I – 1

PRAKTIKUM STOKASTIK

MODUL TEORI ANTRIAN

1.1. Tujuan Praktikum

Dari kegiatan praktikum ini, praktikan diharapkan :

1. Dapat memahami fungsi dan manfaat dari teori antrian.

2. Dapat memahami konsep dasar dari teori antrian pada layanan fasilitas

tunggal.

3. Dapat mengaplikasikan teori antrian yang sudah dipelajari untuk

menyelesaikan permasalahan dalam sistem antrian..

1.2. Landasan Teori

1.2.1 Pengertian Teori Antrian

Teori antrian diciptakan pada tahun 1909 oleh ahli matematika dan

insinyur berkebangsaan Denmark yang bernama A.K Erlang. Menurut P. Siagian

(1987), suatu antrian adalah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang

memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayanan (fasilitas layanan). Studi

matematikal dari kejadian atau gejala garis tunggu ini disebut teori antrian.

Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi

kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga nasabah yang

tiba tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan pelayanan.

Dalam banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk

mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi, biaya

karena memberikan pelayanan tambahan, akan menimbulkan pengurangan

keuntungan mungkin sampai di bawah tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya,

sering timbulnya antrian yang panjang akan mengakibatkan hilangnya langganan

atau nasabah.

Antrian yaitu yang terjadi pada orang-orang, barang-barang, komponen-

komponen atau kertas kerja yang harus menunggu untuk mendapatkann jasa

I - 2

pelayanan atau dikerjakan (Subagyo, 2000). Teori antrian memiliki definisi teori

yang menyangkut studi sistematis dari antrian-antrian atau baris-baris

penungguan. Teori antrian berkenaan dengan seluruh aspek dari situasi dimana

pelanggan (baik orang maupun barang) harus antri untuk mendapatkan suatu

pelayanan.

1.2.2 Konsep-konsep Dasar Teori Antrian

Menurut Pangestu, dkk (1989), tujuan dasar model-model antrian adalah

untuk meminimumkan total dua biaya, yaitu biaya langsung penyediaan fasilitas

pelayanan dan biaya tidak langsung yang timbul karena para individu harus

menunggu untuk dilayani.

Sistem antrian sederhana ini mempunyai 2 bagian dasar, yaitu suatu

antrian tunggal dan sebuah fasilitas pelayanan tunggal, yang juga disebut sebagai

single channel. Berikut ini merupakan antrian dengan model singgle channel :

Gambar 1. Antrian Model Singgle Channel

Sistem antrian yang memiliki banyak model, secara umum memiliki 6 elemen

elemen pokok, yaitu (Pangestu, dkk., 1989) :

a. Elemen Pokok dalam Sistem Antrian

Elemen pokok dalam sistem antrian meliputi suatu antrian meliputi sistem

yang memiliki 2 bagian dasar yaitu suatu antrian tunggal dengan fasilitas

pelayanan juga yang juga tunggal (Binus, 2002).

Gambar 2. Elemen Sistem Antrian

Antri Fasilitas

Pelayanan

Populasi Sumber Masukan Sistem Antrian Keluar

Individu -individu

Individu yang telah dilayani

I - 3

b. Sumber masukan (Input)

Sumber masukan dari suatu sistem antrian dapat terdiri atas suatu populasi

orang, barang, komponen atau kertas kerja yang datang pada sistem untuk

dilayani.

c. Pola Pertibaan

Cara individu-individu dari populasi memasuki sistem disebut pola

kedatangan (arrival pattern). Individu-individu mungkin datang dengan

tingkat kedatangan (arrival rate) yang konstan ataupun acak/random (yaitu

beberapa banyak kedatangan individu-individu per periode waktu).

Distribusi probabilitas Poisson adalah salah satu dari pola-pola kedatangan

yang paling sering (umum) bila kedatangan-kedatangan didistribusikan secara

random. Hal ini terjadi karena distribusi Poisson menggambarkan jumlah

kedatangan per unit waktu bila sejumlah besar variabel-variabel random

mempengaruhi tingkat kedatangan. Bila pola kedatangan individu-individu

mengikuti suatu distribusi Poisson, maka waktu antar kedatangan atau

interarrival time (yaitu waktu antara kedatangan setiap individu) adalah

random dan mengikuti suatu distribusi eksponensial (exponential

distribution).

d. Disiplin Antrian

Disiplin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang digunakan untuk

menyeleksi individu-individu yang memasuki antrian utnuk dilayani terlebih

dahulu (prioritas). Disiplin antrian yang paling umum adalah pedoman first

come first served (FCFS), yang pertama kali datang pertama kali dilayani.

