pen dahuluan€¦ · 2. sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. titik p ada di luar garis...

29
MAT. 02 IPA Tri Subiantoro, S.Mat 1 PENDAHULUAN Pada modul ini akan dibahas ruang dimensi tiga. Beberapa topik yang dipelajari di antaranya adalah cara menggambar beberapa bangun ruang. Menggambar bangun ruang membutuhkan daya imajinasi dan visualisasi yang baik. Modul ini memberikan dasar menggambar beberapa bangun sederhana seperti kubus, balok, dan limas. Menggambar kesenian karena menggambar bangun pada modul ini dimaksudkan sebagai bagian memahami geometri matematika. Keahlian menggambar bangun ruang akan sangat berguna bagi mereka yang berminat menerjuni bidang - bidang di mana dimensi tiga menjadi teori dan pembahasannya, seperti arsitektur, seni rupa, dan teknik sipil. Bagi kamu yang kurang berminat pada bidang-bidang tersebut maka bahasan ini dapat dianggap sebagai latihan terhadap daya imajinasi dan visualisasi. Untuk memudahkan pemahaman tentang Ruang Dimensi Tiga, modul ini akan membahas 1 kegiatan belajar yaitu : Kegiatan Belajar 1 : Ruang Dimensi Tiga Standar Kompetensi : Menentukan kedudukan jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga. Kompetensi Dasar : Menentukan kedudukan titik, garis,dan bidang dalam ruang dimensi tiga. Kompetensi Dasar : Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga. Kompetensi Dasar : Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga.

Upload: others

Post on 04-Nov-2020

41 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

1

PENDAHULUAN

Pada modul ini akan dibahas

ruang dimensi tiga. Beberapa

topik yang dipelajari di

antaranya adalah cara

menggambar beberapa bangun

ruang. Menggambar bangun

ruang membutuhkan daya

imajinasi dan visualisasi yang

baik. Modul ini memberikan

dasar menggambar beberapa

bangun sederhana seperti

kubus, balok, dan limas.

Menggambar kesenian karena

menggambar bangun pada

modul ini dimaksudkan sebagai

bagian memahami geometri

matematika. Keahlian

menggambar bangun ruang

akan sangat berguna bagi

mereka yang berminat

menerjuni bidang - bidang di

mana dimensi tiga menjadi teori

dan pembahasannya, seperti

arsitektur, seni rupa, dan teknik

sipil. Bagi kamu yang kurang

berminat pada bidang-bidang

tersebut maka bahasan ini dapat

dianggap sebagai latihan

terhadap daya imajinasi dan

visualisasi.

Untuk memudahkan

pemahaman tentang

Ruang Dimensi Tiga, modul

ini akan membahas

1 kegiatan belajar yaitu :

Kegiatan Belajar 1 :

Ruang Dimensi Tiga

Standar Kompetensi : Menentukan kedudukan jarak, dan

besar sudut yang melibatkan titik,

garis, dan bidang dalam ruang dimensi

tiga.

Kompetensi Dasar : Menentukan kedudukan titik, garis,dan

bidang dalam ruang dimensi tiga.

Kompetensi Dasar : Menentukan jarak dari titik ke garis

dan dari titik ke bidang dalam ruang

dimensi tiga.

Kompetensi Dasar : Menentukan besar sudut antara garis

dan bidang dan antara dua bidang

dalam ruang dimensi tiga.

Page 2: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

2

❖ Titik, Garis, dan Bidang

Pengertian titik

Titik biasanya digambarkan dengan sebuah noktah kecil ( . ) dan diberi nama dengan satu huruf

kapital, seperti M

Contoh : . M

Pengertian garis

Garis adalah kumpulan titik-titik yang banyaknya tak terhingga, bentuk garis bisa lurus atau

lengkung,yang dimaksud garis di sini adalah garis lurus. Garis tidak memiliki batas ke kiri atau ke

kanan, oleh karena itu garis cukup digambar wakilnya saja. Garis ditulis dengan huruf kecil,

misalnya garis g, garis h, garis k, garis l, dan seterusnya.

