BAB ll. Tinjauan Pustaka lt - 1

BAB IL IINJAUAI\I PUSTAKA

2.1. Pendahuluan

Ketidaksabilan lereng akibat beban seismik dapat digolongkan menjadi 2

kelompok berdasarkan pada efek predominan lereng. Yang Frtama, inertial

instabilities dimana tegangan geser tanah dianggap relatif konstan dan deformasi

lereng yang terjadi diakibatkan oleh tahanan t nah yang terlampaui oleh tegangan-

tegangan dinamik. Yang kedua weakening instabilrties dimana tanah melemah dan

tidak dapat lagi sabil dengan tegangan-tegangan akibat gempa. Likuifaksi dan

pergerakan siklik adalah contoh kasus yang biasanya tedadi rrrAa weakening

instabilities.

2.2. Analisis Stsbilitas Lereng akibat Gempa

Beban gempa daWt berpengaruh signifikan terhadap tegangan-tegangan dinamik

horisontal dan vertikal pada lereng. Tegangan-tegangan tersebut menghasilkan

tegangan normal dinamik dan tegangan geser sepanjang daerah yang berpotensi

longsor. Jika dibandingkan dengan tegangan geser statik yang ad4 tegangan-tegangan

dinamik daprit melampaui tahanan geser ijin tanah. Hal ini yang menyebabkan

ketidaksabilan lereng. Beberapa metode untuk menganalisa kestabilan lereng dinamik

dijelaskan pada bb ini.

22,1. Cara Statik Ekuivalen ( Psandoxalc Arwlysis)

Pendekatan Pseudostatic adalah mengasumsikan efek dari gemga sebagai

kostanta terhadap percepatan arah horisontal maupun vertikal, yang kemudian

disebut sebgai percepatan pseudostatic dimana menghasilkan gaya dalam sebesar

Fl dan Fu.. Pada umumnya gaya gempa diasumsikan hanya bekerja pada arah

horisontal saja, sehingga k,: 0.

Gb. 2.1. Gaya-gaya yang bekerj a padaanalisis stabilitas lercng pseudostatic

Teeie f,lagister

BAB ll. Tiniauan Pustaka il - 2

F n =anW

resisting.force c^o +W cos F - Fosin fltan4Wsinp + Frcaspdriving.force

Keterangan:

F6: gala gempa horisontal

W: berat tanah

ah : percepatan ps eudostatic

Pemilihan nilai koefisien pseudosra*tic, k6 sangat mempengaruhi hasil analisis.

Terzaghi (1950) menggunakan k1 setresar 0,1 - 0,5 dari gempa rendah sampai gempa

besar. Seed (1979) meneliti 14 bendungan pada 10 negara berpotensial gempa dengnn

FS minimum 1,0 - 1,5 menggunakan k1:0,10 -0,12. Marcuson (I9s1) mengusulkan

k1: l/3 - l/2 dari maksimum percepatan gempa, termasuk faktor amplifikasi maupqn

deamplifikasi. Seed (1979) mengindikasikan bahwa deformasi pada konstruksi dam

dengan percepatan kurang dari 0,759 benrilai cukup kecil dengan angka keamanan

l,l5 menggunakan kn:0,1 (M:6,5) - 0,15 (8,25). Hynes-Griffrn dan Franklin (1994)

mengaplikasilnn Newmark sliding block analysis dengan 350 accelerogram pada

bendungan tanah, dengan angka keamanan > 1,0 digunakan kl: 0,5 dan deformasi

yang dihasilkan tidak besar.

Tabel 2.1. Beberapa pedoman pemakaian koefisien gempa untuk keperluan praktis

Koefisien Gemoa Keterangnn0,10 Gempa Sangat Besar, FOS >1,0 (Corps of Engineers,

1982\0.15 Gempa Besar, FOS >1,0 (Corps of Ensineers. 1982\0.15 - 0.25 Japan, FOS >1,00.05 - 0.15 State of California0,15 Seed (1979), dengan FOS >1,15 dan 20o/o reduksi

tegangant/c-Y2PGA lvlarcuson dan Franklin (1983)" FOS >1.0%PGA Hynes-Griffin dan FranHin (1984), FOS >1,0 dan 2Ao/o

pduksi tegangan

I

F S =I

J

a

Tesie tagister

BAB fl. Tiniauan Puetaka t f - 3

t'

r

Koefisien Gemna Keterangank v < % P G A Lereng aman terhadap gempa rencana% PGA<ky< PGA Kerusakan kecil dan besar daoat diteriadiky > PGA Diperkirakan kerusakan menyeluruh, diharapkan untuk

melakukan Analisis Dinafifk(sumber: Abrarnson, L, 1996)

Kelemahan Analisis Statik Ekuivalen

Representasi efek dinamik, komplek dan fiansien gempa men$adi sebuah

konstanta searah percepatan pseudostatik adalah sesuatu yang jelas lemah.

Bahkan Terzaghi (1950) menyatakan batrwa konsep pseudostatik sangat tidak

akurat (Kramer, 1996).

Analisis dinamik untuk stabilitas lereng dengan metode pseudostatic

mendapatkan lanpung nilai faktor keamanan, tetapi tidak mendapatkan besarnya

deformasi pada lereng yang longsor tersebut Dari beberapa penelitian yang

dilalokan oleh Seed (1979) menuqiukkan bahwa angka keamanan yang didapat

pada analisis pseudostatic tidak menur{ul*an keamanan timbunan selama terjadig€0p2, seperti tabel berihrt:

Dam h* r^f EfekgempaSheffield dam 0,10 1,2 Longsor keselunrhanLower SanFernando Dam

0, 15 1,3 Longsor pada lereng hulu

Upper SanFernando Dam

0,15 2 -2,5

l,ongsor di lereng danpucak bergeser 6 ftkebawah

lfilings Dam(Jaoan)

0,20 1,3 Longsor dam menimbuntambans

Kesulitan dalam mengambil nilai koefisien pseudostatic yang tepat, interpretasi

faktor keamanan dan berkembangnya metode lain yang lebih mendekati realitas

menyebabkan rnetode ini kurang digunakan untuk Analisis dinamik sabilitas

lereng. (Kramer, 1996)

2. 2. 2. Newmarh Sliding Block Amlysts

Gaya gempa mengandung percepatan yang merupakan fungsi wat$u, sehingga

mestinya fbktor keamanan yang ada pada sebuah lereng jika terkena gempa juga

akan berubah seiring dengan waktu. Jika gaya datam pada suatu lereng berubah

menjadi cukup besar dimana gaya tersebut melebihi dari gaya- gaya yang

a

I

Teds tagaster

J

I

BAB ll. Tinjauan Pugtaka _ n-4

menahan maka faktor keamanan akan turun dibawah 1,0. Ketika SF kurang dari

1,0 maka massa yang berpotensi longsor tidak lagi pada keseimbangan, dan

ketidakseimbangan gaya-gaya menjadi lebih cepat. Hal ini dianalogikan oleh

Newmark sebagai kotak gelincir pada permukaan miring.

