bab1_osilasi

1.1

Bab 1

Osilasi

Penyusun: Andhy Setiawan

Pendahuluan

Pada Bab 1 ini Anda akan mempelajari mengenai Osilasi Satu Derajat Kebebasan dan Osilasi

Dua Derajat Kebebasan. Setelah mempelajari bab ini Anda diharapkan memiliki kemampuan

untuk:

1. Menjelaskan ciri sistim osilasi dengan satu dan dua derajat kebebasan.

2. Menjelaskan gaya pulih dan inersia sebagai sifat fisika penyebab osilasi

3. Menurunkan persamaan osilasi dan frekuensi osilasi harmonis sederhana, osilasi teredam

dan osilasi teredam dengan gaya pemacu.

4. Menjelaskan macam-macam dan syarat terjadinya osilasi teredam.

5. Menentukan fungsi-fungsi osilasi harmonis sederhana, osilasi teredam dan osilasi teredam

dengan gaya pemacu.

6. Menjelaskan peristiwa resonansi berdasarkan hubungan antara frekuensi alamiah,

frekuensi sumber dan amplitude osilasi

7. Menurunkan persamaan dan menentukan frekuensi osilasi mode rendah dan mode tinggi

pada osilasi gandeng (dua derajat kebebasan).

8. menentukan perbandingan amplitudo pada mode rendah dan mode tinggi dari sistem

osilasi gandeng serta menjelaskan perbedaan gerak osilasi pusat massa dan gerak osilasi

relatif pada sistem osilasi gandeng pegas.

Kemampuan tersebut sangat penting bagi guru sekolah menengah. Dengan memperoleh

kemampuan tersebut Anda akan semakin percaya diri dalam mengajar sehingga Anda dapat

mempersiapkan dan melaksanakan proses pembelajaran secara mantap, menarik dan

menyenangkan.

Sesuai dengan kemampuan yang diharapkan tercapai, uraian dalam bab ini tidak dapat

terlepas dari analisis secara matematis. Dalam mempelajari bab ini, sebaiknya Anda terlebih

dahulu telah mempersiapkan pengetahuan matematika tentang deret pangkat, fungsi periodik,

persamaan differensial orde dua baik yang homogen maupun yang tidak homogen beserta

penyelesainnya, dan cara matriks dalam penyelesaian dua persamaan.

1.2 B A B 1 Osilasi

Berdasarkan teori gangguan, gelombang dipandang sebagai gejala gangguan dari suatu

sumber yang merambat ke ruang sekitarnya. Gangguan tersebut berupa sistem yang

berosilasi. Dengan demikian pemahaman mengenai osilasi ini merupakan dasar unuk

memahami gelombang.

Untuk membantu Anda dalam menguasai hal tersebut di atas, dalam bab ini akan

disajikan uraian materi beserta tes formatif yang terbagi dalam dua kegiatan belajar sebagai

berikut:

Kegiatan Belajar 1: Osilasi Satu Derajat Kebebasan

a. Derajat Kebebasan Sistem Osilasi dan Sifat Intrinsik Penyebab Osilasi

b. Osilasi Harmonik Sederhana

c. Osilasi Teredam

d. Osilasi Teredam dengan Gaya Pemacu

Kegiatan Belajar 2: Osilasi Dua Derajat Kebebasan

a. Osilasi Gandeng Pegas

b. Osilasi Gandeng pada Rangkaian LC

Agar Anda lebih berhasil dalam mempelajari materi tersebut, ikuti petunjuk sebagai

berikut:

1. Bacalah dengan cermat bagian Pendahuluan ini sampai Anda mengetahui betul

kemampuan apa yang harus tercapai setelah mempelajari bab ini.

2. Baca sepintas secara keseluruan dan carilah konsep-konsep yang bersifat prinsip. Pahami

terlebih dahulu setiap kasus atau sistem yang ditinjau dalam pembahasan. Pelajari

pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri atau bertukar pikiran dengan

teman.

3. Ulangi dan lakukan sendiri setiap langkah dalam penurunan persamaan dan analisis yang

bersifat matematis. Pahami terlebih dahulu apa yang akan ditentukan melalui pembahasan

secara matematis tersebut.

4. Terapkan prinsip-prinsip yang telah Anda peroleh dalam situasi yang mungkin Anda

temukan dalam kejadian sehari-hari.

5. Mantapkan pemahaman dan kemampuan Anda melalui diskusi dalam kelompok atau

dengan teman.

1.3 B A B 1 Osilasi

Kegiatan Belajar 1

Osilasi Satu Derajat Kebebasan

Secara umum osilasi merupakan perubahan besar dan/atau arah dari suatu besaran

fisika secara periodik. Pada sistem mekanik dikenal gerak osilasi yang merupakan gerak

bolak balik di sekitar titik kesetimbangan. Karena gerak merupakan perubahan posisi, maka

gerak bolak-balik ini dapat dikatakan sebagai perubahan posisi secara berulang atau periodik.

Dengan demikian besaran fisika yang berubah secara periodik pada gerak osilasi adalah

besaran-besaran yang berhubungan dengan posisi, seperti sudut, perpindahan atau

pertambahan panjang pegas, kecepatan, percepatan dan lain-lain. Pada rangkaian tertutup

induktor L dan kapasitor C bermuatan (rangkaian LC) terjadi juga osilasi. Osilasi terjadi

karena adanya proses pengosongan dan pengisian muatan pada kapasitor yang terjadi secara

periodik. Dalam hal ini besaran fisika yang besarnya berubah secara periodik adalah besaran

yang berhubungan dengan muatan antara lain muatan pada kapasitor, dan arus pada

rangkaian tersebut.

Pada kegiatan belajar ini dibahas mengenai sistem osilasi satu derajat kebebasan yang

meliputi osilasi harmonic sederhana, osilasi teredam dan osilasi teredam dengan gaya

pemacu. Pembahasan dilakukan dengan meninjau osilasi pada sistem bandul, sistem pegas

dan rangkaian LC. Sebelum membahas osilasi satu derajat kebebasan tersebut, terlebih

dahulu dibahas mengenai derajat kebebasan suatu sistem osilasi dan sifat instrinsik dari

sistem yang dapat menyebabkan terjadinya osilasi khususnya pada osilasi harmonic

sederhana.