Contoh : g

Pengertian bidang

Sebuah bidang memiliki luas yang tak terbatas. Dalam geometri, sebuah bidang cukup digambar

wakilnya saja, yaitu suatu daerah terbatas yang terletak pada bidang.

D C

A B

Bidang di atas disebut bidang ABCD karena bidang ABCD termuat di dalamnya. Secara

sederhana bidang yang memuat ABCD tersebut dapat disebut bidang .

Mengkonstruksi sebuah bidang.

1. Tiga titik yang tidak segaris.

Tiga titik A, B, C yang tidak segaris membentuk sebuah bidang 1 .

KEGIATAN BELAJAR 1

. A . C

.B

Page 3: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

3

2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu.

Titik P ada di luar garis g.

Titik P dan garis g membentuk bidang 2

P

2

3. Dua garis yang berpotongan.

Garis g dn garis h berpotongan. Garis g dan garis h membentuk bidang 3

g

h

3

4. Dua garis yang sejajar.

Garis 1g dan garis 1h sejajar. Garis

1g dan 1h membentuk bidang 4

1g

4

1h

Page 4: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

4

❖ Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang pada Bangun Ruang.

1. Kedudukan Titik terhadap Garis

1. Titik P dikatakan terletak pada garis g, jika titik P tersebut dapat dilalui oleh garis g atau

perpanjangannya.

g g

P P

2. Titik Q dikatakan terletak di luar garis m, jika titik Q tersebut tidak dapat dilalui oleh

garis m

m

Q

2. Kedudukan Titik terhadap bidang

Q

P

α

1. Titik P dikatakan terletak pada bidang α , jika titik P tersebut dapat dilalui oleh bidang α

atau perluasannya.

2. Titik Q dikatakan terletak di luar bidang α, jika titik Q tersebut tidak dapat dilalui oleh

bidang α atau perluasannya.

3. Kedudukan Dua Garis

a. Dua garis berimpit, jika kedua garis itu mempunyai paling sedidkit 2 buah titik

persekutuan.

Q a

P

α b

b. Dua garis berptongan, jika kedua garis itu mempunyai 1 titik persekutuan, titik ini

disebut titik potong kedua garis itu.

a

P b

α

Page 5: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

5

c. Dua garis sejajar, jika kedua garis itu terletak pada satu bidang, tetapi tidak mempunyai

titik persekutuan.

a

b

α

d. Dua garis bersilangan

b

α

4. Kedudukan Garis dan Bidang.

1. Garis terletak pada bidang

Jika terdapat 2 buah titik yang terletak pada garis dan juga terletak pada bidang, dengan

kata lain terdapat 2 buah titik pesekutuan antara garis dan bidang.

P Q

m

α

2. Garis sejajar bidang

Jika garis dan bidang tidak mempunyai titik persekutuan walaupun garis itu diperpanjang

dan bidang itu diperluas.

m

α

3. Garis menembus bidang

Jika dan hanya jika terdapat 1 titik persekutuan antara garis dan bidang. Titik persekutan

ini disebut titik tembus.

m

T

α

Page 6: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

6

5. Kedudukan Dua Bidang.

1. Dua buah bidang berimpit.

Jika kedua bidang itu mempunyai 3 buah titik persekutuan yg tidak segaris.

B C

α A β

Titik A, B, dan C terletak pada α, juga terletak pada β, maka α dan β berimpit.

2. Duah bidang sejajar

Jika kedua bidang itu tidak mempunyai titik persekutuan, walaupun diperluas

secukupnya.

α

β

3. Dua bidang berpotongan

Jika kedua bidang itu tidak berimpit dan tidak sejajar. Perpotongan kedua bidang

tersebut berupa garis lurus dan dinamakan garis potong atau garis tembus atau garis

persekutuan. Jika kedua bidang itu adalah α dan β, maka garis potongnya disebut ( α, β )

β

(α,β)

α

Page 7: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

7

H G

E

C

A B

Tentukan kedudukan

1. Garis AH terhadap CF .

2. Garis BH terhadap bidang DCGH

3. Garis DG terhadap bidang ABFE

4. Bidang ABCD terhadap bidang EFGH

5. Bidang ACGE terhadap bidang BDHF

6. Titik A terhadap bidang ABFE

7. Titik B terhadap garis AC.

F

D

Page 8: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

8

❖ Proyeksi

1. Proyeksi titik pada bidang

P

P1

Proyeksi sebuah titik P pada bidang adalah titik tembus garis yang tegak lurus dari P pada

bidang .