Tetapi bagaimanapun juga ada beberapa tipe disiplin antrian lainnya yang

dapat termasuk dalam model-model matematis antrian.

Menurut Siagian (1987), ada 4 bentuk disiplin pelayanan yang biasa

digunakan dalam praktek, yaitu:

1. First come first served (FCFS) atau first in first out (FIFO), artinya lebih

dahulu datang (sampai) lebih dahulu dilayani. Misalnya antri membeli

tiket bioskop.

I - 4

2. Last come first served (LCFS) atau last in first out (LIFO), artinya yang

tiba terakhir yang lebih dahulu keluar. Misalnya, sistem antrian dalam

elevator (lift) untuk lantai yang sama, atau sistem bongkar muat barang.

3. Service in random order (SIRO), artinya panggilan didasarkan pada

peluang secara random, tidak soal siapa yang lebih dahulu tiba.

4. Priority service (PS), artinya prioritas pelayanan diberikan kepada yang

mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan yang mempunyai

prioritas lebih rendah, meskipun yang terakhir ini kemungkinan sudah

lebih dahulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini kemungkinan

disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang dengan keadaan

penyakit lebih berat dibanding dengan orang lain dalam suatu tempat

praktek dokter. Mungkin juga, karena kedudukan atau jabatan seseorang

menyebabkan dilayani terlebih dahulu atau diberi prioritas lebih tinggi,

tidak soal siapa yang terlebih dahulu masuk garis tunggu.

e. Panjang Antrian

Banyak sistem antrian dapat menampung jumlah individu-individu yang

relatif besar, tetapi ada beberapa sistem yang mempunyai kapasitas terbatas.

Bila kapasitas antrian menjadi faktor pembatas besarnya jumlah individu yang

dapat dilayani dalam sistem secara nyata, berarti sistem mempunyai

kepanjangan antrian yang terbatas (finite).

f. Tingkat pelayanan

Tingkat pelayanan sangat erat kaitannya dengan waktu pelayanan. Waktu

pelayanan merupakan waktu yang digunakan untuk melayani individu-

individu dalam suatu sistem disebut waktu pelayanan (service time). Waktu ini

mungkin konstan, tetapi juga sering acak (random). Jika waktu pelayanan

konstan, maka waktu yang diperlukan untuk melayani setiap pelanggan sama.

Walaupun distribusi Poisson dan distrubusi eksponensial adalah distribusi

yang paling sering digunakan untuk menggambarkan tingkat kedatangan dan

waktu pelayanan, tidak semua kedatangan dan pelayanan dapat secara tepat

digambarkan oleh distribusi tersebut.

I - 5

g. Keluar (Output)

Sesudah seseorang (individu) telah selesai dilayani, dia keluar dari sitem.

Individu yang keluar dari sistem mungkin saja bergabung pada satu diantara

kategori populasi baik populasi asal yang mempunyai probabilitas asal yang

sama untuk memasuki sistem kembali, atau dapat saja bergabung dengan

populasi yang lebih kecil dalam hal kebutuhan pelayanan tersebut kembali.

1.2.3 Model Antrian Dasar

Berdasarkan sifat proses pelayanan, dapat diklasifikasikan fasilitas

pelayanan dalam susunan saluran atau channel (single atau multiple) dan phase

yang akan membentuk suatu struktur amtrian yang berbeda-beda. Istilah saluran

atau channel menunjukkan jumlah jalur atau tempat untuk memasuki sistem

pelayanan, yang juga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan. Istilah phase

berarti jumlah stasiun-stasiun pelayanan, dimana pelanggan harus melaluinya

sebelum dinyatakan pelayanan lengkap. Terdapat 4 model struktur antrian dasar

yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian, (Pangestu, dkk, 1989):

1. Single channel-single phase

Sistem ini adalah yang paling sederhana. Single channel berarti bahwa

hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas

pelayanan. Single phase menunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun

pelayanan atau sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan. Rumus-rumus

yang digunakan yaitu:

Ls = λµ

λ−

Ws = λµ −

1 P =

µλ

Po = 1 - µλ

Lq = )(

2

λµµλ

− Wq =

)( λµµλ−

Pn = n

−µλ

µλ

1

Keterangan :

