plagiat merupakan tindakan tidak terpujirepository.usd.ac.id/27163/2/103114005_full.pdf · 2018. 5....

MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI

POISSON DAN WAKTU PELAYANAN BERDISTRIBUSI ERLANG

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :

Nama : Marcelina Novi Agustiarini

NIM : 103114005

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2014

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii


iii


iv


v

HALAMAN PERSEMBAHAN:

Kupersembahkan skripsi ini kepada:

Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang telah memberkati saya sehingga

dapat menyelesaikan skripsi ini

Ibu dan ayah yang selalu memberikan doa dan dukungan sehingga skripsi

ini dapat selesai

Ibu Lusi yang selalu membimbing dan membantu saya dengan penuh

kesabaran

Sahabat-sahabat dan semua orang yang selalu mendukung dan

menyayangi saya

Semua mahasiswa Prodi Matematika yang sudah menjadi teman sekaligus

keluarga bagi saya


vi


vii

ABSTRAK

Antrian merupakan proses saling menunggu giliran untuk menerima

pelayanan.Antrian yang terlalu lama dan sangat panjang tentu akan sangat

merugikan bagi pelanggan maupun pelayan dalam antrian tersebut. Oleh karena

itu, perlu dilakukan penentuan jumlah pelayan yang sesuai dengan tingkat

kedatangan. Kedatangan pelanggan dapat dipelajari karakteristiknya.

Karakteristik-karakteristik dapat terwakilkan dengan adanya distribusi. Distribusi

yang dapat mewakili kedatangan adalah distribusi Poisson. Tidak hanya

kedatangan saja yang dapat dipelajari karakteristik-karakteristiknya tetapi juga

waktu pelayanan.Beberapa distribusi yang dapat mewakili waktu pelayanan

adalah distribusi eksponensial dan distribusi Erlang. Jika pada model antrian

berdistribusi eksponensial banyaknya fase hanya satu sedangkan pada model

antrian berdistribusi Erlang banyaknya fase dalam model antrian jumlahnya dapat

berhingga dan tak berhingga. Pada tulisan ini waktu pelayanannya berdistribusi

Erlang. Penentuan jumlah pelayan yang optimal merupakan hal yang sangat

penting dalam analisis sistem antrian. Untuk menentukan jumlah pelayan yang

optimal perlu adanya ukuran-ukuran kinerja sistem. Ukuran-ukuran kinerja sistem

meliputi rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem, rata-rata banyaknya

pelanggan dalam antrian, rata-rata waktu menunggu dalam sistem, dan rata-rata

waktu menungggu dalam antrian.Dalam menentukan jumlah pelayan perlu

mempertimbangkan model biaya. Apabila jumlah pelayan ditambah maka waktu

pelanggan untuk menunggu akan semakin berkurang. Tetapi, apabila jumlah

pelayan ditambah maka biaya untuk yang harus dikeluarkan untuk menggaji

pelayan juga bertambah. Pada penerapan antrian di RSUD Gunung Jati

banyaknaya fase ada tiga, yaitu: etiket, pengemasan, dan pengecekan. Jumlah

pelayan hanya satu dan waktu tunggu masih lama sehingga belum optimal.

Dengan menggunakan model biaya jumlah pelayan pada masing-masing tahap

adalah dua orang. Penambahan pelayan ini juga dapat mengurangi waktu tunggu.


viii

ABSTRACT

Queue is a mutual process of waiting to receive services. A very long

queues would be very detrimental for customers and servers. Therefore, it is

necessary to determine the appropriate number of servants to the arrival rate. The

characteristics customers is arrival can be studied. It can be represented by the

distribution,that is the Poisson distribution. Not only arrival that can be studied its

characteristics but also service time. The distributions may represent the service

time are exponential distribution and Erlang distribution. In the queuing model of

exponential distribution the number of phases is only one, where in the queuing

model with Erlang distribution the number of phases in the model can be finite or

infinite. In this paper, the service time distribution is Erlang. Determination of the

optimal number of servants is very importance in the analysis of queuing systems.

To determine the optimal number of servants, it is neededthe measure of system

performance,which include average number of customers in the system, average

number of customers in the queue, average of waiting time in the system, and

average of waiting time in the queue. In determining the number of servants need

to consider the cost model. If the number of waiters is added, the customer's

waiting time will decrease. However, it will cause the costs to be spent to hire

servants also increased. In the application of queuing in hospitals Gunung Jati

there are three phases, namely: etiquette, packing, and checking. The number of

servers is only one and waiting time is still long so it not optimal. By using the

cost model, the number of servers of each step is two people. The addition of

these servers can also reduce the waiting time.


ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat yang telah

dilimpahkan sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

Skripsi ini penulis ajukan kepada yang terhormat panitia penguji Skripsi

untuk melengkapi syarat untuk menempuh gelar sarjana pada Prodi Matematika

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Dalam penyusunannya penulis membutuhkan bantuan dari berbagai pihak.

Oleh karena itu, pada kesempatan ini dengan segala kerendahan hati penulis ingin

menyampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Bapak dan Ibu Agus Yulianto atas segala doa dan motivasi yang diberikan.

2. Ibu Lusia Krismiati Budiasih, M.Si, selaku dosen pembimbing yang

dengan penuh kesabaran telah membimbing dan membantu saya selama

penyusunan skripsi ini.

3. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M. Sc dan Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.

Si, M. Si selaku dosen penguji yang membantu perbaikan skripsi ini.

4. Bapak dan Ibu Dosen yang telah memberikan ilmu kepada penulis selama

penulis kuliah di Universitas Sanata Dharma ini.

5. Segenap karyawan sekretariat FST, lab. GM, dan Perpustakaan Paingan

atas pelayanan yang telah diberikan kepada penulis.

6. Sahabat-sahabat dalam perjalanan kuliah: Arga, Ayu, Yosi, Agnes, Roy,

Marsel, Leni, Pandu, Tika, Ratri, Sari, Astri, dan Dini.

7. Semua mahasiswa Prodi Matematika atas semua pelajaran yang begitu

berharga.

8. Serta bantuan dari semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Penulis menyadari kekurangan skripsi ini, untuk itu saran serta kritik

sangat diharapkan demi peningkatan kualitas skripsi ini. Dan akhirnya penulis


x

berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat dan berguna bagi semua

pihak.

Yogyakarta, 25 Juli 2014

Penulis,

Marcelina Novi Agustiarini


xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................................ iii

PERNYATAAN KEASLIAN ....................................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................................... v

PERNYATAAN PUBLIKASI ....................................................................................... vi

ABSTRAK ....................................................................................................................... vii

ABSTRACT .................................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR .................................................................................................. ix-x

DAFTAR ISI ................................................................................................................ xi-xii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah........................................................................................ 1

B. Rumusan Masalah .................................................................................................. 3

C. Batasan Masalah .................................................................................................... 4

D. Tujuan Penulisan .................................................................................................... 5

E. Metode Penulisan ................................................................................................... 5

F. Manfaat Penulisan.................................................................................................. 5

G. Sistematika Penulisan ............................................................................................ 5

BAB II DISTRIBUSI PEUBAH ACAK DAN UJI SAMPEL TUNGGAL

KOLMOGOROV-SMIRNOV

A. Peubah Acak .......................................................................................................... 8


xii

B. Nilai Harapan ...................................................................................................... 15

C. Variansi ................................................................................................................ 18

D. Fungsi Pembangkit Momen ............................................................................... 19

E. Distribusi Poisson ............................................................................................... 21

F. Distribusi Gamma ............................................................................................... 23

G. Distribusi Eksponensial ..................................................................................... 32

H. Distribusi Erlang ................................................................................................. 34

I. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov ..................................................... 41

BAB IIIMODEL-MODEL ANTRIAN

A. Unsur-unsur Dasar Antrian ................................................................................. 45

B. Peran Distribusi Poisson .................................................................................... 53

C. Peran Distribusi Erlang ....................................................................................... 60

D. Model Antrian dengan Pelayan Tunggal .......................................................... 62

E. Model Antrian dengan Pelayan Ganda ............................................................. 88

F. Model Biaya ......................................................................................................... 99

BAB IVMODELANTRIAN BEBERAPA FASE PADA RSUD GUNUNG JATI

CIREBON ..................................................................................................................... 108

BAB VPENUTUP

A. Kesimpulan ......................................................................................................... 121

B. Saran ................................................................................................................... 123

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 124

Lampiran........................................................................................................................ 127


xiii


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Pada kehidupan sehari-hari sering ditemukan istilah antrian.


pelayanan. Contoh antrian adalah antrian dalam pengambilan kartu ujian

untuk para mahasiswa, antrian pembayaran uang kuliah, antrian

pengambilan karcis parkir, dll. Dalam antrian, yang mengantri tidak hanya

orang tetapi juga bisa berupa barang. Misalnya: antrian bahan mentah

yang akan diproses dan dijadikan bahan produksi, antrian komoditi ekspor

di pelabuhan, antrian mobil yang akan diperbaiki dalam sebuah bengkel,

dll. Berikut adalah contoh nyata sebuah antrian orang (gambar kiri) dan

antrian barang (gambar kanan).

Terdapat faktor-faktor penting dalam sebuah antrian, yaitu

pelanggan (customer) dan pelayan (server). Proses antrian biasanya adalah


2

pelanggan tiba di satu sarana pelayanan kemudian bergabung dalam

sebuah antrian. Pelayan memilih pelanggan dari antrian untuk memulai

pelayanan. Setelah selesainya pelayanan, pelayanan akan memilih

pelanggan yang baru dan diulangi kembali proses tersebut dari awal.

Antrian dapat terjadi karena kebutuhan akan pelayanan melebihi

kapasitas yang disediakan. Kedatangan pelanggan tidak diketahui

sebelumnya. Jika diketahui maka pengoperasian sarana tersebut dapat

dijadwalkan sehingga keharusan untuk menunggu tidak ada atau dengan

kata lain tidak ada antrian. Rata-rata lamanya waktu menunggu dalam

sebuah antrian sangat tergantung pada rata-rata tingkat kecepatan

pelayanan.

Antrian yang terlalu lama dan sangat panjang tentu akan sangat

merugikan bagi pelanggan maupun pelayan dalam antrian tersebut.

Apabila jumlah pelayan ditambah tentu akan menambah biaya yang lebih

besar dari sebelumnya. Tetapi, apabila jumlah pelayan tidak ditambah

maka antrian dapat terjadi dalam waktu yang lama yang akhirnya dapat

menyebabkan pelayananan menjadi tertunda dan tidak optimal. Dampak

yang lebih buruk dari antrian yang terlalu panjang dan lama adalah

hilangnya pelanggan.

Mengingat bahwa antrian yang terlalu panjang dan lama dapat

merugikan bagi pelanggan maupun bagi pelayan, maka perlu dilakukan

penentuan jumlah pelayan yang sesuai dengan tingkat kedatangan.

Kedatangan pelanggan dalam sebuah antrian adalah secara acak. Selain


3

itu, kedatangan pelanggan dapat dipelajari karakteristiknya. Karakteristik-

karakteristik dalam sebuah antrian dapat terwakilkan dengan adanya

distribusi. Pada tulisan ini, distribusi kedatangan dapat diwakilkan dengan

distribusi Poisson.

Selain itu, waktu pelayanan dalam sebuah antrian juga dapat

dipelajari karakteristiknya. Waktu pelayanan juga dapat terwakilkan

dengan suatu distribusi seperti waktu antar kedatangan. Distribusi Erlang

akan dipergunakan dalam tulisan ini untuk menyatakan waktu

pelayanannya. Dengan demikian, distribusi Poisson dan distribusi Erlang

dapat dipergunakan untuk menganilisa sebuah antrian.

Dalam tulisan ini akan dipelajari karakteristik kinerja sebuah

sistem antrian. Ukuran kinerja sistem dalam sebuah sistem meliputi rata-

rata jumlah pelanggan dalam sistem, rata-rata jumlah pelanggan

menunggu dalam antrian, rata-rata waktu yang dihabiskan seorang

pelanggan dalam sistem, dan rata-rata yang dihabiskan pelanggan seorang

pelanggan menunggu dalam antrian.

Ukuran kinerja dalam sistem dapat dipergunakan untuk

menghitung biaya optimal pada sebuah antrian. Biaya optimal berkaitan

dengan laju pelayanan optimum. Secara umum model biaya berusaha

menyeimbangkan biaya menunggu dan biaya kenaikan tingkat pelayanan.

B. RUMUSAN MASALAH

1. Apa saja yang mendasari sebuah antrian?


4

2. Bagaimana distribusi Poisson dapat dipergunakan dalam sebuah

antrian?

3. Bagaimana distribusi Erlang dapat dipergunakan dalam sebuah

antrian?

4. Bagaimana ukuran kinerja sistem pada model antrian dengan waktu

antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan

berdistribusi Erlang?

5. Bagaimana mengoptimumkan biaya pada model antrian dengan waktu

antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan

berdistribusi Erlang?

C. BATASAN MASALAH

1. Model antrian yang dibahas adalah model antrian dengan waktu antar

kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi

Erlang.

2. Model antrian yang dibahas adalah:

a. ( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ )

b. ( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ )

3. Waktu pelayanan pada masing-masing tahap adalah sama dan

berdistribusi eksponensial.

4. Model pengambilan keputusan yang akan digunakan dalam skripsi ini

adalah model keputusan dengan menggunakan model biaya.


5

D. TUJUAN PENULISAN

Penulisan ini bertujuan untuk membahas dasar-dasar sebuah

antrian, peran distribusi Poisson dan Erlang dalam sebuah antrian serta

mencari ukuran-ukuran kinerja sistem pada model antrian dengan waktu

antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi

Erlang.

E. METODE PENULISAN

Metode penulisan yang dipergunakan adalah metode studi pustaka,

sehingga di dalam skripsi ini tidak ditemukan hal-hal yang baru. Jenis-

jenis sumber pustaka yang digunakan penulis tercantum dalam daftar

pustaka.

F. MANFAAT PENULISAN

Manfaat yang diharapkan dari penulisan ini adalah memberikan

wawasan pengetahuan tentang model antrian dengan waktu antar


Erlang.

G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah


6

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Metode Penulisan

F. Manfaat Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II DISTRIBUSI PEUBAH ACAK DAN UJI SAMPEL TUNGGAL

KOLMOGOROV-SMIRNOV

A. Peubah Acak

B. Nilai Harapan

C. Variansi

D. Fungsi Pembangkit Momen

E. Distribusi Poisson

F. Distribusi Gamma

G. Distribusi Eksponensial

H. Distribusi Erlang

I. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov

BAB III MODEL-MODEL ANTRIAN

A. Unsur-unsur Dasar Antrian

B. Peran Distribusi Poisson

C. Peran Distribusi Erlang

D. Model Antrian dengan Pelayan Tunggal


7

E. Model Antrian dengan Pelayan Ganda

F. Model Biaya

BAB IV MODELANTRIAN BEBERAPA FASE PADA RSUD

GUNUNG JATI CIREBON

Contoh kasus penerapan model antrian dengan waktu antar


Erlang.