P1 = proyeksi P pada

P P1 = proyektor atau jarak titik P terhadap bidang

= bidang proyeksi

P P1 ⊥

2. Proyeksi garis pada bidang

A B

A1 B1

Jika semua titik pada garis AB diproyeksikan pada bidang , maka proyektor-proyektornya

terletak pada satu bidang (bidang proyektor) dan semua proyeksinya terletak pada satu garis

A1B1. Sehingga, proyeksi AB pada bidang adalah garis A1B1.

Page 9: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

9

❖ Menggambar Bangun Ruang

H G

E

C

A B

Beberapa pengertian untuk menggambar bangun ruang.

a. Bidang gambar adalah suatu bidang atau permukaan sebagai tempat untuk menggambar atau

melukis bangun ruang. Contohnya adalah buku tulis, papan tulis, dan kertas gambar.

b. Bidang frontal adalah bidang gambar atau bidang yang sejajar dengan bidang gambar.

Bidang ABFE dan DCGH adalah frontal.

Keistimewaan bidang frontal adalah bahwa ukuran dan bentuk semua bangun yang terleatk di

situ, sama dengan bentuk dan ukuran yang sebenarnya.

c. Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal. Di antara garis-garis frontal

yang terpenting adalah yang vertikal (yaitu AE, BF, CG, dan DH) dan yang horisontal (yaitu

AB, EF, GH, dan CD)

d. Garis ortogonal adalah garis yang tegak lurus pada bidang frontal, misalnya AD, BC, EH,

dan FG.

e. Sudut surut (sudut menyisi) adalah sudut dalam gambar antara garis frontal horisontal arah

ke kanan dan garis ortogonal arah ke belakang, misalnya BAD dan FEH. Besar sudut ini

sebenarnya adalah 900.

Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 5 cm. Tentukan proyeksi dan

panjang proyeksi :

1. garis AE pada bidang BCGF

2. garis AE pada bidang ABCD

3. garis AG pada bidang ABCD

F

D

Page 10: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

10

f. Perbandingan ortogonal (perbandingan proyeksi) adalah perbandingan antara panjang

suatu garis ortogonal dalam gambar dan panjang garis itu sebenarnya.

Perbandingan proyeksi = sebenarnyayangBCpanjang

gambardalamBCpanjang

Misalnya panjang BC dalam gambar = 2 cm dan panjang BC sebenarnya = 4 cm, maka

perbandingan ortogonal gambar itu = 4

2= 0, 5.

Perbandingan ortogonal berkisar antara 3

1sampai dengan

3

2

Contoh : Diketahui kubus ABCD. EFGH, dengan AB = 4 cm. Gambarkan kubus itu, jika

bidang ABFE frontal, AB horisontal, sudut surut = 1500, dan perbandingan

proyeksi = 0,6.

Jawab : H G

E F

4 cm

D C

2,4 cm 1500

A B

• Buatlah garis AB sepanjang 4 cm.

• Buatlah sudut surut = 1500 di titik A.

• Buatlah AD = 0, 6 x 4 = 2, 4 cm

• Buatlah bidang ABCD

• Lengkapi rusuk-rusuk kubus yang lainnya, sehingga kubus ABCD. EFGH terlukis

Page 11: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

11

❖ Jarak pada Bangun Ruang.

1. Jarak titik ke titik

Jarak antara 2 titik merupakan panjang garis yang menghubungkan 2 titik tersebut.Pada

gambar berikut, jarak antara P dan Q ditunjukan oleh panjang garis PQ.

P Q

Contoh : Diketahui kubus ABCD. EFGH, rusuknya 12 cm, hitunglah panjang antara titik

A dan H !

