rangkuman materi fungsi komposisi dan … hubungan antara grafik fungsi satu-satu dan grafik fungsi...
TRANSCRIPT
RANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah “Matematika Sekolah”
Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.
Oleh
Siti Rohmawati (147785003)
Kelas 2014D
PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA
2014
Universitas Negeri Surabaya
ii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL…………………..……………………………………………………. i
DAFTAR ISI ………………………..……………………………………………………… ii
BAB XI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS……..…………………………. 1
11.1 Notasi Fungsi …….………………………………………………… 1
11.2 Membentuk Fungsi Komposit …….………………………………… 3
11.3 Domain dan Range …………..……………………………………… 5
11.4 Urutan Sebagai Fungsi ……………………………………………… 7
11.5 Membalikkan Funggi …………..…………………………………… 8
11.6 Fungsi Satu-Satu…………..………………………………………… 9
11.7 Mencari Fungsi Invers….…………………………………………… 9
11.8 Menggambar Fungsi Invers……….………………………………… 11
DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………………………. 12
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 1
BAB XI
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
Bab ini merupakan penggembangan gagasan fungsi yang terdapat pada Bab 3.
Dalam bab ini diperkenalkan tentang macam fungsi aljabar dengan menunjukkan
bagaimana menemukan fungsi komposit. Setelah mempelajari bab ini,
diharapkan:
1. Dapat menggunakan bahasa dan notasi yang benar terkait dengan fungsi.
2. Tahu kapan fungsi-fungsi dapat dikombinasikan dengan operasi komposisi
dan dapat membentuk fungsi komposit.
3. Menghargai bahwa urutan dapat dianggap sebagai fungsi yang domainnya
adalah bilangan asli, atau himpunan bagian berturut-turut dari bilangan
asli.
4. Tahu kondisi ‘satu-satu' untuk fungsi yang memiliki invers, dan dapat
membentuk fungsi invers.
5. Mengetahui hubungan antara grafik fungsi satu-satu dan grafik fungsi
inversnya.
11.1 Notasi Fungsi
Dalam menggunakan kalkulator untuk menemukan nilai-nilai dari suatu fungsi,
terdapat tiga langkah yang terpisah:
Langkah 1 Masukkan bilangan ('input').
Langkah 2 Masukkan petunjuk fungsi.
Langkah 3 Baca bilangan di layar ('output').
Pada langkah kedua terkadang menggunakan satu kunci, ataupun lebih.
a. Menggunakan satu kunci
Seperti 'akar kuadrat', 'tanda perubahan' atau 'sinus'
Contoh:
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 2
Input Output
4 → √ → 2
3 → [+ ±⁄ ] → -3
2 → [푠푖푛] → 0.5
Dalam bab ini sin, cos dan tan mengarah pada fungsi-fungsi yang
dioperasikan oleh kalkulator dalam mode derajat.
Jika anda memasukkan bilangan x, maka output yang diperoleh adalah sin
x˚, cos x˚ atau tan x˚.
b. Menggunakan lebih dari satu kunci
Seperti 'kurangi 3',
7 → [−, 3, =] → 4
Pada prinsipnya hal yang terpenting adalah bahwa urutan tombol dalam tanda
kurung siku mewakili fungsi. Urutan ini sama apapun bilangan yang anda
masukkan sebagai input pada langkah 1.
Untuk input umum bilangan x, Anda dapat menulis
x → [+ ±⁄ ] → - x
x → [−, 3, =] → x – 3
Dan seterusnya. Dan untuk fungsi umum,
x → [푓] → 푓(푥)
Dimana f singkatan urutan tombol fungsi.
Ungkapan-ungkapan seperti 'fungsi x2', 'fungsi cos xo', atau 'fungsi f(x)' benar-
benar salah; x2, cos xo dan f(x) adalah simbol untuk output ketika diberikan input
x, bukan untuk fungsi itu sendiri. Jika yang dimaksudkan adalah menyebutkan
fungsi, maka bahasa yang tepat adalah 'fungsi pangkat', 'fungsi cos' atau 'fungsi f'.
Sayangnya hanya beberapa fungsi memiliki nama yang mudah seperti 'pangkat'
atau 'cos'. Tidak ada nama sederhana untuk fungsi output yang diberikan oleh
ekspresi seperti 푥 − 6푥 + 4.
