Bab IV | 1

BAB IV

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

Bab IV | 2

Standar Kompetensi:.

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linier

dan fungsi kuadrat

Kompetensi Dasar:

1. Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi

2. Menerapkan konsep fungsi linier 3. Menggambar fungsi kuadrat

4. .Menerapkan konsep fungsi kuadrat

5. Menerapkan konsep fungsi eksponen

6. Menerapkan konsep fungsi logaritma

7. Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Prasyarat

Kemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari bagian ini adalah

mahasiswa telah mempelajari dan mengerti konsep dasar-dasar penjumlahan,

pengurangan, perkalian, perpangkatan, pembagian bilangan real, persamaan

dan pertidaksamaan

Indikator Kinerja:

1. Membedakan konsep relasi dan fungsi dengan jelas

2. Menguraikan jenis-jenis fungsi dan Menunjukkan contohnya

3. Menggambar grafik fungsi linier

4. Menentukan persamaan fungsi linier jika diketahui koordinat titik atau

gradien atau grafiknya.

5. Menentukan fungsi invers dari suatu fungsi linier

6. Menggambar grafik fungsi kuadrat

7. Menentukan persamaan fungsi kuadrat

8. Menggambar grafik fungsi kuadrat melalui titik ekstrim dan titik potong

pada sumbu koordinat

9. Menerapkan fungsi kuadrat untuk menentukan nilai ekstrim

Bab IV | 3

10. Menggambar grafik fungsi eksponen.

11. Menentukan persamaan fungsi eksponen, jika diketahui grafiknya

12. Mendeskripsikan fungsi logaritma sesuai dengan ketentuan

13. Menguraikan sifat-sifat fungsi logaritma

14. Menggambar grafik fungsi logaritma

Kerangka Isi Fungsi Dan Grafik Fungsi

Relasi dan Fungsi mempelajari

Terdiri atas

Terdiri atas

Terdiri atas

Terdiri atas

1. Konsep fungsi logaritma

2. Menggambar grafik logaritma

3. Menentukan persamaaan fungsi logaritma

4. Penerapan fungsi logaritma dalam bidang

Fungsi Logaritma

1. Konsep fungsi eksponen 2. Menggambar grafik

fungsi eksponen 3. Menentukan persamaaan

fungsi eksponen 4. Penerapan fungsi

eksponen dalam bidang teknik

Fungsi Eksponen

1. Konsep fungsi kuadrat

2. Menggambar grafik fungsi kuadrat

3. Harga ekstrim 4. Menentukan

persamaaan fungsi kuadrat

5. Penerapan fungsi kuadrat dalam bidang teknik

Fungsi Kuadrat

1. Konsep fungsi linier 2. Menggambar grafik

fungsi linier 3. persamaan fungsi

linier jika diketahui koordinat titik atau gradien atau grafiknya

4. invers dari suatu fungsi linier

Fungsi Linier

Bab IV | 4

Uraian Materi Fungsi dan Grafik Fungsi

4.1 Fungsi Dalam berbagai aplikasi, korespondensi/hubungan antara dua himpunan

sering terjadi. Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi

334 rV S . Contoh yang lain, tempat kedudukan titik-titik ),( yx yang jaraknya 1

satuan dari titik pangkal O adalah 122 yx . Ada hal penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan himpunan semua absis lebih dari atau

sama dengan 1 dan kurang dari atau sama dengan 1, sedangkan Y himpunan ordinat lebih dari atau sama dengan 1 dan kurang dari atau sama dengan 1. Maka elemen-elemen pada X berkorespondensi dengan satu atau lebih elemen pada Y. Selanjutnya,

korespondensi 122 yx disebut relasi dari X ke Y. Secara umum, apabila A dan B masing-masing himpunan yang tidak kosong maka relasi dari A ke B

didefinisikan sebagai himpunan tak kosong BAR u .

A B Gambar 4.1 Relasi dari himpunan A ke B

Jika R adalah relasi dari A ke B dan Ax berelasi R dengan By maka

ditulis:

)(atauatau),( aRbaRbRba Apabila diperhatikan secara seksama, ternyata dua contoh di atas mempunyai

perbedaan yang mendasar. Pada contoh yang pertama setiap 0!r menentukan tepat

a1 a2 a3

b1 b2 b3 b4

Bab IV | 5

satu 0!V . Sementara pada contoh yang ke dua, setiap ]1,1[x berelasi dengan beberapa (dalam hal ini dua) nilai ]1,1[x yang berbeda. Relasi seperti pada contoh pertama disebut fungsi.