Jawab : AH = diagonal sisi = ( ) ( ) cmDHAD 2121212 2222=+=+

2. Jarak titik ke garis

Jarak antara titik dan garis merupakan panjang garis yang ditarik dari titik tersebut sampai

memotong garis tegak lurus. Hal ini diambil karena jarak tersebut merupakan jarak

terdekat antara titik dan garis. Perhatikan gambar berikut :

g

C

B

Q

A

P

PA, PB, dan PC adalah garis-garis yang menghubungkan titik P dan garis g. PB adalah

garis yang ditarik dari P ⊥ pada garis g sehingga PB disebut jarak dari titik P ke garis g.

Q merupakan titik lain yang terletak pada garis g. Adapun jarak titik Q ke garis g adalah

nol.

Diketahui kubus ABCD. EFGH, dengan AB = 4 cm. Gambarkan kubus itu, jika

bidang ACGE frontal, AC horisontal, sudut surut = 300 dan perbandingan proyeksi = 0,5

Page 12: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

12

Contoh : Diketahui kubus ABCD. EFGH, rusuknya 12 cm, hitunglah jarak titik A ke

garis BC !

Jawab : Jarak dari titik A ke garis BC merupakan garis dari A tegak lurus pada BC, yaitu

AB. Jadi jarak A ke garis BC adalah AB = a = 12 cm

3. Jarak titik ke bidang

Jarak antara titik P dengan bidang α jika P terletak di bidang α adalah 0. Jika titik P

terletak di luar bidang α, maka jarak P dan α dapat ditentukan sebagai berikut :

Lukislah garis g melalui titik P dan tegak lurus bidang α. Misalkan menembus di Q.

PQ adalah jarak titik P dengan α.

P

α Q

g

Contoh : Hitunglah jarak titik B ke bidang AFC dari gambar kubus di bawah ini !

H G

E

6 cm

C

6 cm

A B

6 cm

Jawab :

Titik B terletak pada bidang BDHF. Bidang BDHF dan bidang AFC berpotongan pada

ruas garis FL. Misalkan BK adalah garis tinggi segitiga BLF, maka BK ⊥ FL. BK

menembus bidang AFC dan ⊥ garis FL pada bidang AFC, maka BK merupakan jarak

dari B ke bidang AFC.

F

K

D

L

Page 13: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

13

Perhatikan segitiga FBL

F

K 6 cm

α

L 23 cm B

BF = 6 cm, LB = 2

1, DB = cmx 2326

2

1=

3

3263

123sinsin

63

1

63

6sin

6354

543618222

=

==→=

===

==

=+=+=

xBLBKBL

BK

FL

FB

cmFL

BFLBFL

Jadi jarak titik B ke bidang AFC adalah 32 cm.

4. Jarak antara Dua Garis Sejajar.

P g

P1 h

α l

Perhatikan gambar di atas. Misalkan garis g dan garis h sejajar dan terletak pada

bidang α. Misalkan garis l tegak lurus garis g dan h memotong g dan h masing-masing

di titik P dan P1. Jarak antara garis g dan h adalah panjang ruas garis PP1.

Contoh : Dari gambar balok di bawah ini, tentukan jarak antara AB dengan GH !

H G

E

6 cm

C

4 cm

A 8 cm B

F

D

Page 14: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

14

Jawab : AB dan GH terletak dlm bidang ABGH. AB dan GH sejajar, jadi jarak

antara AB dan GH dpt diwakili oleh panjang BG.

cmBG 1322

42

6 =+=

Jadi jarak antara AB dan GH adalah 132 cm

5. Jarak antara Dua Garis yang Bersilangan

Dua garis g dan h dikatakan bersilangan jika garis tersebut tidak sejajar dan terletak pada

2 bidang yang berbeda. Perhatikan gambar pada contoh jarak antara 2 garis sejajar.

Garis AE bersilangan dengan garis GH. Sampai kapanpun kedua garis ini tak akan

berpotongan, begitu juga garis EH dan BF atau garis EH dan BG.

Contoh : Dari gambar pada contoh jarak antara 2 garis sejajar, tentukanlah jarak antara

AE dengan CH !

Jawab :

Garis AE dan CH saling bersilangan. Garis DH sejajar AE dan memotong CH di titik H.