푓: 푥 ⟼ 푥 − 6푥 + 4
Dibaca sebagai 'f adalah fungsi yang mengubah input bilangan x dalam domain ke
bilangan output x2-6x+4'
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 3
contoh 11.1.1
Jika 푓: 푥 ⟼ 푥(5 − 푥), berapakah 푓(3)?
Simbol f (3) singkatan output ketika input 3. Fungsi f mengubah input 3 ke output
3(5-3) = 6. Jadi f (3) = 6.
Penggunaan panah untuk menunjukkan hubungan antara input dan output dapat
dihubungkan dengan grafik sebuah fungsi. Gambar. 11.1 menunjukkan grafik y =
x (5-x), dengan bilangan input 3 pada sumbu x. Panah, yang naik dari titik input
dan membelok melalui sudut kanan ketika memotong grafik, menghasilkan
bilangan output 6 pada sumbu y.
11.2 Membentuk fungsi komposit
Jika Anda ingin menghitung nilai-nilai √푥 − 3, Anda mungkin akan
menggunakan tombol urutan [-, 3, =, √] dengan tidak bersamaan. Tetapi jika Anda
perhatikan dengan teliti, Anda akan melihat bahwa tiga angka muncul pada layar
selama proses tersebut.
Misalnya, jika Anda menggunakan input 7, layar akan menampilkan pada
bilangan masukan Anda 7, maka (setelah memasukkan [-, 3, =]) 4, dan akhirnya
(setelah memasukkan √ ) output 2.
Anda mengerjakan dua fungsi, 'kurangi 3' lalu 'akar kuadrat', berturut-turut. Anda
bisa mewakili seluruh perhitungan dengan:
7 → [−, 3, =] → 4 → → 2
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 4
Output dari fungsi pertama menjadi masukan kedua.
Contoh 11.2.1
Cari output ketika fungsi 'pangkat' dan 'sin' bertindak pada rentetan input dari (a) 30, (b) x
(a) 30 → [푃푎푛푔푘푎푡] → 900 → [푠푖푛] → 0 (b) 푥 → [푃푎푛푔푘푎푡] → 푥 → [푠푖푛] → sin(푥 )°
Karena dalam (b) input ke fungsi sin adalah x2, bukan x, maka outputnya adalah
sin(푥 )°, bukan sin 푥°.
Untuk sebarang input, dan dua fungsi sebarang f dan g, proses akan ditulis:
푥 → [푓] → 푓(푥) → [푔] → 푔 푓(푥)
Fungsi ketiga disebut 'fungsi komposit'.
Karena output dari fungsi komposit adalah g(f (x)), fungsi komposit itu sendiri
dilambangkan dengan gf.
gf dibaca sebagai 'f pertama, maka g'. Menulis fg berarti 'g pertama, maka f', yang
hampir selalu berbeda fungsi dari gf.
Misalnya, jika Anda mengubah urutan fungsi dalam Contoh 11.2.1 (a), bukan
output 0 yang Anda dapatkan, melainkan:
30 → [sin] → 0,5 → [pangkat] → 0,25
Contoh 11.2.2
Misalkan 푓:푥 ↦ 푥 + 3 dan 푔: 푥 ↦ 푥 . Cari gf dan fg. Tunjukkan bahwa hanya
ada satu bilangan x sehingga gf(x) = fg (x).
Komposit fungsi gf diwakili oleh
푥 → [푓] ⟶ 푥 + 3 ⟶ [푔] ⟶ (푥 + 3)
Dan fg diwakili oleh
푥 → [푔] ⟶ 푥 ⟶ [푓] ⟶ 푥 + 3.
Jika gf (x) = fg (x), maka (푥 + 3) = 푥 + 3,
sehingga 푥 + 6푥 + 9 = 푥 + 3, menghasilkan x = -1.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 5
Anda dapat memeriksa ini dengan kalkulator Anda.
1. Jika Anda memasukkan -1 dan kemudian 'menambah 3' [+, 3, =] diikuti
dengan 'pangkat', layar akan menampilkan pada gilirannya -1, 2, 4.
2. Jika Anda mengoperasikan 'pangkat' diikuti dengan 'menambahkan 3', ia
akan menampilkan -1, 1, 4.
Ketika input adalah -1, outputnya adalah sama meskipun tampilan-tampilan
tengahnya berbeda.