A. Derajat Kebebasan Sistem Osilasi dan Sifat Intrinsik Penyebab Osilasi

Besaran fisika yang berubah secara periodik pada suatu sistem osilasi secara

matematis dapat dinyatakan oleh suatu fungsi periodik antara lain fungsi sinus, cosinus dan

fungsi kompleks. Jika besaran fisika yang berosilasi dinyatakan oleh , maka fungsi osilasi

dapat ditulis sebagai:

tt m sin , atau tt m cos , atau timet , (1.1)

dengan t dibaca sebagai fungsi waktu, m = maksimum atau amplitudo, = frekuensi

osilasi, t = waktu, dan = konstanta yang besarnya bergantung pada syarat awal (pada t = 0).

Pada osilasi bandul dapat berupa sudut yang terbentuk antara tali dengan garis vertical,

1.4 B A B 1 Osilasi

pada osilasi pegas menyatakan perpindahan benda dari posisi kesetimbangannya. Pada

rangkaian LC, menyatakan arus listrik di dalam induktor atau muatan di dalam kapasitor.

Jika kita tinjau sistem osilasi bandul sederhana, suatu benda pada pegas, dan

rangkaian LC yang terdiri dari masing-masing satu L dan C, maka besaran fisika yang

berosilasi dapat dinyatakan secara lengkap cukup dengan satu fungsi seperti pada persamaan

(1.1). Sistem osilasi yang demikian disebut sebagai sistem osilasi satu derajat kebebasan.

Sebagai contoh, pada sistem osilasi bandul sederhana hanya ada satu osilasi sudut sehingga

cukup dinyatakan dengan satu fungsi osilasi sudut, begitu pula pada sistem satu benda satu

pegas cukup dinyatakan dengan satu fungsi osilasi perpindahan/simpangan pegas, dan pada

rangkaian LC cukup dinyatakan dengan satu fungsi osilasi muatan atau fungsi osilasi arus.

Dengan kata lain hanya ada satu besaran fisika yang berosilasi sehingga besaran tersebut

secara lengkap dapat dinyatakan dengan satu fungsi.

Lain halnya jika besaran fisika yang berosilasi perlu dinyatakan menggunakan dua

fungsi osilasi misalnya 1 dan 2 untuk menyatakan keadaan osilasi secara lengkap, maka

dikatan sistem osilasi dua derajat kebebasan. Begitu seterusnya, jika keadaan osilasi dapat

dinyatakan secara lengkap oleh N buah fungsi osilasi dari besaran sejenis, maka dikatan

osilasi N derajat kebebasan.

Gerak osilasi seperti yang dinyatakan oleh fungsi dalam persamaan (1.1) disebabkan

oleh sifat instrinsik yang saling berlawanan, yaitu gaya pulih dan inersia. Gaya pulih

cenderung mengembalikan benda kepada posisi kesetimbangannya. Dengan kata lain

cenderung mengembalikan simpangan benda menjadi nol. Inersia merupakan

kecenderungan suatu benda untuk mempertahankan keadaan geraknya.

Misalkan pada sistem bandul atau pegas, ketika diberi simpangan awal tanpa

kecepatan (ddt awal = 0), maka gaya pulih menyebabkan terjadinya perubahan menuju

nol dan perubahan kecepatan dengan arah berlawanan dengan arah . Kecepatan benda

sesaat setelah dilepaskan juga berlawanan dengan arah . Jadi sejak benda dilepaskan dari

simpangan awalnya, kecepatan benda setiap saat searah dengan gaya pulihnya sampai benda

mencapai titik kesetimbangan.

Ketika sampai pada titik kesetimbangan maka = 0, sehingga gaya pulih sama

dengan nol, dan kecepatannya maksimum. Sifat inersia menyebabkan benda tetap

melanjutkan geraknya sehingga menyimpang dalam arah yang berlawanan dengan arah

simpangan awalnya. Karena setelah melewati titik kesetimbangan ini simpangan benda

berlawanan arah dengan simpangan awalnya, maka gaya pulihnya sekarang berbalik arah

1.5 B A B 1 Osilasi

atau berlawanan arah dengan arah kecepatan sesaatnya. Seiring dengan bertambahnya

simpangan, besarnya gaya pulih semakin besar melawan sifat inersia yaitu kecepatan yang

arahnya berlawanan sehingga besarnya kecepatan sesaat akan terus berkurang. Karena terus

berkurang maka suatu saat kecepatan benda akan sama dengan nol yang akan tercapai saat

besarnya gaya pulih maksimum, yaitu pada saat simpangannya maksimum. Sesaat setelah

kondisi ini tercapai, gaya pulih yang maksimum ini akan menyebabkan benda berbalik arah

sehingga kecepatannya menjadi searah dengan gaya pulih tersebut. Selanjutnya terjadi proses

seperti proses setelah diberi simpangan awal tetapi dengan arah yang berlawanan sehingga

benda akan kembali pada titik saat diberi simpangan awal tadi. Siklus ini berjalan terus

menerus. Gaya pulih cenderung mengembalikan menjadi nol, menghasilkan kecepatan.

Inersia mempertahankan kecepatan ddt dan menyebabkan kelebihan (overshoot) atau

perubahan arah sehingga sistim berosilasi.

B. Osilasi Harmonik Sederhana

B.1 Bandul Sederhana

Gambar 1.1 Osilasi pada bandul sederhana

Tinjau sistem bandul sederhana dengan panjang tali L dan massa m. Mula-mula

bandul diberi sedikit simpangan kemudian dilepaskan sehingga bandul berayun. Keadaan

umum gerak bandul seperti terlihat pada Gambar 1.1.

Proyeksi gaya berat terhadap arah yang tegak lurus dengan tali merupakan gaya yang

cenderung mengembalikan benda pada posisi kesetimbangannya sehingga dapat disebut

sebagai gaya pulih pada sistem tersebut. Jadi gaya pulih dapat ditulis sebagai

1.6 B A B 1 Osilasi

sinmgf p , (1.2)

dengan g = percepatan gravitasi bumi. Tanda minus menunjukkan bahwa gaya pulih selalu

berlawanan arah dengan .

