bahan ajar barisan dan deret

TUGAS

Bahan Ajar Matematika SMA IPA kelas XI Semester 2

SUKU BANYAK Oleh :

Heri Kuswanto

Satriani

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

(STKIP) HAMZANWADI SELONG

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

2012

1

Materi : Suku Banyak |oleh: Heri Kuswanto & Satriani

MATERI :

SUKU BANYAK

STANDAR KOMPETENSI

4. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah

KOMPETENSI DASAR

4.1. Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian.

INDIKATOR

Menjelaskan algoritma pembagian sukubanyak.

Menentukan derajat sukubanyak hasil bagi dan sisa pembagian dalam algoritma pembagian.

Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak oleh bentuk linear atau kuadrat.

A. Pengertian Sukubanyak, Nilai Suku Banyak, dan Operasi Antara Sukubanyak

1 Pengertian Sukubanyak

Jika a0, a1, a2,............an adalah konstanta, maka bentuk :

Dinamakan suku banyak (polinom) dalam x yang berderajat n dengan n bilangan cacah dan an ≠ 0

bilangan a0, a1, a2 .... ... ... .an disebut koefisen dan a0 disebut suku tetap.

Suku banyak diatas diawali dengan suku tetap a0 dan diakhiri dengan suku yang perubahannya

mempunyai pangkat tertinggi yaitu a0 xn . perhatikan bentuk-bentuk aljabar dibawah ini.

1 X2 – 3x + 4

2 4 x3 + x2 – 16x +2

3 X4 + 3 x3 – 12 x2 – 10x +5

4 2x5 – 10 x4 + 2 x3 + 3x2 + 15x - 6

Bentuk-betuk aljabar seperti diatas disebut suku banyak dalam perubahan x atau polinom dalam

pariabel x. suku banyak yang hanya mempunayai suatu pariabel disebut univariabel, suku

banyak dengan variable lebih dari satu disebut multivariable.

A0+a1x+ a2x2+ …….+ a0-1xn-1+ anxn

2


a. Contoh suku banyak univariabel

Diketahui polinom : 5x2 – 8x3 – x + 12

1. suku banyak dalam perubahan x

2. sukubnyak dalam derajat 3

3. koefisien dari x3 adalah 5

x3 adalah 8

x adalah -1 suku tetap adalah 12

b. Contoh suku banyak univariabel

X3 + 2y4 – 2x + 2xy + y2 + 4 merupakan suku banyak dalam dua perubahan yaitu perubahan x

dan y, suku bnyak diatas berderajat 3 dalam x atau derajat 4 dalam y.

Latihan 1

Sebutkan nama peubah atau variable, derajat dn oefisien-koefisien dari setiap suku banyak

berikut :

a. 2x3 + 5x2 – 10x + 7

b. X3 – 4x + 2

c. 5x4 +12x + 7

d. 10 – 2y

e. 4 + 3y – 5y2

f. A2 + 3a + 5

g. 3p3 + 5p2 + 2p + 10

h. 3p5 + 6p2 q3 – q2 + 15

2 Nilai Sukubanyak

Suatu suku banyak dalam variable x dapat kita pandang sebagai fungsi dari x sehingga bentuk

umum suku banyak dapat dituliskan sebagai :

F(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + . . . . . . . +a2 x

2 + a2 x2 + a1 x + a0 nilai suku banyak f(x) untuk x = k

adalah f(x) yang nilainya dapat kita temukan dengan dua cara, yaitu cara subtitusi dan cara,

yaitu subtitusi dan cara bagan.

3


1) Menentukan nialai suku banyak dengan cara subtitusi

Agar kalian dapat memahmi cara mencri nili suku banyak dengan cara subtitusi, perhatikan

suku banyak dalam peubah x yang berderajat 3 berikut.