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran


8

BAB II

DISTRIBUSI PEUBAH ACAK DAN UJI SAMPEL TUNGGAL

KOLMOGOROV-SMIRNOV

A. PEUBAH ACAK (VARIABEL RANDOM)

Definisi 2.1 Percobaan

Percobaan adalah suatu proses di mana pengamatan sengaja dibuat untuk

memperoleh hasil.

Definisi 2.2 Ruang Sampel

Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatu

percobaan. Ruang sampel biasanya dilambangkan dengan huruf S.

Contoh 2.1:

Ruang sampel S bagi percobaan pelemparan sekeping uang logam

sebanyak 2 kali dapat ditulis sebagai: S = {AA, AG, GA, GG}, dengan G

dan A masing-masing menyatakan “sisi gambar” dan “sisi angka”.

Definisi 2.3 Probabilitas

Probabilitas adalah suatu fungsi yang mengaitkan semua kemungkinan

hasil suatu percobaan dengan suatu bilangan real. Jika kemungkinan

hasil suatu percobaan, maka probabilitas dari dapat ditulis dengan notasi

( ).


9

Definisi 2.4 Peubah Acak

Peubah acak adalah fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang

ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel.

Peubah acak dituliskan menggunakan huruf kapital dan nilainya

dinotasikan dengan suatu huruf kecil. Misalkan menyatakan suatu

peubah acak, nilai dari dinyatakan dengan .

Contoh 2.2:

Perhatikan Contoh 2.1, misalkan peubah acak menyatakan banyaknya

sisi angka yang muncul, maka peubah acak dapat dituliskan sebagai

berikut:

banyaknya sisi angka yang muncul pada pelemparan sekeping uang

logam sebanyak 2 kali.

Maka nilai numerik 0, 1, atau 2 dapat diberikan pada setiap titik

sampel. Bilangan-bilangan 0, 1, atau 2 merupakan besaran acak yang

nilainya ditentukan oleh hasil percobaan.

Definisi 2.5 Peubah Acak Diskrit

Sebuah peubah acak dikatakan dsikrit jika himpunan nilainya adalah

berhingga atau tak berhingga terbilang.

Notasi ( ) menyatakan kemungkinan hasil suatu percobaan

bernilai sama dengan x. Probabilitasnya dinyatakan dengan ( ).


10

Contoh 2.3:

Misalkan dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 2 kali dan

merupakan banyaknya sisi angka yang muncul, maka semua kemungkinan

nilai dan peluangnya dapat dicantumkan pada tabel berikut ini:

Tabel 2.1 Peubah acak diskrit beserta semua kemungkinan nilai dan

peluang

0 1 2

( )

Definisi 2.6 Fungsi Probabilitas Diskrit

Fungsi ( ) adalah suatu fungsi probabilitas suatu peubah acak diskrit

untuk setiap hasil yang mungkin jika:

1. ( )

2. ∑ ( )

3. ( ) ( )

Definisi 2.7 Peubah Acak Kontinu

Jika nilai peubah acak adalah sebuah interval atau kumpulan dari

interval-interval, maka disebut peubah acak kontinu.

Peubah acak kontinu tidak dapat dituliskan dalam bentuk tabel

seperti peubah acak diskrit. Untuk menyatakan kemungkinan hasil suatu


11

percobaan, biasanya dituliskan menggunakan notasi seperti: atau

atau atau atau atau .

Probabilitasnya dinyatakan dengan ( ) ( )

( ) ( ).

Contoh 2.4:

Sebuah peubah acak kontinu yang mengambil nilai antara dan

mempunyai fungsi probabilitas ( )

.

Akan dicari ( ).

( ) ⁄ dan ( )

⁄ , maka

( ) . ⁄

⁄ /( )

Definisi 2.8 Fungsi Probabilitas Kontinu

Fungsi probalitas peubah acak kontinu, dikenal dengan nama fungsi

densitas probabilitas (Probability Density Function / PDF ), untuk setiap

hasil x yang mungkin jika:

1. ( )

2. ∫ ( )

3. ( ) ∫ ( )

Definisi 2.9 Fungsi Probabilitas Bersama Diskrit


12

Fungsi ( ) adalah fungsi probabilitas bersama peubah acak diskrit X

dan Y jika:

1. ( ) untuk setiap ( )

2. ∑ ∑ ( )

3. ( ) ( )

Untuk setiap A di bidang xy, ,( ) - ∑∑ ( )

Contoh 2.5:

Dua buah kelereng diambil dari sebuah kantong yang berisi 3 kelereng

biru, 2 kelereng merah, dan 3 kelereng hijau. Misalkan merupakan

banyaknya kelereng yang berwarna hijau yang terambil dan merupakan

banyaknya kelereng merah yang terambil. Nilai ( ) yang mungkin

adalah (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2), dan (2,0). Sebagai contoh ( )

memperlihatkan bahwa probabilitas kelereng merah dan hijau yang

terambil. Banyaknya semua kemungkinan hasil dari pengambilan 2

kelereng adalah ( ) . Banyaknya kemungkinan hasil pengambilan 1

kelereng merah dari 2 kelereng merah dan 1 kelereng hijau dari 3 kelereng

hijau ( )(

) . Maka ( )

. Perhitungan probabilitas

bersama yang lain dapat dituliskan dalam tabel berikut:

Tabel 2.2 Fungsi probabilitas bersama beserta semua kemungkinan nilai

dan peluang


13

( )

total

baris 0 1 2

0

1

0

2

0 0

total kolom

1

Definisi 2.10 Fungsi Probabilitas Bersama Kontinu

Fungsi ( )adalah fungsi probabilitas bersama peubah acak kontinu

dan jika:

(1.) ( ) , untuk setiap ( )

(2.) ∫ ∫ ( )

(3.) ,( ) - ∫∫ ( )

Untuk setiap A di bidang xy.

Definisi 2.11 Fungsi Distribusi Kumulatif Peubah Acak Diskrit

Fungsi distribusi kumulatif dari ditulis dengan ( ).

( )dari peubah acak diskrit dengan fungsi probabilitas ( ) adalah:

( ) ( ) ∑ ( ) , untuk .


14

Definisi 2.12 Fungsi Distribusi Kumulatif Peubah acak Kontinu

Fungsi distribusi kumulatif dari ditulis dengan ( ).

( )dari peubah acak kontinu dengan fungsi probabilitas kontinu ( )

adalah: ( ) ( ) ∫ ( )

, untuk .

Definisi 2.13 Fungsi Probabilitas Kontinu

Misalkan ( ) adalah fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu ,

maka ( )dapatditentukan oleh:

( ) ( )

( )

jika turunannya ada.

Definisi 2.14 Dua Peubah Acak yang Bebas

Peubah acak dan dikatakan saling bebas jika dan hanya jika

( ) ( ) ( )

untuk semua kemungkinan nilai-nilai dan , dengan ( ) merupakan

fungsi probabilitas dari peubah acak dan ( ) merupakan fungsi

probabilitas dari peubah acak dan ( ) merupakan fungsi probabilitas

bersama dari peubah acak dan .

Contoh 2.6:


15

Perhatikan Contoh 2.5, maka dapat diperlihatkan bahwa peubah

acak dan tidak saling bebas. Dari Tabel 2.2 terlihat bahwa ( )

( ) , dan ( ) masing-masing adalah sebagai berikut:

)1()0()1,0(

7

30

14

3

14

3)1,()1(

14

5

28

1

14

3

28

3),0()0(

14

3)1,0(

2

0

2

0

hgf

xfh

yfg

f

x

y

Maka dapat disimpulkan peubah acak dan tidak saling bebas.

B. NILAI HARAPAN (MEAN / RATA-RATA)

Definisi 2.15 Nilai Harapan Peubah Acak Diskrit

Jika adalah suatu peubah acak, yakni * +, dengan fungsi

probabilitas ( ), maka nilai harapan adalah:

( ) ∑

( )

Definisi 2.16 Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu

Jika adalah suatu peubah acak dengan fungsi probabilitas ( ), nilai

harapan adalah:


16

( ) ∫ ( )

Teorema 2.1 Nilai Harapan dari Jumlahan Dua atau Lebih Peubah

Acak

Jika dan merupakan suatu peubah acak, maka nilai harapan dari

jumlah peubah acak tersebut adalah:

( ) ( ) ( )

Bukti:

Menurut Definisi 2.15, maka diperoleh persamaan, yaitu:

)()(

),(),(

),()()(

1 11 1

1 1

YEXE

yxfyyxfx

yxfyxYXE

ji

m

i

n

j

jji

m

i

n

j

i

ji

m

i

n

j

ji

Teorema 2.2 Nilai Harapan dari Selisih Dua atau Lebih Peubah Acak

Jika dan merupakan suatu peubah acak, maka nilai harapan dari

selisih peubah acak tersebut adalah:

( ) ( ) ( )

Bukti:


17


)()(

),(),(

),()()(

1 11 1

1 1

YEXE

yxfyyxfx

yxfyxYXE

ji

m

i

n

j

jji

m

i

n

j

i

ji

m

i

n

j

ji

Teorema 2.3 Nilai Harapan dari Peubah Acak yang Saling Bebas

Misalkan dan adalah peubah acak yang saling bebas. ( ) adalah

fungsi dari dan ( ) adalah fungsi dari , maka

, ( ) ( )- , ( )- , ( )-

Bukti:

Misalkan ( ) adalah fungsi probabilitas bersama dari dan .

Hasil kali ( ) ( ) adalah fungsi dari dan . Jika dan saling

bebas maka menurut Definisi 2.16 menjadi:


18

)()(

)()()(

)()()(

)()()()(

)()()()(

),()()()()(

21

11112

12111

12222111

12221121

12212121

XhEXgE

dxxfxgXhE

dxXhExfxg

dxdxxfxhxfxg

xddxxfxfxhxg

xddxxxfxhxgXhXgE

C. VARIANSI

Definisi 2.17 Variansi Peubah Acak Diskrit

Jika adalah suatu peubah acak, * + , dengan fungsi

probabilitas ( ) dan nilai harapan , maka variansi adalah:

∑( ) ( )

Definisi 2.18 Variansi Peubah Acak Kontinu

Jika adalah suatu peubah acak dengan fungsi probabilitas ( ) dan nilai

harapan , maka variansi adalah:

∫ ( ) ( )


19

Teorema 2.4 Variansi Peubah Acak

Jika adalah suatu peubah acak, maka variansi adalah:

( )

Bukti:

Untuk peubah acak diskrit:

xx x

x

x

xfxxfxfx

xfxx

xfx

)()(2)(

)()2(

)()(

22

22

22

(2.1)

Menurut Definisi 2.15, persamaan (2.1) menjadi:

22

222

)(

)(

XE

xfxx

Untuk peubah acak kontinu:

dxxfdxxxfdxxfx

dxxfxx

dxxfx

)()(2)(

)()2(

)()(

22

22

22

(2.2)

Menurut Definisi 2.16, persamaan (2.2) menjadi:


20

22

222

)(

)(

XE

dxxfx

D. FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Definisi 2.19 Momen ke-

Momen ke- dari peubah acak adalah ( ) dan dinotasikan .

Definisi 2.20 Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi pembangkit momen ( ) untuk peubah acak adalah ( )

( ).

Definisi 2.21 Fungsi Pembangkit Momen Bersama

Fungsi pembangkit momen bersama dari * + jika ada

adalah

( ) . ∑ /

Teorema 2.5 Fungsi Pembangkit Momen dari Jumlahan Peubah Acak

Misalkan adalah peubah acak yang saling bebas dengan

fungsi pembangkit momen masing-masing adalah

( )

( ) ( ). Jika maka ( )

( )

( ) ( ).


21

Bukti:

Karena adalah peubah acak yang saling bebas maka menurut

Teorema 2.3 dan Definisi 2.20 menjadi:

)(...)()(

...

)(

21

21

21

21

...

...

tmtmtm

eEeEeE

eE

eEtm

nXXX

tXtXtX

tXtXtX

XXXt

Y

n

n

n

E. DISTRIBUSI POISSON

Distribusi Poisson adalah salah satu distribusi peubah acak diskrit

yang digunakan untuk menghitung jumlah kejadian khusus selama jangka

waktu tertentu. Misalnya: jumlah dering telepon dalam kurun waktu 1 jam.

Definisi 2.22 Distribusi Poisson

Distribusi probabilitas bagi peubah acak Poisson , yang menyatakan

banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau

daerah tertentu didefinisikan sebagai berikut:

( ) ( )

untuk 1 2

dengan merupakan rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi

selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan.

Teorema 2.6 Nilai Harapan Distribusi Poisson

Nilai harapan dari peubah acak diskrit ( ) adalah:


22

( )

Bukti:

Misalkan . Dari Definisi 2.15 dan Definisi 2.22, maka diperoleh

persamaan, yaitu:

1

1

0

)!1(

!)(

x

x

x

x

x

e

x

exXE

Misalkan dan ∑ ( ) , maka diperoleh:

0 !)(

y

y

y

eXE

Teorema 2.7 Variansi Distribusi Poisson

Variansi dari peubah acak diskrit ( ) adalah:

( )

Bukti:

Dari Definisi 2.15 dan Definisi 2.22, maka diperoleh persamaan, yaitu:

1

22

2

0

)!2(

!)1(

!)1())1((

x

x

x

x

x

x

x

e

x

exx

x

exxXXE


23

Misalkan , maka diperoleh:

2

0

2

!))1((

y

y

y

eXXE

(2.3)

Berdasarkan Teorema 2.1, Teorema 2.2, dan Teorema 2.4, maka

persamaan (2.3) menjadi:

22

2

22

222

)())1((

)()()(

)(

XEXXE

XEXEXE

XE

F. DISTRIBUSI GAMMA

Distribusi Gamma mendapat namanya dari fungsi Gamma yang

sudah dikenal luas, dan dipelajari dalam banyak bidang matematika.

Distribusi Gamma merupakan salah satu distribusi kontinu yang juga

merupakan suatu keluarga distribusi. Beberapa distribusi merupakan

distribusi khusus dari distribusi Gamma, seperti distribusi Eksponensial

dan distribusi Erlang.

Definisi 2.23 Fungsi Gamma

Fungsi Gamma didefinisikan sebagai berikut:

( ) ∫


24

Definisi 2.24 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Gamma

Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Gamma, yaitu:

( ) {

( )( )

dengan parameter dan .