Berdasarkan Gambar 1.1 besarnya perpindahan s benda dapat dinyatakan sebagai

Ls , sehingga kecepatannya dt

dLv

, dan percepatannya

2

2

dt

dLa

. (1.3)

Persamaan gerak benda dapat diperoleh melalui penerapan Hukum II Newton, yaitu

maF sehingga dengan substitusi persamaan (1.2) dan (1.3) diperoleh

2

2

sindt

dmLmg

,

atau dapat ditulis sebagai

0sin2

2

L

g

dt

d. (1.4)

Untuk simpangan yang kecil, nilai sin (dapat diperoleh dengan cara menguraikan

sinL

g dalam bentuk deret pangkat dan memasukkan nilai yang kecil). Dengan demikian

maka persamaan (1.4) menjadi

022

2

dt

d (1.5)

dengan L

g2 .

Persamaan (1.5) merupakan persamaan differensial orde dua yang homogen, atau

disebut sebagai persamaan osilasi harmonik sederhana. Persamaan (1.1) dapat menjadi solusi

dari persamaan (1.5) ini, sehingga fungsi pada persamaan (1.1) dapat dikatakan sebagai

fungsi osilasi harmonik sederhana. Berdasarkan fungsi osilasi pada persamaan (1.1) tersebut

dapat diketahui bahwa satuan untuk adalah rad/s yang merupakan satuan frekuensi sudut,

sehingga ini disebut sebagai frekuensi sudut. Jadi frekuensi sudut osilasi harmonic

sederhana pada bandul adalah L

g .

1.7 B A B 1 Osilasi

B.2 Pegas

Ditinjau sistem yang terdiri atas suatu benda bermassa m dan satu pegas dengan

konstanta pegas k. Gesekan antara lantai dengan pegas diabaikan. Keadaan setimbang sistem

tersebut terlihat pada Gambar 1.2a. Benda bermassa m itu ditarik sehingga menyimpang atau

diberi sedikit simpangan awal dan kemudian dilepaskan sehingga benda bergerak. Posisi

benda secara umum dinyatakan sebagai dan keadaan umum ini diilustrasikan pada Gambar

1.2b.

Saat benda menyimpang sebesar , maka benda tersebut mendapatkan gaya pulih

yang tiada lain adalah gaya oleh pegas sebesar

kf p . (1.6)

Tanda negatif pada ruas kanan persamaan (1.6) menunjukkan bahwa gaya pulih pf selalu

berlawanan arah dengan simpangan .

Posisi benda terhadap titik kesetimbangan pada sembarang waktu dinyatakan oleh

seperti tampak pada Gambar 1.2. Dengan demikian percepatan yang dialami benda dapat

dinyatakan sebagai

2

2

dt

da

. (1.7)

Seperti halnya pada bandul, persamaan gerak benda tersebut dapat diturunkan berdasarkan

Hukum II Newton. Dengan substitusi persamaan (1.6) dan (1.7) pada persamaan Hukum II

Newton maka diperoleh

2

2

dt

dmk

atau 0

2

2

m

k

dt

d

sehingga dapat diditulis ulang menjadi

022

2

dt

d, (1.8)

Gambar 1.2 Osilasi pada pegas (a) keadaan setimbang dan (b) kedaan umum

(a)

(b)

k m

1.8 B A B 1 Osilasi

dengan m

k2 .

Persamaan (1.8) sama dengan persamaan (1.5) yang merupakan persamaan

differensial orde dua yang homogen, atau disebut sebagai persamaan osilasi harmonik

sederhana. Walaupun kedua persamaan ini sama, tetapi besaran yang terlibat di dalamnya

berbeda sesuai dengan tinjauannya masing-masing. Solusi persamaan (1.8) merupakan fungsi

yang sama dengan solusi persamaan (1.5) yaitu berupa fungsi osilasi harmonik sederhana

yang dapat dinyatakan oleh persamaan (1.1). Berdasarkan fungsi osilasi pada persamaan (1.1)

tersebut maka untuk kasus sistem osilasi harmonik sederhana pada pegas seperti ini frekuensi

sudut dapat dinyatakan sebagai m

k .

Untuk lebih memahami penurunan persamaan osilasi harmonic sederhana beserta

penentuan frekuensi osilasinya dapat ditinjau sistem satu benda yang terikat pada dua pegas

dengan gesekan diabaikan seperti pada Gambar 1.3. Masing-masing pegas memiliki

konstanta k1 dan k2. Bagaimanakah persamaan osilasinya?, dan bagaimanakah frekuensinya?

Seperti nampak pada Gambar 1.3, ketika benda menyimpang dari titik

kesetimbangannya, setiap pegas memberikan gaya pulih yang besarnya bergantung pada

konstanta masing-masing pegas dan besarnya simpangan . Gaya pulih oleh masing-masing

pegas adalah 11 kf p dan 22 kf p .

Gaya pulih total pada benda merupakan jumlah dari kedua gaya pulih tersebut yaitu

21 ppp fff atau dapat ditulis 21 kkf p . Jika kedua pegas tersebut identik maka

kkk 21 sehingga gaya pulih totalnya menjadi kf p 2 . Substitusi persamaan gaya

pulih ini pada persamaan gerak Hukum II Newton maka diperoleh

Gambar 1.3 Osilasi satu benda pada dua pegas (a) keadaan setimbang,

dan (b) kedaan umum

k1 m k2

(a)

(b)

1.9 B A B 1 Osilasi

2

2

2dt

dmk

atau 0

22

2

m

k

dt

d

sehingga dapat diditulis ulang menjadi persamaan yang sama dengan persamaan (1.8) tetapi

dengan m

k22 . Jadi untuk kasus dua pegas seperti ini frekuensi sudut osilasi akan menjadi

lebih besar dibandingkan frekuensi sudut osilasi satu pegas. Untuk kasus dua pegas dengan

konstanta pegas yang sama yaitu menjadi sebesar m

k

m

k2

2 . Dengan demikian

dapat disimpulkan bahwa fungsi osilasi untuk sitem satu benda yang terikat pada dua pegas

sama seperti pada sistem satu benda yang terikat pada satu pegas, yang berbeda adalah

frekuensinya menjadi lebih besar yaitu sebesar akar dua kalinya.

B.3 Rangkaian LC

Berikut ini akan dibahas osilasi harmonik sederhana pada rangkaian sederhana LC

(induktor dengan nilai induktansi sebesar L yang hambatan murninya diabaikan, dan

kapasitor dengan nilai kapasitansi sebesar C). Besaran yang nilainya berosilasi pada kasus ini

dapat berupa muatan Q pada kapasitor atau arus I yang melalui induktor. Rangkaian LC

sederhana yang ditinjau dapat dilihat pada Gambar 1.4. Mula-mula kapasitor dimuati

sedemikian rupa sehingga muatan pada kapasitor menjadi sebesar Q0. Kapasitor yang telah

dimuati ini kemudian dihubungkan dengan induktor dengan cara mengatur saklar S pada

kondisi on, sehingga rangkaian menjadi tertutup.