Garis DH dan CH membentuk bidang DCGH. Garis HE tegak lurus bidang DCGH dan

memotong garis AE secara tegak lurus, sehingga HE dapat mewakili jarak AE dan CH.

Jadi jarak AE dan CH adalah 4 cm

6. Jarak antara Garis dan Bidang yang Sejajar.

P g

P1

α

Perhatikan gambar di atas. Misalkan garis g sejajar dengan bidang α. Tariklah garis yang

melalui sembarang titik P di g dan tegak lurus bidang α. Misalkan titik tersebut

menembus bidang α di P1. Jarak antara garis g dan bidang α adalah PP1. P1 adalah

proyeksi titik P pada bidang α.

Contoh : Dari gambar pada contoh jarak antara 2 garis sejajar, tentukanlah jarak antara

AH dengan bidang BCGF !

Jawab : AH sejajar dengan bidang BCGF. AH sejajar BG pada bidang BCGF.

Jarak antara AH dan BCGF dapat diwakili oleh panjang AB.Panjang AB =

8 cm. Jadi jarak antara AH dan bidang BCGF adalah 8 cm.

Page 15: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

15

7. Jarak antara Dua Bidang yang Sejajar.

P

Q

α

Contoh : Dari gambar pada contoh jarak antara 2 garis sejajar, tentukanlah jarak antara

bidang BCGF dengan bidang ADHE !

Jawab : BCGF // ADHE. Ruas garis AB dapat digunakan untuk mewakili jarak

kedua bidang ini karena AB ⊥ BCGF. Jadi jarak BCGF dengan ADHE

adalah 8 cm.

Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 6 cm. Tentukan dan hitung jarak

antara :

1. Titik E dan C 4. HD dan BF

2. Titik A dan GC 5. AD dan GC

3. Titik H dan bidang ABCD 6. EG dan ABCD

7. EFGH dan ABCD

Page 16: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

16

❖ Sudut – sudut dalam Ruang.

1. Sudut antara Dua Garis

Q1 g

P

β β

O

P1 Q

α h

Dua garis yang tidak sejajar dalam ruang dapat berpotongan atau bersilangan. Jika 2 garis

berpotongan, maka kedua garis tersebut berada dalam bidang yang sama. Dengan demikian

menentukan sudut 2 garis yang berpotongan tersebut sama seperti menentukan sudut

berpotongan pada bidang datar. Perhatikan gambar disamping. Garis g dan h berada dalam

1 bidang dan berpotongan di titik O. Sudut yang dibentuk oleh garis g dan h,

ditulis ( )hg, adalah 11OPQatauQOP .

Jika 2 garis bersilangan, maka kedua garis tersebut berada dalam bidang yang berlainan. Kita

dapat memperoleh sudut antara 2 garis bersilangan dengan cara menggeser salah satu garis

( atau keduanya ) sehingga keduanya terletak pada bidang yang sama. Dengan demikian

kedua garis tersebut berpotongan. Sudut yang terbentuk setelah pergeseran adalah sudut

antara 2 garis bersilangan yang dimaksud.

Contoh : Dari gambar kubus di bawah ini, tentukanlah sudut yang dibentuk oleh garis AE dan

ED !

H G

E

C

A B

Jawab : Garis AE dan ED berpotongan di E. Sudut antara garis AE dan ED adalah

AED. Perhatikan AED yang merupakan segitiga siku-siku sama kaki.

Jadi AED = 450. Garis AE dan ED membentuk sudut 450.

F

D

Page 17: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

17

2. Sudut antara Garis dan Bidang.

g

P

P1 g1

α

β

Jika garis g tidak tegak lurus bidang β, maka sudut antara garis g dan bidang β adalah sudut

lancip yang dibentuk oleh garis g dan proyeksinya pada bidang α (g1 ) atau

( ) ( )1,, ggg = . Dengan perkataan lain, jika g dan β sejajar, maka ( ) 00, = g .

Jika g tidak sejajar β, maka ( ) ( )1,, ggg = dengan g1 merupakan proyeksi garis g pada

bidang β, 0 < ( ) 01 90, gg . ( ) ( ) ( ) === 1,,, gggg .

