Slide 1

Fungsi dan Grafik

Sudaryatno SudirhamKlik untuk melanjutkanBahan Kuliah Terbuka

dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id

dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org

Buku Fungsi dan Grafik(pdf)

tersedia di www.buku-e.lipi.go.id danwww.ee-cafe.org PembatasanPembahasan Fungsi dan Grafikdibatasi hanya padafungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata Keseluruhan bahasan mengenai fungsi dan grafik akan mencakupPengertian Tentang FungsiFungsi Linier Gabungan Fungsi Linier Mononom dan Polinom Bangun Geometris Fungsi Trigonometri Gabungan Fungsi Sinus Fungsi Logaritma Natural Fungsi Eksponensial Fungsi HiperbolikFungsi dalam Koordinat Polar 1. Pengertian Tentang FungsiFungsi Apabila suatu besaran ymaka dikatakan bahwamemiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain xy merupakan fungsi x panjang sebatang batang logam (= y) merupakan fungsi temperatur (= x) Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan

y disebut peubah tak bebas nilainya tergantung x x disebut peubah bebasbisa bernilai sembarangDalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa bilangan nyata.Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks.Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai x tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Contoh:Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi.a brentang terbuka a < x < ba dan b tidak termasuk dalam rentang rentang setengah terbuka a ba x < ba masuk dalam rentang, tetapi b tidak rentang tertutup a ba x ba dan b masuk dalam rentangAda tiga macam rentang nilai yaitu:Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku P[2,1]Q[-2,2]R[-3,-3]S[3,-2]-4-3-2-1123y0-4-3-2-101234xIVIIIIIIsumbu-xsumbu-yBidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut sumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y. Bidang terbagi dalam 4 kuadran yaitu Kuadran I, II, III, dan IV(koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes)Posisi titik pada bidang dinyatakan dalam koordinat [x, y]Kurva dari Suatu Fungsi

Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y x-101234dst.y-0,500,511,52dst.-0,500,511,522,5-101234xyxyPRQ

Kurva Titik P, Q, R, terletak pada kurvaKemiringan kurva:

Kita lihat fungsi: (kita baca: delta x per delta y)Kekontinyuan Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut. Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat:(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai

yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).

Contoh: y = 1/xy = 1/xy x -101-10-50510Tak terdefinisikan di x = 0 y = u(x)1yx00Terdefinisikan di x = 0 yaitu y|x=0 = 1(y untuk x = 0 adalah 1) (y untuk x = 0 tidak dapat ditentukan nilainya)Simetri Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].Contoh:y = 0,3x2y = 0,05x3y2 + x2 = 9x-6-3036-6-3036ytidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan ytidak berubah bila x diganti x

tidak berubah jika:x diganti xx dan y diganti dengan x dan yx dan y dipertukarkany diganti dengan y(simetris terhadap sumbu-y)

(simetris terhadap titik [0,0])

Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit

Pernyataan fungsiPernyataan bentuk implisitWalaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y dapat diubah ke bentuk eksplisit

disebut bentuk eksplisit.-8-4048-4-2024x yFungsi Bernilai Tunggal Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas 048-101234xy

00,81,6012xy

-1,6-0,80012xy

-0,800,801234xy

024-4-2024xy

Contoh:Fungsi Bernilai Banyak -2-10120123xy

Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas -10-505100123xy

Contoh:Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas:

Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut

xPryrsinrcosContoh: -3-2-10123-5-3-11yxrP[r,]Bentuk ini disebut cardioid

-1-0,500,511,52-10123xyrP[r,]y = 2

Contoh: 2. Fungsi LinierFungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari sampai +.

x-4 0 5 -5 0 5 yy = 4

Contoh: Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]

kemiringan garis lurus

012-101234xyxy-6-4-202468-101234xyy = 0,5xy = xy = 2xy = -1,5 xm > 0m < 0Contoh: garis lurus melalui [0,0]Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus y = 2xy 2 = 2x-4-20246810-101234xy

y = 2xy =2(x1)-4-22468-101234xy0

Secara umum, persamaan garis lurus yang tergeser sebesar b ke arah sumbu-y positif adalah menunjukkan pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif titik potong dengan sumbu-y titik potong dengan sumbu-x

Bentuk umum persamaan garis lurus pergeseran ke arah sumbu-y pergeseran ke arah sumbu-x menunjukkan pergeseran sebesar b ke arah sumbu-y positifContoh: Persamaan garis:

-4-22468-101234xy0memotong sumbu y di 4memotong sumbu x di 2 atau

dapat dilihat sebagai garis melalui (0,0) yaituy = -2xyang tergeser kearah sumbu-y atau tergeser kearah sumbu-x

Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik[x1,y1][x2,y2]-4-202468-1013xy2-4-22468-101234xy0[1,4][3,8]

persamaan garis:

atau

Contoh: Persamaan garis lurus melalui [0,0] yang sejajar dengan garis yang melalui P dan QPQGaris ini harus digeser hingga melalui P dan QPerpotongan Garis Lurus

Contoh:

Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y1 maupun y2. Dua garis:Koordinat titik potong P harus memenuhi:dan-30-20-100102030-10-50510yxy2y1PxPyPTitik potong:

Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa NyataSuatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a

anodakatodalContoh: Contoh:

Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V Kuat medan listrik:

Gaya pada elektron:

Percepatan pada elektron: gaya fungsi linier dari V percepatan fungsi linier dari Fe Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari panjang tarikan. Contoh:

Contoh: Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan.

gaya panjang tarikan konstanta pegas konduktansi resistansi kerapatan arus resistivitas G dan R adalah tetapanLuas penampang konduktor panjang konduktorContoh: materi masuk di xamateri keluar di xxaxCaCxxPeristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika konsentrasi materi Ca di xa dan Cx di x bernilai konstan Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi. Peristiwa difusi: materi menembus materi lain

gradien konsentrasi koefisien difusi Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi Fluksi materi yang berdifusi ke arah x3. Gabungan Fungsi LinierFungsi Anak Tangga

muncul pada x = 0 amplitudo Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi di x = 0 Fungsi anak tangga satuanSecara umum0205xy11

Contoh: -40505xy

Fungsi anak tangga tergeser-40505xy1

Pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positifContoh: Fungsi Ramp

0123456-101234xyy1 = xu(x)y2 = 2xu(x)y3 = 1,5(x-2)u(x-2)Fungsi ramp tergeser:

Fungsi ramp satuan :

Contoh: kemiringan a = 1 kemiringanFungsi ini baru muncul pada x = 0 karena ada faktor u(x) yang didefinisikan muncul pada x = 0(fungsi anak tangga)Pergeseran searah sumbu-xPulsa Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x1 tertentu dan menghilang pada x2 > x1

y1=2u(x-1)y2 = 2u(x2) y1 + y2 = 2 u(x-1) 2 u(x-2)lebar pulsa-2-1012-101234xperiodaxyDeretan Pulsa: Contoh: Perkalian Ramp dan Pulsa

ramp pulsa hanya mempunyai nilai dalam selang lebarnyay1=2xu(x)y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)}y3 = y1 y20246810-1012345xyContoh: maka y juga akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja y2 = {u(x)-u(x-b)} y1 = mxu(x)y3 = y1 y2 = mx{u(x)-u(x-b)}0246810-1012345yyxbContoh: Gabungan Fungsi Ramp

Contoh: y1= 2xu(x)y2= 2(x2)u(x2)y3= 2xu(x)2(x2)u(x2)y-8-404812012345xKemiringan yang berlawanan membuat y3 bernilai konstan mulai dari x tertentuy1=2xu(x)y2= 4(x2)u(x2)y3= 2xu(x)4(x2)u(x2)-10-5051015012345xyy2 lebih cepat menurun dari y1 maka y3 menurun mulai dari x tertentuContoh: y1= 2xu(x) y2= 4(x-2)u(x-2)y3= {2xu(x)4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}-10-5051015012345xyPulsa ini membuat y3 hanya bernilai dalam selang 1 x 3 Contoh: 4. Mononom dan PolinomMononomMononom Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn Mononom Pangkat Dua:

y = x2y = 3x2y = 5x2y012345678910-3-2-10123x-100 -80 -60 -40 -20 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y x

Contoh: y memiliki nilai maksimumKarena x2 0,maka jika k > 0 y > 0 jika k < 0 y < 0 y memiliki nilai minimumy1 = 10x2y2 = 10(x2)2y3 = 10(x2)2 + 30Pergeseran kurva mononom pangkat dua -5-335x050100-11yPergeseran ke arah sumbu-x positifPergeseran ke arah sumbu-y positifMononom Pangkat Genap pada umumnya y2 = 2x4 y3 = 2x6 y1 = 2x20123y-1.5-1-0.500.511.5x02468-1.5-1-0.500.511.5 y = x6y = 3x4y = 6x2yxPada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai kurva di sekitar titik puncakJika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k]Koordinat titik potong antara kurva

Contoh: Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y Mononom Pangkat Ganjil -3-2-10123-1.5-1-0.500.511.5 y = 2x y = 2x5 y = 2x3yxPangkat ganjil terendah: linierJika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k]Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [0,0] yaitu titik yang merupakan titik belokKurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0] Mononom Pangkat Tiga -500-400-300-200-1000100200300400500-2-101y-5-4-32345x

Mononom pangkat tigaSimetris terhadap [0,0]y = 10(x2)3y = 10(x2)3 + 100y = 10x3-5-335x-600-400-2000200400600-11yPergeseran mononom pangkat tiga ke arah sumbu-x positifPergeseran ke arah sumbu-y positifPolinomPolinom Pangkat Dua

y1=2x2y3=13y2=15xx-10y-1500150010

y1=2x2y4 = 2x2+15xy2=15xx = 15/2y-15001500x-1010Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom:Penjumlahan mononom pertama dan ke-dua:

Perpotongan dengan sumbu-x

y4 = 2x2+15x15/2xy-1500150-100sumbu simetri15/4 10y4 = 2x2+15xxy-1500150-100sumbu simetriy5 = 2x2+15x+1310Sumbu simetri dari

memotong sumbu-x di:

Penambahan komponen y3 = 13 memberikan:

