FUNGSI DEFINISI FUNGSI RIIL DOMAIN & RANGE GRAFIK FUNGSI OPERASI FUNGSI FUNGSI KOMPOSIT FUNGSI 1-1, PADA, BIJEKTIF FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL FUNGSI INVERS CONTOH DAN LATIHAN FUNGSI NILAI MUTLAK DAN BILANGAN BULAT TERBESAR

BAB 2

Definisi fungsiPandang A dan B dua himpunan tidak kosong, dengan A, B . Sebuah fungsi f dari A ke B dinotasikan : f : AB adalah suatu aturan yang mengkaitkan setiap unsur xA dengan tepat satu dan Unsur satu unsur yB. dengan unsur x di hanya y yang berkaitan notasikan sebagai y = f(x) yang dinamakan aturan fungsi f. Selanjutnya, x disebut variabel bebas dan y disebut variabel terikat. Himpuan A disebut domain dan himpunan B disebut co-domain. Sedangkan

Diagram Venn untuk fungsi f : ABA B

range

B = coA= domain domain Perhatikan bahwa, setiap unsur x didalam A melepas sebuah anakpanah dan mengenai satu dan hanya satu sasaran unsur y didalam B. Boleh jadi beberapa anak panah mengenai sasaran yang sama (panah x2 dan x4 ; panah x3 dan x5)

Ilustrasi 1

Disewakan

Rp.5000 + Rp 10000 / Jam Hubungi : 0813420001xxx

Buat persamaan fungsi yang menggambarkan sewa mobil dalam waktu t (Jam). Tentukan variabel bebas dan terikat. Tentukan sewa mobil untuk 1 jam, 5 jam, 10 jam dan jika pembatalan

Tentukan : (a) nilai fungsi f di titik (b) Hitung dan sederhanakan nilai

Ilustrasi 2

Solusi(a)

,

(b)

Jadi10.031.o14.022 UIM (b)

Domain dan Range fungsiJika persamaan suatu fungsi dinyatakan dalam bentuk maka domain fungsi f didefinisikan dan range fungsi f didefinisikan

Ilustrasi 3

Tentukan domain dan range fungsi berikut Solusi (1). Agar f(x) bernilai riil, , maka syaratnya adalah yaitu , sehingga , yang dipenuhi oleh diperoleh

Karena setiap,

berlaku,

mak a

sehingga diperoleh

Agar g(x) bernilai riil, yaitu atau

maka syaratnya penyebut tidak nol , yaitu Jadi

ntuk menentukan range g, tuliskan fungsi g sebagai , kemudian nyatakan x dalam y dan perhatikan syaratsyaratnya yang harus dipenuhi, diperoleh

Grafik

y

0

x

y

1

0

1

x

Latihan Mandiri I

Diberikan fungsi

(a) Tentukan nilai fungsi f di titik : (b) Hitung dan sederhanakan nilai fungsi (c) Tentukan domain dan range fungsi f (d) Sketsa garfik fungsi f

Melukis Grafik FungsiGrafik suatu fiungsi y = f(x) terdiri dari semua titik (x,y) yang koordinat-koordinatnya memenuhi y = f(x). Langkah-langkah praktis melukis grafik fungsi : (1). Buat suatu tabel nilai (2). Gambarkan titik-titik yang berkorespondensi dengan nilai-nilai pada tabel tersebut (3). Gambar kurva mulus yang melalui titik-titik ini, dari kiri ke kanan

Sistem Koordinat Cartesien

y+ +

4

P(x,y )

2- - - - -1

+ + + + + + + + + - 1 2 + -

3

-2

-1 0 1 -2

x 3 4

Sistem Koordinat Cartesieny 4(2,3) (3,2)

(0,4)(1,0)

2 1 3 (-3,-2) -2 -1 0 1 -2 x1

2

3

4

(0,-3) (-2,0)

Grafik fungsi dan ciri-cirinyaFungsi linier derajat satu Grafiknya berbentuk garis lurus , monoton naik bila a > 0 monoton y y turun bila a < 0monoton naik monoton turun

x10.031 014.041 10.031.014.022 pers grs sjaj dn tgk lurus UIM

x

Ilustrasi Melukis grafik fungsix -1 0 1 2 1-1

y2 1 0 -1 1 2

-5 -3 -1

x

x

-1 3

0 2

1 1

2 0

-3

10.031.014.035 3 UIM

-5

2 1

X y

-1 -1

0 0

1 1

1 0 -1 1

-1 -1 0 1 2

Jika diketahui

dan

maka

Melalui sebuah titik

Dengan gradien m

Lanjutan Grafik fungsi kuadrat dan cirinya (halaman.31) or 33Fungsi Kuadrat Grafiknya berbentuk parabola , terbuka keatas bila a > 0 terbuka kebawah bila a < 0sumbu simetri

melukis grafik fungsi kuadratx -2 3 -1 0 0 -1 1 0 2 3

y

3

Sumbu simtrix

x

-1 -5

0 1

1 3

2 1

3 -5

Sumbu simetri

lanjutan Ciri Grafik fungsi Kubik 32) or (HalamanFungsi Kubik Grafiknya berbentuk garis lengkung dengan dua titik puncak , atau monoton naik saja / monoton turun saja dua puncak 34

monoton naik

monoton turun

Lanjutan melukis grafik fungsix -2 -1 0 1 2 3 -18 -2 2 0 -2 2 3

Titik maksimum lokal (0,2) Titik minimum lokal (2,2)

0

Grafik fungsi nilai Mutlak (hal.33) or 37(1,1) 1 (1,1 )

