bab ii modul d teori antrian

8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN

1/31

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1. Distribusi Poisson1

2.1.1.Defenisi Distribusi Poisson

Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak X, yaitu

banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau

disuatu daerah tertentu, sering disebut percobaan poisson. Selang waktu tersebut

dapat beberapa saja panjangnya, misalnya semenit, sehari, seminggu, sebulan,

atau bahkan setahun. Dengan demikian suatu percobaan poisson dapat saja

membangkitkan pengamatan-pengamatan bagi peubah acak X yang menyatakan

banyaknya dering telfon perhari disuatu kantor, jumlah hari sekolah ditutup

karena turunnya salju dimusim dingin, atau banyaknya pertandingan yang

tertunda karena hujan selama satu musim kompetisi sepakbola. Daerah tertentu

yang dimaksudkan di atas dapat saja berubah disuatu ruas garis, suatu luasan,

suatu volume, atau saja sepotong bahan. Dalam hal demikian ini, X mungkin sajamenyatakan banyaknya tikus sawah perhektar, banyaknya bakteri dalam suatu

kultur biakan, atau banyaknya kesalahan ketik perhalaman.

Percobaan poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut

!. "anyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu

daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi

pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

#. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang

singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang

selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung pada

banyaknya hasil percobaan yang terjadi diluar selang waktu atau daerah

tersebut.

1$onald %. &alpole.!'((. Pengantar Statistika Edisi Ke-3.)*akarta P+. ramedia

Pustaka tama h.!/0-!/1


2/31

0. Peluang bahwa jelih dari suatu hasil percobaan akan terjadi dalam selang

waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat

diabaikan.

"ilangan X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu

percobaan poisson disebut peubah acak poisson dan sebaran peluangnya disebut

sebaran poisson. 2arena nilai-nilai peluangnya hanya bergantung pada μ yaitu

rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah

yang diberikan.maka kita akan melambangkannya dengan p ( x ; μ ) . Penurunan

rumus dari p ( x ; μ ) berdasarkan ciri-ciri percobaan poisson yang dirincikan

diatas, ada diluar cakupan pada buku ini.

2.1.2. Gambaran Umum Distribusi Poisson

Sebaran peluang bagi peubah acak poisson X yang menyatakan

banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah

tertentu adalah

p )34 µ 5 e-µ µ-36 37, untuk 3 5 !,#,0,......,

Sedangkan dalam hal ini µ adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan

yang terjadi selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan dan e 5

#,/!(#(.

Sebaran poisson dan binom memiliki histogram yang bentuknya hampir

sama bila n besar dan p kecil )dekat dengan nol. 8leh karena itu, bila kedua

kondisi itu dipenuhi, sebaran poisson dengan µ 5 np dapat digunakan untuk

menghampiri peluang binom. "ila p nilainya dekat dengan !, kita dapat saling

menukarkan apa yang telah kita defenisikan sebagai keberhasilan dan kegagalan

dengan demikian mengubah p menjadi suatu nilai yang dekat dengan nol.

2.1.3. Apliasi Distribusi Poisson !alam Te"ri Antrian2

2 Sukaria Sinulingga. #99(. Pengantar Teknik Industri ):ogyakartaraha ;lmu h. #1#-

#10


3/31

Proses poisson lebih mudah dijelaskan melalui contoh berikut.


4/31

ƒ (T )= ƛe− T ƛ

Disini ƒ (T ) adalah suatu fungsi padat dari T dan T sendiri adalah

sebuah peubah sembarang )random variable.

2.2.Distribusi Eksponensial 3

2.2.1.Defenisi Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial negatif merupakan suatu distribusi random yang

variabelnya berdiri bebas tanpa memori masa lalu. Distribusi ini merupakan suatu

distribusi yang banyak digunakan dalam sistem antrian.

Distribusi eksponensial ini memudahkan analisis matematisnya, namun

sama sekali tidak menghilangkan sifatnya. Dalam hal ini apabila suatu produk

mempunyai lifetime )umur produk dengan distribusi eksponensial , maka produk

ini walaupun sudah dipakai selama n waktu akan tetap sama saja baiknya dengan

bila produk baru dikurangi sisa waktu kerusakan produk tersebut.