Definisi 4.1.1 Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap Ax berelasi R dengan tepat satu By maka R disebut fungsi dari A ke B.

Jadi, relasi R dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap Ax terdapat tepat satu By sehingga )(aRb .

Sebagai contoh, misalkan ^ ` ^ `6,3dan2,1 YX . Himpunan ^ `)3,2(),3,1( merupakan fungsi dari X ke Y, karena setiap anggota X berelasi dengan tepat satu

anggota Y. Demikian pula, himpunan ^ `)3,2(),6,1( merupakan fungsi dari X ke Y. Sementara himpunan ^ `)3,2(),6,1(),3,1( bukan merupakan fungsi dari X ke Y, karena ada anggota X, yaitu 1, yang menentukan lebih dari satu nilai di Y.

Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst. Selanjutnya, apabila

f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:

f : A o B Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah

asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f.

Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df, dan apabila tidak disebutkan maka

disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesar di dalam R sehingga f

terdefinisikan atau ada. Jadi:

^ `)ikanterdefinis(ada)(: xfxD f R

Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range

atau daerah hasil fungsi f, ditulis fR atau Im(f) (Perhatikan Gambar 2.1.2).

Bab IV | 6

Jika pada fungsi f : A o B , sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan y merupakan bayangan x oleh f atau y merupakan nilai fungsi f di x dan ditulis y = f(x).

A B

Gambar 4.3 f fungsi dari himpunan A ke B.

Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak

bebas. Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.

Contoh 4.1 Tentukan domainnya.

a. 2

1)(

x

xf b. 1

)( 2

xxxf c.

)6ln(5

1)( 2

xxx

xf

Penyelesaian:

a. Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena itu,

^ ` }2{02:ikanterdefinis2

1: z

RRR xxx

xD f

fR

Gambar 4.2

x

y f

A B

Bab IV | 7

b. Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif,

maka:

^ ` ).,1(]0,1(1atau01:0

1:ada

1:

22

f !d

t

xxxx

xxx

xxD f

R

RR

c. Suatu jumlahan memiliki arti apabila masing-masing sukunya terdefinsikan.

Sehingga:

^ `^ `^ ` ^ `)3dan5:atau2dan5:

)3atau2(dan5:0)6(dan05:

ada)6ln(danada5

1:

ada)6ln(5

1:

2

2

2

!zz !z

!z

xxxxxxxxxx

xxxx

xxx

x

xxx

xD f

RRRR

R

R

= ),3()2,5()5,( ff

Contoh 4.2 Jika )1(3)( 2 xxxf , maka tentukan: a. )1(f b. )2( xf c. )1( xf d. )( xxf ' Penyelesaian:

a. 2)11()1.(3)1( 2 f .

b. )2(112123)2(1)2(3)2( 22 xxxxxxf .

c. xxx

xxf 22 311)1.(3)1( .

d. )(1)(.63)(1).(3)( 222 xxxxxxxxxxxxf '''''' .

a. Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif Berikut diberikan beberapa fungsi yang memenuhi syarat-syarat tertentu

. Diberikan fungsi BAf o: . (i). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan

A, maka f disebut fungsi surjektif atau fungsi pada (onto function).

Bab IV | 8

Gambar 4.1.4 f fungsi surjektif dari himpunan A ke himpunan B

(ii). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya

tunggal, maka f disebut fungsi injektif atau fungsi 1-1 (into function).

A B

(iii). Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f

disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa

korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.

A B

Grafik fungsi linier banyak digunakan dalam keadaan sehari-hari. Contoh, pada

gambar di

a a a a

b1 b2 b3

a1 a2 a3

b1 b2 b3 b4 b5

a1 a2 a3 a4

b1 b2 b3 b4

A B

Gambar 4.1.5 Fungsi injektif dari A ke B

Gambar 41.6 Korespondensi 1 1.