Koordinat titik puncak:

y = ax2 +bx +cy = ax2yx00Polinom Pangkat Dua secara umumx2x1Sumbu simetri:

Pergeseran ke arah kiri sumbu-xPergeseran ke arah negatif sumbu-y

Penjumlahan: y3 = y1 + y2-200002000-10010xyy1y2

Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua

Mononom pangkat tiga (y1)Dan Polinom pangkat dua (y2)-200002000-10010yx y1 = 4x3

y3 memotong sumbu-x di 3 titik Hal ini tidak selalu terjadiTergantung dari nilai koefisien y12000-1010y2 y1y3 = y1 + y2-2000Kasus: a kurang positifPenurunan kurva y1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong sumbu-x di 2 titikTitik potong ke-3 jauh di sumbu-x negatif-20002000-1015y1y2 y3 = y1+y2Kasus: a terlalu positif Penurunan y1 di daerah negatif sangat tajamTak ada titik potong dengan sumbu di daerah x negatifHanya ada satu titik potong di x positif

y3 = y1 + y2y1y2-20000-10015 2000

y3 = y1 + y2-200002000-10015

a < 0Kurva y3 berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat 5. Bangun Geometrisjika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].SimetriNilai Peubah Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks Contoh:

Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) < 0

Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang

Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y Contoh:

Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,1] xy = 1 Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y Asimptot Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot Contoh:

tidak boleh < 0 agar x(x1) > 0 haruslah x < 0 atau x > 1 Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva -404-404yxJarak Antara Dua Titik Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka

Contoh: -4-22468-101234xy0[1,4][3,8]

Parabola Bentuk kurva

disebut parabola [0,0] yxy=kx2P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-yy = p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garis yada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PRQ disebut titik fokus parabola Garis y disebut direktrik Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya

P[x,y]Q[0,p]R[x,p]Contoh: Parabola

dapat kita tuliskan

Direktrik:

Titik fokus:Q[0,(0,5)] Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut titik pusat lingkaran Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r

persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [0.0]

Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu-xdan sejauh b ke arah sumbu-yPersamaan umum lingkaranberjari-jari r berpusat di (a,b)-11-110,50,5[0,0]xyr = 1

r

Contoh: Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstanDua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips X[x,y]P[-c, 0]Q[c, 0]xy

kwadratkan kwadratkan sederhanakan

X[x,y]P[-c, 0]Q[c, 0]xy[a,0][a,0][0,b][0,b] sumbu panjang = 2a sumbu pendek = 2bElips tergeser

1-10-1012xy

Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan X(x,y)P[-c,0]Q[c,0]yx

Dalam segitiga PXQ, selisih (XPXQ) < PQ 2c < 2a c2 a2 = b2

kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan persamaan hiperbola

+X(x,y)-c cyx[-a,0][a,0]Kurva tidak memotong sumbu-y Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = a dan x = a

Kurva Berderajat Dua Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah

Persamaan parabola:

Lingkaran:

F = 1 Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini Perputaran Sumbu Koordinat Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x

Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x,

Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x. -505-50xyP[-a,-a]

Q[a,a]

y

x

X[x,y]

6. Fungsi TrigonometriUntuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r = 1 Fungsi sinus

Fungsi Cosinus

Fungsi Tangent

Fungsi Cotangent

Fungsi SecanFungsi Cosecan

PQO[0,0]-11-11xyr = 1P-

Relasi-Relasi sin-11-1[0,0]1xycoscos coscos sinsin sinsin cosRelasi-Relasi sin-11-1[0,0]1xycoscos coscos sinsin sinsin cos

Karena

Contoh:

Contoh:

Fungsi Trigonometri Normal Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y perioda-1010xy2xy-101022perioda

pergeseran fungsi cosinus sejauh /2 ke arah sumbu-x positifContoh:

Fungsi SinusFungsi Cosinus-3-2-10123-3/40-/2/4/23/4-/4Fungsi Tangent

asimptot Rentang: -/4 < tan < /4 /4 < tan < 3/4 dst. Lebar rentang: /2

-3-2-101230-3/4-/2-/4 /4 /23/4Fungsi Cotangent

asimptot Rentang: 0 < tan < /2 -/2 < tan < 0 dst.Lebar rentang: /2

Fungsi Secan Fungsi Cosecan -3-2-10123-1,5--0,500,51,5-3-2-10123-1,5--0,500,51,5

Rentang: -/2 < tan < /2 /2 < tan < 3/2 dst. Lebar rentang: Rentang: 0 < tan < -< tan < 0 dst.Lebar rentang: asimptot Fungsi Trigonometri Inversi Sinus Inversi

xy-101022-0,5-0,2500,250,5 -1-0,500,51xyKurva lengkapKurva nilai utama-/2 < sin-1x 1, misal k = 1,1 = 0 = = /2-1-0,500,51-2-1012Kurva dengan a = 1Oval Cassini Kondisi khusus: k < 1, misalkan k = 0,8 = 0 = = /2-1,5-1-0,500,511,5-2-1012

Bahan Kuliah TerbukaFungsi dan Grafik

Sudaryatno Sudirham