Suatu Continous Random Variables 3 disebut mempunyai suatu distribusi

ekponensial dengan parameter λ, dimana λ @ 9. >pabila fungsi densit probabilit

diberikan sebagai berikut

f ( x )=

{ λ e

− λx

0 { x ≥0, λ>0

¿ x yang lain

Dan kumulatif fungsi distribusinya

A )3 5 ∫−∞

x

f ( y ) dy={1−e x

untuk x>00 yanglainnya

$ata-rata )mean dari distribusi ekponensial % )3 dinyatakan sebagai berikut

3 +homas * 2akiay. #99B. !asar Teori "ntrian untuk Ke#idupan Cyata ):ogyakarta

>ndi h. ##-#0.


5/31

% )3 5 ∫−∞

∞

xf ( x ) dx

2.2.2. Gambaran Umum Distribusi Eksponensial 4

Distribusi eksponensial memiliki sifat-sifat sebagai berikut

!. Suatu random variable 3 dikatakan tidak mempunyai memori )ingatan ke

belakang lagi )memor test$ apabila P3@sEt63@tF 5 P3@tF untuk semua s,t@9

#. >pabila dianggap 3 adalah distribusi dari umur suatu benda ) produ%t$ maka

probabilitas di atas menunjukkan benda atau produ%t tersebut akan tahan

)hidup6baik paling sedikit )sEt jam di mana daya tahannya sebanyak t jam

adalah sama dengan probabilitas semula yang tahan paling sedikit s jam.

0. Dengan kata lain apabila produk tersebut hidup6tahan selama waktu t maka

distribusi dari sejumlah sisa waktunya yang bisa bertahan ) survive adalah

sama dengan original lifetime distribusinya, yang mana produk tersebut tidak

lagi diingat bahwa sudah digunakan di dalam waktu t jam.

B. Distribusi eksponensial bilamana random variabel dari distribusi eksponensial

tidak mempunyai ingatan ke belakang lagi, yang dirumuskan dengan e

-G)sEt

5e

-

Gs.- Gt

2.2.3.Apliasi Distribusi Eksponensial !alam Te"ri Antrian#

Eksponensial merupakan hal khusus dari distribusi gamma. 2eduanya

mempunyai terapan yang luas. Distribusi eksponensial dan gamma memainkan

peran yang penting dalam teori antrian dan teori keandalan )reliabilitas. *arak

antara waktu tiba di fasilitas pelayanan )misalnya bank dan loket tiket kereta api,

dan lamanya waktu sampai rusaknya suku cadang dan alat listrik, sering

menyangkut distribusi eksponensial .

4 $onald %. &alpole. !''#. Ilmu Peluang dan Statistika &ntuk Insinur dan Ilmu'an

)"andung ;+" h. #1.

5 Ibid.( h. !('


6/31

2.3.Te"ri Antrian$

+eori antrian merupakan suatu alat analisis yang sangat membantu dalam

memecahkan masalah antrian. +eori ini mencakup studi matematika yang

menghasilkan informasi penting yang dibutuhkan dalam pengambilan keputusan

dengan bantuan peramalan berbagai karakteristik barisan antri.

Sistem antrian terdiri dari barisan antrian dan stasiun pelayan. Pelanggan

yang membutuhkan pelayanan berasal dari suatu sumber yang disebut %alling

population masuk ke dalam sistem antrian dari waktu ke waktu. Para pelanggan

datang ke sistem dan bergabung membentuk barisan antrian. Pada waktu tertentu,

salah satu anggota dari barisan antri ini dipilih untuk dilayani. Pemilihan

didasarkan pada aturan tertentu yang disebut displin pelayanan. Pelayanan

diberikan kepada pelanggan melalui mekanisme pelayanan dan setelah selesai

dilayani, pelanggan tersebut meninggalkan sistem antrian.