Setelah rangkaian tertutup maka mulai terjadi pengosongan muatan pada kapasitor,

dan arus mulai mengalir pada inductor. Beda potensial antara ujng-ujung induktor VL dan

antara ujung-ujung kapasitor VC masing-masing adalah

dt

dILVL dan

C

QVC . (1.9)

Gambar 1.4 Rangkaian sederhan LC

1.10 B A B 1 Osilasi

Dengan menggunakan kaidah simpal Kirchoff yang dalam tinjauan kasus ini dapat

dinyatakan sebagai

0 CL VV . (1.10)

Dengan substitusi persamaan (1.9) pada persamaan (1.10) diperoleh persamaan

0C

Q

dt

dIL atau ditulis 0

1 Q

LCdt

dI. (1.11)

Persamaan (1.11) mengandung variable I dan Q. Untuk memperoleh persamaan osilasi

muatan atau osilasi arus maka persamaan tersebut perlu dimodifikasi terlebih dahulu agar

variabelnya homogen. Hubungan arus dan muatan dinyatakan oleh I = dQ/dt. Jika ini

disubstitusikan pada persamaan (1.11) maka diperoleh persamaan osilasi muatan yakni

022

2

Qdt

Qd . (1.12)

dengan LC

12 .

Persamaan (1.12) merupakan persamaan osilasi muatan pada kapasitor dan memiliki

bentuk yang sama dengan persamaan (1.5) dan (1.8). Fungsi osilasi harmonik sederhana dari

muatan ini dapat menambil bentuk seperti pada persamaan (1.1) dengan frekuensi osilasi

LC

1 .

Misalnya diambil bentuk solusi persamaan (1.12) adalah tQQ cos0 . Pada

saat t = 0 (saklar ditutup) muatan pada pada kapasitor sebesar Q0. Berdasarkan syarat awal ini

dapat ditentukan besarnya = 0 sehingga fungsi osilasi muatannya adalah

tQQ cos0 . (1.13)

Fungsi osilasi arus yang melalui induktor dapat diperoleh dengan cara substitusi

persamaan (1.13) pada pernyataan hubungan arus dan muatan. Dengan cara demikian

diperoleh tQI sin0 atau ditulis

2

cos tII m . (1.14)

dangan Im = Q0. Jelas di sini bahwa arus dan muatan berbeda fase sebesar /2. Hal ini sesuai

dengan kenyataan bahwa pada t = 0, muatan pada kapasitor bernilai maksimum sebesar Q0

sedangkan arusnya masih nol. Begitu pula sebaliknya saat Q = 0 maka arus yang mengalir

pada inductor menjadi maksimum.


Selain diturunkan dari fungsi osilasi muatan, fungsi osilasi arus dapat juga diperoleh

dengan terlebih dahulu menentukan persamaan osilasinya. Persamaan osilasi arus dapat

diperoleh dengan cara mendeferensialkan persamaan (1.12) terhadap waktu dan

mensubstitusikan hubungan arus dan muatan. Dengan cara seperti ini maka diperoleh

persamaan osilasi arus adalah

022

2

Idt

Id . (1.15)

dengan LC

12 . Solusi persamaan (1.15) ini merupakan fungsi osilasi arus. Dengan

memasukkan syarat awal maka dapat ditentukan fungsi osilasi arus dan juga fungsi osilasi

muatan (dengan mengintegralkan arus terhadap waktu). Selanjutnya dapat juga dibuktikan

bahwa arus dan muatan berbeda fase sebesar /2 sesuai dengan yang diperoleh sebelumnya.

C. Osilasi Teredam (Damped Oscillation)

Pada pembahasan osilasi harmonik sederhana di atas telah diperoleh frekuensi osilasi

untuk masing-masing kasus yang ditinjau. Frekuensi osilasi harmonik sederhana ini hanya

bergantung pada besaran intrinsik sistem yang merupakan karakteristik dari sistem yang

ditinjau tersebut. Oleh karena itu frekuensi osilasi harmonik sederhana dapat disebut juga

sebagai frekuensi karakteristik atau frekuensi alamiah yang dalam pembahasan berikutnya

dinotasikan sebagai 0 . Jadi frekuensi karakteristik untuk sistem pegas dan untuk rangkaian

LC adalah berturut-turut m

k0 dan

LC

10 .

Osilasi harmonik sederhana akan berubah menjadi osilasi teredam jika komponen

yang mewakili redaman diperhitungkan. Pada sistem mekanik, osilasi teredam terjadi jika

gaya gesekan tidak diabaikan. Jadi gaya total yang bekerja pada benda adalah jumlah dari

gaya pulih dan gaya gesek. Begitu pula pada rangkaian LC, osilasi teredam dapat terjadi jika

hambatan murni induktor diperhitungkan atau sengaja menambahkan resistor pada rangkaian

sehingga sekarang bukan lagi rangkaian LC tetapi rangkaian RLC. Dengan demikian maka

beda potensial antara ujung resistor ditambahkan dalam persamaan (1.10).

Untuk osilasi teredam pada kasus pegas, dapat ditinjau sistem osilasi seperti pada

Gambar 1.2 tetapi dengan gaya gesek antara benda dan lantai tidak diabaikan. Gaya gesek

atau gaya desipasi sebanding dengan kecepatan tetapi arahnya berlawanan sehingga dapat

dinyatakan sebagai


dt

dbf g

, (1.16)

dengan b disebut sebagai konstanta gaya gesek.

Gaya total yang bekerja pada benda merupakan jumlah dari gaya pulih dan gaya

gesek. Oleh karena itu, Hukum II Newton pada kasus ini dapat dituliskan sebagai

maff gp . Dengan mensubstitusikan persamaan (1.6), (1.7), dan persamaan (1.16) pada

ungkapan Hukum II Newton tersebut maka diperoleh

2

2

dt

dm

dt

dbk

yang dapat disusun ulang menjadi

02

2

m

k

dt

d

m

b

dt

d. (1.17)

Persamaan (1.17) dapat ditulis dalam ungkapan yang lebih umum, yaitu

02 202

2

dt

d

dt

d (1.18)

dengan = b/2m dikenal sebagai faktor redaman, dan mk /20 disebut sebagai kuadrat dari

frekuensi karakteristik seperti yang telah dijelaskan di atas. Persamaan (1.18) ini termasuk

pada persamaan orde dua yang homogen, dan dapat dikatakan sebagai persamaan umum

osilasi teredam.