C'b.2.2. Gaya-gayayang bekerja pada kondisi dinamik

FS|Q) =availab leresisting _ force = Rr(r) _lcas g - kol)sin Fltan|

Do{t) sinB + kr(t)cos pps eudo stat i cdr iv ing _ for " e

3

E zaoo6 1aIl'

0.3

kh

Gb. 2.3. Variasi angka keamanan pseudostatik terhadap koefisien horisontalpseudostatic pada blok dengan kemiringan 20o.

2.2.3. Makdffi-Seed Arnlysts (Sfmflffwl Method)

ldakdisi-Seed (1978) menggunakan percepatan gempa rata-rata dalam

menghitung deformasi pada timbunan berdasarkan pada prosedur Copra (1966)

dan sliding Bloek Analysis. Dengan penyerdehanaan Metode Elemen Hingga

dinamik dan analisis balok geser dari beberapa sfiuktur, metode sederhana ini

dapat memprediks i besamya permanent di sp I acement yang akan terjadi.

Perceptan batas pada bagtan permukaan yang berpotensi longsor dihitung

menggunakan tegangan leleh dinamik (800/o dari tegangan geser undrainedtanah).

Dinamik respon pada timbunan dinyatakan sebagai ratio percepatan yang

BAB ll. Tiniauan Pustaka

borvariasi dengan kedalaman permukaan yang berpotensi longsor terhadap tinggl

timbunan.

Berdasar pada berbagai hipotesis dan hasil nyata yang terjadi pada berbagai

timbunan dan synthetic grormd motion yang diskalakan sehingga menggambarkan

berbagai magnitude gempq Makdisi-seed menghitung variasi permanent

displacernent sebagai ql u*aan magnitude. Data-data tersebut di reduksi dengan

menormalisir terhadap PBA(peak bqsed acceleration) dan perioda dari timbunan.

Prediksi pennctnent displacement dapt dihitung dengan menggunakan chart

dibawah ini.

0 0.2 ffi

0.8 1.03rnar.:-o

Gb. 2.4. Variasi percepatan maksimum rata-tataterladap kedalaman potensiallongsor permukaan pada dam dan urugan. (Afier Makdisi and seed (Ig7s).Simpl ified procedure far estimating dsm and embanknent earthquake-induceddeformations, Journal of Geotechnieal Engineering Divisioa vol. 104, No.GT7. Reprinted by permission of ASCE)

!b5

I

I

0.8

1 .0

1

u-.0.1f ln*I"

{*l o,or

0.001

0,0001

I

u 0.1an"tlo

(*tl o.ot

0.sl

o,0001a,? 0.4 0,6

:k*fima

Gb. 2.5. variasi perpindahan permanen terhadap perceFtan maksimum padaberbagai magnitude gempa. (a) Rangkuman dari sejumlah gempa pada banyakdam dan urugan; (b) Nilai rata-rata. (Arter Makdisi and seed (1978). simptifiedprocedure fo, estimating dam and embanlonent earthqmke-indrceddeformations, Journal of Geotechnical Engineering Division, vol. 104, No.GU. Reprinted by permission of ASCE)

1.00 0,e o.4 0-6 0,s3*Fnrr

' "Sh€ar sric€'(rang6 br all detE)

. . . i . , , . " - . " . ,

i

I

F3'---"'

'ir-"; ,-r.n -

i t

: : i

\ ! " - . s i '..".\. i ...-......--;........-- ;.....-,.

..) i\ i * '-, i' . . ; \ - \ i-"--

:.'':::*it\i"'-";

' ' i . . \ \

i ir-:).r\u : e i r j " \

i i i-" i' - -i- --'r. , -

; i i: ! i

Tesis tlagistsr

BAB ll. Tlniauan Pugtaka !L-6

I

Studi Perbandingan Simpltfied Method dsn Finite Element Method

Sebuah studi tentang perbandingan Simplified Method da Metode Elemen Hingga

dilakukan oleh: Scott A. Ashford, A.M., Thomas J. Weaver, S.M., Ronaldo L.

Carreon.(ASCE 1998). Studi respon seismik pada tiga bendungan di komplek

bndungan Pantabangan, Filipina pada gemga Filipina tahun 1990, dibandingkan

dengan Bendungan Masiway yang mengalami kerusakan terburuk. Pada studi ini

bertujuan membandingkan beberapa metode guna memperkirakan displacement yang

terjadi. Metode yang digunanakan adalah Simplifed Method dan Finite Elemen

Methode. Sedangkan input motion yang digunakan juga divariasikan dari beberapa

motion yang mendekati dengan gempa yang terjadi saat itu yaitu gempa Loma Preita

(UCSC 0o), Gempa Landers (Joshua Tree 90o) dan Gempa Landers (Lucerne Valley

315").