Sistem antrian memiliki H )enam eleman utama yaitu

!. Sumber )Populasi

Salah satu karakteristik dari sumber yang perlu diketahui adalah ukuran

populasi yaitu jumlah pelanggan yang memerlukan pelayanan dari waktu ke

waktu. yang berkewajiban

melakukan melakukan pembayaran rekening listrik setiap bulan di kantor

wilayah tersebut. kuran populasi dikatakan terbatas apabila jumlah anggota

dari populasi relatif kecil atau dapat dihitung. Sebaliknya, ukuran populasi

tidak terbatas apabila jumlah anggota cukup besar atau tidak diketahui secara

persis karena jumlahnya yang besar. 2arena pengertian kecil dan besar sangat

relatif maka satu-satunya cara penentuan yang dipakai ialah ada-tidaknya pengaruh dari jumlah pelanggan yang sedang berada dalam sistem terhadap

jumlah kedatangan anggota berikutnya masuk ke dalam sistem. Populasi

dikatakan terbatas apabila jumlah pelanggan dalam sistem mempengaruhi

besarnya kedatangan berikutnya dan sebaliknya, populasi dikatakan tidak

terbatas apabila jumlah pelanggan dalam sistem tidak mempengaruhi besarnya

kedatangan berikutnya.

6 Sukaria Sinulingga, )p.%it.( h. #B'-#1#


7/31

#. 2edatangan Pelanggan

Pola distribusi kedatangan pelanggan ke dalam sistem menentukan pola

besarnya kedatangan pelanggan dalam sistem. Suatau anggapan yang bisa

dibuat adalah kedatangan pelanggan ke dalam sistem selalu mengikuti proses

Poisson. Ial ini benar apabila kedatangan pelanggan terjadi secara random

dengan kecepatan kedatangan rata-rata tertentu. >nggapan lain ialah distribusi

probabilitas dari selang waktu antara kedatangan mengikuti distribusi

eksponensial. Selang waktu antar dua kedatangan pelanggan yang berurutan

disebut selang waktu kedatangan.

0. "arisan >ntrian

Suatu antrian selalu ditandai dari besarnya jumlah pelanggan yang ada dalam

sistem antrian untuk mendapatkan pelayanan. +ergantung dari kapasitas sistem,

jumlah maksimum dari pelanggan yang dapat ditampung oleh sistem dapat

terbatas atau tidak terbatas. >ntrian disebut terbatas apabila jumlah pelanggan

yang dibenarkan masuk ke dalam sistem dibatasi sampai jumlah tertentu. "ila

pembatasan jumlah tidak ada, maka antrian tersebut tidak terbatas.

B. Displin Pelayanan

Displin pelayanan adalah suatu aturan yang dikenakan dalam memilih

pelanggan dari barisan antrian untuk segera dilayani.

7>da 1 bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan, yaitu

a. *irst In *irst )ut +*I*)$ atau *isrt Come *irst Served +*C*S$ merupakan

suatu peraturan di mana yang akan dilayani terlebih dahulu adalah

pelanggan yang datang terlebih dahulu. Jontohnya dapat dilihat pada

antrian di loket-loket penjualan karcis kereta api.

b. ,ast In *irst )ut +,I*)$ atau ,ast Come *irst Served +,C*S$ merupakan

antrian di mana yang datang paling akhir adalah yang dilayani paling awal

atau paling dahulu. Jontohnya adalah pada sistem bongkar muat barang di

dalam truk, dimana barang yang masuk terakhir justru akan keluar terlebih

dahulu.

7 +homas * 2akiay, )p.%it.( h. !#


8/31

c. Servi%e In Random )rder +SIR)$ dimana pelayanan dilakukan secara acak.

Jontohnya adalah pada arisan, di mana pelayanan atau servi%e dilakukan

berdasarkan undian )random

d. Priorit Servi%e +PS$( di mana pelayanan didasarkan prioritas khusus.


9/31

Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil,

panggilan telepon untuk dilayani, dan lain L lain. nsur ini sering dinamakan

proses input . Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan

%alling population, dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan

variabel acak. Kariabel acak adalah suatu variabel yang nilainya bisa berapa

saja sebagai hasil dari percobaan acak. Kariabel acak dapat berupa diskrit atau

kontinu. "ila variabel acak hanya dimungkinkan memiliki beberapa nilai saja,

maka ia merupakan variabel acak diskrit. Sebaliknya bila nilainya

dimungkinkan bervariasi pada rentang tertentu, ia dikenal sebagai variabel acak

kontinu.