F(x) = x4 + 2x3 – 3x2 + 5x + 1

Nilai suku banyak F(x) untuk x = -2

F(-2) = (-2)4 + 2 (-2)3 – 3(-2)2 + 5(-2) +1

= 16 – 16 – 12 – 10 + 1

= -21

Niai suku banyak f(x) untuk x = -1

F(-1) = (-1)4 + 2(-1)3 – 3(-1)2 + 5(-1)+1

= 1 – 2 – 3 – 5 + 1

= -8

Niai suku banyak f(x) untuk x = 0

F(0) = (0)4 + 2(0)3 – 3(0)2 + 5(0)+1

= 1

Niai suku banyak f(x) untuk x = 1

F(1) = (1)4 + 2(-1)3 – 3(1)2 + 5(1)+1

= 1 + 2 – 3 + 5 + 1

= 6

Latihan 2

Tentukan nilai suku bnyak berikut :

a. 2x2 + x + 3

b. X3 + 2x2 + 2x + 1

c. X4 + x3 + 2x2 + 6x + 10

d. 3x4 + 2x3+ x2 + 3x – 3

2) Menentukan nilai suku banyak dengan cara bagan,

Pada latiha 2 diatas kalian tentunya dapat menyelesaikan soal-soal latihan dengan mudah

menggunakan cara subtitusi karena kalian harus menghitung. Bilangan yang berpangkat 2

dan 3, tapi bagaimana jika kalian harus menghitung bilangan 2 yang berpangkat besar atau

4


menghitung suku banyak yang berderajat besar, jangan khawatir, kalin akan lebih mudah

menyelesaikan persoalan tersebut dengan menggunakan cara bagan.

Misalnya kita menentukan nilai suku banyak f(x) = ax3 + bx2 + cx + d untuk x = k. Dengan cara

subtitusi kita peroleh f(x) = ak3 + bk2 +cx+ d. Perhatikan bahwa bentuk :

Ak3 + bk2 + d = (ak3 + bk2 + ck) +d

= k(ak2 + bk + c) + d

= k{k(ak+ b)+c}+d

Berdasarkan bentuk terahir, maka untuk menghitung nilai f(x) tersebut dapat dilakukan

menurut langkah 2 berikut ini. Langkah 2 :

1. a dikalikan x, kemudian ditambah b sehingga menghasilkan (ak+b)

2. (ak+b) dikalikan k, kemudian sehingga menghasilkan k (ak+b) + c = ak3 + ak2 + c

3. (ak2+bk+c) dikalikan k, kemudian ditambah d dan hasilnya k (ak2+bk+c) + c = ak3 + ak2 +

d

Langkah 1 sampai 3 diatas dapat disusun dalam bentuk bagan sebagai berikut :

a b c d

K

ak ak2 + bk ak2 + bk + ck

a ak + b ak2 + bk ak2 + bk + ck + d

Keterangan :

a. Pada baris pertama bagan diatas berisi koefisien f(x) = ak3 + bk2 + ck + d. Dari pangkat

tertinggi sampai pangkat terendah, yaitu a,b,c, dan d.

b. Tanda berarti dikalikan dengn k.

c. Nilai f(x) ditunjukkan oleh bagan yang diberikan kotak

5


Contoh :

Hitunglah nilai 2k3 – 3k2 + 4k + 2. untuk x = 5 dengan menggunakan bakgan.

5 2 -3 4 2

10 35 105

2 7 39 197

Jadi, nilai dari suku banyak tersebut adalah 197

3 Kesamaan Suku banyak

Suku banyak f(x) dikatakan memiliki kesamaan dengan suku banyak g(x), jika kedua suku banyak

itu mempunyai nilai yang sama untuk semua peubah x bilangan real

F(x) = g(x)

Contoh :

Tentukan nilai a, b, c dan d jika :

X4 – 8x3 + 15x – 20 = x4 + a x3 + (a+b) x2 + (26 – c) x + d

Jawab :

Koefisien x4 ; 1 = 1

Koefisien x3 ; -8 = a a = -8

Koefisien x2 ; 0 = a + b b = -a = 8

Koefisien x; 15 = 2b – c c = 2b – 15 = 1

Koefisien x0 ; -20 = d d = -20

6


pembagi

Latihan 4

Setelah memahami penjelasan dan contoh-contoh diatas, sekarang uji kemampuan kalian

dengan menjawab soal-soal latihan berikut.

1. Diketahui p = x4 + 5x3 + 2x2 – 20

q = x4 + 2x3 - 3x2 + x – 1

Hitung nilai p+q dan p-q ?