Osilasi teredam untuk muatan dan arus dapat dibahas dengan meninjau rangkaian

RLC tanpa sumber. Seperti disebutkan sebelumnya bahwa kehadiran R dapat berasal dari

hambatan murni induktor yang tidak diabaikan dan atau dari resistor yang ditambahkan pada

rangkaian. Secara sederhana rangkaian tersebut dapat diilustrasikan pada Gambar 1.5.

Mula-mula kapasitor dimuati sampai muatannya mencapai Q0, kemudian

dihubungkan pada rangkaian seperti pada Gambar 1.5. Ketika saklar diatur pada kondisi on,

Gambar 1.5.Rangkaian sederhana RLC


maka pada rangkaian tertutup berlaku kaidah simpal yang dalam kasus ini berupa jumlah

beda potensial pada ujung-ujung resistor, induktor dan kapasitor adalah sama dengan nol.

Secara matematis dapat dituliskan sebagai VL + VR + VC = 0. Dengan menggunakan VL dan VC

dari persamaan (1.9) dan VR = IR, maka diperoleh persamaan

0C

QIR

dt

dIL atau ditulis 0

1 Q

LCI

L

R

dt

dI. (1.19)

Persamaan (1.19) dapat diungkapkan sebagai persamaan yang hanya mengandung

variable Q saja atau hanya mengandung variabel I saja dengan menggunakan hubungan I =

dQ/dt. Substitusi persamaan ini pada persamaan (1.19) akan diperoleh ungkapan dalam

bentuk Q. Sedangkan persamaan dalam ungkapan arus dapat diperoleh dengan cara

mendeferensialkan persamaan (1.19) kemudian menggunakan hubungan I dengan Q tersebut.

Persamaan osilasi teredam dalam ungkapan Q dan I yang diperoleh dangan cara tersebut

dapat dituliskan masing-masing sebagai berikut

01

2

2

QLCdt

dQ

L

R

dt

Qd, (1.20)

dan

01

2

2

ILCdt

dI

L

R

dt

Id. (1.21)

Kedua persamaan tersebut memiliki bentuk yang sama. Keduanya dapat diungkapkan dalam

bentuk yang lebih umum seperti pada persamaan (1.18), yaitu masing-masing

02 202

2

Qdt

dQ

dt

Qd , (1.22)

dan

02 202

2

Idt

dI

dt

Id , (1.23)

dengan faktor redaman = R/2L, dan kuadrat frekuensi karakteristik LC/120 .

Dengan mendefinisikan operator differensial D = d/dt maka ungkapan persamaan

(1.18) dapat disederhanakan dalam bentuk

02 202 DD , (1.24)

yang berlaku juga untuk persamaan (1.22) dan (1.23) dengan mengubah menjadi Q dan I.

Berdasarkan persamaan (1.24) maka diperoleh persamaan kuadrat dalam D, yaitu

02 202 DD . Akar-akar persamaan kuadrat ini dapat ditentukan menggunakan rumus

akar kuadrat sehingga diperoleh


2

0

2

21

2,1 44 D 2

0

2

2,1 D . (1.25)

Pada persamaan (1.25) tampak bahwa D bergantung pada besarnya faktor redaman dan

frekuensi karakteristik. Berdasrkan hal ini maka osilasi teredam terbagi menjadi tiga yaitu

1. Osilasi teredam kurang (under damped oscillation), terjadi jika besarnya faktor

redaman kurang dari besarnya frekuensi karakteristik ( < 0). Konsekuensinya

persamaan (1.25) menjadi iD 2,1 , dengan 2

0

2 . Solusi persamaan

osilasi teredam untuk kasus osilasi teredam kurang menjadi titi BeAe

atau ditulis titit BeAee . Bentuk dalam kurung persamaan tersebut

merupakan fungsi osilasi harmonic sederhana yang dapat ditulis dalam fungsi

sinusoidal. Dengan demikian maka fungsi osilasi teredam kurang secara umum dapat

ditulis sebagai

te mt cos . (1.26)

Untuk kasus pegas dengan simpangan maksimum pada saat t = 0, maka = 0.

2. Osilasi teredam kritis (critically damped oscilltion), terjadi apabila besarnya faktor

redaman sama dengan besarnya frekuensi karakteristik ( = 0). Dengan demikian

maka diperoleh dua harga D yang sama yaitu .D Solusi persamaan differensial

dengan akar karakteristik yang sama seperti ini adalah

teBtA . (1.27)

Catatan: Penyelesaian persamaan differensial biasa 0yDf yang mempunya n

akar karakteristik yang sama, misalnya sama dengan , adalah

tnn etctctccy 12321 .

3. Osilasi teredam lebih (over damped oscillation), terjadi apabila harga factor redaman

lebih besar dari frekuensi karakteristiknya ( > 0). Hal ini menyebabkan D berupa

bilangan riil dengan dua harga yang berbeda, yaitu D . Solusi persamaannya

dapat dituliskan dalam bentuk fungsi sebagai berikut

ttt BeAee

(1.28)

D. Osilasi Teredam dengan Gaya Pemacu (force damped oscillation)

Kasus osilasi teredam denhan gaya pemacu terjadi jika ada gaya luar yang periodik

diberikan pada sistem osilasi teredam. Untuk kasus osilasi pada pegas, andaikan gaya luar


yang bekerja adalah F = F0 cos (t + ), maka gaya total yang bekerja pada benda adalah

Fff gp dan persamaan gerak benda diperoleh melalui Hukum II Newton adalah

2

2

0 cosdt

dmtF

dt

dbk

yang dapat disusun ulang menjadi

tm

F

m

k

dt

d

m

b

dt

dcos0

2

2

. (1.29)

Persamaan (1.29) dapat ditulis dalam ungkapan yang lebih umum, yaitu

tm

F

dt

d

dt

dcos2 0202

2

, (1.30)

dengan = b/2m yang merupakan faktor redaman, dan mk /20 merupakan kuadrat dari

frekuensi karakteristik. Persamaan osilasi teredam dengan gaya pemacu tersebut merupakan

persamaan diferensial orde dua yang tidak homogen.