Hasil dari analisa:

Perbandingan Simplified dan Finite Element Method wrtvk input motion 0,35 g

Motion Simplified Methode Finite Element MethodeTo, S€c Ottr"' I U. cm To- sec &""x. I U, cm

ucsc 0.52 t.a2 t2 0.39 1.06 9JT 0.79 0.92 t2 0.38 0.73 0LV 0.47 0.55 0 0.35 0.64 0

Perbandingan Simplfied dan Finite Element Method rntuk input motion 0,50 g

Motion Sirnplilied Methode Finite Element MethodeTo. SOC Smaxr B U, cm To. S€C amax' g U. cm

ucsc 0.55 1.28 27 0.42 t.27 2 lJT 0.85 1 . 1 6 40 0.47 0.87 3LV 0.53 0.68 0 0.37 0.88 3

Hasil perbandingan ternyata tergantung kepada input motion. UCSC menuqiukkan

hasil yang lebih baik dimana nilai T0 (first natural periode), a^^(the maximum crest

acceleration) dan U (displacenent) mendekati pada kedua metode diaas dibanding

dengan JT. Sedangkan LV menunjukkan hasil yang cupuk baik tetapi displacement

yang dihasilkan sangat kecil.

Hasil observasi lapangan, pada daerah dinding hulu 2 - 7 m dibawah puncak dam

terjadi displaeemenf sebesar 16 -92 cm. Jadi penggunaan input motion 0,50 g UCSC

menunjukkan hasil yang berada pda interval displacement yffig ada untuk kedua

Tsgie ilagiater

BAB ll. TiniauanPuEtaka

metode. Dari hasil studi jelas menunjukkan betapa pentingnya pemilihan input mation

dalam Analisis dimnfk.

2.2.4 MetodeElemen Hingga (Fintte Element)

Persamaan GerakElemen

Pada metode elemen hingga hal yang penting adalah diskretisasis elemen seperti pada

garrbar 2.6. Displacement tanah pada setiap titik pada elemen, {v}t{u v},

dinyatakan dalam displacement titik nodal, {q}':tu, u2 uj u4 v1 v2 vj va}sebagai:

{v}= [Nl {q}Dimana [fVJ adalah mafrik fungsi bentuk (shape function}.Matrik Regangan-Displacement [Bl merupakan regangan-regpngan yang ditentukan

dari displacement titik nodal

{e} = IBI {q}Dan matrik tegangan-regangan [D] memiliki hubungan tegangan regiangan sebagai

berikut:

{o} = tDl {e}

u-7

I

I

'+ no+

x

Ctb.2.6. Diskretisasi elemen hingga pada struktur pnil:rn mengilusfiasikan derajatkebebasan dari elemen dengan 4 titik nodal

Penentuan sistem koordinat lokal, (s,0 dari elemen quadrilaterat ke dalam segi empatseperti terlihat pada 9b.2.7. dan dengan menggunakan hubungan regangan-

displacement dan tegangan-regangan, sebuah matrik kekakuan elemen dapatdituliskan (dianggap tebal arah z:1 satuan) sebagai:

1 l

lk"|= JIFf FlBplas.at-l -l

Dimana

t I = *$,( u*, u*,._ anr, 4ff, .),,l" I H u"t*'\ at at ot at )''

Tesls lrlagieter

-l -l

,

Sebuah matrik masa elemen yang konsisten dapat ditulis, dengan asumsi berat jenis

elemen konstan

l l

fu)= pJJFrf Frltlas.at

't_.--,x

Gb. 2.7. Pemetaan elemen quadrilateral dari bidang tak bEraturan pada siskmkoordinat x-y ke bidang segi empat pada sistem koordinat s-r

Matrik damping dapat menjadi hal yang rumit karena mengimplkasikan berbagai

perumusan ketergantungan frekuensi damping. Untuk analisis respon non linier,

damping utamanya dihasilkan dari perilaku hesteretic tanah dan dengan demikian

memperhitungkan variasi matrik kelCIkuan karena kondisi pembebanan siHik. Matrik

konsisten damping dapat dirumuskan sebagai berikut:l t

k,l= pl[Wf ftlFPlas.at-l -l

Dimana [al adalahmatrik damping masa

Persamaan gerak elemen daEat dituliskan sebagai

l, "Itil *["" lti]* [*, Jk] = @<,>lDimana vekfor gaya elemen adalah

l l

@@l = J J trl $r\tlas.at* I M {r}as-1-I r

Dimana {W} adalah vektor gaya beban dan {T}vektor naksi eksternal yang

diaplikasikan pada suatu permukaan.

Persamaan Gerak Global

Berdasar dari persamaan gerak elemen dapat ditulis persamaan gerak global sebagai

berikut

t

Teeis Magirter

BAB ll. TinJauqn Puotaka ll - g

luftl * [cff;l * [K J{, } = Errl}Dimana M adalah matrik masa global, [C] adalah matrik damping global, [K] adalah

matik kekakuan global, {u} adalah vektor displacement global pada titik nodal,

{R(t)}adalah gaya global pada titik nodal.

Pada kasus dengan beban yang diakibatkan oleh gerakan pada dasar, persamaan gemk

global menjadi

luftl * [cJ{,} * [r]{,] = -luftip, <,t

2.3. Persamaan-Pensamaatr Elemen Hingga dengan Geo-ffice

Persamaan gerak (rnotion) untuk sistem respon dinamik dalam elemen hingga

dinyatakan sebagai berikut:

t M ltnl *[, ]{di} +l s l{a} = {F}

dimana:[MJ : matrik masa[D] = matrik dampingffi : matrik kekakuan{F} : vektor gaya

fi): vektor percepatan pada nodal

[i]: vektor kecepatan pada nodal

{a}: vektor perpindalran pda nodal

Matrik K mengandung properti kekakuan material dan vektor F mengandung

komponen beban. Perilaku tanah dapat berupa undrained maupun drained. Matik M

memperhitungkan properti massa seperti tanah, air dan konsfiuksi lainnya. Berdasar

pada hukum Newton tr (F=n.a), lebih besar massa akan didapat percepatan yang

lebih kecil untuk beban tertentu. Matrik C mencerminkan material damping, dimana

pada kenyataannya ini diakibatkan oleh gesekan dan plastisitas/ viskositas. Lebih

besar plasfisitas material akan meredam getaran lebih besar pula dan menghasilkan

perpindahan yang lebih kecil setelatr diberikan sebuah beban.

Matrik Masa Ml

Matrik masa dapat berupa consistent mass matrix atav lurnped mass matrix.

consistent mass tnatrix :

l M l = f , a < N l r < N ) d v.F

Tesis tagicter

BAB ll. finiauan Puetaka

lumped mass matrix'.