Teorema 2.8 Sifat-sifat Distribusi Gamma

Di bawah ini terdapat beberapa sifat penting dari distribusi Gamma, yaitu:

(1). ( ) ( ) ( ) untuk setiap bilangan bulat positif dengan

(2). ( )

(3). ( ) ( ) untuk setiap bilangan bulat positif

Bukti:

(1). Menggunakan Definisi 2.23 dengan teknik pengintegralan kalkulus

∫ ∫

di mana ,

( ) ( ) , , dan

∫ |

maka diperoleh persamaan:


25

0

2

0

2

0

2

0

2

0

11

0

2

0

11

0

2

0

1

0

2

0

1

0

2

0

1

)1(

)1(

)1(00

)1(0

)1(0

)1(

)1()1

(

)1()()(

dxexk

dxxek

dxxke

dxxkeee

dxxkeee

dxxkee

x

dxxkee

x

dxxkeexk

xk

kx

kx

kxkk

kxkk

kx

x

k

kx

x

k

kxxk

(2.4)

Untuk dan merupakan bilangan bulat positif maka persamaan

(2.4) menurut Definisi 2.23 menjadi:

)1()1(

)1(

)1()(

0

1)1(

0

2

kk

dxexk

dxexkk

xk

xk

(2). Menurut Definisi 2.23 maka diperoleh persamaan:


26

1

)1(0

)1(

0

0

0

11

0

1

x

x

x

xk

e

dxe

dxex

dxex

(3). Menurut persamaan (2.4) dan Definisi 2.23 diperoleh persamaan:

)2()2(

)2(

)1)1(()1(

0

1)2(

0

2)1(

kk

dxexk

dxexkk

xk

xk

(2.5)

Berdasarkan Teorema 2.8(1), Teorema 2.8(2), dan persamaan (2.5)

maka diperoleh persamaan baru, yaitu:

)!1(

1...)5)(4)(3)(2)(1(

)1(...)5)(4)(3)(2)(1(

)5()5)(4)(3)(2)(1(

)4()4)(3)(2)(1(

)3()3)(2)(1(

)2()2)(1(

)1()1()(

k

kkkkk

kkkkk

kkkkkk

kkkkk

kkkk

kkk

kkk


27

Dari Teorema 2.8(3) diperoleh bahwa ( ) ( ) , maka Definisi

2.24 dapat dituliskan ulang menjadi:

Definisi 2.25 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Gamma

Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Gamma, yaitu:

( ) {

( )

dengan parameter dan .

Teorema 2.9 Nilai Harapan Distribusi Gamma

Nilai harapan dari peubah acak kontinu ( ) adalah

( )

Bukti:


( ) ∫

( )

(2.6)

Misalkan maka maka persamaan (2.6) menjadi:

due

u

k

uXE uk

k

1

0

)()!1(

)()(

(2.7)

Menurut Definisi 2.23 maka persamaan (2.7) menjadi:


28

)1()!1(

1

)()!1(

1

)()!1(

)(

0

1)1(

11

0

111

kk

dueuk

dueuk

XE

uk

uk

k

k

(2.8)

Menurut Teorema 2.8(3), maka persamaan (2.8) menjadi:

k

kkk

kk

XE

)!1()!1(

1

!)!1(

1)(

Teorema 2.10 Momen ke-n distribusi Gamma

Momen ke-n dari peubah acak kontinu ( ) adalah

( )

( ) ( )

Bukti:

Menurut Definisi 2.16 dan Definisi 2.19 diperoleh persamaan, yaitu:

0

1

)!1()( dxex

kxXE xk

knn

(2.9)

Misalkan maka , sehingga persamaan (2.9) menjadi:


29

0

1)(

0

1

0

1

)()!1(

1

)()!1(

1

)()!1(

)(

dueuk

dueuk

due

u

kXE

unk

n

unk

n

unkk

n

(2.10)

Menurut Definisi 2.23, maka persamaan (2.10) menjadi:

)()!1(

1)( nk

kXE

n

n

Teorema 2.11 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Gamma

Fungsi pembangkit momen dari peubah acak kontinu ( )

adalah

( )

.

/

Bukti:

Berdasarkan Definisi 2.16 dan Definisi 2.20, maka diperoleh persamaan:

dxexk

dxexk

e

eEtm

tx

kk

xkk

tx

tX

X

0

11

0

1

)(

)(

)()(

(2.11)


30

Misalkan (

) atau (

) dengan , maka

(

) , sehingga persamaan (2.11) menjadi:

0

1

0

1

0

1

0

1

1

)(

1

1

1

)(1

11

)(1

1

)(1

1

1

1)(

dyeykt

dyeykt

dyeykt

dyeyktt

tm

yk

k

ykk

k

k

ykk

k

ykk

k

X

0

1

)(

1

1

1dyey

kt

yk

k

(2.12)

Berdasarkan Definisi 2.10(2) persamaan (2.12) menjadi:


31

k

k

k

X

t

t

ttm

1

1

1

1

1

1

1)(

Teorema 2.12 Variansi Distribusi Gamma

Variansi dari peubah acak kontinu ( ) adalah

Bukti:

Menggunakan Teorema 2.10 diperoleh persamaan:

( )

( ) ( )

(2.13)

Jika n = 2 maka persamaan (2.13) menjadi:

)2()!1(

1)(

2

2

kk

XE

(2.14)


32

Menurut Teorema 2.8(1) dan Teorema 2.8(3), maka persamaan (2.14)

menjadi:

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)(

)1(

)!1)(1()!1(

1

!)1()!1(

1

)!1)1)((1()!1(

1

)1()1()!1(

1

)1)2(()1)2(()!1(

1)(

kk

kk

kk

kkkk

kkk

kkk

kkk

kkk

XE

(2.15)

Dari Teorema 2.4 persamaan (2.15) menjadi:

2

2

22

2

222

)(

)(

k

kkk

XE

G. DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Banyak sekali masalah pengambilan keputusan yang menggunakan

distribusi eksponensial dalam penyelesaiannya. Misalnya: selang waktu


33

antar rusaknya suatu mesin, selang waktu antar kedatangan pelanggan ke

suatu bank, dan sebagainya.

Definisi 2.26 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Eksponensial

Distribusi Eksponensial mempunyai fungsi densitas probabilitas sebagai

berikut:

( ) {

dengan parameter adalah sebuah bilangan real, konstanta positif.

Teorema 2.13 Nilai Harapan Distribusi Eksponensial


( )

Bukti:

Dari Definisi 2.25 dan 2.26 diperoleh bahwa . Dari Teorema 2.9 juga

diperoleh bahwa: ( )

, sehingga nilai harapan dari peubah acak

kontinu ( ) adalah:

1

)(

k

XE

Teorema 2.14 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Eksponensial


34

Fungsi pembangkit momen dari peubah acak kontinu ( ) adalah

( )

.

/

Bukti:

Dari Definisi 2.25 dan 2.26 diperoleh bahwa . Dari Teorema 2.11

juga diperoleh bahwa: ( )

.

/ , sehingga fungsi pembangkit

momen dari peubah acak kontinu ( ) adalah:

)1(

1

)1(

1)(

t

ttm

k

H. DISTRIBUSI ERLANG

Distribusi Erlang adalah salah satu distribusi kontinu yang

merupakan distribusi khusus dari distribusi Gamma di mana parameter

dari distribusi ini bernilai bilangan bulat positif. Distribusi Erlang dapat

digambarkan sebagai jumlah dari peubah acak yang saling bebas dan

semuanya berdistribusi Eksponensial dengan nilai harapan yang sama.


35

Gambar 2.1 Grafik Distribusi Erlang

Definisi 2.27 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Erlang

Peubah acak kontinu X dikatakan berdistribusi Erlang dengan

parameter skala , dan parameter , yaitu ( ), jika

fungsi densitas probabilitasnya dapat diberikan oleh:

( ) ( )

( )

dengan dan adalah bilangan bulat positif.

Teorema 2.15 Nilai Harapan Distribusi Erlang


( )

43210

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

f(x)

k=1

k=2

k=3

k=4

Variable

Grafik Distribusi Erlang


36

Bukti:


juga diperoleh bahwa:

( )

Sehingga nilai harapan dari peubah acak kontinu ( ) adalah:

sks

kXE

1)(

Teorema 2.16 Momen ke-n distribusi Erlang

Momen ke-n dari peubah acak kontinu ( ) adalah

( )

( ) ( ) ( )

Bukti:



( )

( ) ( )

Sehingga momen ke-n dari peubah acak kontinu ( ) adalah:

)()!1()(

1)( nk

kksXE

n

n


37

Teorema 2.17 Momen ke-2 distribusi Erlang

Momen ke-2 dari peubah acak kontinu ( ) adalah

( )

Bukti:

Dari Teorema 2.16 jika n = 2, maka persamaannya menjadi:

2222

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

11

)(1

)1(1

)!1)(1()!1(

1

!)1()!1(

1

)!1)1)((1()!1(

1

)1()1()!1(

1

)1)2(()1)2(()!1(

1

)2()!1(

1)(

kss

kksk

kkks

kkkkks

kkkks

kkkks

kkkks

kkkks

kkks

XE

Teorema 2.18 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Erlang

Fungsi pembangkit momen dari peubah acak kontinu ( ) adalah

( )

.

/


38

Bukti:


juga diperoleh bahwa: ( )

.

/ , sehingga fungsi pembangkit

momen dari peubah acak kontinu ( ) adalah:

kX

ks

ttm

1

1)(

Teorema 2.19 Variansi Distribusi Erlang

Variansi dari peubah acak kontinu ( ) adalah

( )

Bukti:



Sehingga variansi dari peubah acak kontinu ( ) adalah:

2

2

ks

k


39

Teorema 2.20

Jika terdapat peubah acak dan mempunyai distribusi

eksponensial dengan nilai harapan

, maka mengikuti

distribusi Erlang dengan parameter .

Bukti:

Diberikan dan maka akan dibuktikan berdistribusi Erlang.

Misalkan peubah acak yang berdistribusi eksponensial

dengan nilai harapan yang sama, yakni:

)(...)()( 21 kXEXEXE

atau

11...

11

21

k

(2.16)

Karena berdistribusi eksponensial dengan nilai harapan yang

sama, maka menurut Teorema 2.14 fungsi pembangkit momennya adalah

( )

.

/

Misalkan didefinisikan , maka berdasarkan Definisi

2.21 dan Teorema 2.5 diperoleh persamaan:


40

k

XXXX

t

ttt

ttt

tmtmtmtmk

1

1

1

1...

1

1

1

1

1

1...

1

1

1

1

)(...)()()(21

(2.17)

Dari persamaan (2.17) diperoleh hasil yang sama dengan fungsi

pembangkit momen distribusi Gamma pada Teorema 2.11.

Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa , maka persamaan

(2.17) menjadi:

kX

ks

ttm

1

1)(

(2.18)

Dari persamaan (2.18) diperoleh hasil yang sama dengan fungsi

pembangkit momen distribusi Erlang pada Teorema 2.18.

Jadi, peubah-peubah acak yang saling bebas dan masing-

masing berdistribusi Eksponensial, akan menghasilkan

distribusi Erlang dengan parameter .


41

I. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov

Uji sampel Kolmogorov-Smirnov adalah suatu uji goodness of fit

(keserasian). Artinya, yang diperhatikan adalah tingkat kesesuian antara

distribusi dari serangkaian sampel (skor yang diobservasi) dengan suatu

distribusi teoritis tertentu. Uji ini diperkenalkan pada tahun 1933 oleh

matematikawan Rusia A. N. Kolmogorov. Uji ini menetapkan apakah

secara logis nilai-nilai sampel dapat dianggap berasal dari suatu populasi

dengan distribusi teoritis tertentu.

Dalam uji ini, pengujian dilakukan pada dua buah fungsi distribusi

kumulatif, yaitu fungsi distribusi kumulatif yang dihipotesiskan dan fungsi

distribusi kumulatif yang diamati. Misalkan dengan mengambil sebuah

sampel acak dari suatu fungsi distribusi ( ) yang belum diketahui. Akan

dipastikan apakah dapat disimpulkan bahwa ( ) ( ) untuk semua ,

dengan ( ) adalah fungsi distribusi kumulatif yang dihipotesiskan.

Dimisalkan juga ( )adalah fungsi sebaran kumulatif dari suatu

sampel acak yang diamati dengan N pengamatan. Dengan adalah

sembarang nilai yang mungkin, N

kXSN , k adalah jumlah pengamatan

yang sama atau kurang dari . Dalam uji ini diharapkan bahwa untuk

setiap harga , ( )mendekati ( ). Artinya, di bawah diharapkan

selisih antara ( ) dengan ( )adalah kecil, dan ada dalam batas-batas

kesalahan acak. Uji Kolmogorov-Smirnov memusatkan perhatian pada

penyimpangan(deviasi) terbesar. Nilai ( ) ( ) terbesar dinamakan


42

deviasi maksimum, dinyatakan dengan D = maksimum XSXF N0 .

Perlu diperhatikan bahwa signifikasi suatu nilai D tertentu D adalah

bergantung pada jumlah pengamatan (N). Untuk maka ditolak

dan diterima sedangkan jika maka diterima dan ditolak.

Langkah-langkah penghitungan uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov

adalah:

1. Tentukan hipotesis terlebih dahulu.

Dapat disesuaikan dengan kasus yang diamati, yaitu sebagai berikut:

( ) ( )

( ) ( )

2. Tetapkan tingkat signifikasi yang digunakan.

3. Hitung ( ) dan ( ) dari nilai-nilai data yang diamati.

4. Hitung | ( ) ( )| dari setiap nilai yang diamati.

5. Carilah

6. Carilah

7. Jika maka ditolak dan diterima sedangkan

maka diterima dan ditolak.

Untuk memudahkan penghitungan, uji sampel Kolmogorov-Smirnov dapat

dilakukan dengan SPSS. Contohnya dapat dilihat dalam Contoh 2.8

berikut ini:

Contoh 2.7:


43

Di bawah terdapat data suatu sampel acak. Apakah datanya berdistribusi

Poisson?

Tabel 2.3 Data Suatu Sampel Acak

Data

1 4 1 1 3 5 2

2 2 2 2 2 3

Uji hipotesis:

1. H0 : data berdistribusi Poissson

H1 :data tidak berdistribusi Poisson

2. Tingkat signifikasi ( )

3. Daerah penolakan :

Asymp. Sig. (2-tailed)< maka H0 ditolak

Asymp.Sig. (2-tailed)> maka H1 ditolak

Tabel 2.4 Hasil SPSS

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

Data

N 13

Poisson Parametera,,b

Mean 2.3077

Most Extreme

Differences

Absolute .099

Positive .098


44

Negative -.099

Kolmogorov-Smirnov Z .359

Asymp. Sig. (2-tailed) 1.000

a. Test distribution is Poisson.

b. Calculated from data.

4. Dari hasil uji One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test di atas tampak

bahwa nilai Asymp. Sig. (2-tailed) adalah 1.

Asymp. Sig. (2-tailed) = 1

= 0,05

Jadi, Asymp. Sig. (2-tailed)> . Dengan demikian berarti H0 diterima dan

H1 ditolak. Jadi, dapat disimpulkan data berdistribusi Poisson.


45

BAB III

MODEL-MODEL ANTRIAN

A. UNSUR-UNSUR DASAR MODEL ANTRIAN

Antrian merupakan proses saling menunggu giliran untuk

menerima pelayanan. Dalam proses antrian biasanya pelanggan tiba di satu

sarana pelayanan kemudian bergabung dalam sebuah antrian. Pelayan

memilih pelanggan dari antrian untuk memulai pelayanan. Setelah

selesainya pelayanan, pelayan akan memilih pelanggan yang baru dan

diulangi kembali proses tersebut dari awal.

Dalam antrian terdapat beberapa unsur-unsur dasar, diantaranya

sebagai berikut:

1. Distribusi Kedatangan

Pada sistem antrian, distribusi kedatangan merupakan faktor

penting yang berpengaruh besar terhadap kelancaran pelayanan. Dalam

distribusi kedatangan memuat waktu antar kedatangan yang berarti

waktu antara kedatangan dua pelanggan yang berurutan.