Contoh 11.2.3
Jika 푓: 푥 ⟼ cos 푥 ° dan: : 푥 ⟼ , hitung (a) gf(60), (b) gf(90).
Dengan input 60, kalkulator akan menunjukkan urutannya 60, 0.5, 2, jadi gf (60) =
2.
Dengan input 90, kalkulator akan menampilkan 90, 0 dan kemudian diberi pesan
kesalahan! Hal ini karena cos 90° = 0 dan 1/0 tidak didefinisikan.
Apa yang terjadi dalam Contoh 11.2.3 (b) adalah bahwa angka 0 ada dalam
kisaran fungsi f, tetapi tidak dalam domain g.
11.3 Domain dan Range
Ketika Anda melihat huruf x dan y dalam matematika, misalnya dalam sebuah
persamaan seperti y = 2x - 10, umumnya dipahami bahwa huruf x dan y
melambangkan bilangan real. Tapi kadang-kadang penting untuk benar-benar
teliti tentang hal ini. Simbol ℝ digunakan untuk menyingkat 'himpunan bilangan
real', dan simbol ∈ untuk 'anggota'. Dengan simbol-simbol ini, Anda dapat
mempersingkat pernyataan 'x adalah bilangan real', atau 'x anggota himpunan
bilangan real', ke 푥 ∈ ℝ. Jadi, dapat ditulis
푓: 푥 ⟼ 2푥 − 10,푥 ∈ ℝ
untuk menunjukkan bahwa f adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan
bilangan real yang mengubah setiap masukan x ke output 2x-10.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 6
Tepatnya, fungsi tidak sepenuhnya ditentukan kecuali Anda menyatakan domain
serta aturan untuk memperoleh output dari input. Untuk fungsi di atas range-nya
juga R, meskipun tidak perlu diyatakan dengan menggambarkan fungsi.
Kita tahu dari bab 3 bahwa untuk beberapa fungsi domainnya hanya bagian dari
R, karena ekspresi f(x) hanya bermakna untuk beberapa 푥 ∈ ℝ. Himpunan
bilangan real yang f(x) nya memiliki arti akan disebut 'domain asli' f.
Dengan kalkulator, jika Anda memasukkan bilangan yang tidak dalam domain
asli, maka output akan menunjjukkan tampilan 'error'.
Untuk fungsi akar kuadrat, misalnya, domain aslinya adalah himpunan bilangan
real positif dan nol, sehingga Anda menulis
Akar pangkat : 푥 ⟼ √푥, di mana x∈R dan x≥0.
Jika Anda diberi fungsi yang dijelaskan oleh rumus tetapi tidak ada domain
dinyatakan, Anda harus mengasumsikan bahwa domain yang dimaksud adalah
domain asli.
Contoh 11.3.1
Cari range masing-masing fungsi
(a) sin, dengan domain asli ℝ, (b) sin, dengan domain 푥 ∈ ℝ dan 0 <x <90.
Dari grafik 푦 = sin 푥°, ditunjukkan pada gambar. 11.2, Anda dapat membaca dari
rentang:
(a) Untuk 푥 ∈ ℝ, rangenya adalah 푦 ∈ ℝ,−1 ≤ 푦 ≤ 1.
(b) Untuk 푥 ∈ ℝ, 0 < 푥 < 90, kisaran adalah 푦 ∈ ℝ, 0 < 푦 < 1
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 7
Contoh 11.3.1 telah menggunakan huruf x dalam menggambarkan domain, dan y
untuk range.
Aturan umumnya adalah:
Untuk membentuk fungsi komposit gf, domain D dari f harus dipilih
sehingga seluruh range f termasuk dalam domain dari g. fungsi gf kemudian
didefinisikan sebagai gf: x⟼g (f (x)), x∈D.
11.4 Urutan sebagai fungsi
Tidak semua fungsi memiliki domain himpunan bilangan real atau interval
terbatas bilangan real. Sebagai contoh, fungsi memiliki himpunan bilangan asli
{1, 2, 3, ...} untuk domainnya. Himpunan ini dilambangkan dengan simbol N.
Beberapa game (seperti catur dan Scrabble) yang dimainkan di papan
dikesampingkan dalam kotak. Jika papan memiliki kotak r masing-masing cara,
maka jumlah kotak adalah r2. Jadi ini mendefinisikan fungsi
푓: 푟 ↦ 푟 , di mana 푟 ∈ ℕ.