#. Pelayan

Pelayan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan,

atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. +iap L tiap fasilitas pelayanan kadang L

kadang disebut sebagai saluran )%#annel . Jontohnya, jalan tol dapat memiliki

beberapa pintu tol. ntri

;nti dari analisa antrian adalah antri itu sendiri. +imbulnya antrian terutama

tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. *ika tak ada antrian

berarti terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan.

2.3.2. Steady State System9

*ika sistem antrian telah mencapai kondisi stead state )kedaan tunak,

maka probabilitas Pn)tF menjadi konstan dan independen terhadap waktu. Solusi

stead state untuk Pn ini bisa didapat dengan menetapkand Pn(t )dt 5 9

>sumsikanlimt→∞

Pn(t ) 5 Pn sehingga

9 Diah Puspitasari. "plikasi Sistem "ntrian dengan Saluran Tunggal pada &nit Pelaksana Teknis

+&PT$ Perpustakaan &niversitas egeri Semarang. Diakses pada tanggal #9


10/31

limt→∞

{d Pn (t)dt } 5 9ntuk t MN maka persamaan di atas menjadi

ntuk n 59 maka diperoleh

9 5 L )G 9 E O9 P9 )t E O! P! E G -! P-!

2arena G -! 5 9 dan O9 5 9 maka persamaan di atas menjadi

9 5 - G 9 P9 E O! P! ,

⇔ P! 5

λ0

μ1

P0 )!

ntuk n @ 9 diperoleh

9 5 -)G n E On Pn )t E OnE! PnE! )t - )G n-! E On-! Pn-! )t

⇔ Pn E! 5

λn

μn+1 Pn+

λn Pn− λn−1 Pn−1

μn+1 )#

Pada persamaan )#, perhatikan ruas kanan yang kedua. *ika n @ ! maka

On Pn G n !Pn -! 5 On

[ λ n−1

μn Pn−1+

λn−1 Pn−1− λn−2 Pn−2 μn ]−¿

G n !Pn -!

5 On-! Pn-! G n #Pn -#

langi perhitungan dengan nilai n yang lebih kecil, sehingga diperoleh

On Pn G n -!Pn -! 5 O!P! G 9 P9

dari persamaan untuk )! diperoleh

Pn 5

λn−1

μn Pn−1

5

λn−1

μn [ λ n−2

μn−1 Pn−2]

sehingga diperoleh

Pn 5

λn−1 λn−2… λ0

μn μn−1… μ1 P0


11/31

kuran-ukuran kinerja yang terpenting dari situasi antrian setelah

mencapai kondisi stead state yang dipergunakan untuk menganalisis situasi

antrian adalah rata-rata banyaknya pelanggan yang menunggu dalam antrian )Q R,

rata-rata waktu menunggu yang diperkirakan dalam antrian )&R, dan persentase

pemanfaatan sarana pelayanan yang diperkirakan.

Dengan mempertimbangkan sarana pelayanan sebanyak s pelayan

paralel, maka dari definisi Pn diperoleh

Q 5 ∑n=0

∞

n Pn

QR 5 ∑n=0

∞

(n−s ) Pn

Iubungan yang lain adalah sebagai berikut.

& 5 L

λ

&R 5

Lq

λ

G adalah laju kedatangan rata-rata dalam jangka waktu yang panjang dimana

´ λ 5 ∑n=0

∞

λn Pn

Persentase pemanfaatan sebuah sarana pelayanan dengan s pelayan yang paralel

dapat diperoleh sebagai berikut.

Persentase pemanfaatan 5 λ

s μ 3 !99

Solusi stead state ini diturunkan dengan asumsi bahwa parameter-

parameter G n dan On adalah sedemikian sehingga kondisi stead state dapat

tercapai. >sumsi ini terjadi jika 5 λ

s μ T !.