Waktu antar kedatangan diringkas dalam bentuk distribusi

probabilitas, yang umumnya disebut distribusi kedatangan.

Kedatangan pelanggan untuk masuk dalam sistem antrian terbagi

menjadi dua, yaitu:

a. Kedatangan secara individu


46

Kedatangan secara individu merupakan situasi di mana

pelanggan datang secara individu (sendiri). Contoh dari situasi ini

adalah seorang nasabah bank yang datang ke bank untuk

melakukan transaksi.

b. Kedatangan secara berkelompok

Kedatangan secara berkelompok merupakan situasi di mana

para pelanggan datang secara berkelompok. Contoh dari situasi ini

adalah sekelompok orang yang datang bersama-sama ke sebuah

restoran.

Distribusi kedatangan biasanya dinyatakan pada suatu distribusi

probabilitas tertentu yang sudah banyak dikenal, seperti distribusi

Poisson, distribusi Eksponensial ataupun distribusi Erlang.

2. Distribusi waktu pelayanan

Distribusi waktu pelayanan berkaitan dengan waktu yang

dibutuhkan pelayan untuk melayani pelanggan dari awal mula datang

sampai pelayanan selesai dilakukan. Pelayanan kepada pelanggan

terbagi menjadi dua cara, yaitu:

a. Pelayanan secara individual

Pelayanan secara individual merupakan pelayanan di mana

pelayan melayani pelanggan secara individu, misalnya pelayanan


47

yang dilakukan oleh seorang tukang cukur kepada seorang

pelanggannya.

b. Pelayanan secara kelompok

Pelayanan secara kelompok adalah pelayanan di mana

pelayan melayani pelanggan secara berkelompok. Contoh dari

pelayanan ini adalah pelayanan kepada beberapa pelanggan

restoran yang datang secara bersamaan dan berada dalam satu meja

yang sama.

Dalam distribusi pelayanan diperlukan pola pelayanan yang

dikenal dengan waktu pelayanan. Waktu pelayanan merupakan waktu

yang dibutuhkan seorang pelayan untuk melayani satu pelanggan.

Waktu pelayanan ini dapat bersifat deterministik, atau berupa variabel

acak yang distribusi probabilitasnya dianggap telah diketahui seperti

distribusi Poisson, distribusi Eksponensial ataupun distribusi Erlang.

3. Rancangan sarana pelayanan

Atas dasar sifat proses pelayanannya, dapat diklasifikasikan

fasilitas-pelayan dalam susunan saluran atau barisan (tunggal atau ganda)

dan fase (tunggal atau ganda) yang akan membentuk suatu struktur

antrian yang berbeda-beda. Istilah saluran atau barisan menunjukkan

jumlah jalur (tempat) untuk memasuki sistem pelayanan, yang juga

menunjukkan jumlah pelayan. Istilah fase berarti jumlah stasiun-stasiun


48

pelayanan yang tersusun secara seri, di mana para pelanggan harus

melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap.

Ada empat model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam

seluruh sistem antrian, yaitu:

a. Satu barisan dan satu fase pelayanan

Satu barisan berarti hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem

pelayanan. Sedangkan satu fase pelayanan menunjukkan bahwa hanya

ada satu pelayanan. Setelah menerima pelayanan, pelanggan keluar

dari sistem. Contoh untuk model ini adalah seorang pelanggan tukang

cukur yang mengantri di seorang tukang cukur, seorang yang

mengantri di sebuah bilik ATM, dll.

Gambar 3.1 Model antrian dengan satu barisan dan satu fase pelayanan

Keterangan: S = pelayan (server)

b. Satu barisan dan beberapa fase pelayanan

Beberapa fase pelayanan menunjukkan ada dua atau lebih

pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan. Contoh untuk model

ini adalah proses pengisian teh botol dalam pabrik yang harus melalui

beberapa tahap, yaitu pengisian botol → penyegelan → pencetakan

Datang Keluar

S


49

kode produksi dan tanggal kadaluarsa → penempatan botol dalam

kotak → kontrol produksi.

Gambar 3.2 Model antrian dengan satu barisan dan beberapa fase

pelayanan

c. Beberapa barisan dan satu fase pelayanan

Beberapa barisan terjadi jika dua atau lebih pelayan melayani

antrian tunggal. Contoh dari proses pelayanan seperti ini adalah

pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket.

Gambar 3.3 Model antrian dengan beberapa barisan dan satu fase

pelayanan

d. Beberapa barisan dan beberapa fase pelayanan

Bebrapa barisan dan beberapa fase pelayanan berarti setiap sistem

mempunyai beberapa pelayan pada setiap tahap, sehingga lebih dari

keluar datang

S

S

S

S

S S S S keluar datang


50

satu pelanggan dapat dilayani pada suatu waktu. Contoh dari proses

pelayanan seperti ini adalah pelayanan kepada pasien di rumah sakit

dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran dimana

setiap tahap dilayani lebih dari satu pelayan.

Gambar 3.4 Model antrian dengan beberapa barisan dan beberapa fase

pelayanan

4. Peraturan pelayanan

Peraturan pelayanan merupakan pedoman keputusan yang

digunakan untuk menyeleksi pelanggan yang memasuki antrian untuk

dilayani terlebih dahulu.

Terdapat beberapa cara dalam menyeleksi antrian, diantaranya

sebagai berikut:

a. First come firts serve (FCFS)

First come firts serve merupakan salah satu peraturan

pelayanan yang berarti pelanggan yang datang pertama dilayani

pertama, misalnya seseorang yang mengantri untuk membeli karcis

di loket gedung bioskop.

S S S S

datang keluar S S S S

S S S S


51

b. Last come first serve (LCFS)

Last come first serve adalah peraturan pelayanan yang

mempunyai arti pelanggan yang datang terakhir akan dilayani

pertama. Contoh dari peraturan pelayanan ini adalah bongkar

pasang barang di dalam truk dimana barang yang dikeluarkan dari

truk terlebih dahulu adalah barang yang dimasukkan ke dalam truk

terakhir.

c. Service in random order (SIRO)

Service in random order adalah peraturan pelayanan yang

mempunyai arti bahwa pelayanannya dilakukan secara acak,

misalnya pengambilan kertas undian. Dalam pengambilan kertas

undian, pelayan bebas memilih secara acak.

d. Priority

Priority merupakan peraturan pelayanan yang berarti

pelayanannya didasarkan pada prioritas tertentu, misalnya

pelayanan kepada pasien yang kondisinya kritis.

5. Ukuran antrian

Ukuran antrian adalah panjang antrian yang dapat dilayani. Ada

dua macam ukuran antrian, yaitu:

a. Antrian terbatas

Hanya sejumlah pelanggan tertentu yang diijinkan,

kemungkinan karena terbatasnya suatu ruang. Setelah antrian


52

memenuhi kapsitas (ukuran), pelanggan yang baru tiba tidak dapat

masuk ke dalam antrian. Misalnya, antrian mobil yang akan dicuci

ditempat pencucian hanya terbatas. Hal ini dikarenakan ruang

untuk mobil di tempat pencucian mobil tersebut terbatas.

b. Antrian tidak terbatas

Pelanggan yang diijinkan memasuki antrian tidak terbatas

jumlahnya. Misalnya: pelanggan yang datang di tempat pengisian

bensin jumlahnya tidak dibatasi berapapun boleh mengantri untuk

membeli.

6. Sumber pemanggilan

Sumber pemanggilan berkaitan dengan sifat sumber yang meminta

pelayanan. Sumber pemanggilan terdiri dari dua faktor, yaitu:

a. Terbatas

Dalam sumber pemanggilan terbatas memiliki arti bahwa

pelanggan yang akan memperoleh pelayanan sifat sumbernya

terbatas. Misalnya, pada sistem antrian pembayaran sks hanya

terbatas untuk mahasiswa.

b. Tidak terbatas

Dalam sumber pemanggilan tidak terbatas memiliki arti

bahwa pelanggan yang datang untuk memperoleh pelayanan tidak

terbatas. Misalnya, pada antrian pembelian bensin di pom bensin

siapapun tentu saja boleh mengantri.


53

7. Perilaku manusia

Model-model antrian yang mewakili situasi di mana manusia

mengambil peran sebagai pelanggan atau pelayan harus dirancang

untuk memperhitungkan pengaruh dari perilaku yang dilakukan

manusia. Pelayan yang berupa manusia dapat mempercepat layu

pelayanan ketuka jalur antrian memanjang. Sedangkan pelanggan yang

berupa manusia juga dapat berpindah dari satu jalur antrian ke jalur

lainnya dengan harapan dapat mengurangi waktu menunggu. Masih

terdapat ciri-ciri perilaku manusia lainnya dalam situasi antrian sehari-

hari.

Dalam situasi antrian biasanya terdapat dua asumsi yang sering

dipergunakan, yaitu:

a. Pelanggan antri secara berurutan

b. Kecepatan pelayanan yang dilakukan pelayan dianggap sama untuk

setiap pelanggan

B. PERAN DISTRIBUSI POISSON

Antrian yang terlalu lama dan sangat panjang tentu akan sangat


Mengingat bahwa antrian yang terlalu panjang dan lama dapat merugikan

bagi pelanggan maupun bagi pelayan, maka perlu dilakukan penentuan

jumlah pelayan yang sesuai dengan tingkat kedatangan. Kedatangan


54

pelanggan dapat dipelajari karakteristiknya. Karakteristik-karakteristik

kedatangan pelanggan dalam sebuah antrian adalah sebagai berikut:

a. Dalam sebuah antrian, banyaknya kedatangan yang tiba pada interval

tertentu tidak mempengaruhi banyaknya kedatangan pada interval

yang lainnya.

Misalnya banyaknya kedatangan yang tiba antara pukul 18.00-18.10

tidak mempengaruhi banyaknya kedatangan yang tiba antara 18.15-

18.25.

b. Probabilitas ada satu kedatangan yang tiba selama waktu lebih kecil

dibanding probabilitas ada satu kedatangan yang tiba selama waktu

.

Misalnya probabilitas ada satu kedatangan selama 30 menit kurang

dari probabilitas ada satu kedatangan yang tiba selama 45 menit.

c. Dalam sebuah antrian, kedatangan dalam selang waktu yang singkat

terkadang ada terkadang tidak ada kedatangan. Oleh karena itu,

kedatangan pelanggan lebih dari satu dalam selang waktu yang singkat

dapat diabaikan.

Misalnya dalam selang waktu 1 menit terkadang ada kedatangan

terkadang tidak ada kedatangan, jika ada hanya 1 orang saja maka

kedatangan lebih dari satu pelanggan diabaikan.

Karakteristik-karakteristik di atas dapat terwakilkan dengan adanya

distribusi. Distribusi yang dapat mewakili adalah distribusi Poisson karena


55

karakteristik-karakteristik tersebut juga mirip dengan karakteristik-

karakteristik yang dimiliki oleh distribusi Poisson. Karakteristik-

karakteristik dari distribusi Poisson adalah sebagai berikut:

a. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu

tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi

pada selang waktu yang terpisah.

b. Probabilitas terjadinya satu hasil percobaan selama selang waktu yang

sangat singkat sebanding dengan panjang selang waktu tersebut.

c. Probabilitas bahwa lebih dari satu hasil percobaan dalam selang waktu

yang singkat dapat diabaikan.

Karena karakteristik-karakteristik dalam sebuah antrian dapat

terwakilkan oleh distribusi Poisson maka model antrian dalam tulisan ini

kedatangan dalam antrian mengikuti proses Poisson. Kedatangan

mengikuti proses Poisson artinya banyaknya pelanggan yang datang untuk

memperoleh pelayanan sampai pada waktu tertentu mengikuti distribusi

Poisson.

Misalkan ( ) adalah banyaknya kedatangan sampai waktu .

Kedatangan dapat terjadi dalam interval ( -. Misalkan kedatangan

pertama terjadi pada . Dalam hal ini ( ) dan ( ) untuk

. Kedatangan kedua terjadi pada sehingga ( ) dan

( ) untuk . Kedatangan selanjutnya dilanjutkan dengan

cara yang sama. Bila dilihat adalah panjang waktu terjadinya


56

kedatangan setelah kedatangan ke- . Panjang selang ini dinamakan

waktu antar kedatangan.

Definisi 3.1 Proses Poisson

* ( ) + adalah suatu proses Poisson dengan laju jika memenuhi:

1. ( )

2. Untuk setiap , ( ) (s) adalah suatu peubah acak

Poisson dengan rata-rata ( )

3. Banyaknya kedatangan dalam interval ( - saling bebas dengan

banyaknya kedatangan yang terjadi sampai waktu atau untuk

dan , nilai ( ) ( ) saling bebas dengan nilai ( )

dimana

Dalam sebuah sistem antrian tidak hanya mempertimbangkan

proses kedatangannya saja, melainkan juga mempertimbangkan proses

kepergian. Di bawah ini merupakan gambar yang dinamakan diagram

transisi antrian Poisson yang memenuhi kondisi Steady-State.


57

Gambar 3.5. Diagram transisi antrian Poisson

Kondisi Steady-State merupakan kondisi di mana rata-rata laju arus

masuk sama dengan rata-rata laju arus keluar.

Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan :

Ekspektasi laju arus keluar dari keadaan n:

( )

Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan = laju arus keluar dari keadaan

( )

Sehingga didapatkan persamaan:

(

* n 1 2

Persamaan di atas dinamakan probabilitas Steady-State dari pelanggan

dalam sistem.


58

Definisi 3.2

Probabilitas ada kedatangan selama waktu didefinisikan sebagai:

* + * ( ) + ( )

dengan merupakan rata-rata kedatangan.

Contoh 3.1:

Panggilan telepon mengikuti suatu proses Poisson dengan laju 20 / jam.

Tentukan peluang bahwa 15 panggilan telepon terjadi pada satu jam

pertama.

Penyelesaian:

Yang dimaksud adalah * ( ) +. Karena panggilan telepon

mengikuti proses Poisson maka peluang tersebut berdasarkan Definisi 3.2

dapat dituliskan sebagai berikut:

* ( ) + ( )

Contoh 3.2:

Perhatikan Contoh 3.1. tentukan peluang terdapat 5 panggilan telepon

pada setengah jam pertama dan 10 panggilan pada setengah jam kedua.


59

Penyelesaian:

Yang diminta adalah * ( ) ( ) ( ) +.Karena

banyaknya kedatangan pada proses Poisson memiliki sifat saling bebas,

maka * ( ) ( ) + * ( ) +, sehingga:

* ( ) ( ) ( ) + * ( ) + * ( ) +

Mengingat ( ) berdistribusi Poisson dengan laju 20 / jam, maka:

* ( ) ( ) ( ) +

( )

( )

Teorema 3.1 Waktu Antar Kedatangan

Waktu-waktu antar kedatangan dari suatu proses Poisson adalah saling

bebas, semuanya berdistribusi eksponensial dengan parameter .

Bukti:

Misalkan kedatangan-kedatangan terjadi di waktu-waktu .