[ ]il 1= Jctvld"

p : beratjenis

{rp = vekitor baris dari fungsi interpolasi

tV ] : matrik diagonal dari fakfor distibusi masa

QUAKE/IV menggunakan lumped rnass matrix.

Matrik Damping [Dl

Nfatrik damping mempunyai huburgan linier terhadap matrik masa dan matrik

kekakuan.

l D l - a [ M J + . d l K ]Dimana : a dan B adalah bilangan scalar dan disebut Rayleigh damping coefficients.

Hubungan terhadap damping ratio q adalah:

a + 8 a . 2o ' T

dimana: or adalah bagran dari frekuensi getaran sistem.

QUAKEAil menghitung koefisien damping Rayleigh dengan menggunakan nilai

terendah dan keduatercndah dari frekuensi sistem dan sebuah konstanta damping

ratio.

Matrik Kekakuen ffi

lrl - J" tsr Ir][;],udimana:

[B] : matrik regangan- displacement

[C] = matrik constitutive

{rp = vektor baris fungsi interpolasi

Pada analisisplane strain dua dimensi, QUAKEAil menganggap seluruh elemen

menjadi sebuah luasan.

Ir]-,fi[8rtc][e],uDimana: t adalah tebal elemen

Matrik Regangan -Displacement

!r- 10

i

I

Tesis Magioter

I BAB ll- Tiniauan Puetaka

QUAKE/W menggunakan rekayasa tegngan regangan dalam menentukan vekilor

regangan.

f", lt l{"} =l; I[t*J

Variabel yang menjadi masalah tegarlrgur/ deformasi adalah displacement, dimana

berhubungan dengan vektor regangan:

(4 -trrtJdimana:

[B] : matrik regangan,

u, v =rodal displacement arah x- dan y-directions,

Unfuk masalah 2 dimensi plane strain e" =0 dan matrik regangan menjadi

[fr]=

Hubungan Elastic Constitutive

Tegangan terkait dengan rcgangan menurut teori elastisitas sebagai berikut:

to) =lsl{4

dimana [C] adalah matrik constitutive (element property)

t*l=dq

dimana:

E = Modulus Young's

v: Poisson's ratio

! r - 11

t

tr*[a' w a' r"J

Tesie ltlagister

BAB ll Tiniauan Pustaka

Gaya-Gaya Badan (Body Forces)

QUAKEAV dapat memodelkan gayabrurat yang bekefa dalam arah vertikal maupun

horizontal. Gaya tersebut bekerja pada seluruh elemen. Gaya berat arah vertikal bu,

adalah akibat bekerjanya gravitasi pada elemen. Pada suatu material, intensitas gaya

berat dalam arah vertikal adalah didapatkan dari berat volume y,, dimana terkait

dengan berat jenis material p :

f i =Pt

Dimana g adalah konstanta gravitasi. Ketika berat isi y bukan nol, QUAKEAM

mengevaluasi integrasinya dengan integral numerik dan mengaplikasikan sebagai

gaya vertikal kebawah (negatif) pada setiap nodal elemen.

",$[" anr)dv

Demikian pula, jika satuan gaya dalam arah horizontal bh, tidak sama dengan nol ,

gaya arah horisontal pada nodal digunakan dalam perhiturgan.

a*J,[* ]l'')du

Dalam analisis dinamik, berat jenis dihitung dari satuan gaya berat vertikal.

Gaya akibat Beban Gempa

Pembebanan gempa dapat dinyatakan sebagai berikut:

{rs} = [M](t]

dimana: [M] adalah matrik masa dan (d ) adalah percepatan pada nodal

Pemilihan Model Tanah

Pada program QUAKEAM, anah dapat dimodelkan Linier-Elastic atau

Equivalent-Linier. Pada model Linier-Elastic , proprties tanah selalu konstan dan

tidak diperlukan itemsi. Sedangkan pada model Equivalent-Linier ,properties tanah di

perbaruhi pada setiap perhitungan, sehingga dibututrkan iterasi sampai mendapatkan

hasil yang konvergen.

Analisis Linier Ekuivalen (Equtvalefi Linear Arulysts)

Perilaku non linier modulus gesor dan damping ratio lrarena kondisi beban

dinamik dapt disimulasikan dengan analisis Equivalent Linier. Pada analisis ini,

konstanta G dan darnping ratio digmakan selama analisis beban dinamik. Modulus G

n -12

Teois ilagiater

BAB ll. Tiniauan Pustaka

dan damping ratio yang baru dihitung dari siklik atau sebuah regangan geser siklik

ekuivalen yang dihasilkan pada analisi dinamik. Kemudian analisis beban dinamik

baru dimulai dengan modulus dan damping ratio yang baru. Proses iterasi akan

diulang sampai perubahan displacement dari dua iterasi yang berurutan bernilai kecil.

QUAKEAM menghitung displacement normal maksimum selama analisis

beban dinanrik dan membandingkan displacement normal maksimum dari dua iterasi

yang berurutan. Displacement narmal maksimum dihitung dengan nrmus:

i l - 1 3

.n -**[me* t'F,,c',,"1

:

Dimana a'" adalah displacement dinamik pada suatu nodal n, dan i adalah jumlah

iterasi. Idax 0 adalah nilai maksimum selama analisis dinamik. Program akan

berhenti ketika perubahan displacement normal maksimum lebih kecil dari nilai

toleransi eowerge yang ditentukan atau program mencapai jumlah iterasi maksimum

yang ditentukan.

Toleransi konvergen dihitung seperti dibawah ini:

fi,t- - /B.5'('4il* -'1i* ) lTdr*ance--rr

A,-:Til

Dimana ABS adalah nilai absolut

E qulv ale nt Cy c lic Par amde rs

Uji laboratorium dinamik biasanya dilalrukan dengan memberikan tegangan

siklik yang seragam. Getaran gempa memiliki siHis yang tidak beraturan, sehingga

perlu untuk meng-ekuivalenkannya. Seed etal.(1975) menyatakan bahwa siklus

tegangan geser yang seragam sama dengan 650/o dwi siklus tegangan geser maksimum

dari pergsrakan gempa yang tidak beraturan dimana akan menghasilkan tekanan pori

yang sama. Angka ekuivalen siklus berhubungan dengan magnitude gempa, sebagai

contoh jika magnitude gempa 7,mals angka ekuivalen siklusnya 10.