12/31

2.3.3.'"!el(m"!el Sistem Antrian1)

>da beberapa model pada sistem antrian diantaranya adalah sebagai

berikut

2.3.3.1. Single Channel – Single Phase

Single C#annel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki sistem

pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single P#ase berarti hanya ada satu

pelayanan.

Gambar 2.1. '"!el Single Channel – Single Phase

2.3.3.2. Single Channel – Multi Phase

;stilah /ulti P#ase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang

dilaksanakan secara berurutan )dalam p#ase-p#ase. Sebagai contoh pencuci

mobil.

Gambar 2.2. '"!el Single Channel – Multi Phase

2eterangan < 5 >ntrian

S 5 Aasilita Pelayanan

2.3.3.3. Multi Channel – Single Phase

Sistem /ulti C#annel 0 Single P#ase terjadi kapan saja dimana ada dua

atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal, sebagai contoh model ini

adalah antrian pada teller sebuah bank.

10 ; Cyoman ( )p. %it ., h. B-H


13/31

Gambar 2.3. '"!el Multi Channel – Single Phase

.3.3.*. Multi Channel – Multi Phase

Sistem /ulti C#annel 0 /ulti P#ase ditunjukkan dalam gambar berikut.

Sebagai contoh, registrasi para mahasiswa di universitas, pelayana kepasa pasien

di rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai

pembayaran. Setiap sistem-sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan

pada setiap tahapnya.

Gambar 2.*. '"!el Multi Channel – Multi Phase

2.3.*. N"tasi !an Termin"l"+i Antrian11

+erminologi dan notasi yang digunakan dalam sistem antrian adalah

sebagai berikut

2eadaan sistem *umlah pelanggan pada sistem antrian.

Panjang antrian *umlah pelanggan yang menunggu pelayanan

%n 2eadaan dimana ada n pelanggan pada sistem antrian.

Pn)t 2emungkinan bahwa tepat ada n pelanggan dalam sistem

antrian pada saat t

s *umlah pelayan pada sistem antrian.

11 Diah Puspitasari. )p. Cit ., h. ##-#B.


14/31

Gn Qaju kedatangan rata-rata )ekspektasi jumlah kedatangan per

satuan waktu dari pelanggan baru jika ada n pelanggan

dalam sistem.

On Qaju pelayanan rata-rata )ekspektasi jumlah pelanggan yang

dapat selesai dilayani per satuan waktu jika ada n pelanggan

dalam sistem.

*ika G n adalah konstan untuk semua n, maka dapat ditulis sebagai G .

*ika On konstan untuk semua n U !, maka dapat ditulis sebagai O . Disini O n 5 s O

jika n U s sehingga seluruh pelayan )sejumlah s sibuk. Dalam hal ini1

λ

menyatakan ekspektasi waktu diantara kedatangan, sedangkan1

μ menyatakan

ekspektasi waktu pelayanan. V5 λ

s μ adalah faktor penggunaan )utilisasi untuk

fasilitas pelayanan, yaitu ekspektasi perbandingan dari waktu sibuk para pelayan.

*ika suatu sistem antrian telah mulai berjalan, keadaan sistem )jumlah

unit dalam sistem akan sangat dipengaruhi oleh state )keadaan awal dan waktu

yang telah dilalui. Dalam keadaan seperti ini, sistem dikatakan dalam kondisi

transien. +etapi, lama kelamaan keadaan sistem akan independen terhadap state

awal tersebut, dan juga terdapat waktu yang dilaluinya. 2eadaan sistem seperti ni

dikatakan berada dalam kondisi stead state. +eori antrian cenderung memusatkan

pada kondisi stead state, sebab kondisi transien lebih sukar dianalisis.

Cotasi-notasi berikut ini digunakan untuk sistem dalam kondisi stead

state

Pn 2emungkinan bahwa tepat ada n pelanggan dalam sistem antrian.

Q $ata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem.

QR $ata-rata panjang antrian.

& $ata-rata waktu yang dihabiskan oleh seorang pelanggan dalam sistem.

&R $ata-rata waktu yang dihabiskan oleh seorang pelanggan dalam antrian.


15/31

&)t Peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih dari t

dalam sistem.

&R)t Peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih dari t

dalam antrian.