λ = Rata-rata tingkat kedatangan/jam

µ = Rata-rata tingkat Pelayanan/jam

Lq = Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (unit)

Ls = Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (unit)

I - 6

Wq = Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Jam)

Ws = Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Jam)

P = Tingkat intensitas fasilitas pelayanan

Pn = Probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem

Po = Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem

Secara umum sistem Single channel-single phase dimodelkan sebagai berikut:

Gambar 3. Struktur Antrian Single Channel-Single Phase

Keterangan :

M = Antrian ; S = Fasilitas Pelayanan (server)

2. Single channel-multiphase

Istilah multiphase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang

dilaksanakan secara berurutan (dalam phase-phase). Sebagai contoh : lini

produksi massa, pencucian mobil, tukang cat mobil, dan sebagainya. Rumus-

rumus yang digunakan yaitu:

Lq =

−

−

−+

−

−

Q

Q

QQ

µλ

µλ

µλ

µλ

µλ

11

)1(121

2

L =

−

−

+

+−

+

+

1

1

11

)1(1

Q

QQ

QQ

µλ

µλ

µλ

µλ

µλ

P =

n

Q

−

−

+ µλ

µλ

µλ

1

1

1

I - 7

Keterangan :

Q = Jumlah server

Berikut ini merupakan gambaran secara umum dari sistem Single channel-

multiphase:

Gambar 4. Struktur Antrian Single Channel Multiphase

3. Multichannel-single phase

Sistem Multichannel-single phase terjadi ketika ada dua atau lebih fasilitas

pelayanan dialiri oleh antrian tunggal, seperti yang ditunjukkan oleh gambar 5.

Sebagai contoh model ini adalah pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari

satu loket, pelayanan potong rambut oleh beberapa tukang rambut, dan

sebagainya. Rumus-rumus yang digunakan yaitu:

P = µ

λS

L = µλ+Lq W =

µ1+Wq

Lq = PoSS 2

2

)()!1( λµµλλµ

−−

Pw =

−

µλµ

λ

SS

Pos

1!

Wq = S

SSS

Po

−µλ

µλµ

2

1)!(

Po =

∑=

=

−

+

1

0 1!!

1

S

n

Sn

SS

n

µλ

µλ

µλ

I - 8

Berikut ini merupakan gambaran secara umum dari sistem Multichannel-

single phase:

Gambar 5. Struktur Antrian Multichannel-Single Phase

4. Multichannel-multiphase

Sistem Multichannel-multiphase ditunjukkan oleh gambar 6. Sebagai

contoh, registrasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada pasien di

rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai dengan

pembayaran. Pada umunya, jaringan antrian ini terlalu kompleks untuk

dianalisa dengan teori antrian, mungkin simulasi lebih sering digunakan untuk

menganalisa sistem ini.

Gambar 6. Struktur Antrian Multichannel-Multiphase

Selain empat model struktur antrian di atas sering terjadi struktur

campuran (mixed arrangements) yang merupakan campuran dari dua atau lebih

struktur antrian di atas. Misal, ditoko-toko dengan beberapa pelayan

(multichannel), namun pembayaran hanya pada seorang kasir (single channel).

1.3 Studi Kasus Single Channel- Single Phase

Pada praktikum kali ini akan dibahas mengenai permasalahan pada system

antrian sederhana single channel-single phase.

I - 9

PT. Nutrimilk adalah perusahaan yang bergerak dibidang produksi dan

penjualan susu kemeasan. Seorang manager perusahaan Nutrimilk ingin

melakukan perbaikan terhadap proses produksi susu. Perbaikan yang dilakukan

oleh manager tersebut fokus terhadap antrian yang terjadi pada pengisisan

material susu kedalam kemasan susu tersebut. Laporan yang berhasil didapatkan

oleh manager tersebut, yaitu rata-rata kedatangan produk adalah sebesar 2

unit/menit, sedangkan rata-rata tingkat pelayanan produk tersebut adalah sebesar 3

menit. Dari informasi tersebut tentukan:

a. Tingkat Intensitas Fasilitas Pelayanan (P)

b. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Lq)

c. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Ls)

d. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Wq)

e. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Ws)

f. Probabilitas tidak terdapat pelayanan produk dalam sistem (Po)

1.3.1 Penyelesaian

Diketahui:

Rata-rata kedatangan (λ) = 2 unit/menit

Rata-rata pelayanan (µ) = 3 menit

Jawab:

a. Tingkat intensitas fasilitas pelayanan

b. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian

c. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem

d. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian

66,7%=0,667=3

2=

µ

λ=P

unit 21,3333

4

2)3(3

2

λ)µ(µ

λLq

22

≈==−

=−

=

2unit23

2

λµ

λLs =

−=

−=

I - 10

e. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam sistem

f. Probabilitas tidak terdapat pelanggan dalam sistem

Berikut ini merupakan penyelesaian menggunakan software POM-QM.