1

O

1

Grafik menyerupai huruf V

1

2

22

1

O

2

O 1 2

1)

Contoh 2.10, hal 33 or conth 12 hal 37

1 1 O 1

Contoh 2.10 hal 33 or Conth 12 hal 37 2)

f(x)

Grafik f terdiri dari dua potong parabola, berubah sifat di titik 00 x

Ilustra si

4

4

-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

4

4

-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

Soal hal 34 (Diskusi kelas) or hal 38

maka

Grafik f adalah gabungan dari 3 potong parabola, yang berubah sifat di titik x=0 dan x=3

f(x)

9

6

3

-1

0 -3

1

2

3

x

f(x)

9

6

3

-1

0 -3

1

2

3

x

Beberapa grafik fungsi khususFungsi akar0 1

Fungsi eksponen dan logaritma

1 0 1

Grafik Fungsi hiperbola

Hiperbola dengan dan persamaan dimana sumbu-sumbu transversal dan sumbu konjugasinya sama dengan 2a , disebut hiperbola ekuilateral. Karena asimtot2nya x y = 0 adalah saling tegaklurus, maka hiperbola ekuilateral disebut juga hiperbola rektangular, lihat y gambar (a) dan (b) y

0

x

0

xyx

=0

x+y=0

x-y=0

x+ y= 0

Grafik

y

-

x

Gb.r (c)

Pandang sebuah fungsi

Fungsi satu-satu pada; satusatu dan pada,

maka :

ungsi f dikatakan satu-satu (injective) jika elemen-eleme ang berbeda dalam domain A mempunyai range yang berbe pula. Dengan kata lain, f fungsi satu-satu jika mak a pada (surjective) jika setiap

Fungsi f dikatakan elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain semua elemen B merupakan daerah hasil (ko-domain) dari f. Fungsi f dikatakan berkorespondensi (bijective) , jika f adalah 1-1 dan pada. 1-1

Fungsi satu-satu pada; satusatu dan pada BA

f

f : fungsi pada tapi bukan 1-1 A

h

B

A

g

B h : fungsi 1-1 dan pada g : fungsi satu-satu tapi bukan pada

Mana Gambar berikut yang bukan fungsi ,jelaskanf G

F

H

G dan H bukan

Gambar brikut, mana fungsi pada, fungsi 1-1

Fungsi f bukan pada karena ada garis horisontal (dibawah sumbu x ) yang tidak memuat titik f . Fungsi g bukan pada karena untuk k = -16 misalnya, tidak mempunyai / mengandung titik g. Fungsi h adalah fungsi pada karena setiap garis horisontal mengandung setidaknya satu titik h.

lanjutan

Fungsi f adalah satu-satu karena tidak ada garis horisontal yang mengandung lebih dari satu titik. Fungsi g bukan satu-satu karena h(3)=h(-3)=5 yaitu garis horisontal y = 5 mengandung dua titik g. Fungsi h bukan satu-satu karena ada garis horisontal yang mengandung lebih dari satu titik pada grafik h, misalnya y=0 mengandung tiga titik h.

Operasi pada FungsiMisalkan fungsi f dan g mempunyai domain D , maka untuk setiap x D berlaku

Lihat contoh 2.6, hal.24. MatDas (Kerjakan kembali)

Fungsi KomposisiPandang fungsi dimana ko-domain dari f adalah domain dari g. , maka terdapat Jik fungsi a yang merupakan fungsi komposisi dari f dan g (f dilanjutkan g), dinotasikan dan didefinisikan:

Lanjutan Komposisi fungsi Pandangata u

maka

A

B

C

Lihat contoh 2.7 dan 2.8, hal. 26 dan 27

Perhatik an Pandang fungsi(1) Komposisi fungsi kodomain f , yaitu

,

maka

terdefinisi jika domain f sama dengan Sehingga

(2) Dapat ditunjukkan bahwa

D42110256 (2) ; D42109125 1a/e D42110266 (2) D42110270

Soal diskusidan

1. Diberikan fungsi.

Tentukanlah

2. Tentukan aturan fungsi jika diketahui komposisi fungsi danA31110004 1a,F A31110009 2 A31110268 1b,E

SolusDiketahui i

dan

Cari Lanjutan dahulu Cari dahulu

lanjutan2. Diketahui Tentukan aturan fungsi Solusi Tetapi juga Dari (*) dan (**) , diperoleh (*) (**) dan

diperoleh

FUNGSI GENAP & FUNGSI GANJILSuatu fungsi f dikatakan fungsi genap jika dan dikatakan fungsi ganjil jika Fungsi tidak genap jika dan fungsi tidak ganjil jika Grafik fungsi genap adalah simetri terhadap sumbu y , dan grafik fungsi ganjil simtrri terhadap titik asal (0,0) berlaku

Contoh(1 ). adalah fungsi genap karena berlaku

(2 ).

adalah fungsi ganjil karena berlaku

(3 ).

bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil, priksa !

Fungsi Invertibel Teorema : suatuDefini si Sebuah fungsi jika ada sebuah fungsi dan

adalah fungsi invertibel jika dan hanya jika fungsi f adalah satu-satu dan pada (bijektif) dikatakan invertibel (mempunyai invers) sedemikian sehingga

Dalam hal ini fungsi g disebut invers dari f dan dinotasikan sebgai

1.

Kontrak Pemb Mat Kls I.10 UIT Toleransi waktu 15 menit (masuktanpa absen) Metode kuliah : Rilex bertanggung jawab Evaluasi /penilaian : Kuis-kuis Nilai A: >=85, B>=75 C>=55 DE=80, B>=70 C>=55 DE