Teeis llagister

d{t

xE

;q9 m{Etx{)E

E r oEtEE?

, * t o

t

BAB ll. Tiniauan Pustakg - l! - 14

Eslhquaks magnlhrdt, llf

Gb. 2.8. Hubungan Jumlah Siklik Ekuivalen terhadap Magnitude Gempa

Modulus Geser G pada Kondisi Beban SiklikDinamik

Uji laboratorium memperlihatkan bahwa kekakuan tanah berubah regangan

amplitudo sikliknya akibat beban siklik dinamik. Secan modulus geser tanah meilrun

dengan naiknya arnplitudo regangan geser siklik.

Crb.2.9. Modulus padaKondisi Beban Siklik

Variasi secan modulus geser terhadap regangan geser siklik dapat dijelaskan sebagai

fungsi G-Reduction.

l\ilrffi-l &aodsd

Teeis Magieter

flAR ll Tiniarnn Purtaka ll - 15

0 6

x o Et!

gg

t ' t

n 0, 1

Cyc[c Sl,ner Strrin

Gb. 2.10. Contoh grafik hubungan G/Gmax vs Regangan Geser Siklik

QUAKEAM menggunakan hubungan empiris antara Gmax dan tegangan utama initial.

Gmax = k(d^y

Dimana : k dan n adalah konstanta.

ok adalalr tegangan batas efektif utama. Tegangan ftn independent tvlndap Gma:r

jika konstanta n=0. Sedangkan k adalah unit dependent tegangan yang berhubungan

dengan kondisi tanatr di lapangan, seperti kepadatan tanah dan kondisi over-

consolidation tanah.

Ishibashi dan Zhang (1993) mengembangkan sebuah ekspresi untuk

memperkirakan rasio G/Gmax. Dua variabel utama adalah Indeks Plastisitas (F) dan

tegangan batas. Tegangan batas dalam kPa.

+'tr(7,F,r)(.,")*""**Ur-

KU. PI)- t t{t + t*n [r,

+

vO(PDTIN0.000102 tl

n(r, pr) - n =o rz{r - renh [', [ "PI* ] ]-'

(-o oresn")

n * 0 . 0 f o r P l * 0

* 3.37 x lS'6 PI l..f$4 for 0 < PI < | 5* 7.00 x l&7 Fl 1.976 fbr 15 < PI < ?0* ?.70 x l0-5 PI l.l 15 for PI > 70

\f.

Tesig Magicter

BAB ll. TinJauan Pustaka lf - 16

Damping Ratio akibat Kondisi Beban SiklikDinamik

Dengan menunrnnya modulus geser G terhadap naiknya regangan geser siklik,

maka htas hysteresis loops dari grafik tegangan-regangan akan bertambah besar, hal

ini mengindikasikan bahwa damping ratio juga naik seiring naiknya amplitudo

regangan siklik. Gambar dibawah ini memperlihatkan variasi tipikal damping ration

terhadap regangan geser siklik.

Cycllc Sftcrr Srin

Gb.2.11. Contoh Grafft Hubungan DampingRatio vs Regangan Geser Siklik

Variabel untuk mendapatkan damping ratio adalah Indeks Plastisitas dan G Reduction.

6 - g 33rr* oo(-0:0ra5Pr")

[. rrr[*J' -t *t*-t]

Faktor Keamanen dengan program SLOPE/W

Faktor keamanan dengan menggunakan metode keseimbangan ditentukan

bahwa faktor dimana tegangan geser tanah harus diturunkan agax supaya membawa

masa tanah ke batas keseimbangan pada sepanjang permukaan gelincir yang dipilih.

Sejauh ini, pada metode tersebut, ada dua asumsi yang harus dipakai dalam analisis

firktor keamanan:

- Faktor keamanan komponen kohesif tegangan dan komponen gesekan adalah sarna

untuk sehnuh tanah yang terkait

- Faktor keamanan pada seluruh kepingan adalah sama

Asumsi diatas tidak lagi diperlukan pada metode tegangan elemen hingga.

(finite element sfress). Dengan kata lain, perhitungan faktor keamanan dengan

pendekatan metode tegangan elemen hingga tidak sama dengan fbktor keamanan

:{d}

3S:'

8 : * c ,a

5 ;*i6

Ecr !5lJ

.I

*6 roio

N

-.: .d

Teeic lt|agicter

t

BAB f l. Tlniauan Pustaka al - 17

dengan pendekatan keseimbangan batas. Pada metode tegangan elemen hioggu, faktor

keamanan dinyatakan sebagai perbandingan antara jumlah tahanan geser sepanjang

permukaaan gelincir terhadap jumlah gaya geser yang bekerja sepanjang permukaan

gelincir yang sama.

Is"SF=#-

LS*

SF: faklorkeamanan

fSr: jumlah tahanan geser sepanjang permukaaan gelincir

f Sze:lumlah gaya geser yang bekerja sepanjang permukaan gelincir

Gaya tahan @atrap potongan dihitung dengan mengalikan tahanan geser tanah pada

bagtan tengah pada dasar potongan. Bentuk modifikasi persamaan Mohr-Coulomb

pada tanah tak jenuh menyatakan gaya tahanan yang ada :

Sr = sg = (c'+(o, -u,)tan6'+(u"-u,)tanq')p

5

" dimana:

s : tahanan gpser taoah pada bagian tengah pada dasar potongan

b : panjang dasar dari potongan

so: tegangan normal pada bagian tengah dasar potongan

uo:tel<atnnudara pori

' uo: tekanan air pori

0' : sudut ges€r dalam effektif

Sb: sudut geser dalam akibat naiknya tegangan geser akibat penyerapan air

Gaya geser yang terjadi pada tiap potongan dihitrng dengan menjumlahkan

tegangan-tegangan geser pada bagian tengah dari dasar potongan (t*).