Misalkan merupakan waktu antara dibukanya sistem hingga

kedatangan pertama atau ditulis dengan , sehingga

menunjukkan waktu antara kedatangan ke- hingga

. Sehingga barisan * + dengan merupakan barisan dari

waktu antar kedatangan. Akan ditunjukkan berdistribusi eksponensial.

Untuk yakni jika tidak ada kedatangan selama , maka;


60

* + * ( ) + dengan ( ) adalah banyaknya kedatangan

sampai waktu , sehinggamenurut Definisi 3.2 :

* + * ( ) +

Maka fungsi distribusi kumulatif dari adalah:

0untuk t1

)(1

)()(

1

1

te

tXP

tXPtF

Karena menurut Definisi 2.11 fungsi probabilitas ( ) adalah turunan dari

fungsi distribusi kumulatif ( ), maka fungsi probabilitas dari dapat

diperoleh dengan cara berikut ini:

0untuk t

)1(

)()(

t

t

e

dt

ed

dt

tdFtf

Jadi, berdistribusi eksponensial dengan parameter sehingga dapat

disimpulkan waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial.

C. PERAN DISTRIBUSI ERLANG

Tidak hanya kedatangan saja yang dapat dipelajari karakteristik-

karakteristiknya. Waktu pelayanan dalam sebuah antrian juga dapat

dipelajari karakteristiknya. Misalkan pada sebuah antrian pada saat

belum ada pembeli, kemudian pada ada pembeli datang. Pada pembeli


61

kedua datang, dan seterusnya. Rentang dari sampai pembeli pertama

muncul dapat dikatakan sebagai waktu menunggu pembeli pertama. Lama

menunggu sampai pembeli kedua datang dapat ditentukan dengan

+( ). Secara rekursif dapat dicari waktu menunggu sampai pada

pembeli ke- dengan cara berikut ini:

+( ) ( ) ( )

Jika merupakan waktu antar kedatangan pembeli

dan pembeli ke- , maka waktu tunggu sampai pembeli ke- dapat

dituliskan dengan cara berikut ini:

Definisi 3.3 Waktu Tunggu

Waktu tunggu sampai kedatangan ke- dengan laju kedatangan adalah

Karena dengan berdistribusi eksponensial dengan

parameter maka menurut Teorema 2.20 berdistribusi Erlang.

Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Erlang menurut Definisi 2.27

adalah:

( ) ( )

( )

dengan merupakan banyaknya tahap atau fase dan merupakan rata-rata

waktu pelayanan.


62

D. MODEL ANTRIAN DENGAN PELAYAN TUNGGAL

1. Notasi Kendall-Lee

Notasi yang sesuai untuk meringkaskan karakteristik dari antrian

dibakukan dalam suatu notasi yaitu notasi Kendall-Lee. Notasi tersebut

dibakukakn dalam format berikut ini:

( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ ⁄ )

Keterangan:

a = distribusi kedatangan

b = distribusi waktu pelayanan

c = jumlah pelayan paralel ( )

d = peraturan pelayanan

e = jumlah maksimum yang diijinkan dalam sistem (dalam antrian +

dalam pelayanan)

f = ukuran sumber pemanggilan

Notasi yang disimbolkan a dan b dapat diganti dengan kode berikut ini:

i. M Markov atau kedatangan berdistribusi Poisson

ii. bila waktu pelayanan berdistribusi Erlang dengan parameter

iii. MMarkov atau waktu pelayanan berdistribusi eksponensial

Secara umum, kedatangan pelanggan tidak diketahui, karena jika

diketahui maka pengoperasian sarana tersebut dapat dijadwalkan dan tidak


63

akan terjadi proses antrian. Secara intuitif, semakin lama seorang

pelanggan menunggu semakin kecil presentase waktu sarana tersebut tidak

dipergunakan, dan sebaliknya. Tetapi, apabila jumlah pelayan ditambah

untuk mengurangi waktu pelangga maka biaya untuk yang harus

dikeluarkan untuk menggaji pelayan juga bertambah, dan sebaliknya.

Karena hal tersebut perlu adanya beberapa karakteristik yang mengukur

kinerja sistem. Kinerja menurut KBBI adalah kemampuan kerja. Pada

tulisan ini yang dimaksudkan kinerja adalah ukuran kemampuan sistem.

Di bawah ini merupakan ukuran-ukuran kinerja pada antrian, yaitu:

Ls = rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem

Lq = rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian

Ws = rata-rata waktu menunggu dalam sistem

Wq = rata-rata waktu menungggu dalam antrian

2. Model antrian dengan waktu pelayanan berdistribusi eksponensial

Pada bagian ini akan dibahas ukuran-ukuran dasar dari kinerja

dengan model antrian ( ⁄ ⁄ ). Model tersebut

merupakan model antrian dengan waktu kedatangan berdistribusi

Poisson, waktu pelayanan berdistribusi eksponensial, dan banyaknya

pelayan adalah satu. Peraturan pelayanannya adalah umum ( )

dalam arti bahwa peraturan tersebut dapat FCFS, LCFS, SIRO, atau

prosedur apapun yang dapat digunakan oleh pelayan tersebut untuk

memutuskan urutan pelanggan yang dilayani dalam antrian. Jumlah


64

maksimum yang diijinkan dalam sistem adalah tak hingga. Begitu pula

dengan sumber yang menghasilkan para pelanggan yang datang

memiliki kapasitas tak hingga.

Ukuran-ukuran dasar dari kinerja dengan model antrian

( ⁄ ⁄ ) adalah:

(3.1)

( )

(3.2)

( )

(3.3)

(3.4)

Penurunan mengenai ukuran-ukuran kinerja pada model antrian

( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ ) dapat dilihat pada buku Operations Research

an Introduction (Hamdy A. Taha, 2007:573).

Contoh 3.3:

Dalam sebuah sarana jasa pembersihan mobil, mobil-mobil tiba

sesuai distribusi Poisson dengan rata-rata 4 mobil / jam. Waktu untuk

membersihkan mobil konstan untuk semua mobil mengikuti distribusi

eksponensial dengan rata-rata 10 menit / mobil. Sarana pelayanan ini


65

tidak dapat menangani lebih dari satu mobil setiap saat. Bagaimana

analisis ukuran-ukuran kinerjanya?

Penyelesaian:

Mobil-mobil tiba sesuai distribusi Poisson dengan rata-rata 4 mobil

/ jam itu berarti laju kedatangannya (λ) adalah 4 mobil / jam. Karena

waktu untuk membersihkan mobil konstan untuk semua mobil

mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 10 menit / mobil

maka:

laju pelayanannya() menit

mobil mobil

jam

Model ini merupakan model antrian ( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ ).

Permasalahan di sini adalah menentukan ukuran-ukuran

kinerjanya. Ukuran-ukuran kinerja meliputi , , , dan .

a) Penentuan rata-rata banyaknya mobil dalam antrian ( )

menggunakan persamaan (3.1), yaitu:

.

/

mobil / jam

Jadi, rata-rata banyaknya mobil dalam antrian ( ) adalah 1,33

mobil / jam atau dalam 3 jam terdapat 4 mobil yang mengantri.

b) Penentuan rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( )



66

( )

(

)

jam 20 menit

Jadi, rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( ) adalah 20

menit.

c) Penentuan rata-rata waktu menunggu dalam sistem ( )


( )

(

) jam 30 menit

Jadi, rata-rata waktu menunggu dalam sistem ( ) adalah 30

menit.

d) Penentuan rata-rata banyaknya mobil dalam sistem ( )

menggunakan persmaan (3.4), yaitu:

mobil

Jadi, rata-rata banyaknya mobil dalam sistem ( ) adalah 2

mobil / jam.

3. Model antrian dengan waktu pelayanan berdistribusi Erlang

Pada bagian sebelumnya telah dibahas ukuran-ukuran kinerja pada

model antrian berdistribusi eksponensial. Setelah ini akan dibahas

ukuran-ukuran kinerja pada model antrian berdistribusi Erlang. Jika


67

pada model antrian berdistribusi eksponensial banyaknya fase hanya

satu sedangkan pada model antrian berdistribusi Erlang banyaknya

fase dalam model antrian jumlahnya dapat berhingga dan tak

berhingga.Tetapi,model antrian berdistribusi Erlang tidak memberikan

ekspresi analitis yang dapat ditelusuri untuk probabilitas .

Sebaliknya, hasil-hasil dari model ini hanya memberikan ukuran-

ukuran dasar dari kinerja.

Pada bagian ini akan diperlihatkan ukuran-ukuran dasar dari

kinerja seperti Ls, Lq, Ws, dan Wq secara umum.

Sistem adalah pengamatan yang dilakukan selama waktu .

Misalkan banyaknya pelanggan yang datang pada waktu adalah .

Jumlah pelanggan keseluruhan yang datang selama waktu

didefinisikan sebagai berikut ini:

∑

Sedangkan pelanggan keseluruhan yang selesai pelayanan dan

pergi pada waktu adalah . Jumlah banyaknya pelanggan yang

selesai pelayanan kemudian pergi selama waktu didefinisikan

sebagai berikut ini:

∑


68

Kondisi antrian biasanya diasumsikan untuk setiap dan

setelah waktu banyaknya pelanggan yang telah dilayani .

Gambar 3.6 berikut mengilustrasikan waktu kedatangan pelanggan

dan lama waktu pelayanan, dengan menyatakan lamanya waktu

yang dihabiskan pelanggan dalam sistem.

Gambar 3.6. Banyaknya Kedatangan dan Waktu Pelayanan

Dari Gambar 3.6 dapat dilihat bahwa pelanggan ke- datang pada

dan selesai pelayanan pada sehingga lama waktu

pelayanan .

Langkah pertama adalah menghitung bagian yang diarsir secara

horizontal (waktu keseluruhan) dan vertikal (banyaknya pelanggan

keseluruhan).

Pelanggan

ke-

Waktu


69

Secara horizontal nilai bagian yang diarsir ( )dapat didefinisikan

sebagai berikut:

∑( )

Nilai-nilai dari secara horizontal dapat dituliskan dalam tabel

berikut ini:

Tabel 3.1 Luas daerah secara horizontal

1 1 0 1 0 1 1

2 1 1 2 1 1 2

3 0 1 2 2 0 2

4 2 0 4 2 2 4

5 3 2 7 4 3 7

6 2 3 9 7 2 9

7 2 2 11 9 2 11

8 2 2 13 11 2 13

Jumlah banyaknya pelanggan dalam sistem ( )pada waktu adalah


70

Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem ( ) juga dapat

didefinisikan sebagai berikut:

TLV

T

V

T

L

L

sA

A

T

t

t

s

1

(3.6)

Selanjutnya adalah menghitung secara vertikal. Jumlah banyaknya

pelanggan adalah . Nilai bagian yang diarsir ( )dapat didefinisikan

sebagai berikut:

∑

Nilai-nilai dari secara vertikal dapat dituliskan dalam tabel berikut

ini:

Tabel 3.2 Luas daerah secara vertikal

1 2 2


71

2 2 4

3 3 7

4 3 10

5 2 12

6 1 13

Rata-rata lama menunggu dalam sistem ( ) adalah

CWV

C

V

C

W

W

sA

A

C

j

j

s

1

(3.7)

Rata-rata kedatangan didefinisikan sebagai banyaknya pelanggan

selama waktu dan dituliskan sebagai berikut:

(3.8)

Berdasarkan persamaan (3.6), persamaan (3.7), dan persamaan (3.8)

maka terdapat sebuah persamaan baru, yaitu:


72

ss

ss

s

s

ss

AA

WL

WT

CL

T

CWL

CWTL

VV

(3.9)

Misalkan merupakan lama waktu pelanggan untuk menunggu

dalam antrian dan merupakan lama waktu menunggu dalam sistem,

maka didapatkan sebuah persamaan:

(3.10)

dimana merupakan lama waktu pelayanan. , , dan merupakan

peubah acak.

Jika merupakan rata-rata waktu menungggu dalam antrian

maka dapat dituliskan menjadi:

( ) (3.11)

dan jika merupakan rata-rata waktu menunggu dalam sistem maka

dapat dituliskan juga menjadi:

( ) (3.12)


73

Dari persamaan persamaan (3.10), (3.11), (3.12), dan Teorema 2.1

dapat dituliskan sebuah persamaan, yaitu:

)(

)()(

)()(

SEWW

SETE

STETE

qs

q

qs

(3.13)

Misalkan merupakan suatu peubah acak yang berdistribusi

eksponensial atau Erlang, maka persamaan (3.13) akan menjadi:

sWW qs

1

(3.14)

Karena banyaknya tahap hanya satu ( ) maka persamaan (3.14)

menjadi:

1 qs WW

(3.15)

Misalkan merupakan rata-rata banyaknya pelanggan yang

menunggu dalam antrian dan merupakan rata-rata banyaknya

pelanggan yang menunggu dalam sistem, maka didapatkan sebuah

persamaan:

(3.16)


74

dimana merupakan rata-rata banyaknya pelanggan yang sedangg

dilayani. , , dan merupakan peubah acak.

Rata-rata banyaknya pelanggan yang sedang dilayani ( )dapat

didefiniskan sebaga berikut:

( ) (3.17)

Dari persamaan (3.9), persamaan (3.13), persamaan (3.16), dan

persamaan (3.17) didapatkan sebuah persamaan baru, yaitu:

qq

qps

qs

qs

q

s

qs

WL

WLL

WSEL

SEWL

SEWL

SEWW

)(

)(

)(

)(

(3.18)

Persamaan (3.9) dan persamaan (3.18) sering dikenal dengan istilah

Little’s Formula.

Teorema 3.2 Rumus Pollaczek-Khintchine

Misalkan merupakan suatu peubah acak maka rata-rata waktu

menunggu dalam antrian dapat dituliskan dengan rumus sebagai

berikut:


75

( )

( )

dengan λ merupakan rata-rata kedatangan pelanggan di sebuah sarana

pelayanan dan merupakan

, dengan merupakan rata-rata waktu

pelayanan.

Bukti:

Waktu pelayanan seorang pelanggan harus menunggu untuk dilayani

dapat dituliskan dengan cara berikut ini:

pelayanan

waktusisa

rata-rata

antrian

dalam

pelanggan

banyaknya

rata-rata

pelayanan

waktu

rata-rata

antrian dalam

menungguwaktu

rata-rata

Jika dituliskan dengan simbol maka persamaan di atas menjadi:

( ) ( ) (3.19)

dengan merupakan lama waktu pelayanan kepada pelanggan.

Tingkat kesibukan pelayan didapatkan dari rata-rata banyaknya

pelanggan dalam sistem dikurangi rata-rata banyaknya pelanggan

dalam antrian. Dari persamaan (3.9) dan persamaan (3.17) didapatkan

persamaan baru, yaitu:


76

)( qs

qsqs

WW

WWLL

(3.20)

Dengan menggunakan persamaan (3.15) dan persamaan (3.20), maka

diperoleh:

1

qs LL

(3.21)

Probabilitas pelayan sibuk saat pelanggan datang sama dengan

tingkat kesibukan pelayan. Oleh karena itu, jika dituliskan dengan

simbol maka akan menjadi:

r(pelayan sibuk) (3.22)

Dengan menggunakan persamaan (3.9) maka didapatkan persamaan:

)(

)(

))((

))()((

)(

SEL

SEW

SEW

SETE

TE

WL

s

s

s

s

q

qq

atau


77

)(SELL sq (3.23)

Bila persamaan (3.21) disubstitsikan ke persamaan (3.23), maka

persamaannya menjadi:

)(SE (3.24)

Dengan demikian tingkat kesibukan pelayan dapat ditentukan dengan

persamaan (3.24).