"erikut ini akan di uraikan hubungan antara Q dan &. >sumsikan bahwa

G n adalah konstan untuk semua n sehingga cukup ditulis G .


16/31

Cotasi baku yang mengganti simbol a dan b untuk distribusi kedatangan

dan keberangkatan sebagai berikut.

< Distribusi kedatangan atau keberangkatan berdistribusi Poisson )waktu antar

kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial .

D &aktu antar kedatangan atau waktu pelayanan yang konstan atau

deterministik.

%k &aktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi %rlang atau

amma dengan parameter k.

; Distribusi independen umum dari kedatangan.

Distribusi umum dari keberangkatan.

Cotasi baku yang mengganti simbol d untuk peraturan pelayanan adalah

umum )D dalam arti bahwa peraturan tersebut dapat P


17/31

0.


18/31

dan

a. "ila 9 W n W s

Pn 5(λ /µ )

n

n! P0

b. "ila n U s

Pn 5(λ /µ )

n

s!sn-s

P0

Pn5 Probabilitas n pelanggan yang menunggu

s 5 "anyaknya server dalam satu jalur

G 5 *umlah kedatangan rata-rata per satuan waktu

5 *umlah rata-rata yang dilayani per satuan waktu pada setiap jalur

2.3.$.1. Rata(Rata Tin+at ,e!atan+an %elan++an

2edatangan langganan ke dalam sistem selalu menurut proses Poisson,

yaitu banyaknya langganan yang datang sampai pada waktu tertentu mempunyai

distribusi Poisson. >nalisis sistem antrian untuk tingkat kedatangan )λ

didasarkan pada jumlah rata-rata kedatangan pelanggan pada interval waktu yang

tetap, sebagai berikut

I

- # =λ

Dimana

C 5 *umlah kedatangan historis

; 5 *umlah interval waktu pengamatan


19/31

2.3.$.2. Rata(Rata Tin+at %ela-anan

+ingkat pelayanan yang dinyatakan dengan notasi adalah jumlah

kendaraan atau manusia yang dapat dilayani oleh satu tempat pelayanan dalam

satu satuan waktu tertentu, biasa dinyatakan dalam satuan kendaraan6jam atau

orang6menit )&P.

℘= 1❑

Dimana

&P 5 +ingkat Pelayanan

µ 5 *umlah rata-rata yang dilayani per satuan waktu pada setiap jalur

Selain itu dikenal juga notasi V yang didefinisikan sebagai nisbah antara

tingkat kedatangan )G dengan tingkat pelayanan ) dengan persyaratan bahwa

nilai tersebut selalu harus lebih kecil dari !

V5 G6 T !

*ika nilai V @ !, hal ini berarti bahwa tingkat kedatangan lebih besar dari

tingkat pelayanan. *ika hal ini terjadi, maka dapat dipastikan akan terjadi antrian

yang akan selalu bertambah panjang.

2.3.$.3. Tin+at Utilitas Sistem

Dalam faktor utilitas dikenal istilah )under saturated 4ueue untuk V T !,

yaitu bila tingkat kedatangan kurang dari maksimum tingkat pelayanan. >pabila

kondisi sebaliknya disebut dengan )over saturated 4ueue, dimana V @ ! akan

terjadi suatu antrian yang semakin lama semakin panjang, bila sumber input atau

kedatangan menunjukkan angka yang tak terhingga sehingga akibatnya akan

terjadi antrian yang tidak akan habis. Pada kondisi )under saturated 4ueue, laju

kedatangan dapat diatasi oleh tingkat kemampuan pelayanan, sehingga akan

tercapai suatu kondisi ) stead state, yaitu suatu kondisi dimana terjadi

keseimbangan antara laju kedatangan dengan tingkat pelayanan suatu fasilitas.