Dalam rangkaian RLC analogi untuk gaya luar yang periodik ini adalah sumber

tegangan bolak-balik (ac) yang dihubungkan dengan rangkaian. Pembahasan mengenai

osilasi teredam dengan gaya pemacu untuk kasus rangkaian RLC dapat dilakukan dengan

meninjau rangkaian seperti pada Gambar 1.5 yang dihubungkan dengan sumber tegangan

periodik. Misalkan sumber tegangan pada rangkaian tersebut adalah tVtV cos0 .

Jumlah beda potensial keseluruhan sama dengan potensial sumber tegangan, sehingga dapat

ditulis tVVVV CLR . Dengan memasukkan ungkapan untuk masing-masng suku maka

diperoleh persamaan

tVC

Q

dt

dILIR cos0 .

yang dapat diungkapkan dalam muatan menjadi

tL

VQ

LCdt

dQ

L

R

dt

Qdcos

1 02

2

,

tosVtV c)( 0

atau ditulis seperti ungkapan dalam persamaan (1.30) menjadi

tL

VQ

dt

dQ

dt

Qdcos2 0202

2

. (1.31)

Penyelesaian persamaan (1.30) dan (1.31) dapat dilakukan dengan cara yang sama. Karena

persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial yang tak homogen, maka solusinya


memiliki bentuk )()()( ttt kp , dengan )(tp adalah solusi pelengkap atau disebut

juga compplementary, yang merupakan solusi dari persamaan differensial homogen, dan

)(tk adalah solusi khusus atau particular. Solusi pelengkap merupakan solusi persamaan

osilasi teredam seperti yang telah diturunkan di atas. Sedangkan solusi khusus merupakan

bentuk umum dari ruas kanan persamaan sehingga dapat dituliskan

)cos( tAk , (1.32)

dengan A adalah amplitude dan adalah sudut fase yang keduanya merupakan besaran yang

harus dicari agar solusi khusus dapat ditentukan. Untuk memperoleh kedua besaran tersebut,

persamaan (1.32) disubstitusikan ke dalam persamaan (1.30) sehingga diperoleh :

0)sin( c 2sin )(

)cos( sin 2cos )(

22

0

22

0

tosA

tm

F

(1.33)

Berdasrkan persamaan (1.33) ini, dapat dituliskan dua bentuk persamaan yaitu

0cos 2sin )( 22

0 (1.34)

dan

0sin 2cos )( 220 m

FA (1.35)

Dari persamaan (1.34) dapat diperoleh

22

0

2tan

, (1.36)

dan dari persamaan (1.17), kita peroleh :

2222

0 )2()(

mF

A (1.37)

Solusi khusus persamaan diperoleh dengan mensubstitusikan A dan pada persamaan (1.32).

Daftar Pustaka

M. O. Tjia, 1994, Gelombang, Dabara Publishers, Solo.

Frank S. Crawford, Jr.,1978, Waves, Berkeley Physics, Vol. 3, Mc Graw Hill, New York.

Taufik Ramlan R., 2001, Diktat Gelombang Optik, Bandung : penerbit UPI

Zahara Muslim, 1994, Gelombang dan Optik, Depdikbud-Dikti.


Tes Formatif Bab 1Kegiatan Belajar 1

Pilih jawaban yang benar dan berikan alasan singkat dan/atau langkah pengerjaannya.

1. Yang menyebabkan suatu sistem mekanik bergerak osilasi adalah ... a. gaya berat dan gaya pulih b. gaya pulih dan inersia c. gaya pegas dan gaya berat

d. inersia dan gaya gesek e. gaya berat, gaya pegas, dan gaya gesek

2. Sebuah bandul dengan massa 78,4 gram dan panjang tali 39,2 cm diberi simpangan awal yang cukup kecil (mendekati nol radian). Frekuensi osilasi bandul tersebut adalah (anggap percepatan gravitasi = 9,8 m/s

2)

a. 50 rad/s b. 2 rad/s c. 1,4 rad/s d. 0,5 rad/s e. 5 rad/s

3. Pada sistem pegas seperti pada gambar, mula-mula massa m digeser sejauh 2 cm ke

kiri kemudian dilepaskan. Konstanta pegas k1 = 50 N/m dan k2 =

150 N/m. Massa benda m = 500 gram. Setelah dilepas, massa m berosilasi dengan

frekuensi .........

a. 0,4 rad/s b. 10 rad/s c. 20 rad/s d. 1,6 rad/s e. 400 rad/s

4. Ujung-ujung kapasitor (kapasitansi 100 F) yang telah dimuati dihubungkan dengan ujung-ujung induktor (induktansi 4 H). Muatan pada kapasitor berosilasi dengan

frekuensi a. 50 rad/s b. 500 rad/s c. 25 rad/s d. 20 rad/s e. 0,04 rad/s

5. Pada sisitem pegas seperti pada gambar, massa m = 500 gram ditarik hingga sedikit

menyimpang dari posisi kesetimbangannya, kemudian dilepaskan.

Konstanta pegas k = 18 N/m dan konstanta redaman 6 Ns/m. Gerak sistem seperti ini

termasuk pada gerak osilasi a. under damped b. critically damped c. over damped

d. forced damped e. simple harmonic

6. Kapasitor 100 F yang telah dimuati dihubungkan dengan induktor 500 mH membentuk rangkaian tertutup. Hambatan murni induktor adalah 100 ohm. Sistem rangkaian seperti

ini termasuk pada contoh osilasi a. under damped b. critically damped c. over damped


7. Induktor 400 mH (hambatan murni 10 ohm) dirangkaikan secara seri dengan kapasitor

100 F. Pada ujung-ujung rangkaian ini diberi tegangan 10 volt ac. Sistem rangkaian seperti ini termasuk pada contoh osilasi a. under damped b. critically damped c. over damped