2. Diketahui p = x5 + 2x3 – 3x2 + x – 1

q = 2x3 - x + 3

Tentukan nilai p+q ?

3. Tentukan hasil kali antara 2x3 + 3x + 5 dengan 2x + 2

4. Tentukan nilai a, b, c dan d jika 2x2 – 3x + 5 = ax + 3bx + 5c.

5. Tentukan nilai a pada kesamaan x2 – 3x + 14 = (x – 1) (x – 2) +3a

B. Pembagian suku banyak

1. pembagin suku banyak dengan pembagian bentuk panjang

pembagian suku banyak dapat dilakukan seperti pada pembagian bilangan bentuk seperti pada

pembagian bilangan bentuk panjang jika diketahui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, dibagi (x-k) maka :

ax3 + (b+ak)x + c + bk + ak2 hasil bagi (h (x))

x – k ax3 + bx2 + cx + d

ax3 – akx2 yang dibgi

(b+ak)x2 + cx

(b+ak)x2 – (bk+ak2)x

(c+bk – ak2)x + d

(c+bk – ak2)x – (ck+ bk2+ak3)

d+ck+bk2+ak3 sisa pembagian (S)

7


dengan memperhatikan pembagian diatas, hubungan antara sukubanyak yang dibagi suku

banyak pembagi, dan sisa pembagian dapat dituliskan sebagai berikut :

dengan memperhatikan pembagian diatas, hubungan antara sukubanyak yang dibagi suku

banyak pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagian dapat dituliskan sebagai berikut :

f(x) = (x – k). H(x) + S

dimana f(x) = yang dibagi

(x – k) = pembagi

H (x) = hasil bagi

S = sisa

Catatan : “Derajat hasil bagi ditambah derajat pembagi sama dengan derajat yang dibagi”.

Contoh :

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagin dari 3x3 – 7x2 +5x+4 : (x+3)!

3x3 – 16x2 +53

X + 3 3x3 – 7x2 + 5x + 4

3x3 + 9x2

-16x2 + 5x

-16x2 – 48x

53x + 4

53x + 159

-155 (sisa pembagian)

2. Pembagian suku banyak dengan metode horner (skema)

F(x) = ax3 + bx2 + cd + d, dibagi (x – k )

8


Contoh :

Carilah hasil bagi dan sisannya pada bagian dan sisanya pada pembagian 2x 3 + 5x2 + 3x – 1,

dibagai (x – 3), kemudian tulislah hasilnya dalam bentuk persamaan : yang dibagi = (pembgian x

hasil bagi) + sisa

3 2 -5 3 1

6 3 18

2 1 6 17

Sehingg diperoleh kesamaan 2x3 – 5x2 + 3x – 1 = (x – 3 ) (2x2 + x +6)+ 17

9


STANDAR KOMPETENSI

4. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah

KOMPETENSI DASAR

4.2. Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah

INDIKATOR

Menentukan sisa pembagian suku-banyak oleh bentuk linear dan kuadrat dengan teorema sisa.

Menentukan faktor linear dari suku-banyak dengan teorema faktor. Menyelesaikan persamaan suku-banyak dengan menggunakan teorema faktor.

C. Teorema sisa

Teorima sisa berbunyi ”jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x-k), maka sisanya sama dengan f(k)

Bukti :

F(k) = (x-k) . H(x)+ S

F(k) =(x-k) . H(x)+ S

F(k) = 0 + S

Jadi terbukti semua S = f(k)

1. Menentukan Sisa Pembgian Sukubanyak oleh Pembagi Berbentuk (ax-b)

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh (ax-b) hasil baginya H(x) dan sisanya S, maka bentuk

dasar dari f(x) tersebut adalah :

F(x) = [x - ba ]. H(x) + S =

a1 (axb). H(x) + S

Keterngn :

F(x) = suku banyak yang dibagi

(ax – b) = pembgi

a

xH )( = hasil bagi

S = sisa pembagian

Untuk x = b

a → f

a

b = (a

a

b - b). H

a

a

b

+ S

F a

b = 0. .H

a

a

b

+ S

10


F a

b = S

Jadi, sisa pembagiannya S = fa

b

Contoh :