Contoh : H G

E F

D C

M

A B

Jawab : AM ⊥ BDHF. Proyeksi garis AH pada bidang BDHF adalah MH.

( ) ( ) AHMMHAHBDHFAH == ,,

AH = 26 , HM = 63 , AM = 23

( ) ( ) 272

263

223

22AHHMAM ==+=+

AHM siku-siku di M

H

β

A M

AM = 23 ; HM =

030

33

1

63

23tan

63

=

==

=→

AHM

Page 18: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

18

3. Sudut antara Dua Bidang.

Adalah sudut antara garis l dan m, dimana garis l dan m masing-masing terletak pada

bidang α dan β serta memotong garis ( α,β ) siku-siku di satu titik yaitu titik A.

Contoh :

β

m

A

( α,β )

l

α

Contoh : Dari gambar kubus di bawah. Hitunglah sudut yg terbentuk antara bidang BDG

dengan bidang alas ABCD !

H G

E F

D α C

P

A B

Jawab : Bidang BDG dan ABCD beririsan di garis potong BD. Pilih titik P pertengahan BD.

BD ⊥ PC ( diagonal pada persegi ABCD )

BD ⊥ PG ( garis tinggi = garis berat = garis bagi pada segitiga BDG sama sisi ).

( ) CPGABCDBDG = ,

( ) 0

0

7,54,

7,54

222

4tan

=

=

==

=

ABCDBDG

CPG

Page 19: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

19

❖ Menggambar Irisan Bangun Ruang.

Sebelum melukis irisan (penampang) ada beberapa prinsip yang perlu diperhatikan :

1. Melukis bidang datar.

Sebuah bidang datar ditentukan oleh :

a. Tiga titik yang tidak segaris

b. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu.

c. Dua garis yang berpotongan.

d. Dua garis yang sejajar.

2. Melukis garis potong dua bidang.

Garis potong bidang dan dapat ditentukan sebagai berikut :

Cai 2 titik persekutuan dari bidang dan (misalnya P dan Q). Garis yang

menghubungkan 2 titik tersebut (PQ) adalah garis potong yang dicari.

Pada gambar berikut, PH = garis pootng ACH dan BDHF.

H G

E

C

A B

3. Melukis titik tembus garis dan bidang.

Cara menentukan titik tembus garis g dan bidang sebagai berikut :

• Buat bidang melalui garis g.

• Tentukan garis potong ( , )

• Tentukan titik potong garis g dan garis ( , ) yaitu P.

• P titik yang dicari.

P

( , )

g

F

D

P

Page 20: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

20

Salah satu cara untuk melukis irisan adalah dengan membuat sumbu afinitas

(garis koliniasi = garis dasar). Sumbu afinitas adalah garis potong bidang pengiris dengan

bidang alas. Sumbu afinitas memainkan peranan penting dalam melukis bidang irisan.

Beberapa hal berikut perlu dipahami agar berhasil memperoleh bidang irisan :

1. Sumbu afinitas hanya ada satu karena irisan dua bidang hanya menghasilkan satu garis.

Sumbu afinitas dapat diperpanjang.

2. Misalkan P1 adalah titik potong suatu garis di bidang pengiris dengan suatu garis di

bidang alas. Misalkan pula P2 titik potong dari garis yang lain di bidang pengiris dengan

garis di bidang alas. Garis yang menghubungkan P1 dan P2 merupakan sumbu afinitas.

3. Sumbu afinitas dan bidang irisan termuat dalam bidang pengiris. Dengan demikian setiap

garis yang ditarik dari suatu titik pada sumbu afinitas ke titik di bidang irisan termuat

juga dalam bidang pengiris.

Contoh : Diketahui kubus ABCD. EFGH. Titik P terletak pada AE sehingga AP : PE = 1 : 4

Titik Q pada DH sehingga DQ : QH = 3 : 1. Titik R pada CG sehingga CR : RG

= 1 : 2. Lukislah bidang irisan yang melalui PQR !