+ingkat utilitas sstem dapat ditentukan dengan persamaan sebagai

berikut


20/31

V 5 λ

k μ

Dimana

V 5 +ingkat utilitas sistem

λ 5 +ingkat kedatangan

μ 5 +ingkat pelayanan

2.3.$.*. Rata(Rata umla/ %en+un0un+ !alam Antrian L1#

$ata-rata jumlah pegunjung dalam antrian )QR dirumuskan sebagai

berikut

QR 5P0 (λ/µ)

sρ

s! (1-ρ)2

QR5 *umlah rata-rata pegunjung dalam antrian

s 5 "anyaknya server dalam satu jalur G 5 *umlah kedatangan rata-rata per satuan waktu


r 5 tilisasi server 5 l6s.m

QR 5 rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian

2.3.$.#. Rata(Rata umla/ %en+un0un+ !alam Sistem L

$ata-rata jumlah pegunjung dalam sistem )Q dirumuskan sebagai

berikut

Qs 5 QR Eλ

µ

Qs 5 *umlah rata-rata pegunjung dalam sistem

QR 5 *umlah rata-rata pegunjung dalam antrian


15 Ibid.( h. 01


21/31


2.3.$.$. Rata(Rata 4atu %en+un0un+ !alam Antrian 4

$ata-rata waktu pegunjung dalam antrian )&R dapat diformulasikan

sebagai berikut

&R 5Lq

λ

QR 5 *umlah rata-rata pegunjung dalam antrian


&R 5 $ata-rata waktu pegunjung dalam antrian

2.3.$.5. Rata(Rata 4atu %en+un0un+ !alam Sistem 4

$ata-rata waktu pegunjung dalam sistem )& dapat diformulasikan

sebagai berikut

&s 5 &R E1

µ

&s 5 $ata-rata waktu pegunjung dalam sistem


&R 5 $ata-rata waktu pegunjung dalam antrian

2.*. Softwae Easy!it

2.*.1. 6un+si !an Se0ara/ Easy!it 1"

Eas*it membantu dalam urusan dengan ketidakpastian dan membuat

keputusan dengan menganalisis data probabilitas yang telah dibuat dan memilih

distribusi yang memiliki fitting terbaik. Eas*it memungkinkan untuk dengan

mudah masuk sejumlah besar distribusi yang diperoleh dalam hitungan detik,

menghemat waktu dan mencegah kesalahan analisis.

16


22/31

2.*.2. Simb"l(simb"l -an+ Di+unaan !alam %en+"la/an Easy!it

Simbol dalam pengolahan Eas*it dapat dilihat pada ambar #.1.

berikut.

Gambar 2.#. Simb"l !alam Easy!it

2.*.3. Lan+a/(lan+a/ %en+u0ian Distribusi !en+an Softwae Easy!it

Qangkah-langkah pengolahan soft'are easfit adalah sebagai berikut

!. Pilihlah software easfit yang ada pada dekstop

#.


23/31

2.#. Softwae #in$S% 15

2.#.1. 6un+si !an Se0ara/ #in$S%

Soft'are YS" )7uantit Sstem for business atau umumnya juga

dikenal dengan nama I7S2 )YS" yang berjalan pada sistem operasi &indows

merupakan software yang mengandung algoritma problem solving untuk riset

operasi )operational resear%# dan untuk ilmu manajemen. Soft'are ini

dikembangkan oleh :ih-Qong Jhang. Soft'are ini terdapat beberapa submodul

yang dapat membantu menyelesaikan permasalahan umum dalam menajemen

bagi manajer dan masalah bisnis umumnya.

I7S2 sendiri terdapat beberapa modul yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan masalah masalah operation resear%# dan ilmu manajemen seperti

analisis Sampling, >gregat dalam sistem Produksi, >nalisis 2eputusan,

Pemrograman dinamis, goal programming , +ata letak fasilitas, peramalan

permintaan, Sistem inventor, Penjadwalan kerja, Pemrograman Qinier dan

Integer , Pernencanaan kebutuhan material )


24/31

Sampling )JhSP-!, Continuous Sampling )JSP-! dan Skip-lot Sampling )S

kS P-#.

b. "ggregate Planning

"gregate Planning atau perencanaan agregat sering kali digunakan dalam

divisi Planning Produ%tion Inventor Control )PP;J atau dalam sistem

produksi. "gregate planning yaitu menggabungkan dan mengalokasikan

kapasitas produksi yang ada . >da pun permasalahan yang terdapat dalam

agregasi ini meliputi model sederhana, permasalahan transportasi, dan model

,inear programming . Kariabel yang dimasukkan yaitu kapasitas produksi

dihitung dengan &;CYS" ini dengan mengisi variabel kapasitas part-time,over time( ba%k order( lost sales( umber of Planning Periods( Capa%it