1. Carilah pembagian suku banyak f(x) = 6x3 + x2 + 1 dibagi oleh 2x – 3

Jawab :

Dihitung dengan cara subtitusi :

Sisanya = f(3/2) = 6(3/2)3 + (3/2)2 + 1

= 81/4 + 9/14 + 1

= 94/4

=23 21

Dihitung dengan metode horner

3/2 6 1 0 1

9 15 22 21

6 10 15 23 21

Jadi sisanya = 23 21 dan hasil baginya

2

151026 xx

2. Carilah p agar 4x4 – 12x2 – 8x + p habis dibagi oleh 2x – 1

Jawab :

F(x) habis dibagi (2x – 1), maka sisanya = 0

21 4 -12 13 -8 p

2 -5 4 -2

4 -10 8 -4 p-2

Diperoleh : p-2 = 0 → p = 2

11


2. Menentukan sisa pembgian suku banyak oleh pembagi berbentuk (x-a) (x-b)

Terdapat cara yang lebih singkat dalam menentukan hasil bagi dan sisi pembagian suku banyak

dengan (x – a) (x – b) yaitu :

a. Dengan teorema

Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi (x –a) (x –b), sisanya :

S = )()( afax

bxbf

ab

ax

Contoh :

Carilah sisanya apabila 2x4 – 3x2 – x + 2 dibagi oleh x2 – x – 2

Jawab :

Dengan teorima f(x) = 2x4 – 3x2 – x + 2

Pembagi = x2 – x – 2 = (x – 2) (x + 1)

Sisanya =

D. Teorima Faktor

1. pempaktoran suku banyak

jika f(x) dibagi (x – a), maka sisanya = 0 menurut teorima sisa, maka diperoleh :

f(x) = (x – a).H(x) + S

= (x – a).H(x) + f(a), jika f(a) = 0

= (x – a).H(x)

Persamaan terahir ini berarti, (x – a) merupakan faktor dari f(x).

Teorima faktor :

F(x) sukubanyak, (x – a) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(a) = 0

Teorim diatas adalah teorima faktor. Dalam teorima faktor ini memuat kata hubungan logika jika

dan hanya jika, sehingga teorima faktor adalah sebuah pernyataan biimplikasi atau implikasi

dwiarah. Oleh karena itu pernytaan dalam terima faktor itu dapat dibaca sebagai berikut.

Jika (x – a) adalah faktor dari f(x), maka f(a) = 0

Jika f(a) = 0, maka (x – a) adalah faktor dari f(x)ssv

1. Akar rasional

Misalkan f(x) adalah sebuah suku banyak (x - k)adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika k

adalah akar dari f(x) = 0, k disebut akar atau nilai nol dari persamaan suku banyak f (x)= 0

12


Akar-akar rasional bulat maupun pecahan dari suatu persamaan suku banyak secara umum

dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut

Teorema akar-akar rasional

Misalkan f (x) = 0 adalah sebuah persamaan suku banyak dengan koefisien-koefisien bulat

jika c/d adalah akar –akar rasional dari f(x) = 0, maka c adalah faktor bulat positif dari a0

dan d adalah faktor bulat an

Langkah-langkah menentukan akar-akar rasional adalah sebagai berikut:

a. Jika jumlah koefisien –koefisien suku banyak = 0, maka x = 1 merupakan akar-akar dari

suku banyak tersebut.

b. Jika jumlah koefisien pangkat ganjil dan genap sama, maka x = -1 merupakan salah satu

akar dari suku banyak tersebut

c. Jika langkah 1 dan 2 tidak memenuhi maka gunakan cara coba-coba yaitu dengan;

Langkah 1

Mula-mula ditentukan akar-akar yang mungkin dari persamaan suku banyak f(x) = 0, yaitu

c/d, dimana c faktor-faktor bulat.

Positif dari a0 dan d adalah faktor an

Langkah 2

Dari himpunan akar-akar yang mungkin diperoleh pada langkah 1, akar-akar yang

sebenarnya memenuhi syarat f(c/d)

Contoh:

tentukan akar-akar dari persamaan suku banyak

Jawab:

Langkah a

Jumlah koefisien-koefisien = 1 -1 -3 + 2 = - 1, berarti x = 1 bukan merupakan akar suku

banyak tersebut.