Dari persamaan (3.9), persamaan (3.22) dan persamaan (3.24)

maka persamaan (3.19) menjadi suatu persamaan baru, yaitu:

)1(

)(

)()1(

)(

)(

)()(

)()(

REW

REW

REWW

REW

RESEW

RESEWW

q

q

qq

q

q

qq

(3.25)

( )

Time

( )


78

Gambar 3.7. Waktu Pelayanan

Misalkan merupakan waktu menunggu (dalam antrian) untuk

pelanggan . merupakan banyaknya pelanggan dalam antrian dan

merupakan sisa waktu pelayanan oleh pelanggan .

Gambar 3.7 akan membantu memahami konsep sisa waktu pelayanan.

Gambar tersebut menunjukkan sisa waktu dalam antrian. ( )

merupakan sisa waktu pada saat . adalah waktu pelayanan dari

pelanggan . Jika pada waktu di mana sistem sedang kosong maka

didefinisikan ( ) sebagai banyaknya pelanggan yang telah dilayani

dan keluar dari sistem pada waktu .

Rata-rata sisa waktu pada interval , - adalah rata-rata nilai pada

sumbu dalam interval. Luas wilayah kurva dibagi dengan diberikan

oleh:

)(

)(

2

1

2

11)(

1

)(

1

2

)(

1

2

0

tM

S

t

tM

St

dttRt

tM

i

i

tM

i

i

t

Andaikan limit-limit yang besangkutan ada, maka persamaan menjadi:


79

)(

lim)(lim

2

1)(

1lim

)(

1

2

0tM

S

tt

tM

tdttR

tt

tM

i

it

(3.26)

Selanjutnya diasumsikan bahwa sistem adalah periodik maka rata-rata

waktu dapat digantikan dengan rata-rata dari limit yang bersangkutan

dan definisinya adalah:

Rata-rata sisa waktu = ( ) , -

Jika rata-rata waktu adalah rata-rata jarak yang ditetapkan, maka:

( )

∫ ( )

(3.27)

Karena sistem adalah lossless (tidak ada pelanggan yang pergi) maka

jika banyaknya pelanggan tidak selalu bertambah, banyaknya antrian

cenderung sama dengan limitnya. Dapat dikatakan tingkat kepergian

harus sama dengan rata-rata kedatangan sehingga dapat didefinisikan

sebagai berikut:

( )

(3.28)

Berdasarkan persamaan (3.27) dan (3.28) didapatkan persamaan baru,

yaitu:


80

2

)(

1

2

0

2

1)(

)(

lim)(lim

2

1)(

1lim

SERE

tM

S

tt

tM

tdttR

tt

tM

i

it

(3.29)

Dari persamaan (3.25), menggunakan persamaan (3.29) diperoleh:

)1(2

)(

)1(

2

)(

)1(

)(

2

2

SE

SE

REWq

Teorema 3.3 Ukuran-Ukuran Kinerja dengan Waktu Pelayanan

Berdistribusi Erlang dengan Pelayan Tunggal

Jika merupakan rata-rata laju kedatangan, merupakan rata-rata laju

pelayanan, dan merupakan banyaknya fase maka ukuran-ukuran

kinerja dengan waktu pelayanan distribusi Erlang adalah sebagai

berikut:

1. Rata-rata waktu menungggu dalam antrian ( ) adalah:

( )

( )

2. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian ( ) adalah:


81

( )

( )

3. Rata-rata waktu menungggu dalam sistem ( ) adalah:

( ) ( )

( )

4. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem ( ) adalah:

( ) ( )

( )

Bukti:

1. Berdasarkan Teorema 3.2 dan Teorema 2.17, maka didapatkan

persamaan:

k

k

k

k

k

k

k

SEWq

2

)1(

2

)1(

)1(2

)1(

)1(2

11

)1(2

)(

2

2

22

2


82

2. Berdasarkan persamaan (3.9), Teorema 3.2 dan Teorema 2.17,

maka didapatkan persamaan:

k

k

k

k

k

k

k

SE

WL qq

2

)1(

2

)1(

)1(2

)1(

)1(2

11

)1(2

)(

2

2

2

2

2

22

2

22

3. Berdasarkan persamaan (3.15) dan Teorema 3.3(1), maka

didapatkan persamaan:

k

k

k

k

WW qs

2

2)1(

1

2

)1(

1

4. Berdasarkan persamaan (3.18) dan Teorema 3.3(3), maka

didapatkan persamaan:


83

k

k

k

WL ss

2

2)1(

2

2)1(

2

Contoh 3.4:

Perhatikan Contoh 3.3. Sarana pelayanannya tidak dapat menangani

lebih dari satu mobil setiap saat ini berarti fasenya hanya 1 ( ).

Pada bagian ini Contoh 3.1 akan dikerjakan ulang dengan waktu

pelayanan menggunakan distribusi Erlang, sehingga model antrian

menjadi ( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ ).

a) Penentuan rata-rata banyaknya mobil dalam antrian ( )

menggunakan Teorema 3.3(2), yaitu:

( )

( )

( )

( )

mobil / jam

Jadi, rata-rata banyaknya mobil dalam antrian ( ) adalah 1,33

mobil / jam atau dalam 3 jam terdapat 4 mobil yang mengantri.

b) Penentuan rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( )


( )

( )

( )

( )

jam 20 menit

Jadi, rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( ) adalah 20

menit.


84

c) Penentuan rata-rata waktu menunggu dalam sistem ( )


( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

jam 30 menit

Jadi, rata-rata waktu menunggu dalam sistem ( ) adalah 30 menit.

d) Penentuan rata-rata banyaknya mobil dalam sistem ( )


( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

mobil / jam

Jadi, rata-rata banyaknya mobil dalam sistem ( ) adalah 2 mobil /

jam.

Pada saat fasenya satu maka antrian dengan distribusi Erlang

hasilnya akan sama dengan distribusi eksponensial.

Contoh 3.5:

Perbaikan suatu mesin bubut memerlukan 4 tahapan. Waktu yang

diperlukan untuk melaksanakan setiap tahapan mengikuti distribusi

eksponensial dengan suatu rata-rata sebesar 10 menit dan independen


85

atau bebas terhadap tahapan lainnya. Kerusakan mesin mengikuti

proses Poisson dengan rata-rata terjadi 3 kerusakan per jam. Apabila

hanya ada 1 tenaga mekanis dalam bengkel, berapa rata-rata waktu

menganggur dari mesin yang rusak untuk diperbaiki?

Penyelesaian:

Karena mesin bubut memerlukan 4 tahapan dalam perbaikan

mesin, maka banyak fasenya adalah 4 atau dan model

antriannya menjadi ( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ ). Waktu yang diperlukan

untuk melaksanakan setiap tahapan adalah 10 menit. Berati laju

pelayanannya () adalah :

laju pelayanannya() tahapan

menit tahapan

jam

Sedangkan dalam 1 jam terjadi 3 kerusakan mesin. Itu berarti laju

kerusakan mesin adalah:

( ) kerusakan

jam

Rata-rata waktu menanggur dari mesin yang rusak dapat diperoleh

dengan mencari rata-rata waktu mengantri mesin bubut dalam sistem

( ).

Permasalahan yang terjadi adalah menentukan rata-rata waktu

menganggur dari mesin yang rusak untuk diperbaiki.


86

Rata-rata waktu mengantri mesin bubut dalam sistem ( )

menggunakan persamaan (3.21) adalah:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

jam 47 5 menit

Jadi, rata-rata waktu menganggur dari mesin yang rusak untuk

diperbaiki adalah 47,5 menit.

Contoh 3.6:

Seorang penjahit memerlukan 1 hari penuh untuk menjahit 1 stel

pakaian. Kedatangan pelanggan mengikuti distribusi Poisson dengan

rata-rata kedatangan sebanyak 1 orang setiap 2 hari. Secara rata-rata

berapa lama seorang langganan diharapkan menunggu untuk dilayani

dalam antrian?

Penyelesaian:

Penjahit memerlukan 1 hari penuh untuk menjahit 1 stel pakaian.

Banyaknya tahapan dalam menjahit jumlahnya tidak tentu sehingga

fase yang diperlukan penjahit dalam menjahit 1 stel pakaian

diasumsikan 1 dan model antriannya

menjadi( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ ).

Laju pelayanannya () adalah 1 stel / hari. Rata-rata kedatangan

sebanyak 1 orang setiap 2 hari maka laju kedatangannya (λ) adalah


87

laju kedatangan( ) orang

2 hari

orang

hari

Rata-rata seorang pelanggan menunggu untuk dilayani dalam antrian

( ) menggunakan persamaan (3.19) adalah

( )

( )

( )

( ) hari

Jadi, rata-rata seorang pelanggan menunggu untuk dilayani dalam

antrian ( ) adalah 1 hari.

Contoh 3.7:

Perhatikan Contoh 3.6 apabila jam kerja penjahit hanya mulai

pukul 09.00-18.00 atau 9 jam dan untuk menjahit 1 stel pakaian butuh

waktu 10 jam. Apabila seorang pelanggan memasukkan 1 stel pakaian

hari Senin pukul 09.00, pada hari apa dan jam berapa pakaian tersebut

diperkirakan selesai dijahit?

Penyelesaian:

Dari contoh sebelumnya didapatkan rata-rata seorang pelanggan

menunggu adalah 1 hari. Dalam hal ini 1 hari adalah 1 jam kerja atau 9

jam. Jadi, apabila seorang pelanggan memasukkan pakaian pukul

09.00 pada hari Senin maka pakaian tersebut baru mulai dijahit pada

hari Selasa pukul 9.00. Untuk menjahit 1 stel pakaian butuh waktu 10

jam. Berarti pakaian tersebut selesai dijahit pada pukul 10.00 hari

Rabu.


88

Jadi, apabila seorang pelanggan memasukkan 1 stel pakaian hari

Senin pukul 09.00, pakaian tersebut diperkirakan selesai dijahit pada

hari Rabu pukul 10.00.

E. MODEL ANTRIAN DENGAN PELAYAN GANDA

Pada bagian sebelumnya telah dibahas ukuran-ukuran kinerja pada

model antrian berdistribusi Erlang dengan pelayan tunggal. Setelah ini

akan dibahas ukuran-ukuran kinerja pada model antrian berdistribusi

Erlang dengan pelayan ganda.

Teorema 3.4 Ukuran-Ukuran Kinerja dengan Waktu Pelayanan

Berdistribusi Erlang dengan Pelayan Ganda

Jika merupakan rata-rata laju kedatangan, merupakan rata-rata laju

pelayanan, merupakan banyaknya fase, dan merupakan banyaknya

pelayan maka ukuran-ukuran kinerja dengan waktu pelayanan distribusi

Erlang adalah sebagai berikut:


ssk

kWq

2

)1(

2. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian ( ) adalah:

ssk

kLq

2

2

)1(


89


sssk

kWs

1

2

)1(

4. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem ( ) adalah:

sssk

kLs

2

2

)1(

Bukti:

Perlu diingat bahwa ( ) merupakan probabilitas ada pelanggan

dalam fase dalam sistem pada waktu . Misalkan ( ) adalah

probabilitas ada pelanggan dalam sistem pada waktu ( ). ( )

dan ( ) adalah probabilitas ada dan pelanggan dalam

sistem secara berturut-turut.

Persamaan probabilitas Steady-State dituliskan sebagai berikut:

0;0)()(

0;0)()()()(

10

1

nttPksttP

nttPttPksttPks knnn

(3.30)

dengan meruapakan rata-rata kedatangan dan meruapakan rata-rata

pelayanan.

Jika nn ttP )( maka persamaan (3.30) dapat dituliskan sebagai berikut:

0;0)( 1 nksks knnn (3.31)


90

0;010 nks (3.32)

Misalkan

maka persamaan (3.31) dan (3.32) menjadi:

0;0)( 1 nksksksks knnn

0;010 nksks

(3.33)

(3.34)

Apabila persamaan (3.33) dan (3.34) masing-masing dibagi dengan ks

maka persamaannya menjadi:

1;)1(

0;0)1(

1

1

n

n

knnn

knnn

(3.35)

dan

0;

0;0

01

10

n

n

(3.36)

Misalkan:

( ) ∑

y

(3.37)

Apabila persamaan (3.35) dikalikan dengan ∑ maka persamaannya

menjadi:


91

kn

n

n

n

n

n

n

n

n yyy

1

1

11

)1(

(3.38)

Apabila kedua ruas pada persamaan (3.38) ditambahkan dengan maka


kn

n

n

n

n

n

n

n

n yyy

1

1

1

11

1

)1(

(3.39)

Dari persamaan (3.36) dan (3.39) didapatkan persamaan baru, yaitu;

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

00

1

1)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

n

n

n

kn

kn

n

n

n

n

n

n

n

kn

n

n

n

n

n

n

n

n

kn

n

n

n

n

n

n

n

n

kn

n

n

n

n

n

kn

n

n

n

n

n

n

n

n

yy

yy

y

yyy

yyy

yyy

yyy

(3.40)

Karena maka untuk , diperoleh dengan cara berikut;

0

0

0

0

0

10

0

0

1)1(

1;;1

)1(

i

i

i

m

nm

mk

n

n

n

i

i

i

m

nm

km

n

n

n

yy

yyy

inmknyy

yy

(3.41)

Berdasarkan persamaan (3.37) maka persamaan (3.41) menjadi:


92

)1())1()1()((

)1()1)((

)1()1)1)(((

)()()()1(

1)(

1)()()1(

1)(

1)()()1(

)(1

)()()1(

0

0

1

0

1

00

1

00

00

00

yyyyyG

yyyyyG

yyyyG

yyGyGyyyG

yyG

yyGyyG

yyG

yyGyyG

yGy

yGyyG

k

k

k

k

k

k

k

1||;

1

)1(1

1)(

1

)1(1

)(

11

)1()(

11

)1()1(

)1()(

))1()1((

)1()(

0

0

0

0

0

y

y

yyyG

y

yyyG

y

yyyG

y

yyy

yyG

yyy

yyG

k

k

k

k

k

(3.42)

Persamaan (3.42) merupakan dari deret Geometri dengan dan

.

