DISTRIBUSI PROBABILITAS :Variabel Kontinyu

ARIF RAHMAN

1

Ruang Sampel dan Variabel AcakRuang sampel (sample space) adalah satu

set lengkap semua keluaran yang mungkin terjadi dalam populasi.

Variabel acak (random variable) adalah suatu nilai bersifat acak dalam numerik (format angka diskrit atau kontinyu) atau nonnumerik yang menandai keluaran dalam ruang sampel tertentu (finite atau infinite).

2

DistribusiDistribusi adalah sebaran variabel acak X

dalam ruang sampel S dengan rentang R yang mempunyai karakteristik unik (parameter atau statistik) dalam interval tertentu (finite atau infinite) dengan fungsi probabilitas yang spesifik.

3

Distribusi Empiris dan TeoritisDistribusi empiris (empirical distribution)

adalah distribusi sebaran data aktual dari observasi atau eksperimen dengan pengelompokan dalam distribusi frekuensi.

Distribusi teoritis (theoretical distribution) adalah distribusi sebaran variabel acak dalam rentang tertentu yang mengikuti fungsi probabilitasnya.

4

Fungsi ProbabilitasFungsi probabilitas menunjukkan tingkat

frekuensi relatif dari variabel acak X bernilai diskrit atau luasan frekuensi relatif dari interval variabel acak X bernilai kontinyu.

5

Probability Mass FunctionFungsi massa probabilitas (probability

mass function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas dari variabel acak diskrit pada nilai tertentu.

Jika X adalah sebuah variabel acak diskrit, penaksiran nilai probabilitas P(X=x)=p(x) untuk setiap x dalam rentang R di mana nilai p(x) memenuhi : p(x)>0 untuk seluruh xR p(x) = 1

6

Probability Density FunctionFungsi kepadatan probabilitas (probability

density function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas dari variabel acak kontinyu dalam interval tertentu.

Jika X adalah sebuah variabel acak kontinyu, penaksiran nilai probabilitas P(a<X<b)=abf(x) dx untuk setiap interval X dalam rentang R di mana nilai f(x) memenuhi : f(x)>0 untuk seluruh xR f(x) dx = 1

7

Cumulative Distribution FunctionFungsi distribusi kumulatif (cumulative

distribution function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas kumulatif dari variabel acak diskrit atau kontinyu hingga nilai tertentu.

Jika X adalah sebuah variabel acak, penaksiran nilai probabilitas P(X<b)= F(x) untuk setiap interval X dalam rentang R di mana nilai F(x) memenuhi : F(x) = bp(x) untuk variabel acak diskrit xR F(x) = -bf(x) dx untuk variabel acak kontinyu xR

8

Distribusi DiskritHubungan antara p(x) dengan F(x)

9

RxF

xpxXPxFxX

rentang dalam asprobabilit luntuk tota 1)( mana di

)()()(0

p(x) F(x)

Distribusi KontinyuHubungan antara f(x) dengan F(x)

10

RxF

dxxfxXPxFxX

rentang dalam asprobabilit luntuk tota 1)( mana di

)()()(

f(x) F(x)

Distribusi Continuous UniformDistribusi Continuous Uniform atau

Rectangular menunjukkan sebaran variabel acak dengan peluang keluaran berimbang (equally likely) dalam rentang tertentu antara a hingga b, X{a<x<b}.

Penerapan Distribusi Uniform Kontinyu antara lain untuk menunjukkan model awal kejadian acak antara a hingga b, sebaran sampel dalam rentang a hingga b.

11

Distribusi Uniform Kontinyu Parameter a (minimum) dan b (maximum) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

12

other

bxaabxf

0

1)(

f(x)

F(x)

bx

bxaabax

axxF

1)()(

0)(

Distribusi Uniform KontinyuDinotasikan dengan U(x;a,b)Parameter a dan bMean

Variance

13

2ba

12)( 2

2 ab

Distribusi TriangularDistribusi Triangular menunjukkan

sebaran variabel acak dengan peluang berubah linier dalam rentang tertentu antara a hingga c, X{a<x<c} dan memiliki modus pada nilai b.

Penerapan Distribusi Triangular antara lain untuk menunjukkan model kasar kemunculan kejadian acak antara a hingga c dengan pemusatan modus pada b.