Ini adalah fungsi yang berbeda dari
푓: 푥 ↦ 푥 , di mana 푟 ∈ ℝ,
Karena jumlah kotak masing-masing cara harus bilangan bulat.
Anda dapat membuat daftar nilai-nilai yang berurutan dari f (r):
f (1) = 1, f (2) = 4, f (3) = 9, f (4) = 16, f (5) = 25, ...
Perhatikan bahwa angka-angka ini adalah tepat berurutan (a) dalam bagian 8.1. ini
menunjukkan bahwa urutan dapat dianggap sebagai fungsi yang domainnya
adalah N.
Beberapa urutan hanya memiliki jumlah terbatas istilah. Anggaplah, misalnya,
bahwa Anda memiliki 6 koin identik, dan f(r) menunjukkan sejumlah cara
membagi koin ke dalam r tumpukan. Jadi f (2) = 3, karena Anda dapat memiliki
tumpukan koin 1 dan 5 koin, 2 koin dan 4 koin, atau 3 koin dan 3 koin. Dapat
dibuktikan bahwa f (1) = 1, f (2) = 3, f (3) = 3, f (4) = 2, f (5) = 1, dan f (6) = 1;
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 8
tapi f (r) tidak ada artinya untuk r > 6. Oleh karena itu domain fungsi adalah
himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6}, yang merupakan bagian dari angka berturut-turut di
N.
Sebuah urutan dapat didefinisikan sebagai fungsi yang domain di N atau bagian
berturut-turut N. Untuk notasi urutan ur biasanya digunakan lebih sering daripada
f (r), tapi itu hanya untuk kenyamanan.
Perbedaan yang penting antara N dan R adalah bahwa, untuk setiap bilangan asli
r, ada 'nomor berikutnya'. Inilah yang memungkinkan untuk menggunakan
definisi induktif untuk menggambarkan urutan. Tidak ada cara yang sebanding
mendefinisikan fungsi f (x), di mana x∈R, karena tidak ada hal seperti 'bilangan
real berikutnya’.
11.5. Membalikkan fungsi
Jika kakak Anda adalah 2 tahun lebih tua dari Anda, maka Anda 2 tahun lebih
muda dari dia. Untuk mendapatkan usianya dari Anda yang Anda gunakan fungsi
'tambahkan 2'; untuk mendapatkan usia Anda dari miliknya Anda ‘mengurangi 2 '.
Fungsi 'tambahkan 2' dan 'mengurangi 2' dikatakan fungsi invers satu sama lain.
Artinya, 'kurangi 2' adalah fungsi kebalikan dari 'tambahkan 2' (dan sebaliknya).
Kebalikan dari fungsi f dinotasikan dengan simbol f-1. Jika f menjadikan bilangan
input x menjadi bilangan output y, maka f-1 menjadikan y ke x.
Contoh 11.5.1
Cari nilai-nilai cos-1 y ketika (a) y = 0.5, (b) y = -1 (c) y = 1,5.
Menggunakan [푐표푠 ] kunci dengan input 0.5, -1, 1.5 pada gilirannya
memberikan output 60, 180, dan pesan kesalahan!
Jadi, dalam modus derajat, (a) cos-10,5 = 60, (b) cos-1 (- 1) = 180, tetapi (c) cos-
11,5 tidak ada artinya.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 9
11.6 Fungsi Satu-satu
Masalah muncul setiap kali Anda mencoba untuk mencari sebuah fungsi yang
memiliki output yang sama untuk lebih dari satu input. Dalam matematika,
ambiguitas tidak dapat diterima. Satu-satunya fungsi yang memiliki fungsi invers
adalah fungsi-fungsi yang setiap output dalam range berasal dari hanya satu input.
Fungsinya ini dikatakan ‘satu-satu'.
Sebuah fungsi f didefinisikan untuk beberapa domain D adalah satu-satu jika,
untuk setiap bilangan y di range R dari f hanya ada satu bilangan x∈D sehingga y
= f (x). fungsi dengan domain R didefinisikan oleh 푓 :푦 ↦ 푥, di mana y = f (x),
adalah fungsi inverse dari f.
Definisi ini diilustrasikan dalam gambar. 11.3, yang ditarik untuk memastikan
bahwa fungsi f adalah satu-satu.