/ sehingga apabila dideretkan persamaannya menjadi:


93

0

0

3

3

2

2

1

1)(

...1

1)(

1

1)(1)(

n

nk

n

kk

y

yy

y

yy

y

yyyG

(3.43)

Oleh karena itu berdasarkan persamaan (3.43) maka:

0

2

0

0

12

0

)...(

)...1()()(

n

nkn

n

nkn

yyy

yyyyyG

(3.44)

Misalkan maka persamaan (3.44) menjadi:

k

k

G

yyyyG

n

nn

n

nkn

n

nkn

1

1

)1...11()1(

)...()(

0

0

0

0

2

0

0

2

0

(3.45)

Pada persamaan (3.37) apabila maka persamaannya menjadi:

0

)1(n

nG

(3.46)

Karena n merupakan fungsi probabilitas maka menurut Definisi 2.6

menjadi:


94

1)1(0

n

nG

(3.47)

Oleh karena itu, persamaan (3.45) menjadi;

k

k

1

1

11

0

0

(3.48)


n

n

nkn

n

nk

n

yyyk

y

yykyG

)1(1)()1(

1

1)()1()(

0

0

(3.49)

Menggunakan rumus Binomial Newton maka persamaan (3.49) menjadi:

0 0 0

1

0

2

0

1

00

)1()1(

1)1(;)1()()1()(

n z i

nzki

i

in

z

nzn

n

n

n

i

i

i

i

in

z

zk

z

nz

n

n

yCCky

yCyCykyG

(3.50)

Apabila pada persamaan (3.50) kedua ruas dibagi dengan ∑ maka

peramaannya menjadi:

0

1)1()1(n

i

in

z

nzn

n CCk


95

(3.51)

Rata-rata banyaknya fase dalam sistem dapat dituliskan dalam persamaan

berikut:

( ) ∑

(3.52)

Untuk menentukan rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem maka

perlu mempertimbangkan persamaan (3.35). Dengan mengalikan kedua

ruas dengan ∑ pada persamaan (3.35) maka terdapat persamaan

baru, yaitu:

1 1

1

222

1 1

1

2

1

22

)1(

)1(

n n

n

kn

knn

n n

n

n

knn

nnn

nnn

(3.53)

Jika dan maka persamaan (3.53) ruas kanannya

menjadi:


96

)1(2

)1(

)1(2

)1(

)1()1(2

)1()1(21

)1()1(21

)1()1(21

)1()22(

)21()2(

)1()(

)1()(

)1()()1(

0

2

0

0

2

0

0

2

0

0

2

00

2

0

0

2

00

2

0

0

22

0

0

222

0

0

222

0

0

22

0

0

2

0

2

1 1

2

0

22

k

kn

k

km

kmk

kmkm

kmkm

kkmm

kmmkmm

mmmkkm

mkm

mkm

mkmn

n

n

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

n

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

n m

m

m

mn

(3.54)

Berdasarkan persamaan (3.54) dan persamaan (3.49) maka persamaan

(3.52) menjadi:

)1(2

)(

)1(2

)1()1(

)1(2

)1()(

2

2

0

2

k

kk

k

kk

k

kkLs

(3.55)


97

Jika

ks maka persamaan (3.55) menjadi:

s

k

s

s

ks

kk

ss

s

kskk

kks

kskk

k

kk

k

kk

k

kkkLs

2

)1(

2

)1(

2

)1(

12

)1(

)1(2

)1(

)1(2

)1(

)1(2

)()(

2

(3.56)

Rata-rata banyaknya fase . ( )/ dalam antrian diperoleh dengan cara

berikut ini:

( ) ( )

(3.57)



98

ss

k

ss

kkLq

2

)1(

1

2

)1()(

(3.58)

Rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian ( ) dapat ditentukan

dengan cara berikut ini:

( ) (rata rata banyaknya fase dalam pelayan)

(3.59)

Menggunakan persamaan (3.56) maka persamaan (3.59) menjadi:

ssk

k

ks

k

s

kLq

2

2

)1(

1

2

)1(

2

)1(

(3.60)

Rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( ) menggunakan persamaan

(3.18) yaitu:

ssk

k

ssk

k

LW

q

q

2

)1(

1

2

)1( 2

(3.61)


99

Rata-rata waktu menunggu dalam sistem ( ) menggunakan persamaan

(3.14) yaitu:

sssk

k

sWW qs

1

2

)1(

1

(3.62)

Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem ( ) menggunakan

persamaan (3.9) yaitu:

sssk

k

WL ss

2

2

)1(

F. MODEL BIAYA

Pada bagian ini akan diperlihatkan model biaya pada sebuah

antrian. Model biaya ini berkaitan dengan penentuann laju pelayanan

optimum. Secara umum model biaya mencoba menyeimbangkan dua

biaya yang saling bertentangan.

1. Biaya dari kenaikan tingkat pelayanan

2. Biaya dari keterlambatan dalam penawaran pelayanan (biaya

menunggu)

Dua jenis biaya di atas saling bertentangan karena menaikkan salah

satunya akan mengakibatkan penurunan yang lainnya. Apabila jumlah


100

pelayan ditambah maka waktu pelanggan untuk menunggu akan semakin

berkurang. Tetapi, apabila jumlah pelayan ditambah maka biaya untuk

yang harus dikeluarkan untuk menggaji pelayan juga bertambah.

Sangat sulit menyatakan secara eksplisit biaya menunggu per unit

waktu. Namun, biaya menunggu dapat diduga secara sederhana sebagai

biaya kehilangan keuntungan bagi pengusaha atau biaya turunnya

produktivitas bagi para pelanggan.

Biaya optimal dapat ditentukan dengan mencari jumlah pelayan

dengan biaya total yang paling minimum. Misalkan ( atau )

menyatakan tingkat pelayanan, model biaya dapat distuliskan sebagai

berikut:

(

total biaya

yang

diperkirakan per

satuan aktu

)

(

biaya yang

diperkirakan untuk

pengoperasian

sarana tersebut

per satuan aktu )

(

biaya tunggu

yang

diperkirakan per

satuan aktu

)

Jika dituliskan dengan simbol, persamannya menjadi:

( ) ( ) ( ) (3.63)

Dengan kata lain, biaya optimal dapat dicari dengan meminimumkan

( ) ( ) ( ).

Bentuk sederhana dari EOC dan EWC, yaitu:


101

(

biaya yang

diperkirakan untuk

pengoperasian

sarana tersebut

per satuan aktu )

(

biaya

satuan aktu

per unit

) (lama

*

atau

( ) (3.64)

dan

(

biaya tunggu

yang

diperkirakan per

satuan aktu

)

(

)

(

)

atau

( ) (3.65)

Berdasarkan persamaan (3.64) dan (3.65) maka persamaan (3.63) menjadi:

( ) (3.66)

Untuk mencari jumlah pelayan optimum, dalam hal ini .

Didefiniskan untuk memperoleh pelayan optimum maka harus

memenuhi kondisi berikut ini:

( ) ( ) (3.67)

dan


102

( ) ( ) (3.68)

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.63) ke persamaan (3.67) maka


)()()1()1(

)()1(

cEWCcEOCcEWCcEOC

cETCcETC

(3.69)


)()1(

)1()()1(

)1()()1(

)1()()1(

)()1()1(

)()1()1(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2121

cLcLC

C

cLcLC

C

cLcLccC

C

cLcLcC

Cc

C

C

cLcC

CcLc

C

C

cLCcCcLCcC

ss

ss

ss

ss

ss

ss

(3.70)

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.63) ke persamaan (3.68) maka


)1()1()()(

)1()(

cEWCcEOCcEWCcEOC

cETCcETC

(3.71)


103


)1()(

)()1()1(

)()1()1(

)()1()1()(

)1()1()()(

)1()1()()(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2121

cLcLC

C

cLcLC

C

cLcLccC

C

cLcLcC

Cc

C

C

cLcC

CcLc

C

C

cLCcCcLCcC

ss

ss

ss

ss

ss

ss

(3.72)

Dari persamaan (3.70) dan (3.72) diperoleh persamaan baru, yaitu:

( ) ( )

( ) ( )

(3.73)

Persamaan (3.73) menunjukkan bahwa sistem dalam keadaan stabil yaitu

keadaan dimana biaya menunggu dan biaya pelayanan seimbang.

Contoh 3.8:

Perusahaan percetakan X sedang mempertimbangkan untuk

membeli sebuah mesin cetak berkecepatan tinggi. Empat model dengan

spesifikasinya dituliskan dalam tabel di bawah ini:

Tabel 3.3 Spesifikasi perusahaan percetakan X


104

Jenis

Mesin

biaya

operasi kecepatan

(Rp/jam) (lembar/menit)

1 150.00 30

2 200.00 36

3 240.000 50

4 270.000 66

Pekerjaan tiba di perusahaan mengikuti distribusi Poisson dengan

rata-rata 4 pekerjann setiap 24 jam. Ukuran pekerjaan adalah acak tetapi

rata-rata 10.000 lembar per pekerjaan. Perjanjian dengan pelanggan

merinci biaya penalty dari keterlambatan pengiriman Rp 800.000 per

pekerjaan per hari. Jenis mesin mana yang harus dipilih perusahaan X?

Laju pelayanan optimum dapat diperoleh dengan membandingkan

biaya total yang bersesuaian. Dengan diketahui laju kedatangan (λ) 4

pekerjaan setiap 24 jam, maka langkah pertama adalah mencari laju

pelayanan dari masing-masing jenis mesin. Laju pelayanan dari masing-

masing jenis mesin dituliskan dalam tabel berikut ini:

Tabel 3.4 Laju Pelayanan Mesin Perusahaan Percetakan X

Jenis Kecepatan

Ls

Mesin (lembar/hari) (pekerjaan/hari)


105

1 43200 4.32 4 12.5

2 51840 5.18 4 3.39

3 72000 7.2 4 1.25

4 95040 9.5 4 0.73

Penentuan biaya total berkaitan dengan masing-masing jenis

mesin. Dengan menggunakan satu hari 24 jam untuk mewakili unit waktu

dan misalkan i menyatakan jenis model ( ), maka total biaya

yang diperkirakan per hari dengan mesin i adalah:

sii LCC

EWCEOCETC

21 24.

)24()24()24(

Karena Contoh 3.6 merupakan model antrian (M / M / 1) : (GD / / )

maka untuk mencari menggunakan persamaan 3.4.

Total biaya yang diperkirakan per hari dengan mesin i juga dituliskan

dalam tabel di bawah ini:

Tabel 3.5 Total biaya yang duperkirakan perusahaan percetakan X

Jenis

Mesin EOC (Rp) EWC (Rp) ETC (Rp)

1 3.600.000 10.000.000 13.600.000


106

2 4.800.000 2.712.000 7.512.000

3 5.760.000 1.000.000 6.760.000

4 6.480.000 584.000 7.064.000

Karena total biaya yang diperkirakan per hari terendah dicapai oleh

mesin ke-3 maka perusahaan X harusnya memilih mesin ke-3.

Contoh 3.9:

Dalam sebuah toko roti, pelanggan tiba sesuai distribusi Poisson

dengan rata-rata 17,5 pelanggan / jam. Waktu untuk melayani

pelanggan mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 10

pelanggan / jam. Biaya penambahan seorang pelayan baru

diperkirakan Rp 10.000 / jam. Biaya tambahan produksi yang

diperkirakan Rp 50.000 / jam. Apakah toko tersebut harus menambah

pegawai baru untuk melayani pelanggannya?

Penyelesaian:

Berati laju pelayanannya () adalah : 10 pelanggan / jam

Sedangkan laju kedatangannya ( ) adalah: 17,5 pelanggan / jam

dan sehingga

Tabel 3.6 Waktu Menunggu dalam Sistem dan Rata-rata

Banyaknya Pelanggan dalam Sistem


107

Pelayan ( )

1 -2,33

2 7,47

3 2,22

4 1,84

5 1,77

6 1,75

Tabel 3.7 Perhitungan Jumlah Pelayan Optimum

Pelayan ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 - -

2 - 5,25

3 5,25 0,38

4 0,38 0,07

5 0,07 0,01

Dari tabel 3.7 terihat bahwa . Jadi seharusnya jumlah pelayan

optimum pada kasus di atas adalah 4 pelayan.


108

BAB IV

MODEL ANTRIAN BEBERAPA FASE

PADA RSUD GUNUNG JATI CIREBON

Pada bab ini akan dibahas suatu masalah real yang memiliki situasi antrian

dengan beberapa fase. Tujuan pada bab ini adalah untuk melakukan analisis

terhadap ukuran-ukuran kinerja sistem yang selanjutnya akan dipergunakan untuk

menentukan jumlah pelayan optimum yang dapat menyeimbangkan biaya dan

waktu tunggu.

Rumah Sakit sebagai sarana pelayanan kesehatan yang semula hanya

melaksanakan upaya penyembuhan dan pemulihan, kini juga melaksanakan upaya

peningkatan mutu terhadap Rumah Sakit itu sendiri. Rumah Sakit yang akan

dijadikan obyek dalam permasalahan ini adalah Rumah Sakit Umum Daerah

Gunung Jati Cirebon. Data dari Rumah Sakit ini diperoleh dari Tesis Mahasiswa

Universitas Indonesia yaitu Seno Soebagio Surjaningrat. Masalah pokok yag

dihadapi Rumah Sakit tersebut diantaranya adalah layanan yang diberikan pada

umunya kurang memuaskan bagi masyarakat dan bagi pihak rumah sakit sendiri

adalah keterbatasan dana untuk menambah fasilitas.

Salah satu instalasi yang menyerap biaya operasional besar adalah

Instalasi Farmasi. Tugas Instalasi Farmasi Rumah Sakit adalah merencanakan,

mengatur, dan melayani kebutuhan bahan farmasi. Bagian terdepan dari Instalasi

Farmasi adalah apotek. Apotek berhubungan langsung dengan fungsi pelayanan

terhadap pasien. Pasien mendapatkan pelayanan di bagian apotek melalui proses


109

antrian. Sebelum mendapatkan pelayanan di apotek, pasien juga sudah melalui

berbagai antrian mulai dari pada saat datang pada bagian pendaftaran, di bagian

poliklinik, ataupun bagian penunjang medis lain seperti laboratorium, radiologi,

dll. Hal ini bisa menimbulkan rasa jenuh maupun stres bagi pasien karena harus

menghabiskan waktu yang begitu lama pada suau proses pengobatan yang

dibutuhkannya.

Pasien ataupun keluarga pasien tidak sabar meluangkan waktu ke apotek

karena kelelahan dengan pelayanan yang mereka alami sebelumnya. Selain itu,

mereka juga merasa putus asa melihat pelayanan apotek yang biasanya antrianya

sangat panjang. Akibatnya, mereka memilih untuk meninggalkan apotek rumah

sakit dan mencari apotek lain yang lebih sedikit atau bahkan tidak ada antriannya

sama sekali. Keadaan ini tentu sangat merugikan bagi pihak rumah sakit. Karena

hal tersebut perlu adanya gambaran tentang karakteristik dalam sistem antrian dan

mencari model terbaik untuk pelayanan resep obat dalam apotek tersebut.

Di bawah ini merupakan alur resep pada apotek RSUD Gunung Jati Cirebon:

Gambar 4.1 Alur Resep pada Apotek RSUD Gunung Jati Cirebon

Keterangan alur resep pada apotek RSUD Gunung Jati Cirebon:

1. Resep

Resep Pengecekan Pengemasan Etiket Obat jadi


110

Resep obat yang ditulis oleh dokter dan dipergunakan untuk mengambil

obat di apotek.

2. Etiket

Pemberian etiket obat sesuai dengan permintaan yang tertera dalam resep

yang kemudian diberikan ke pasien untuk kemudian dilanjutkan dan

diberikan ke bagian pengemasan obat.