Bab IV | 9

samping, grafik fungsi linier digunakan untuk menyatakan hubungan antara waktu

(time), dalam menit (minutes), dengan jarak (distance), dalam kilometer (km).

4.2 Fungsi Linier

Fungsi linier mempunyai persamaan y ax + b, a, b R dan a z 0. Grafik fungsi linier berupa garis lurus. Untuk menggambar grafik fungsi linier ada dua cara,

yaitu: dengan tabel dan dengan menentukan titik potong pada sumbu x dan

sumbu y.

Contoh:

Gambarlah grafik fungsi y 2x + 2 Penyelesaian:

1. Dengan tabel

x 1 0 1 y 2x + 2 0 2 4

2. Dengan titik potong sumbu x dan sumbu y

Persamaan garis y 2x + 2 Titik potong grafik dengan sumbu x:

syarat y 0 o 0 2x + 2 2x 2 x 1 sehingga titik potong grafik dengan sumbu x adalah ( 1,0) Titik potong grafik dengan sumbu y:

syarat x 0 o y 2 . 0 + 2 2 sehingga titik potong grafik dengan sumbu y adalah ( 0,2)

Dari tabel diperoleh titiktitik berupa

pasangan koordinat, kita gambar titik

tersebut dalam bidang kartesius

kemudian dihubungkan sehingga

tampak membentuk garis lurus.

(gambar 2.6)

0 1 2 3 4

1 x 1

x

X

Y

Gb. 4.6. grafik fungsi linier

2 3 4 x

y 2x + 2

Bab IV | 10

Kedua titik potong tersebut digambar dalam bidang kartesius kemudian

dihubungkan sehingga tampak membentuk garis lurus (gambar 2.7).

1. Gradien

Persamaan garis biasa juga ditulis y mx + c, dengan m, c . Dalam hal ini m dan c adalah konstanta, dengan m melambangkan gradien (koefisien

arah) garis lurus.

Gradien adalah konstanta yang menunjukkan tingkat kemiringan garis.

Dilihat dari gambar 2.8 maka m dapat dicari sebagai berikut:

Pada gambar 2.8, misalkan D adalah sudut antara garis horisontal (sejajar sumbu x) dan grafik fungsi linier dengan arah putaran berlawanan arah

12

12

12

12xx

xfxfxxyy

xym

'

'

0 1 2 3 4

4

3

2

1 x 1

x

X

Y

Gb. 4.7. Grafik fungsi linier

y 2x + 2

x

x

X

Y

Gb. 4.8. Gradien

x1 x2

y2

y1

y

x

D

O

Bab IV | 11

y y1 m (x x1)

dengan arah putaran jarum jam, maka gradien dapat pula didefinisikan

dengan D '' tan

xym .

Jadi m = tan D

Sebagai catatan bahwa

a) Jika m 0 maka grafik sejajar dengan sumbu x dan ini sering disebut sebagai fungsi konstan.

b) Jika m ! 0 maka grafik miring ke kanan (0q D 90q) c) Jika m 0 maka grafik condong ke kiri (90q D 180q)

2. Menentukan persamaan garis melalui satu titik dan bergradien m

Misalkan garis y mx + c melalui titik P(x1,y1), setelah titik (x1,y1) disubstitusikan ke persamaan garis tersebut diperoleh:

y mx + c y1 mx1 + c

y y1 m (x x1) Jadi rumus persamaan garis melalui titik P(x1,y1) dan bergradien m adalah

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui P(3,9) dan bergradien 6.

Penyelesaian:

Titik P(3,9) dan gradien m 6 disubstitusikan ke persamaan diatas y y1 m(x x1)

y 9 6(x 3) y 6x 18 +9 y 6x 9 Jadi persamaan garisnya adalah y 6x 9.

3. Menentukan persamaan garis melalui dua titik

Persamaan garis melalui dua titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) dapat dicari dengan

langkah sebagai berikut:

Bab IV | 12

12

1

12

1xxxx

yyyy

persamaan garis melalui titik A(x1,y1) dan dengan memisalkan gradiennya m

adalah

y y1 m (x x1) . (i) karena garis ini juga melalui titik B(x2,y2), maka y2 y1 m (x2 x1), sehingga diperoleh gradien

12

12xxyym

. (ii)

persamaan (ii) disubstitusikan ke (i) diperoleh 12

1

12

1xxxx

yyyy

Jadi persamaan garis melalui dua titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) adalah

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1,6) dan (3,8).