14

Distribusi Triangular Parameter a (minimum), b (mode) dan c (maximum) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

15

other

cxbbcac

xc

bxaabac

ax

xf

0))((

)(2))((

)(2

)(f(x)

F(x)

cx

cxbbcac

xb

bxaabac

axax

xF

1))((

)(1

))(()(

0

)( 2

2

Distribusi TriangularDinotasikan dengan TRIA(x;a,b,c)Parameter a, b dan cMean

Variance

16

3cba

18

2222 bcacabcba

Distribusi ExponentialDistribusi Exponential menunjukkan

sebaran variabel acak yang menyatakan waktu antar kejadian sukses (interarrival time) dari proses Poisson dengan laju . Variabel acak dalam rentang sangat dekat (0) sampai tak hingga (), X{0<x<}.

17

Distribusi ExponentialPenerapan Distribusi Exponential antara

lain untuk menunjukkan waktu antar kejadian sukses proses Poisson dengan laju konstan , waktu antar kedatangan, waktu antar kerusakan, waktu antar pesanan.

18

Distribusi Exponential Parameter (rate of occurences) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

19

otherxe

xfx

00.

)(.

f(x)

F(x)

0100

)( . xex

xF x

Distribusi ExponentialDinotasikan dengan EXPO(x;)Parameter Mean

Variance

20

1

22 1

Distribusi Exponential Parameter (scale) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

21

other

xexf

x

0

0)(

/

f(x)

F(x)

0100

)( / xex

xF x

Distribusi ExponentialDinotasikan dengan EXPO(x;)Parameter Mean

Variance

22

22

Distribusi ExponentialHubungan antara Distribusi Exponential

dengan Distribusi Poisson. Hingga saat T=t tidak terdapat satu kejadian

sukses proses Poisson, maka P(N(t)=0) berdistribusi Poisson ekuivalen dengan P(T>t) berdistribusi Exponential.

23

tt

tt

ee

etetTPttNP

tTPtNP

..

.0.

)1(1!0

).()(1).,0)((

)()0)((

Distribusi ExponentialHubungan antara Distribusi Exponential

dengan Distribusi Poisson. Jika waktu antar kejadian sukses proses

Poisson sebesar T<t, sehingga dalam selang t minimal terdapat satu kejadian yang terjadi, maka P(N(t)>1) berdistribusi Poisson ekuivalen dengan P(T<t) berdistribusi Exponential.

24

tt

tt

ee

etetTPttNPtTPtNP

..

.0.

11

)1(!0

).(1

)().,0)((1)()1)((

Distribusi ExponentialDistribusi Exponential ekuivalen dengan

Distribusi Gamma pada saat parameter shape () bernilai 1.

Distribusi Exponential ekuivalen dengan Distribusi Weibull pada saat parameter shape () bernilai 1.

25

Distribusi ExponentialDistribusi Erlang merupakan multiplikasi

variabel acak (x1+x2+...+xm) dari Distribusi Exponential

Distribusi Exponential ekuivalen dengan Distribusi Erlang pada saat parameter multiplication (m) bernilai 1.

26

Distribusi Double Exponential atau Laplace Parameter (scale) dan (location) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

27

xexf

x

.2

)(

)(

f(x)

F(x)

xe

xe

xF x

x

21

2)(

)(

Distribusi Double ExponentialDinotasikan dengan DBLEXPO(x;,)Parameter , Mean

Variance

28

22 2

Distribusi GammaDistribusi Gamma menunjukkan sebaran

variabel acak yang menyatakan waktu yang diperlukan untuk memperoleh sejumlah () kejadian sukses dari proses Poisson dengan laju atau 1/. Variabel acak dalam rentang sangat dekat (0) sampai tak hingga (), X{0<x<}.

29

Distribusi GammaPenerapan Distribusi Gamma antara lain

untuk menunjukkan waktu yang diperlukan untuk memperoleh sejumlah kejadian sukses proses Poisson dengan laju konstan , waktu menghimpun sejumlah kedatangan, waktu penyelesaian beberapa tugas, waktu antar kerusakan, waktu pengerjaan.

30

Distribusi GammaFungsi Gamma, () didefinisikan dengan

Untuk bilangan bulat positif maka

Untuk =1/2 maka

31

)1().1()(

0untuk )(0

1

dxex x

)!1()(

)(

Distribusi Gamma Parameter (shape) dan (rate of occurences) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

32

0

1

.1

)!1()( positifbulat jikadan )( mana di

0

0)()(

dxex

other

xexxf

x

x

f(x)

F(x)

0)(

00)(

0

xdiif

xxF

x

Distribusi GammaDinotasikan dengan GAMMA(x;,) Parameter dan Mean

Variance

33

22

Distribusi Gamma Parameter (shape) dan (scale) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

34

0

1

/1

)!1()( positifbulat jikadan )( mana di

0

0)()(

dxex

other

xexxf

x

x

f(x)

F(x)

0)(

00)(

0

xdiif

xxF

x

Distribusi GammaDinotasikan dengan GAMMA(x;,) Parameter dan Mean

Variance

35

.