8. Pada sistem forced damped oscillation, beda fase antara gaya pemacu (pemaksa) dengan osilasi sistem saat terjadi resonansi adalah

a. b. /2 c. /3 d. /4 e. /6

Gambar 1.3.a

Keadaan setimbang

Gambar 1.3.b

Keadaan umum

k km


9. Suatu gaya dengan fungsi F (t) = 2 cos (50t (/4)) N, bekerja pada sistem pegas-massa. Resonansi dapat terjadi jika nilai konstanta pegas k dan massa m pada sistem tersebut

adalah a. k = 10 N/m, m = 400 gram b. k = 40 N/m, m = 100 gram

c. k = 100 N/m, m = 40 gram d. k = 400 N/m, m = 10 gram

e. k = 50 N/m, m = 50 gram

10. Sumber tegangan listrik dengan fungsi V(t) = 10 sin 50t volt dihubungkan dengan rangkaian seri RLC. Arus pada rangkaian akan maksimum jika

a. R = 4 ohm, L = 5 H, C = 100 F b. R = 4 ohm, L = 10 H, C = 200 F

c. R = 10 ohm, L = 4 H, C = 200 F d. R = 10 ohm, L = 5 H, C = 400 F

e. R = 10 ohm, L = 4 H, C = 100 F


Kegiatan Belajar 2

Osilasi Dua Derajat Kebebasan

Derajat kebebasan sistem osilasi menunjukkan banyaknya besaran fisika sejenis yang

mengalami perubahan secara periodik. Oleh karena itu derajat kebebasan menentukan

banyaknya fungsi yang harus ada agar keadaan sistem osilasi dapat digambarkan secara

lengkap. Pada Kegiatan Belajar 1 telah diuraikan mengenai sistem osilasi satu derajat

kebebasan. Jika besaran fisika yang berosilasi dapat dinyatakan secara lengkap cukup

dengan satu fungsi seperti pada persamaan (1.1) maka tergolong pada satu derajat kebebasan.

Tetapi jika diperlukan dua fungsi osilasi misalnya 1 dan 2 untuk menyatakan keadaan

osilasi secara lengkap, maka dikatan sistem osilasi dua derajat kebebasan. Begitu seterusnya,

jika keadaan osilasi dapat dinyatakan secara lengkap oleh N buah fungsi osilasi dari besaran

sejenis, maka dikatan osilasi N derajat kebebasan.

Osilasi dua derajat kebebasan disebut juga seagai osilsi gandeng. Persamaan osilasi

variable yang satu tidak dapat terlepas dari vriabel lainnya. Dengan kata lain persamaan

osilasinya merupakan persaman tergandeng atau mengandung 1 dan 2 secara serentak.

Pada kegiatan belajar ini dibahas mengenai osilasi dua derajat kebebasan dengan

meninjau sistem pegas dan rangkaian LC. Pembahasan meliputi penurunan persamaan osilasi

gandeng pada masing-masing sistem yang ditinjau, kemudian dilanjutkan dengan

pembahasan meknisme penyelesaian persamaan tergandeng untuk memperoleh fungsi osilasi

masing-masing beserta frekuensi dan perbandingan amplitude pada mode rendah dan mode

tinggi.

A. Osilasi Gandeng Pegas

m1 k1

k2 k3 m2

(a)

(b)

Gambar 2.1 Sistem pegas gandeng (a) keadaan setimban (b) kedaan umum


Ditinjau sistim pegas gandeng, terdiri dari tiga pegas yang konstanta pegasnya

masing-masing k1, k2 dan k3 serta dua benda yang massanya masing-masing m1 dan m2.

Sistim ini terletak pada permukaan datar tanpa gesekan seperti pada gambar 2.1a. Salah satu

benda diberi simpangan, kemudian dilepaskan lagi sehingga sistim berosilasi dengan keadaan

umum seperti ditunjukkan pada gambar 2.1b.

Persamaan gerak masing-masing benda dapat diturunkan berdasarkan Hukum II

Newton. Persaman gerak untuk benda bermassa m1 adalah

212112

2

11 kk

dt

dm

2

1

21

1

21

2

2

1 m

k

m

kk

dt

d

(2.1)

dan untuk benda bermassa m2 adalah

2312222

2

2 kkdt

dm

2

2

321

2

2

2

2

2

m

kk

m

k

dt

d (2.2)

Diasumsikan bahwa osilasi dalam suatu ragam (mode) normal, maksudnya kedua

besaran berosilasi dengan frekuensi dan fase yang sama, maka solusi kedua persamaan di atas

dapat dituliskan sebagai

tA nn cos , (2.3)

dengan n = 1 dan 2. Substitusi persamaan (2.3) pada persamaan (2.1) dan (2.2) diperoleh

02

1

21

1

212

m

k

m

kk , dan

02

2

322

1

2

2

m

kk

m

k .

Kedua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut

02

1

2

2

dc

ba

, (2.4)

dengan a = (k1 + k2)/m1, b = -k2/m1, c = -k2/m2, dan d = (k2 + k3)/m2.

Ruas kanan persamaan (2.4) sama dengan nol, sehingga determinan matriks pada ruas

kiri harus sama dengan nol. Dengan demikian diperoleh 022 bcda yang

dapat disederhanakan ulang menjadi

0222 bcadda (2.5)


Persamaan (2.5) merupakan persamaan kuadrat dari 2. Akar-akarnya dapat

ditentukan dengan menggunakan rumus akar kuadrat yaitu

bcaddada 42

2

21

2,1

2 (2.6)

Tanda positif untuk frekuensi mode tinggi dan tanda negatif untuk frekuensi mode rendah.

Berdasarkan persamaan (2.4) dapat juga ditentukan perbandingan amplitude yaitu

c

d

A

A

2

2

1 (2.7)

yang berlaku untuk masing-masing mode dengan mensubstitusi nilai frekuensi pada mode

yang bersesuaian.

Bagaimana jika ketiga pegas tersebut identik dan kedua benda bermassa sama,

misalkan sebesar m? Jika ketiga pegas tersebut identik maka nilai konstanta pegasnya sama

misalnya k. Untuk kasus seperti ini maka a = d = 2k/m, b = c = -k/m. Substitusi masing-

masing pada persamaan (2.6) akan diperoleh

ba 2,12 m

k

m

k

22,1

2 .

Untk mode rendah m

k

m

k

m

kR

22 m

kR , sedangkan untuk mode

tinggi diperoleh m

kT

3 . Perbandingan amplitude untuk masing-masing mode dapat

ditentukan berdasarkan persamaan (2.7) yaitu;

untuk mode rendah: c

d

A

A R 2

2

1 12

1 A

A, sehingga diperoleh 12 AA

untuk mode tinggi: c

d

A

A T 2

2

1 12

1 A

A, sehingga diperoleh 12 AA

Berdasarkan uraian di atas, maka untuk mode rendah kedua benda selalu bergerak

searah. Perpindahan kedua benda memiliki besar dan arah yang sama, sehingga pusat

massanya selalu bergerak mengikuti pergerakan kedua benda tersebut. Osilasi seperti ini

dapat dipandang sebagai osilasi pusat massa dengan frekuensi sebesar m

kR . Dengan

kata lain gerak osilasi pusat massa ini memiliki frekuensi yang sama dengan frekuensi osilasi

pegas tunggal. Dalam hal ini pegas penggandeng hanya berfungsi sebagai penyelaras gerak

osilasi. Ilustrasi mengenai gerak osilasi pusat massa dapat dilihat pada gambar 2.2a.