Re4uirement per Produ%t6Servi%e( Initial umber of Planning Resour%e (Initial

lnventor( 2a%korder of Produ%t6Servi%e sehingga nanti bisa menghitung

perencanaan agregasi dalam sistem produksi.

c. !e%ision "nalsis

ntuk menganalisis dari beberapa alternatif keputusan yang diambil sehingga

keputusan yang diambil bisa tetap. I7S2 juga bisa melakukan perhitungan

seperti ini. >dapun permasalahan yang bisa dianalisis meliputi 2esian

"nalsis( Paoff Table "nalsis( T'o-plaer( ;ero-sum


25/31

penjualan. Dengan Program I7S2 ini dapat menganalisis data untuk

peramalan time series dan peramalan regresi. ed-)rder-7uantit )s. Y, Sistem Continuous Revie' )rder-&p-To )s. S,

Periodi% Revie' *i>ed-)rder-Interval )$. S, Periodi% Revie' )ptional

Replenis#ment )$. s. S.

i. ?ob S%#edulling

?ob s%#edulling bisa melakukan penjadwalan kerja sesuai dengan jumlah

sumber daya yang terbatas baik itu mesin, manusia dan jumlah operasi dalam

pekerjaan. ?ob s%#edulling ini untuk mendapatkan waktu dan alokasi yang

optimal.

j. ,inear and Integer Programming

,inear dan Integer Programming merupakan bagian dari riset operasi. "anyak

permasalahan perusahaan yang dirumuskan kedalam linear dan Integer

programming . +ujuan dari ini adalah untuk mendapatkan nilai yang optimal

dengan memperhatikan keterbatasan sumber daya.


26/31

2.#.3. Lan+a/(Lan+a/ %en+"la/an1&

Qangkah L langkah pegolahan data pada model antrian dengan Soft'are

in7S2 adalah sebagai berikut

:. "uka aplikasi dengan cara klik Start @ Program @ in7S2 @ 7ueuing "nalsis

Gambar 2.5. 'embua Apliasi #in$S%

8. 2emudian, akan muncul tampilan awal dari in7S2 dan pilih *ile @ e'

Problem atau klik i%on ne' folder .

Gambar 2.&. #in$S% &ew Po'lem

3. >kan muncul pilihan menu Simple /6/ sstem dan


27/31

Gambar 2.8. Po'lem Spe(ifi(ation

B. ;si kolom dengan nilai yang sesuai dengan kasus yang akan diselesaikan.

Gambar 2.1). 'asuan Nilai e Dalam ,"l"m

1. 2emudian pilih menu Solve and "nal=e @ Solve T#e Performan%e atau klik

icon dari Solve T#e Performan%e.

Gambar 2.11. %ili/ Sol)e *he Pefoman(e

A. 2emudian akan muncul tampilan hasil analisis in7S2.


28/31

Gambar 2.12. Tampilan 7asil Analisis #in$S%

2.$. Simulasi Antrian18

2.$.1. Tu0uan Simulasi

Simulasi ialah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan

menggunakan model dari satu sistem nyata. Simulasi merupakan suatu model

pengambilan keputusan dengan mencontoh atau mempergunakan gambaran

sebenarnya dari suatu sistem kehidupan dunia nyata tanpa harus mengalaminya

pada keadaan yang sesungguhnya. +ujuan simulasi dengan server optimum adaah

untuk mengetahui apakah dengan adanya penambahan atau pengurangan server

suatu sistem akan semakin baik atau buruk.


29/31

untuk masa lebih singkat dari masa perencanaan.


30/31

#.


31/31

0. jilah model dan bandingkan tingkah lakunya dengan tingkah laku sistem

nyata.

B. $ancang percobaan-percobaan simulasi.

1. *alankan simulasi dan analisis data.

bab ii modul d teori antrian

Documents