaparkan. Dengan demikian, garis dan bidang (sebagai istilah dasar) dapat

dideskripsikan sebagai berikut :

1. Garis (dimaksudkan adalah garis lurus)

Dapat diperpanjang ke arah mana saja. Namun mengingat terbatasnya bidang tempat

gambar, sebuh garis hanya dituliskan sebagian saja. Garis hanya mempunyai ukuran

panjang, tetapi tidak mempunyai ukuranlebar.

2. Bidang (dimaksudkan adalah bidang rata)

Dapat diperluas seluas-luasnya. Pada umunya, sebuah bidang hanya dilukiskan

sebagian saja yang disebut wakil bidang.

1.2. Masalah

1) Jelaskan kedudukan garis lurus dan bidang rata ?

2) Bagaimana menentukan persamaan garis lurus yang memotong dua garis lurus

lain ?

3) Bagaimana menentukan jarak antara dua garis lurus g dan g ?

4) Bagaimana menentukan jarak sebuah titik ke sebuah garis lurus ?

5) Bagaimana menentukan perpotongan tiga bidang rata ?

1.3. Tujuan

Untuk mengetahuai dan menentukan cara mencari kedudukan garis lurus dan

bidang rata, garis lurus memotong dua garis lurus lain, jarak antara dua garis lurus g

dan g , jarak sebuah titik ke sebuah garis lurus serta perpotongan tiga bidang rata.

Page 2: makalah garis lurus dan bidang datar

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Kedudukan Garis Lurus dan Bidang Rata

Pandang garis lurus g dengan vektor arah a = dan bidang rata V dengan

vektor normal, n = maka:

1. Garis lurus g sejajar bidang rata V vektor arah garis tegak lurus normal bidang

atau a.n = 0 atau :

.............................................. (34)

Gambar 37

2. Garis lurus g tegak lurus bidang rata V vektor arah garis lurus = vektor normal

bidang rata (atau kelipatanya) atau ........................ (35)

3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata V, terpenuhi a n atau a.n = 0

....................................................................... (36)

dan sembarang P pada garis g harus terletak pula pada bidang V.

sejajar denga bidang V

terletak pada bidang V

tegal lurus bidang V

Page 3: makalah garis lurus dan bidang datar

Contoh 2.1 :

Garis lurus g : sejajar bidang rata V = x + y + z + 7 = 0 karena

= 0, tetapi g tidak terletak pada V. Karena suatu titik pada g

tidak memenuhi persamaan V .

Sedangkan garis terletak pada V1 = x + y + z -1 = 0

Karena = 0 dan titik pada memenuhi persamaan V

Sedangakan tegak lurus bidan V

Karena vektor arah sama dengan vektor normal .

2.2. Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain

Jika : V V dan g :1 U1 = 0 = U maka persamaan umum dari garis lurus g

yang memotong dan adalah + =0= + .......................... (37)

Contoh 2.2 :

Tentukan pesamaan garus lurus yang melalui titik dan memotong garis-garis

lurus : serta :

Penyelesaian :

Garis lurus ..................... (*)

memotong dan untuk setiap dan

Karena melalui : (*) dan atau yang bila kita

subsitusikan ke (*) menghasilkan merupakan persamaan yang

diminta.

Page 4: makalah garis lurus dan bidang datar

2.3. Jarak Antar Dua Garis Lurus G1 Dan G2

1. Bila g1 dan g2 sejajar , untuk menghitung jaraknya dapat dilakukan sebagai berikut:

Pilihlah sembarang titik p pada g1

Buatlah bidang rata W melalui P dan tegak lurus g1, yang dengan

sendirinya juga tegak lurus g2

Tentukan Q titik tembus g2 pada W

Panjang PQ adalah jarak g1 dan g2

Gambar 38

2. Bila g1 da g2 bersilangan, dapat dilakukan sebagai berikut:

Buat bidang rata W yang melalui g1 dan sejajar g2

Pilih sembarang titik P pada g1

Tentukan jarak P ke bidang W, merupakan jarak g1 dan g2.

Contoh 2.3 :

1. Tentukan jarak garis lurus g1 , dan g2 :

Penyelesaian :

g1 // g2

Pilihlah P (2,0,2) pada g1

Page 5: makalah garis lurus dan bidang datar

Persamaan bidan W melalui P dan tegak lurus g1

W =2 + 3 + = 0 2x + 3y + z – 6 = 0…………………………(*)

Mencari titik Q, yaitu titik tembus g1 pada W :

g2 dapat ditulis dalam persamaan parameter :

x = 2 , y = 4 + 3 , z = 8 + …………………(**)

dan subtitusinya ke (*) : 2(2 ) + 3(4 + 3 )+(8 + )–6 = 0 14 + 14 = 0

Jadi Q(-2,1,7) berarti jarak g1 dan g2 adalah : =

2. Tentukan jarak dan persamaan garis hubungan terpendek dari sumbu z kegaris lurus

g2 : x = -y + 1 = -z

Penyelesaian :

Sumbu Z mempunyai persamaan g1 : x = 0, y = 0, dan garis g2 : x + z = 0, x + y – 1 = 0

bidang W melalui titik g1 berbentuk x + y = 0 dan sejajar g2 yang arahnya :

:

Berarti [ 1, ] .