Berdasarkan perbandingan amplitude, nampak bahwa untuk osilasi mode tinggi,

kedua benda selalu bergerak berlawanan arah satu sama lain dengan besar simpangan selalu

sama besar. Dengan kata lain perpindahan benda selalu sama besar tapi berlawanan arah.

sehingga pusat massanya tidak berubah. Osilasi seperti ini disebut juga sebagai osilasi

relative. Pada osilasi relatif ini, frekuensinya lebih besar dari frekuensi osilasi pusat massa.

Ilustrasi mengenai gerak osilasi relatif dapat dilihat pada gambar 2.2b

B. Osilasi Gandeng Rangkaian LC

Ditinjau rangkaian LC gandeng yang terdiri dari tiga kapasitor yang kapasitansinya

berbeda, dan dua induktor yang induktansinya juga berbeda seperti ditunjukkan pada gambar

2.3. Mula-mula masing-masing kapasitor dimuati, kemudian dirangkaikan dengan induktor

seperti tampak pada gambar 2.3.

12 2

21 1

21 1

12 2

(a)

(b)

Gambar 2.2 (a) osilasi pusat massa, dan (b) osilasi relatif


Untuk menurunkan persamaan osilasi muatan ataupun arus listrik dapat digunakan

kaidah simpal Kirchoff. Kaidah tersebut menyatakan bahwa jumlah tegangan pada suatu

simpal tertutup adalah sama dengan nol.

Gambar 2.3 Rangkaian LC gandeng dua inductor dan tiga kapasitor

Berdasarkan kaidah simpal Kirchoff, maka diperoleh untuk simpal A dan B masing-masing

sebagai berikut:

Simpal A : 02

2

1

11

C

Q

C

Q

dt

dIL A 0

11

21

2

2

1 BAAA II

CI

Cdt

IdL

01111

21211

2

2

BA

A ICL

ICCLdt

Id (2.8)

Simpal B : 03

3

2

22

C

Q

C

Q

dt

dIL B 0

11

32

2

2

2 BBAB I

CII

Cdt

IdL

01111

32222

2

2

BA

B ICCL

ICLdt

Id (2.9)

Dengan asumsi bahwa osilasi dalam suatu ragam (mode) normal, maka solusi kedua

persamaan di atas dapat dituliskan seperti pada persamaan (2.3) dengan mengganti

simpangan dalam bentuk arus. Substitusi persamaan (2.3) dalam bentuk arus pada

persamaan (2.8) dan (2.9) diperoleh

01111

21211

2

BA I

CLI

CCL , dan

01111

322

2

22

BA I

CCLI

CL .

IA IB

A BC1

C2 C3

L1 L2

I

IA IB


Kedua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut

02

2

B

A

I

I

dc

ba

, (2.10)

dengan

211

111

CCLa ,

21

1

CLb ,

22

1

CLc , dan

322

111

CCLd .

Ruas kanan persamaan (2.10) sama dengan nol, sehingga determinan matriks pada

ruas kiri harus sama dengan nol. Dengan demikian diperoleh persamaan yang sama dengan

persamaan (2.5). Langkah-langkah penyelesaian berikutnya sama seperti pada pembahasan

osilasi gandeng pegas. Coba Anda lakukan penurunan sampai terjawab pertanyaan berikut:

Bagaimanakah frekuensi osilasi mode rendah dan mode tinggi? Bagaimanakah perbandingan

amplitude arus pada mode rendah dan mode tinggi? Jika ditinjau kasus khusus yaitu

kapasitansi semua kapasitor sama sebesar C, dan induktansi induktornya juga sama sebesar L,

bagaimanakah osilasi arus pada masing-masing simpal? Coba Anda analisis dengan

mengikuti langkah pada pembahasan osilasi gandeng pegas.

Daftar Pustaka

M. O. Tjia, 1994, Gelombang, Dabara Publishers, Solo.

Frank S. Crawford, Jr.,1978, Waves, Berkeley Physics, Vol. 3, Mc Graw Hill, New York.

Taufik Ramlan R., 2001, Diktat Gelombang Optik, Bandung : penerbit UPI

Zahara Muslim, 1994, Gelombang dan Optik, Depdikbud-Dikti.


Tes Formatif Bab 1Kegiatan Belajar 2

Jawablah soal-soal di bawah ini

1. Perhatikan gambar.

Pada gambar di atas m1 = m2 = m, k2 = k, dan k1 = k3= 2k.

a. Turunkan persamaan gerak osilasi untuk masing-masing benda.

b. Tentukan frekuensi osilasi mode rendah dan mode tinggi.

c. Tentukan perbandingan amplitudo mode rendah dan mode tinggi.

d. Jelaskan (menggunakan gambar) bagaimana gerak osilasi mode rendah dan mode

tinggi.

e. Jika amplitudo osilasi benda yang bermassa m1 adalah A1 = 1(0) = 2 cm, m = 100 g,

dan k = 10 N/m, tentukan fungsi osilasi 1(t) dan 2(t) mode rendah dan mode tinggi.

2. Tinjau rangkaian LC gandeng yang terdiri dari

tiga kapasitor dan dua induktor. Masing-masing

kapasitor dimuati, kemudian dirangkaikan dengan

induktor seperti diperlihatkan pada gambar.

Jika L1 = L2 = L, C1 = C, C2 = 2C, dan C3 = C/2,

a. Turunkan persamaan osilasi muatan pada masing-masing simpal.

b. Tentukan frekuensi osilasi mode rendah dan mode tinggi.

c. Tentukan perbandingan amplitudo mode rendah dan mode tinggi.

d. Jika muatan pada kapasitor C1 sebelum dirangkaikan adalah Q0, tentukan fungsi

osilasi muatan mode rendah dan mode tinggi pada tiap kapasitor.

Keadaan umum

Keadaan setimbang

k3 m2 k2 m1

L1 L2

C1 C2 C3

k1

bab1_osilasi

Documents