Sm = t.F

Teeis Magister

t

BAB ll- Tiniauan Puataka ll - 18

Faktor keamanan local dari sebuah potongan dapat dihitung dengan persamaan :

Local.SF=g - sF

Sm r-B

Tegangan-tegangan normal maupun tegangan-tegangan geser dihasilkan dari

pada program SIGMA/W atau QUAKE/W. Dengan demikian persamaan-

persamaan untuk menghitung angka keamanan adalah linier, sehingga tidak

diperlukan iterasi untuk mendapatkan angka keamanan, sama seperti pada metode

keseimbangan batas.

Perhitungan Tegangan Normel dan Tegangan Geser yang bekerja

(Nontul Stress and Mobtltzed Shear Stess )

Informasi yang dibutuhkan adalah dari analisis tegangan, yaitu tegangran o lq

o y, and r xy pada tiap titik Gauss pada tiap elemen. Tegangan-tegangan ini

digunakan untuk menghitung tegangan normal dan tegangan geser yang bekerjapada

bagian dasar setiap kepingan. Prosedurnya adalah sebagai beriht:

Langkah 1: Identifikasi Elemen

Langkah pertama adalah mengidentifikasi elemen dimana pada tengah bagran

dasar sebuah kepingan. Hal ini dilakukan dengan menentukan koordinat global dari

titik tengah dasar (base cente), kemudian ditentukan untukkoordinat lokal (r,s) dari

base eenter sebuah elemen.

Pada analisis elemen hingga, koordinat global dari titik dasar berhubungan

dengan koordinat gilobal titik-titik nodal setiap elemen:

x: <N> {X}

y: <N> {Y}

dimana:

x: koordinat global x dari base center

y: koordinat global y dari base center

{X} : koordinat elobal x dari titik-titik dari elemen

{Y} : koordinat global y dari titik-titik dari elemen

{{) : matrik interpolasi

Tesis ilagister

BAB ll. Tiniauan Pustaka ll - 19

Karena firngsi interpolasocN> ditentukan dalam koordinat local (r,s) dan

koordinat global tidak dikeahui, koordinat local dari base center pada sebuah elemen

dapat dihasilkan dari menyelesaikan dua persamaan simultan dibawah ini.

Sebuah base center pada sebuah elemen jika koordinat lokalnya berada pada range

dibawah ini:

.Untuk elemen segi tiga: (0 S r > 1) and (0 S s > l)

.Untuk elemen segi empat (-1 < r > 1) and (l S s > 1)

Jika koordinat local keluar dari range, maka base center tidak berada di elemeq dan

prosedur akan berpindah ke elemen berikutnya. Hal ini berlanjut sampi elemen

dimana mempunyai base center ditemukan.

Langkah 2: Tegangan-Tegangan Nodal Elemen

Untuk menghitung state tegangan pada base center, yang pertama diperlukan

adalah menetapkan tegangan pada titik-titik di elemen. Hal ini dilalrukan dengan

memproyeksikan nilai Gauss pada titik-titik dan kemudian merata-rata nilai-nilai di

nodal dari elemen yang bersangkutan. Proyeksi dilakukan dengan menggunakan

fungsi interpolasi.

/ = {ffxs}dimana:

f : tegangan pada titik+itik di elemen

{rP: matrik fungsi interpolasi

{F} = Nilai-nilai tegangan pada titik-titik Gauss

Fungsi interpolasi adalah sama dengan fimgsi standard yang digunakan untuk

menggambarkan sebuah variabel dalam sebuah elemen dalam bentuk nilai-nilai nodal,

kecuali jika koordinat local berbanding terbalik dengan titik-titik integrasi dari titik

standard Gauss.

Sebagai contoh, koordinat local titik integrasi Gauss di dalam sebuah elemen

adalah (0,577, 0,577). Ketika diproyeksikan dari titik Gauss ke titik sudut, koordinat-

koordinat local terdekat titik sudut adalah (1,73, 1,73). Gambar dibawah ini

memberikan ilustrasi skema proyeksi untuk sebuah elemen segi empat

Tseis tlagieter

t

,t

.t

\

I

BAB ll. Tinjauan PUstaka ll - 20

(-1.?320, 1.73e0) (1,7320, 1.7320)

. Element Gauss PdnE

I Elemgnt Gorner Nodeg

(-1.T$eO, -1.7SA0) (1.7320, -1.7320)

Proyeksi diatas membuat setiap elemen menjadi bermasalalr, dan nilai dari setiap

elemen yang terkait kemudian dirata-ratakan. Untuk menyelesaikan prosedur ini, o*,

oy, diil r, harus diketalui pada setiap node dalam mesh yangada.

Langkah 3: Tegangan-Tegangan Base Center

Setelah oy, oy, dan to pada node-node diketahui, standard yang sama dari

fungsi interpolasi digunakan lagi untuk menghitung tegangan pada titik tengah dasar

kepingan. Koordinat lokal pada base center diketahui dari identifikasi elemen

(langkah 1). Dalam bentuk persamaan,

{'} -{r4{q}

dimana:

{o } : tegangan-tegangan pada base center

<}.I>: matrik fngsi interpolasi

{o"} : tegangan-tegangan pada node-node elemen

Hasil dari penyelesaian pada tahap ini adalah,o;, (iy, and r", pada setiap base center

dari sebuah kepingan.

Langkah 4: Tegangan Normal dan Geser padr- Base Center

Tegangan normal {or} dan tegangan geser mobilize tt*} pada base center

dihitung menggunakan rumus berikut (Higdon, 1978):

Tagia tlagister

ofi

o 1 6 t F - o

= r I+ x l cos? f+ t s i t L lg

tf -tr

T =T cosZd- x Js rnZd

n t r y z

dimana:

o" : tegangan total arah x di base center

or: tegangan total arah y dt base center

qo, = tegangan geser arah x and y dt base center

0 : sudut yang diukur dari sumbu x positif ke garis dimana tegangan normal bekerja.

Garis dimana tegangan normal bekerja, tegak lurus terhadap garis singgung dasar

kepingan, sedangkan garis dimana tegangan geser bekerja sejajar dengan garis dasar

kepingan.