Langkah b

Jumlah koefisien pangkat genap = -1 + 2 = -1

Jumlah koefisien pangkat ganjil = 1 – 3 = -2

Jadi, x = 1 bukan merupakan akar suku tersebut.

Langkah c

13


Menetukan akar-akar yang mungkin;

Faktor bulat positif dari 2 adalah 1 dan 2 faktor bulat dari 1 adalah 1 dan -1, sehingga akar-

akar yang mungkin = 1, -1, 2, -2 →dari langkah 1 dan 2 diperoleh kesimpulan -1 dan 1 bukan

merupakan akar.

Langkah 2

f(2) = 22 – 22 – 3.2 + 2 = 8 – 4 – 6 + 2 = 0 jadi 2 merupakan akar.

f(-2) = (-2)2- (-2)2 – 3(-2) + 2 = -8 – 4 – 6 + 2 = 0 jadi, -2 bukan merupakan akar

dari langkah-langkah diatas diperoleh akar persamaan di atas yaitu x = 2

2. Akar irasional

Untuk menentukan akar irasaional perhatikan teorema berikut

Teorema pendekatan akar irasional:

Misalnya diketahui prsamaan suku banyak f(x) = 0, jika f(a) dan f(b) berlainan tanda, maka

f(a)> 0 dan f(b) < 0 atau f(a)< 0 atau f(b) > 0 atau f(a).f(b) < 0, maka terdapat sebuah akar

irasional f(x) = 0, yang terletak diantara a dan b (a < x1 < b).

Contoh:

Tunjukkan bahwa x3 + 3x2 – 2x – 5 = 0 mempunyai akar-akar yang terletak antara 1 dan 2.

Jawab:

f(x) = x3 + 3x2 – 2x- 5

f(1)= (1)2 – 2.1 – 5 = -3

f(2)= 23+ 3.22 – 2.2 – 5 = 11

karena f(1) negatif berarti dibawah sumbu x dan f(2) positif berarti di atas sumbu x, maka

akar-akarnya antra 1 dan 2

3. Jumlah dan hasil kali akar-akar suku banyak (program pengayaan)

Bila persamaan suku banyak berderajat 3 dengan bentuk :

Ax3 + x2 + cx + d = 0 yang memppunayai kar-akar x1 dan x3 maka :

1. Jumlah akar-akarnya: x1 + x2 + x3 =

2. Hasil kali tiap dua akarnya : x1 .x2+x1.x2 + x2. x3 = c/a

3. Haasil kali tiga akarnya x1 .x2. x3 = -d/a

14


Contoh

Diketahui persamaan x3 – 4x2 + 3x + 2 = 0 akar-akarnya x1, x2, x3 carilah:

a. X1 + x2 + x3

b. X1.x2 + x1.x3 + x2.x3

c. X1.x2.x3

Jawab

a. X1 + x2 + x3 = -b/a= -(-4)= 4

b. X1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a = 3/1 = 3

c. X1.x2.x3 = -d/a = -2/1 = -2

Latihan

1. dengan menggunakan teorema faoktr tunjukkan bahwa (x+1) adalah faktor dari 4x 6+ 4x5 +

6x4 + 6x3 – 8x2 +18x + 10.

2. Tentukan nilai k untuk tiapf(x) = x3 – x2-32x +k mempunyai faktor (x-2).

3. Tentukan akar –akar irasional dari 2x3 + x2 – 2x.

4. Tentukan akar –akar persamaan 2x3 –x2 +8x – 4 = 0.

Tugas kelompok

1. Tuniukan bahwa persamaan y3 - 9y2+20y – 12 + 0 habis dibagi (y-1).

2. Tentukan jumlah akar –akar persamaan x3 – 6x2 + 9x – 2 =0.

3. Tunjukkan bahwa salah satu dari akar persamaan x3 + x2 2x – 3 = 0 letaknya antara 1 dan 2.

bahan ajar barisan dan deret

Documents