Jawab : H G

Q

E F

R

D C

P

A B

Perhatikan gambar di atas. Jelas bidang PQR belum dapat dikatakan bidang irisan

karena belum membelah kubus menjadi dua bagian. Perlu memperluas bidang PQR

untuk mendapatkan bidang irisan. Tentukan dulu sumbu afinitasnya.

• Lukis titik tembus PQ dengan bidang alas, misalkan di U.

• Lukis titik tembus QR dengan bidang alas, misalkan di V.

• UV merupakan sumbu afinitas.

• Lukis garis-garis potong bidang PQR dengan kubus.

o garis potong bidang PQR dengan bidang ADHE adalah PQ.

o garis potong bidang PQR dengan bidang ABFE adalah PM.

o garis potong bidang PQR dengan bidang alas adalah MN.

o garis potong bidang PQR dengan bidang BCGF adalah NR.

o garis potong bidang PQR dengan bidang DCGH adalah QR.

Jadi bidang PQRNM merupakan irisan bidang yang melalui titik P, Q, dan R dengan

kubus ABCD. EFGH

Page 21: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

21

H G

Q

E F R

D C V

N

P

A M B

sumbu afinitas

U

Page 22: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

22

1. Pada suatu kubus ABCD. EFGH, hitunglah sudut antara garis AH dan bidang diagonal BFHD

2. Panjang alas sebuah balok adalah 20 cm, lebar 15 cm dan tinggi 25 cm. Hitunglah panjang

daigonal ruangnya.

3. Dari limas beraturan T. ABC diketahui bahwa panjang rusuk alas = 2 cm, tinggi limas 3

2cm.

Hitunglah panjang rusuk tegaknya !

Page 23: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

23

A

O

P Q

Gambar di atas adalah daerah pinalti lapangan sepakbola. Titik pinalti O berjarak 15 m dari

garis gawang A. PQ berjarak 20 m dari gawang A. Busur PQ berpusat di O dan berjari-jari

13 m. Panjang garis PQ adalah....

Jawab :

A

15

O 13

P R Q

QR = 12513 22 =−

PQ = 2 x QR = 2 x 12 = 24.

Page 24: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

24

H G

E

C

A B

Tentukanlah perbandingan volume H. ABFE dan H. BCGF pada balok ABCD.

EFGH di atas !

Jawab : ltptinggialasluasV ABFEH ..3

1

3

1. ==

ptltinggialasluasV BCGFH ..3

1

3

1. ==

1:1..3

1..

3

1.. === ptlltpVV BCGFHABFEH

F

D

Page 25: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

25

PENUTUP

Pada Tugas Mandiri cocokanlah jawaban kamu dengan kunci jawaban yang ada di bawah ini, dan

hitunglah jumlah jawaban yang benar. Kemudian gunakan rumus

%100xTotalSkorJumlah

BenarSkorJumlahterakhirSkor =

Apabila memperoleh skor %65 bagus, berarti telah menguasai materi modul ini dan dapat

melanjutkan mempelajari materi selanjutnya. Tetapi apabila memperoleh skor %65 , berarti harus

mempelajari modul ini sampai benar-benar paham.

Kunci Jawaban Tugas Mandiri

1. 030

2. 225

3. 3

4

Page 26: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

26

DAFTAR PUSTAKA

Marthen Kanginan, Matematika Untuk SMA Kelas I Semester I Jilid 1A, Grafindo Media Pratama,

Bandung, 2004.

Wilson Simangunsong, Soal dan Penyelesaian Matematika Dasar, Erlangga, Jakarta, 1997.

I Wayan Juliartawan, Formula Tercepat Matematika Contoh Soal dan Penyelesaian, ANDI, Bangli,

2004.

Abdul Muis, Menaklukan 1000 Soal Matematika SMA, Kreasi Wacana, Yogyakarta, 2007.

Page 27: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

27

Page 28: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

28

Page 29: PEN DAHULUAN€¦ · 2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu. Titik P ada di luar garis g. Titik P dan garis g membentuk bidang D2 P 3. Dua garis yang berpotongan. Garis

MAT. 02 IPA

Tri Subiantoro, S.Mat

29