2,4. Analisis StstikEkuivalen dengrn Program Komputer PLAXIS

2.4.1. Material Model

Pemodelan Mohr-Coulomb (PerfechPlosticity)

Plastisitas berhubungan dengan regangan yang tidak kembali (irreversible).

Guna mengevaluasi apakah plastisitas teryadi atau tidak, sebuah fungsi keruntuhan f,

diperkenalkan sebagai fungsi tegangan dan regangan. Fungsi ini sering disajikan

sebagai suatu permukaan dalam tegangan utama. Model plastis sempuma adalah

model konstitutif dengan permukaan runtutr yang tetap (f,ued), yaitu permukaan

keruntuhan yang benar-benar ditentukan oleh parameter-parameter dan tidak

terpengaruh oleh regangan plastisnya. Untuk tegwgan tetap disajikan oleh titik-titk

dalam permukaan leleh, perilaku ini mumi elastis dan seluruh reganganoya kembali

ke kondisi semula (reversible).

Perilaku E lastic Perfectly-Plasdc

Prinsip dasar dari elastoplastis adalah regangan dan regangan dasar dibagi ke

dalam bagian elastis dan bagian plastis:

t : g!+qP 6 - 6 e a 6 P

Hukum Hook digunakan untuk mengaitkan tegangan dasar dan regangan dasar.

Tesie trlagister

BAB ll. Tiniauan Pustska ll -22

o ' : t t : g ( i - { )

Berdasarkan teori klasik plastisitas (Hill, 1950), regangan dasar plastis adalah

proporsional terhadap derivatif dari fungsi keruntuhan tegangan. FIal ini berati bahwa

regangan dasar plastis dapat disajikan sebagai vektor yang tegak lurus terhadap

permukaan leleh. Bentuk klasik dari teori ini menghubungkan dengan teori plastisitas

yang ada. Bagaimanapun , untuk tipe keruntuhan Mohr-Coulomb, teori plastisitas

terdahulu lebih memprediksi dilatansi. Dengan demikian, sebagai tarnbahan firngsi

keruntuhan, sebuah fungsi potensial plastis g diperkenalkan. Kasus g * f adalah

dinyatakan sebagni bukan plastisitas penuh. Pada umumnya, r€gangan dasar plastis

dituliskan sebagai:

i P = n a $Ao'

Dimana lpengali plastis. Pada perilaku elastis murni I : 0o sedangkan pada kasus

perilaku plastis L adalah positif

x. =a untuk f<0 atau: # 2'g<o @hsris)a-r T

x" >o untuk f=o dan: # { Ur, (plastis)

Gb.2.12. Ide dasar sebuah model elastic plastic sempuma

Persamaan-persarnaan ini digunakan unfuk menyatakan hubungan antua nilai

tegangan efektif dan nilai regangan pada elastoplastis (Smith & Griffith, 1982;

Vermeer & de Borst, 1984):

Teaie tagister

BAB fl- Tinieuan Puatgka ll-23

6 , : ( o r - " o e 0 g O f r p r l e

l : d : A o ' A o ' : f -\ - /

D, 9.L: a {

dimana:

. a f rd : :

o o '

Parameter a digunakan sebagai sebuah switch. Jika perilaku material elastis, nilai cr:

0, sebaliknya untuk plastis, nilai cr: 1.

Teori plastisitas diatas terbatas pada permt*aan keruntuhan yang halus dan tidak

berlaku pada permukaaan keruntuhan lebih dari satu (multi strface) seperti disajikan

dalam model Mohr-Coulomb. Untuk jenis keruntuhan demikian teori plastisitas

dikembangkan oleh Koiter (1960) dan yang lannya:

:D ^ og t ogz9' : tLI

A_ - 4Z

Un - ...

Dengan cara yang sama, beberapa fungsi keruntuhan independen (fi,f2,...) digunakan

untuk menentukan besamya bilangan pengali (gr, gz, ...).

Perumusan Model Mohr-Coulomb

Kondisi keruntuhan Mohr-Coulomb adalah kelanjuan dari hukum gesekan

Coulomb tentang kete{apan umum tegang;an. Pada kenyataannya kondisi ini

meyakinkan hukum gesekan Coulomb berlaku pada setiap bidang pada sebuah elemen

material.

Kondisi penuh keruntuhan Mohr-Coulomb dinyatakan dalam 3 fungsi

keruntuhan dimana dirumuskan dalam bsntuk tegangan utama:

f i : l loz" oj ' l+$(o2'+ oi ' ls in p 'ccnsp < 0

fz= $lo| - of l+t{ os ' + 6i )snp'ccosp 3 0

ft: +loi - o2'l+$( oi + o2')s:u.p-ccosp < a

Dua parameter model plastis yang muncul dalam fungsi keruntutran adalah sudut

geser g dan kohesi c. Fungsi-funpi keruntuhan memperlihatkan sebuah kerucut

hexagonal dalam numg tegangan utama seperti gambar dibawah ini.

Teais Magister

BAB fl. Tiniauan Pustaha ,l-24

-otr= -O'r*-O'a

Gb. 2.13. Permukaan keruntuhan Mohr-Coulomb dalam ruang tegangan utama (c : 0)

Sebagai tambahan pada fungsi kerunfirhan, 3 fungsi potensial plastis dinyatakan

dalam model Mohr-Coulomb:

g: +loz ' - o j ' l+$( o2' + os')snw

gz: $ lo3 ' ' o l l+$( os ' + 6 l )sny

&: + lo i ' o2 ' l+$( o i + oz ' )snvr

Fungssi potensial plastis terdiri dari sebuah parameter plastisitas, sudut

dilatansi ry. Parameter ini dibutuhkan untuk memodelkan perubahan regangan

volumetrik positif seperti kenyakan pada tanah Wdat.

Untuk c> 0, kriteria standar Mohr- Coulomb memperbolehkan tarik. Ternyata,

tegangan tarik ijin memhsar dengan kohesi. Pada kenyataannya, tanatr tidak menahan

atau hanya memiliki tahanan tarik yanga sangat kecil. Perilaku dernikian dapat

dilakukan dalam analisis PLAXIS dengan memasang sebuah tension eut-off. Pada

kasus seperti ini, lingkaran Mohr dengan tegangan utama negatif tidak diperbolehkan.