Pertama, membuka program Waiting Lines pada menu Module. Kemudian

memilih perintah new problem dan melakukan input data seperti pada gambar di

bawah ini.

Langkah selanjutnya adalah mengisi data entry seperti pada gambar di

bawah ini sesuai dengan studi kasus.

Langkah terakhir adalah melakukan penyelesaian akhir dengan memilih

perintah solve and analyse dilanjutkan dengan solve the performance. Sehingga

akan diperoleh output sebagai berikut.

detik 40,2menit 0.672)3(3

2

λ)µ(µ

λWq ≈=

−=

−=

menit 12)(3

1

λ)(µ

1Ws =

−=

−=

33,3%atau 0,3333

21

µ

λ-1Po =−==

I - 11

1.4 Studi Kasus Multi Channel- Single Phase

Manager perusahaan Nutrimilk tersebut juga ingin melakukan perbaikan

terhadap proses pengemasan. Perbaikan akan dilakukan oleh manager pada

proses pengemasan tersebut, karena dari laporan yang didapat dari 3 pekerja yang

mengemas produk terdapat antrian. Laporan yang berhasil didapatkan oleh

manager tersebut, bahwa rata-rata produk yang datang adalah sebesar 36

kardus/jam, sedangkan rata-rata tingkat pelayanan produk tersebut adalah sebesar

4 menit/kardus. Dari informasi tersebut tentukan:

a. Tingkat intensitas fasilitas pelayanan (P)

b. Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem (Po)

c. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Lq)

d. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (L)

e. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Wq)

f. Waktu rata-rata unit dalam antrian (W)

g. Probabilitas menunggu dalam antrian (Pw)

1.4.1 Penyelesaian

Diketahui:

Fasilitas pelayanan (S) = 3 orang

Rata-rata kedatangan (λ) = 36 kardus/jam

Rata-rata pelayanan (µ) = 4 menit/kardus = 15 kardus/jam

I - 12

Jawab :

a. Tingkat Intensitas

b. Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem

c. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian

d. Jumlah unit rata-rata yang terdapat dalam sistem

e. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian

f. Waktu rata-rata unit dalam antrian

( ) ( ) ( ) ( )

5,62%=0,0562=Po

3x1536

13!

336/15+

2!

236/15+

1!

136/15+

0!

036/15∑

1S

0=n

1=Po

∑

1S

0=nSµλ

1S!

S

µ

λ

+n!

n

µ

λ

1 = Po

( )unit 3≈2.59=0.0562

(81)(2)!

13.824 540=Lq

0.056236)- (3.151)!- (3

1536

36.15=Po

λ)-(SµS1)!- (S

µ

λλµ

= Lq2

3

2

s

unit 5≈4,99=15

36+2.59=

µ

λ+Lq = L

[ ]( ) 0.072jam=13.824

0.2 2700.0562

=Wq

1536

3.1536

1)15.3(3!

0.0562=

µ

λ

Sµλ

1)µS(S!

Po = Wq

2

3

2

S

2

menit 8.4≈ 0.14jam=151

+0.072=µ

1+Wq=W

80%=0,8=3.15

36=

Sµ

λ = P

I - 13

g. Probabilitas menunggu dalam antrian

Berikut ini merupakan penyelesaian menggunakan software POM-QM.

Pertama, membuka program Waiting Lines pada menu Module. Kemudian

memilih perintah new problem dan melakukan input data seperti pada gambar di

bawah ini.

Langkah selanjutnya adalah mengisi data entry seperti pada gambar di

bawah ini sesuai dengan studi kasus.

Langkah terakhir adalah melakukan penyelesaian akhir dengan memilih

perintah solve and analyse dilanjutkan dengan solve the performance. Sehingga

akan diperoleh output sebagai berikut.

( ) [ ] 64.74%≈0.6474=0.26

0.056213.824=

3.1536

13!

0.05621536

=

Sµλ

1S!

Poµ

λ = Pw

3s

I - 14