Penyelesaian:

Kedua titik (1,6) dan (3,8) disubstitusikan ke persamaan garis melalui dua

titik.

12

1

12

1xxxx

yyyy

131

686

xy

2

12

6 xy

y 6 x 1 y x + 5 Jadi persamaan garisnya adalah y x + 5

4. Menentukan titik potong antara dua garis

Misalkan dua garis g1 dan g2 saling berpotongan di titik P(x,y), maka nilai x

dan y harus memenuhi kedua persamaan garis tersebut. Titik potong dua

garis dapat dicari dengan metode substitusi atau eliminasi.

Contoh:

Bab IV | 13

Tentukan titik potong dari dua garis g1: y 3x + 2 dan g2: y x + 8 Penyelesaian:

Soal di atas dapat diselesaikan dengan 2 metode

a. Metode substitusi

Nilai y pada persamaan g2 diganti dengan nilai y persamaan g1

y x + 8 3x + 2 x + 8 2x 6 x 3 x 3 dimasukkan ke persamaan g2 diperoleh y x + 8 3 + 8 11 jadi titik potong g1: y 3x + 2 dan g2: y x + 8 adalah (3,11)

b. Metode eliminasi

Metode eliminasi dilakukan dengan menyamakan koefisien salah satu

variabel untuk menghilangkan salah satu variabel lainnya. Karena kedua

persamaan tersebut memiliki koefisien variabel y yang sama maka

langsung dieliminasikan

y 3x + 2 x 3 dimasukkan ke persamaan g2 y x + 8 y x + 8 3 + 8 11 0 2x 6

2x 6 o x 3

jadi titik potong g1: y 3x + 2 dan g2: y x + 8 adalah (3,11) Catatan:

a. Garis g1 yang bergradien m1 dikatakan sejajar dengan g2 yang

bergradien m2 jika memenuhi m1 m2 Contoh:

Apakah garis y 5x + 12 sejajar dengan y 5x 8 Penyelesaian:

Karena m1 m2 5 maka kedua garis tersebut sejajar.

+

Bab IV | 14

b. Garis g1 yang bergradien m1 dikatakan tegak lurus dengan g2 yang

bergradien m2 jika memenuhi m1 . m2 1 Contoh:

Apakah garis 2y 6x + 12 dan 9y 3x + 8 saling tegak lurus? Penyelesaian:

g1: 2y 6x + 12 y 3x + 6 m1 3

g2: 9y 3x + 8 y 98

31 x m2

31

m1 . m2 3 .

31 1 sehingga kedua garis saling tegak lurus.

4.3 Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y ax2 + bx + c dengan a, b, c R dan a z 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola maka sering juga disebut fungsi parabola.

Jika a ! 0 , parabola terbuka ke atas sehingga mempunyai titik balik minimum (gambar 2.9.a)

Jika a 0 , parabola terbuka ke bawah sehingga mempunyai titik balik maksimum (gambar 2.9.b)

Langkahlangkah menggambar grafik fungsi kuadrat y ax2 + bx + c : 1. Menentukan pembuat nol fungsi o y 0 atau f(x) 0

Gb. 2.9.a. grafik parabola

Y

X

P(x,y)

O

Gb. 2.9.b. grafik parabola

Y

X

P(x,y)

O

Bab IV | 15

Pembuat nol fungsi dari persamaan kuadrat y ax2 + bx + c diperoleh jika ax2 + bx + c 0. Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi ax2 + bx + c 0.