Jadi W = x + y = 0

Kita pilih sembarang titik P pada g2, ambil x = 0 , dan y = 1 atau P

Jarak P(0,1,0) ke W = 0 adalah :

d =

=

g3 adalah garis hubung terpendek g1 dan g2, yang dapat dicari sebagai berikut :

Bidang U melalui g2 dan tegak lurus W :

Page 6: makalah garis lurus dan bidang datar

Gambar 39

serta :

berarti U= = 0 atau x – y + 2z + 1 = 0

Titik tembus sumbu Z pada U : x = 0, y = 0, z =

g1 melalui R dan vektor arahnya =normal dari W berati g3 :

atau x = y, z =

2.4. Jarak Sebuah Titik ke Sebuah Garis Lurus

Jarak P ke garis g dapat kita cari sebagai berikut :

Buat bidang W melalui p tegak lurus g

Cari titk Q, titik tembus g pada W.

Garis PQ dalah suatu garis yang tegak lurus g dan melalui titik P sehingga

panjang PQ adalah jarak titik P ke garis g

Page 7: makalah garis lurus dan bidang datar

Gambar 40

Contoh 2.4 :

Tentukan jarak titik ke garis x = y = z

Penyelesaian:

Bidang W yang melalui (1,0,2) dan tegak lurus x = y = z adalah :

1 + 1 ………………(*)

Ttik tembus garis g pada W dpiperoleh dengan mensubsitusikan

x = y = z = ke (*) maka atau titik tembus Q .

Jadi PQ = = adalah jarak yang diminta.

Catatan (8)

Mencari persamaan garis h yang melalui titik P serta memotong tegak

lurus g dengan persamaan = + .

Misalkan Q pada garis g berarti kordinat Q .

Vetor PQ = merupakan arah garis h

Page 8: makalah garis lurus dan bidang datar

Gambar 41

Sebagai contoh, kita hendak memecahkan contoh 2.4 diatas, ambil Q pada g.

Vektor PQ=

PQ tegak lurus arah g, yaitu berarti : atau

Titik Q ( ) dan jarak P ke garis g = PQ = =

2.5. Perpotongan Tiga Bidang Rata

Pandang tiga bidang rata :

V1 = A1x + B1y + C1z + D1

V2 = A2x + B2y + C2z + D2

V3 = A3x + B3y + C3z + D3

V1, V2 dan V3 tidak ada yang sejajar, terdapat tiga kemungkinan kedudukan ketiga

bidang tersebut :

1. Hanya mempunyai satu titik persekutuan ( membentuk jaringan bidang ),

2. Mempunyai satu garis lurus persekutuan ( membentuk berkas bidang ),

3. Membentuk satu prima segitiga.

Page 9: makalah garis lurus dan bidang datar

Gambar 42

pandang bahwa V1 danV2 tidak sejajar. Garis potong V1 dan V2 yaitu g mempunyai arah

n1 n2 = dan melalui titik : P

maka V1 = 0. V2 = 0. V3 = 0 membentuk prisma sisi tiga jika

g // V3 (g tidak terletak pada V3).

Berarti : atau bila :

…………………(38)

dan misalkan titik P terletak pada V3 = 0, berarti tidak terpenuhi hubungan :

A =

atau tak memenuhi : = 0 ……………………….(39)

Jadi :

Page 10: makalah garis lurus dan bidang datar

o Ketiga bidang rata membentuk suatu berkas bidang rata, jika terpenuhi

persamaan (38) dan (39)

o Ketiga bidang rata membentuk suatu prisma sisi tiga jika terpenuhi persamaan

(38) dan (39)

o Dalam hal lain, membentuk jaringan.

Contoh 2.5 :

Tentukan bahwa bidang dan

membentuk prisma segitga.

Penyelesaian :

Persamaan (38) terpenuhi, yaitu :

Sedangkan persamaan (39), yaitu :

Tidak terprnuhi.

BAB III

PENUTUP

Page 11: makalah garis lurus dan bidang datar

Pandang garis lurus g dengan vektor arah a = dan bidang rata V dengan

vektor normal, n = maka:

1. Garis lurus g sejajar bidang rata V vektor arah garis tegak lurus normal bidang

atau a.n = 0 atau :

2. Garis lurus g tegak lurus bidang rata V vektor arah garis lurus = vektor normal

bidang rata (atau kelipatanya) atau

3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata V, terpenuhi a n atau a.n = 0

dan sembarang P pada garis g harus terletak pula pada bidang V.

Jika : V V dan g :1 U1 = 0 = U maka persamaan umum dari garis lurus

g yang memotong dan adalah + =0= + . Untuk menghitung jarak

antara dua garis lurus g1 dan g2 dapat dilakukan dengan dua cara yaitu bila g1 dan g2

sejajar dan bila g1 dan g2 bersilangan.Untuk menentukan jarak sebuh titik ke sebuah

garis lurus maka jarak P ke garis g yaitu PQ.

3.2. Saran

Sebagai guru kita sebaiknya bisa menjelaskan materi kedudukan garis lurus dan

bidang rata, garis lurus memotong dua garis lurus lain, jarak antara dua garis lurus g

dan g , jarak sebuh titik ke sebuh garis lurus serta perpotongan tiga bidang rata dengan

baik dan benar sehingga siswa bisa memahami materi ini dengan baik.