The tension cut-offmemprkenalkan 3 ambahan fungsi keruntuhan:

f+= 6t ' - or < 0

fs:c.2 ' - c l l ( 0

fo: c's'- or S 0

Ketika prosedur tension cut-off ini digunakan, tegangan tarik ijin [r ditentukan sama

dengan nol. Untuk 3 fungsi keruntuhan ini aturan aliran dipakai. Untuk tegangan

dasar berada di permukaan keruntuhan, perilakunya adalah elastis dan mengikuti

hukum Hook tentang isotropik elestis linier. Karena itu disamping parameter

-0'1

e

iTeeic tagieter

BAB ll. Tiniau?n Puetaka - ll -.25

plastisitas c, <p dany, input yang disyaratkan pada geser elastis adalatt modulus

Young's E danPoisson's ratio ry.

Parameter-Parameter Dasar Model Mohr-Coulom b

Model Mohr-Coulomb mensyaratkan 5 parameter, dimana umumnya

dihasilkan dari uji dasar contoh tanah. Parameter-parameter tersebut adalah:

modulus Young's tkN/m1

Poisson's ratio t-l

sudut geser fl

tkl.I/mtl

t'l

Modulus Young (E)

PLAXIS menggunakan modulus young sebagai dasar modulus kekakuan

dalam model elastis dan model Mohr-Coulomb, tetapi beberapa altematif moduli

diperlihatkan juga. Modulus kekakuan mempunyai dimensi dari tegangan.

Pengambilan nilai parameter kekakuan perlu dicermati karena banyak material tanalt

memperlihatkan perilaku nonJinier dari awal pembebanan. Dalam mekanika tanah

kemiringan awal di indikasikan sebagai Eo dan secan modulus pada 50o/o tegangan

dinotasikan.Oso. Untuk material dengan mnge linier elastik yang besar akan realistis

menggunakan Ea, tdapi unfuk beban tanatr umumnya menggunakan Eso. Dalarnloil

masalah tmloading, seperti kasus terowongan dan galian, lebih diperlukan Eu, dari

Wda Eio.

Untuk tanah-tanah, baik modulus unloading En" maupun modulus beban awal

Ee, cenderung naik bersama tekanan batas. Dengan demikian, lapisan tanah yang

dalam cenderung mempunyai kekakuan yang lebih besar dibanding lapisan yang

dangkal. Selain itrt, kekakuan tergantung pada garis tegangan yang ada. Dari

penelitian, kekakuan jauh lebih tinge untuk penarikan beban (unloading) dan

pembebanan kembali (reloading) dibanding pembebanan awal. Juga, kekakuan tanah

dalam bentuk modulus Young lebih rendah untuk tekan (mengalir : drained)

dibanding untuk geser. Sehingga ketika menggunakan konstanta nodulus kekakuan

untuk menggambarkan perilaku tanah, seharusnya dipilih sebuah nilai yang konsisten

dengan tingkat tegangan dan jalannya garis tegangan (stress path development).

E

v

ac

V

kohesi

sudut dilatansi

Tesis lrlagieter

BAB ll. Tinlauan Pusteka ll - 26

l o - o Il t 3 l

Gb.2.14. Definisi Eo danEso unfuk hasil uji drained standard triaxial

Poixon's ratio (r)

Uji-uji standard triaxial mengalami penurunan volume yang sigufikan pada

awal pembebanan dan konsekuensinya Polsson ratio (vs) nya rendah. Pada beberapa

kasus seperti masalah pelepasan beban sebagian, realistik menggunakan nilai rendah

tersebut, tetapi pada umumnya ketika menggunakan model Mohr-Coulomb,

p€nggunaan nilai yang lebih besar direkomendasikan.

Pemilihan Poisson's ratio cukup mudah ketika digunakan model elastis atau

Mohr-Coulomb, adalah pembebanan gravitasi (naiknya il,Iweight dari

0 ke I pada perhitungan plastis). Untuk jenis pembebanan ini PLAXIS memberikan

rasio yang realistis yaitu

IG=on/ ou.

o n l c u = v / ( 1 - v )

Untuk l-dimensi tekanan, mudah untuk memilih Poisson's ratio yang

menggambarkan nilai Ko yang realistis. Dengan demikian, v dievaluasi dengan

mencocokkan Ko. Pada banyak kasus diberikan nilai v antara 0,3 dan 0,4.

Kohesi (c/

Tahanan kohesi mempunyai dimensi tegangan. Untuk tanah non kohesif (c: 0),

PLAXIS menyarankan untuk memasukkan nilai yang kecil (c > 0,2 kPa).

I

Tesis illagister

Sudut Geser (p)

-ct 2 -o I stress

Crb. 2.15. Lingkaran teganganpada keruntuhan Coulomb

Secara umum, sudut geser menentukan tegiangan geser seperti terlihat pada

gambar lingkaran Molu. Penentuan kriteria keruntuhan lebih umum menggunakan

kriteria keruntuhan Mohr{oulomb karena lebih baik dibanding pendekatan Drueker-

Prager dimana kurang akurat untuk konfigurasi axisymmetric.

2.4.2. Masukan Analisis Statik Bkuivalen

Untuk menenfukan SF statik ekuivalen, sebagai masukan adalah percepatan di

permukaan tanah (ar,) atau lebih dikenal sebagai percepatan pseudostatik. Dalam

Plaxis, gaya pseudostatik akan aktif jika berat material sudak diaktifkan

( lttt "ight =t ). Untuk mengaktifkan keduanya maka lMaccet =1.

d^Zlfireight =l

I

Y

flalrwashr=t

c/phi reduction

cQhi reduction dikernl sebagai cara menentukan angka keamanan longsor pada Plaxis

dimana merupakan pendekatan parameter tegangan tan <p dan c tanah yang secara

berturut-turut menurun sampai keruntuhan terj adi.

Tesis ilagister

SF=tegangan.ijin = n il a t.2 ld,Sf . s aat .r unt uh

tegangan.saat.nmtuh

I usr - ffiQ*ou' = ""'H '

tanena,cea crefued

t

Tesic tagieter