Fungsi f-1f dan ff-1 disebut fungsi identitas karena input dan output mereka adalah
identik. Tapi ada perbedaan halus antara kedua fungsi komposit, karena domain
mereka mungkin tidak sama; yang pertama memiliki domain D dan yang kedua
memiliki domain R.
11.7 Mencari fungsi invers
Untuk fungsi yang sangat sederhana mudah untuk menuliskan bentuk fungsi
inversnya. Kebalikan dari 'tambahkan 2' adalah 'mengurangi 2', sehingga
푓: 푥 ↦ 푥 + 2,푥 ∈ ℝ memiliki invers 푓 : 푥 ↦ 푥 − 2,푥 ∈ ℝ.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 10
Perhatikan bahwa kebalikannya bisa juga ditulis sebagai 푓 :푦 ↦ 푦 − 2,푦 ∈ ℝ.
Anda kadang-kadang dapat memecah fungsi yang lebih rumit menjadi sebuah
mata rantai langkah sederhana.
Contoh 11.7.1
Cari invers dari f: x↦2x + 5, x∈R
Perhatikan dulu bahwa f adalah satu-satu, dan rangenya adalah R.
Metode 1 Anda dapat memecah fungsi sebagai
x → [ganda] → [tambahkan 5] → 2x + 5.
Untuk menemukan f-1, ke belakang melalui rantai (baca dari kanan ke kiri):
(푥 − 5) ← [푠푒푡푒푛푔푎ℎ] ← [푘푢푟푎푛푔푖5] ← 푥
Jadi 푓 = 푥 ↦ (푥 − 5),푥 ∈ ℝ.
Metode 2 Jika y = 2x + 5, 푦 − 5 = 2푥 yang memberikan 푥 = (푦 − 5).
Jadi fungsi invers 푓 = 푥 ↦ (푥 − 5),푥 ∈ ℝ Dua jawaban yang sama, meskipun menggunakan huruf yang berbeda.
Contoh 11.7.3
Tentukan invers dari fungsi 푓(푥) = , di mana x∈R dan x ≠ 2.
Hal ini tidak jelas bahwa fungsi ini salah-salah, atau apa yang rentang adalah.
Namun, dengan menggunakan metode kedua dan menulis 푓(푥) = ,
푦(푥 − 2) = 푥 + 2,
푦푥 − 2푦 = 푥 + 2,
푦푥 − 푥 = 2푦 + 2,
푥(푦 − 1) = 2(푦 + 1),
푥 = ( ).
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 11
Hal ini menunjukkan bahwa, kecuali y = 1, hanya ada satu nilai x untuk setiap nilai y. Jadi f harus menjadi salah satu-satu, sehingga fungsi invers ada, dan 푓 :푦 ↦ ( ), dimana 푦 ∈ ℝ dan 푦 ≠ −1
11.8 Menggambar fungsi invers.
Gambar. 11.8 menunjukkan grafik y = f (x), dimana f adalah fungsi satu satu
dengan domain D dan range R. Karena 푓 ada, dengan domain R dan range D,
Anda dapat juga menulis persamaan sebagai 푥 = 푓 (푦). Anda dapat
menganggap Gbr. 11.8 sebagai grafik kedua f dan 푓 .
Tapi kadang-kadang Anda ingin menarik grafik 푓 dalam bentuk yang lebih
konvensional, seperti y = 푓 (x) dengan domain sepanjang sumbu x. Untuk
melakukan ini, Anda harus menukar sumbu x dan y, yang Anda lakukan dengan
merefleksikan grafik pada Gambar. 11,8 di garis y = x. (Pastikan bahwa Anda
memiliki skala yang sama pada kedua sumbu!) maka sumbu x tercermin dalam
sumbu y dan sebaliknya, dan grafik dari x = 푓 (y) tercermin dalam grafik y =
푓 (x).
Hal ini ditunjukkan pada Gambar. 11.9.
Jika f adalah satu-satu fungsi, grafik y = f (x) dan y = 푓 (x) adalah cerminan
dari satu sama lain dalam garis y = x.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 12
DAFTAR PUSTAKA
Neill, Hugh dan Douglas Quadling. 2002. Advance Level Mathematics: Pure Mathematics 1. Cambridge: Cambridge University Press.