2. Menentukan sumbu simetri abx

2

3. Menentukan titik puncak P (x, y) dengan abx

2 dan

ay

4D

Dengan nilai diskriminan D b2 4ac. Jika ditinjau dari nilai a dan D maka sketsa grafik parabola sebagai berikut:

a < 0, D > 0

a < 0, D 0

a < 0, D < 0

a > 0, D > 0

a > 0, D 0

a > 0, D < 0

Catatan:

persamaan kuadrat ax2 + bx + c 0 dapat dicari akarakarnya dengan: Pemfaktoran Kuadrat sempurna

Rumus abc: x12 a

acbb2

42 r

Contoh:

Gambarlah sketsa grafik fungsi y x2 6x + 8 Penyelesaian:

a. Menentukan pembuat nol fungsi

Dengan pemfaktoran diperoleh

Definit positif

Definit negatif

X2 X1 x x

X2 X1 x x

X1 X2

x

X1 X2 x

Bab IV | 16

Y

X 1 x 2 3

x 4

1 0

x

Gb. 4.10. contoh grafik parabola

x2 6x + 8 0 (x 2) (x 4) 0 x 2 atau x 4

b. Menentukan sumbu simetri

326

1. 2)6(

2

abx

c. Menentukan titik puncak P (x, y)

Karena x sudah dicari maka tinggal mencari nilai y dengan substitusi x 3 ke fungsi y diperoleh

y 32 6(3) + 8 9 18 +8 1 Jadi puncaknya adalah titik (3,1).

Sehingga sketsa grafiknya adalah

4.4 Fungsi Eksponensial

Misal a bilangan riel positif yang tidak sama dengan 1, maka untuk setiap bilangan

riel x dapat ditentukan bilangan riel ax yang tunggal. Dengan demikian f: x -> ax

merupakan suatu fungsi yang memetakan x ke ax. Karena x pada ax merupakan

pangkat atau eksponen, maka f: x -> ax disebut fungsi eksponen.

Jadi untuk 1,0 z! aa , fungsi f dengan rumus: f(x) = ax

Bab IV | 17

disebut fungsi eksponensial. Grafik fungsi eksponensial diperlihatkan pada gambar

berikut:

Grafik y = ax, untuk a > 1, memiliki sifat-sifat:

x terdefinisi untuk semua x R; x jika x bernilai kecil sekali dan bertanda negatip maka y mendekati nol

dan

x bertanda positip; x jika x bernilai besar sekali dan bertanda positip maka y bernilai besar

sekali dan

x bertanda positip; x untuk x = 0 , y = 1.

Grafik y = ax, untuk a < 1, memiliki sifat-sifat:

x terdefinisi untuk semua x R; x jika x bernilai kecil sekali dan bertanda negatip maka y besar sekali

dan bertanda positip;

x jika x bernilai besar sekali dan bertanda positip maka y bernilai mendekati nol dan bertanda positip;

1, ! aay x 10, aay x

1

Gambar 4.2.13

Bab IV | 18

x untuk x = 0 , y = 1.

Contoh:

Gambarlah grafik dari y = 2x.; x R Penyelesaian:

Untuk menggambar grafik dari y = 2x terlebih dahulu dibuat tabel harganya

sebagai berikut:

x

..

-2 -1 21

0 21

1 2 3

.

y=2x

0.25 0.5 0.7071068 1 1.414214 2 4 8

Gambarlah grafik dari x

21

; x R

Penyelesaian:

Untuk menggambar grafik dari x

21

terlebih dahulu dibuat tabel harganya

sebagai berikut:

Bab IV | 19

4.5 Fungsi Logaritma

Untuk 1,0 z! aa , ya axxy log . Sebagai contoh:

2731karena327log82karena38log

331

32

Selanjutnya, fungsi f dengan rumus:

xxf a log)(

disebut fungsi logaritma. Dalam hal ini ^ `0: ! xxD f R . Grafik fungsi logaritma diperlihatkan pada gambar dibawah.

Bab IV | 20

Grafik y = alog x, untuk 0 < a < 1, memiliki sifat-sifat:

x terdefinisi untuk semua x >0;

x jika x mendekati nol maka y besar sekali dan bertanda positip;

x untuk x = 1, y = 0

x untuk x lebih besar dari 1, y berharga negatip. Jika x semakin besar, maka y semakin kecil;

Grafik y = alog x, a > 1, memiliki sifat-sifat:

x terdefinisi untuk semua x >0;

x jika x mendekati nol maka y kecil sekali dan bertanda negatip;

x untuk x = 1, y = 0

x duntuk x lebih besar dari 1, y berharga positip. Jika x semakin besar, maka y semakin besar pula;

1,log ! axy a

10,log axy a

1

Gambar 2.2.14