22 .

Distribusi GammaHubungan Distribusi Gamma dengan

Distribusi Exponential Pada saat nilai =1, Distribusi Gamma (1,)

sama dengan Distribusi Exponential () Jika X1,X2,...,Xm adalah m variabel acak

independen berdistribusi Exponential (), maka jumlah X1+X2+...+Xm adalah variabel acak berdistribusi Gamma (m,) dengan = m

36

Distribusi GammaDistribusi Gamma sebagai gabungan

(compound) Distribusi Gamma Jika 1,2,...,m adalah m parameter shape

independen variabel X1,X2,...,Xm berdistribusi Gamma (i,), maka jumlah X1+X2+...+Xm adalah variabel acak berdistribusi Gamma (1+2+...+m,)

37

Distribusi Erlang atau Gamma (m,) Parameter m (number of events) dan (scale) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

38

positifbulat mana di0

0)!1()(

/1

mother

xm

exxf

xmm

f(x)

F(x)

0!

1

00)( 1

0

/ xj

e

xxF m

j

jxx

Distribusi ErlangDinotasikan dengan ERLANG(x;m,) Parameter m dan Mean

Variance

39

.m

22 . m

Distribusi Chi-Square atau Gamma (/2,2) Parameter =/2 dan =2 Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

40

f(x)

F(x)

0)(

00)(

0

xdiif

xxF

x

other

xexxf

x

0

0)(

2)(

2/1

Distribusi Chi-SquareDinotasikan dengan CHISQR(x;,) Parameter =/2 dan =2Mean

Variance

41

22

Distribusi WeibullDistribusi Weibull menunjukkan sebaran

variabel acak sebagai pendekatan hukum probabilitas beberapa variabel acak. Variabel acak dalam rentang sangat dekat (0) sampai tak hingga (), X{0<x<}.

42

Distribusi WeibullPenerapan Distribusi Weibull antara lain

untuk menunjukkan waktu yang diperlukan untuk memperoleh sejumlah kejadian sukses, waktu menghimpun sejumlah kedatangan, waktu penyelesaian beberapa tugas, waktu antar kerusakan, waktu pengerjaan.

43

Distribusi Weibull Parameter (shape) dan (rate of occurences) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

44

otherxexxf

x

00..)(

).(1

f(x)

F(x)

0)(

00)(

0

xdiif

xxF

x

Distribusi WeibullDinotasikan dengan WEIBULL(x;,) Parameter dan Mean

Variance

45

11.

1

2

22 1121

Distribusi Weibull Parameter (shape) dan (scale) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

46

otherxexxf

x

00.)(

)/(1

0100

)( )/( xex

xF x

F(x)

f(x)

Distribusi WeibullDinotasikan dengan WEIBULL(x;,) Parameter dan Mean

Variance

47

1

222 1122

Distribusi WeibullHubungan Distribusi Weibull dengan

Distribusi Exponential Pada saat nilai =1, Distribusi Weibull (1,)

sama dengan Distribusi Exponential () Jika X adalah variabel acak berdistribusi

Exponential ( ), maka jumlah X adalah variabel acak berdistribusi Weibull (,)

48

Distribusi Weibull Parameter (shape), (scale) dan (location) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

49

otherxexxf

x

0)(.)(

)/)((1

xex

xF x )/)((10

)(

f(x)

F(x)

Distribusi WeibullDinotasikan dengan WEIBULL(x;,,) Parameter , dan Mean

Variance

50

11.

222 1121.

Distribusi Rayleigh atau Weibull (2,) Parameter =2 (shape) dan (scale) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

51

otherxexxf

x

00..2)(

2)/(2

f(x)

F(x)

0100

)( 2)/( xex

xF x

Distribusi RayleighDinotasikan dengan RAYLEIGH(x;) Parameter =2 dan Mean

Variance

52

2

22

2

22

Distribusi BetaDistribusi Beta menunjukkan sebaran

variabel acak dengan dua parameter shape (1 dan 2) sebagai pendekatan hukum probabilitas dua variabel acak. Variabel acak dalam rentang 0 hingga 1, X{0<x<1}.

53

)).(()2).((

)).(()2).((

2

1

acbcabc

acbcaba

Distribusi BetaPenerapan Distribusi Beta antara lain untuk

menunjukkan model kasar ketiadaan data, distribusi proporsi random, proporsi cacat item dalam batch, waktu penyelesaian tugas dalam PERT.

54

bcxacba modusdan jika 6.4

Distribusi BetaFungsi Beta, B(1,2) didefinisikan dengan

55

)()().(),(

0dan 0untuk )1(),(

21

2121

21

1

0

1121

21

dxxx

)).(()2).((

)).(()2).((

2

1

acbcabc

acbcaba

Distribusi Beta Parameter 1 (shape1) dan 2 (shape2) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

56

)()().(),( mana di

0

10),(

)1()(

21

2121

21

11 21

other

xxxxf

f(x)

F(x)

0)(

00)(

0

xdiif

xxF

x

Distribusi BetaDinotasikan dengan BETA(x;1,2) Parameter 1 dan 2

Mean

Variance

57

21

1

1212

21

212

Distribusi BetaHubungan Distribusi Beta dengan Distribusi

Continuous Uniform Variabel acak berdistribusi Uniform (0,1) adalah

variabel acak berdistribusi Beta (1,1)Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi

Triangular Variabel acak berdistribusi Triangular (0,0,1)

adalah variabel acak berdistribusi Beta (1,2) Variabel acak berdistribusi Triangular (0,1,1)

adalah variabel acak berdistribusi Beta (2,1)

58

Distribusi BetaHubungan Distribusi Beta dengan Distribusi

Gamma Jika X1 dan X2 adalah dua variabel acak

independen berdistribusi Gamma (i,), maka nilai X1/(X1+X2) adalah variabel acak berdistribusi Beta (1,2)

59

Distribusi Beta Parameter a (minimum), b (maximum), 1 (shape1)

dan 2 (shape2) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

60

)()().(),( mana di

0),(

)()()(

21

2121

21

11 21

other

bxaxbaxxf

axdiif

axxF

x

a

)(

0)(

f(x)

F(x)

Distribusi BetaDinotasikan dengan BETA(x;a,b,1,2) Parameter a, b, 1 dan 2

Mean

Variance

61

).(

21

1 aba

1212

21

212

62

Pendekatan Distribusi KontinyuPendekatan Distribusi Exponential pada variabel

acak berdistribusi Geometric saat probabilitas sukses sangat kecil (limit p0)

Pendekatan Distribusi Gamma pada variabel acak berdistribusi Negative Binomial saat probabilitas sukses sangat kecil (limit p0)

63

Dist. Exponential Dist. GeometricVariabel acak distribusi Exponential dapat ditinjau

sebagai bentuk pendekatan distribusi Geometric dengan mengasumsikan selang antar trial ekuivalen dengan satu satuan waktu (continuum), saat probabilitas sukses sangat kecil (limit p0), maka probabilitas kejadian sukses (p) ekuivalen dengan laju kejadian sukses () atau kebalikan scale (1/) yang menjadi parameter distribusi Exponential.

64

Dist. Exponential Dist. Geometric

65

pxE

p

11)(lim0

/

.

0

0

1

1)(lim

)1(1)(lim

x

x

p

x

p

e

exXP

pxXP

an

neaaa

na

...

!3!211lim

32

Dist. Exponential Dist. GeometricDist. ExponentialMean

Variance

Dist. GeometricMean

Variance

66

1

1p

22

22

)1(

)1(

pp

apap

)(lim0

1

222 1

pp

11lim0

Dist. Gamma Dist. Negative BinomialVariabel acak distribusi Gamma dapat ditinjau

sebagai bentuk pendekatan distribusi Negative Binomial dengan mengasumsikan selang antar trial ekuivalen dengan satu satuan waktu (continuum), saat probabilitas sukses sangat kecil (limit p0), maka probabilitas kejadian sukses (p) ekuivalen dengan kebalikan scale (1/) dan banyaknya sukses (s) ekuivalen dengan shape () yang menjadi parameter distribusi Gamma.

67

Dist. Gamma Dist. Negative Binomial

68

pxE

p

11)(lim0

x y

x y

p

x

si

sis

p

dyex

dyexxXP

ppsi

xXP

0

/10

.1

0

0

)(

)()(lim

)1(11

)(lim

an

neaaa

na

...

!3!211lim

32

Dist. Gamma Dist. Negative BinomialDist. GammaMean

Variance

Dist. Negative BinomialMean

Variance

69

.

ps

22

22

.)1.(

)1.(

pps

apap

)(lim0

.

222 .

pp

11lim0

s

70

71

Terima kasih ...Terima kasih ...

... Ada pertanyaan ???... Ada pertanyaan ???