3. Pengemasan

Pengemasan obat dimana obat sesuai resep dicari dan dikemas sesuai

etiket.

4. Pengecekan

Pengecekan akhir untuk mengetahui kesesuaian antara resep, etiket, dan

obat yang akan diberikan. Selain itu, di bagian ini dibuat kwitansi resep

ataupun salinan resep apabila dibutuhkan oleh pasien.

5. Obat jadi

Obat siap diserahkan kepada pasien.

Data kedatangan resep dan pelayanan resep ke dalam antrian pada RSUD Gunung

Jati Cirebon dapat dilihat pada lampiran 1.

Selanjutnya adalah mencari rata-rata kedatangan resep. Data rata-rata kedatangan

resep dapat dilihat pada lampiran 2.

Sebelum melakukan penghitungan ukuran-ukuran kinerja maka terlebih

dahulu data pada lampiran 2 diuji distribusinya. Data pada lampiran 2 akan diuji

apakah datanya berdistribusi Poisson.


111

1. H0 : data berdistribusi Poissson

H1 :data tidak berdistribusi Poisson



Asymp. Sig. (2-tailed)< maka H0 ditolak.

Tabel 4.1 Hasil SPSS Jarak Antar Kedatangan


Datang

N 3

Poisson Parametera,,b

Mean 8.6667

Most Extreme

Differences

Absolute .369

Positive .369

Negative -.364


Asymp. Sig. (2-tailed) .809

a. Test distribution is Poisson.



bahwa nilai Asymp. Sig. (2-tailed) adalah 0,809.

Asymp. Sig. (2-tailed) = 0,809

= 0,05


H1 ditolak. Jadi, dapat disimpulkan data berdistribusi Poisson.


112

Karena datanya berdistribusi Poisson maka dapat disimpulkan bahwa kedatangan

berdistribusi Poisson.

Pada bagian selanjutnya akan ditunjukkan bahwa waktu pelayanan pada lampiran

3 berdistribusi eksponensial. Pengujian dilakukan pada masing-masing tahap.

Untuk waktu pelayanan bagian etiket

1. H0 : data berdistribusi eksponensial

H1 :data tidak berdistribusi eksponensial




Tabel 4.2 Hasil SPSS Etiket


ETIKET

N 24

Exponential

parameter.a,,b

Mean 6.9583

Most Extreme

Differences

Absolute .142

Positive .074


113

Negative -.142



a. Test Distribution is Exponential.





= 0,05


H1 ditolak. Jadi, dapat disimpulkan data berdistribusi eksponensial.

Untuk waktu pelayanan bagian kemas






Tabel 4.3 Hasil SPSS Pengemasan


114


KEMAS

N 20

Exponential

parameter.a,,b

Mean 7.0000

Most Extreme

Differences

Absolute .299

Positive .140

Negative -.299

Kolmogorov-Smirnov Z 1.335







= 0,05



Untuk waktu pelayanan bagian pengecekan






115


Tabel 4.4 Hasil SPSS Pengecekan


PENGECEKAN

N 24

Exponential

parameter.a,,b

Mean 6.8750

Most Extreme

Differences

Absolute .233

Positive .104

Negative -.233

Kolmogorov-Smirnov Z 1.140







= 0,05




116

Dari pengujian yang dilakukan pada masing-masing tahap etiket,

pengemasan, dan pengecekan datanya berdistribusi eksponensial semua. Hal ini

berarti waktu pelayanan berdistribusi eksponensial. Dengan demikian telah

terbukti jika waktu antar kedatngan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanannya

berdistribusi eksponensial.

Dari permasalahan yang telah dipaparkan di depan dikethui bahwa tahap

pelayanan resep terdiri dari 3 tahap , yaitu etiket, pengemasan, dan penecekan,

sehingga didapatkan .

Dari tabel di atas diperoleh rata-rata kedatangan resep setiap 7 menit sekali,

sehingga laju kedatangan ( ) 26 resep

3 jam

resepjam⁄

Sedangkan waktu yang diperlukan untuk melakukan masing-masing tahapan rata-

rata sebesar 6 menit, sehingga laju pelayanan ( ) 1 resep

6 menit 10resep

jam⁄

Pada awal permasalahan juga sudah dijelaskan bahwa akan dicari

gambaran tentang karakteristik dalam sistem antrian. Gambaran tentang

karakteristik meliputi ukuran-ukuran kinerja. Pada bagian selanjutnya akan dicari

ukuran-ukuran kinerja pada antrian resep tersebut.

Selanjutnya dicari ukuran-ukuran kinerja, yaitu:



117

( )

( )

( )

( )

Jadi, rata-rata waktu menunggu dalam antrian ( ) adalah 0,4 jam.

2. Rata-rata banyaknya resep dalam antrian ( ) adalah:

( )

( )

( ) ( )

( )

Jadi, rata-rata banyaknya resep dalam antrian ( ) adalah 3,43 resep.


( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Jadi, rata-rata waktu menungggu dalam sistem ( ) adalah 0,43 jam.

4. Rata-rata banyaknya resep dalam sistem ( ) adalah:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

Jadi, rata-rata banyaknya resep dalam sistem ( ) adalah 3,71 resep.


118

Dari ukuran-ukuran kinerja di atas terlihat bahwa waktu menunggu dalam

antrian maupun waktu menunggu dalam sistem sangat lama. Hal ini tentu tidak

baik untuk Rumah sakit apabila pasien pindah ke apotek lain. Langkah

selanjutnya adalah menghitung ukuran-ukran kinerja sistem apabila jumlah

pelayan ditambah. Berikut ini adalah ukuran-ukuran kenrjanya yang meliputi rata-

rata waktu menunggu dalam sistem dan rata-rata banyaknya resep dalam sistem ,

yaitu:

Tabel 4.5 Waktu Menunggu dalam Sistem dan Rata-rata Banyaknya Resep dalam

Sistem

Pelayan ( )

1 0,43 3,71

2 0,075 0,6

3 0,042 0,3

4 0,029 0,2

Diasumsikan rata-rata pendapatan kerja karyawan tiap bulan adalah Rp

1.500.00,00. Diasumsikan juga rata-rata kerja adalah 30 hari/ bulan dan rata-rata

waktu kerja adalah 7 jam kerja. Sehinngga diperoleh:

Rata-rata pendapatan karyawan / jam ( )

( ) .

Biaya menunggu yang dimaksud dalam kasus ini adalah biaya yang dikeluarkan

pihak rumah sakit yang besarnya Rp 7142,86 / jam.


119

Rincian biaya penambahan seorang karyawan:

Gaji karyawan baru : Rp 1.000.000,00. Sehinngga rata-rata biaya / jam untuk 1

karyawan baru adalah ( )

( ) .

Maka diperoleh:

Untuk memperoleh jumlah pelayan optimum yang mengoptimalkan biaya maka

harus memenuhi kondisi padapersamaan(3.71), yaitu:

( ) ( )

( ) ( )

Penentuan jumlah pelayan dapat dilihat dalam perhitungan pada tabel berikut ini:

Tabel 4.6 Perhitungan Jumlah Pelayan Optimum

Pelayan ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 3,11 -

2 0,3 3,11

3 0,1 0,3


120

Dari tabel 4.8 terihat bahwa . Jadi seharusnya jumlah pelayan

optimum pada kasus di atas adalah 2 pelayan.


121

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Pada kehidupan sehari-hari sering ditemukan istilah antrian.


pelayanan. Antrian yang terlalu lama dan sangat panjang tentu akan sangat


Apabila jumlah pelayan ditambah tentu akan menambah biaya yang lebih

besar dari sebelumnya. Tetapi, apabila jumlah pelayan tidak ditambah

maka antrian dapat terjadi dalam waktu yang lama yang akhirnya dapat

menyebabkan pelayananan menjadi tertunda dan tidak optimal. Dampak

yang lebih buruk dari antrian yang terlalu panjang dan lama adalah

hilangnya pelanggan. Mengingat bahwa antrian yang terlalu panjang dan

lama dapat merugikan bagi pelanggan maupun bagi pelayan, maka perlu

dilakukan penentuan jumlah pelayan yang sesuai dengan tingkat

kedatangan.

Kedatangan pelanggan dapat dipelajari

karakteristiknya.Karakteristik-karakteristik kedatangan dapat terwakilkan

dengan adanya distribusi. Distribusi yang dapat mewakili adalah distribusi

Poisson karena karakteristik-karakteristik tersebut juga mirip dengan

karakteristik-karakteristik yang dimiliki oleh distribusi Poisson.


122

Tidak hanya kedatangan saja yang dapat dipelajari karakteristik-

karakteristiknya. Waktu pelayanan dalam sebuah antrian juga dapat

dipelajari karakteristiknya. Beberapa distribusi yang dapat mewakili waktu

pelayanan adalah distribusi eksponensial dan distribusi Erlang. Jika pada

model antrian berdistribusi eksponensial banyaknya fase hanya satu

sedangkan pada model antrian berdistribusi Erlang banyaknya fase dalam

model antrian jumlahnya dapat berhingga dan tak berhingga.Pada tulisan

ini waktu pelayanannya berdistribusi Erlang.

Penentuan jumlah pelayan yang optimal merupakan hal yang

sangat penting dalam analisis sistem antrian. Kelebihan jumlah pelayan

tentu akan menambah biaya operasional. Sedangkan kekurangan pelayan

akan mengakibatkan hilangnya pelanggan. Sehingga jumlah pelayan yang

optimal adalah hal yang sangat penting, terlebih untuk menyeimbangkan

biaya.

Untuk menentukan jumlah pelayan yang optimal perlu adanya

ukuran-ukuran kinerja sistem. Ukuran-ukuran kinerja sistem meliputi rata-

rata banyaknya pelanggan dalam sistem, rata-rata banyaknya pelanggan

dalam antrian, rata-rata waktu menunggu dalam sistem, dan rata-rata

waktu menungggu dalam antrian.

Dalam menentukan jumlah pelayan perlu mempertimbangkan

model biaya. Apabila jumlah pelayan ditambah maka waktu pelanggan

untuk menunggu akan semakin berkurang. Tetapi, apabila jumlah pelayan


123

ditambah maka biaya untuk yang harus dikeluarkan untuk menggaji

pelayan juga bertambah.

Pada penerapan antrian di RSUD Gunung Jati banyaknaya fase ada

tiga, yaitu: etiket, pengemasan, dan pengecekan. Waktu pelayanan pada

masing-masing fase sama sehingga waktu pelayanannya berdistribusi

Erlang. Jumlah pelayan yang diperoleh belum optimal dan waktu tunggu

masih lama. Dengan menggunakan model biaya jumlah pelayan pada

masing-masing tahap adalah dua orang. Penambahan pelayan ini juga

dapat mengurangi waktu tunggu.

B. Saran

Beberapa hal yang perlu dipertimbangkan untuk penyempurnaan

antara lain yaitu model-model antrian dalam tulisan ini hanya mencakup

model antrian dengan waktu pelayanan yang sama pada masing-masing

tahap. Model antrian dengan waktu pelayanan yang berbeda pada masing-

masing tahap memungkinkan untuk dipelajari lebih lanjut.


124

DAFTAR PUSTAKA

Bain, Lee J. & Max Engelhardt. 1992. Introduction to Probability and

Mathematical Statistics. Second edition. Canada: Nelson

Education, Ltd.

Bronson, Richard. 1983. Teori dan Soal-soal Operations Research.

Jakarta: Erlangga.

Bronson, Richard. 2005. Probability and Statistics for Engineers. Seventh

edition. United State: Pearson Education, Inc.

Daniel, Wayne W. 1990. Applied Nonparametric Statistics. Second

edition. Canada: Thomson Learning, Inc.

Dennis D., William Mendenhall III, & Richard L. Scheaffer. 2008.

Mathematical Statistics with Aplication. Seventh edition. United

State: Thomson Learning, Inc.

Ekpenyong, Emmanuel John & N. Sunday Udoh. Analysis of Multi-Server

Single Queue System with Multiple Phases. The Journals of

Operational Research Society. Vol. VII. No. 2. pp305-314.

Gross, Donald, John F. Shortle, James M. Thompson, & Carl M. Harris.

2008. Fundamental of Queueing Theory. Fourth Edition. New

Jersey: John Wiley & Sons, Inc.

Hamdy, A. Taha. 2007. Operation Research : An Introduction. Eighth

edition. New Jersey: Pearson Education, Inc.


125

Hillier, Frederick S. & Gerald J. Liberman. 2001. Introduction to

Operation Research. Seventh edition. New York: McGraw –

Hill, Inc.

Hines, William W. & Douglas C. Montgomery. 1990. Probabilita dan

Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen. Edisi Kedua.

Jakarta: UI-Press.

H., Rieske & Sapto W. I. 2003. Proses Stokastik. Bandung: ITB.

Papoulis, Anthanasios. 1992. Probabilitas Variabel Random dan Proses

Stokastik. Edisi Kedua. Yogyakarta: UGM-Press.

Subagyo P. , M. Asri, & Hani Handoko. 1992. Riset Operasi. Edisi kedua.

Yogyakarta: BPFE.

Supranto, J. 1988. Riset Operasi untuk Pengambilan Keputusan. Edisi

pertama. Jakarta: UI – Press.

Tjims, Henk C. 2003. A First Course in Stochastic Models. England: John

Wiley & Sons, Ltd.

Walpole, R. E. 1990. Pengantar Statistika. Edisi ketiga. Jakarta:

Gramedia.

Walpole, R. E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, & Keying Ye.

2012. Probability & Statistics for Engineers & Scientists. Ninth

edition. Boston: Pearson Education, Inc.


126

Lampiran 1

pelanggan

ke-

waktu tiba resep

etiket Pengemasan Pengecekan

Obat

jadi

1 9:24 9:25 9:28 9:36

2 9:35 9:36 9:39 9:44

3 9:41 9:42 9:45 9:46

4 10:00 10:01 10:05 10:13

5 10:05 10:06 10:09 10:16

6 10:09 10:12 10:19 10:21

7 10:25 10:30 10:32 10:35

8 10:35 10:38 10:41 10:47

9 10:39 10:42 10:46 11:00

10 10:45 10:56 11:11 11:18

11 10:50 11:06 11:16 11:20

12 10:55 11:07 11:17 11:23

13 11:00 11:18 11:26 11:40

14 11:05 11:24 11:32 11:41

15 11:23 11:36 11:40 11:42

16 11:29 11:35 11:43 11:45

17 11:40 11:48 11:55 12:00

18 11:42 11:52 12:06 12:12


127

19 11:56 11:59 12:09 12:24

20 12:00 12:07 12:17 12:25

21 12:04 12:10 12:19 12:23

22 12:11 12:15 12:21 12:26

23 12:18 12:28 12:34 12:38

24 12:25 12:30 12:35 12:55


128

Lampiran 2

jam ke- Datang

1 9

2 8

3 9


129

Lampiran

Tabel 4.3 Waktu Pelayanan Resep

pelanggan ke-

waktu tiba resep waktu pelayanan resep

etiket pengemasan Pengecekan

obat

jadi etiket pengemasan pengecekan

1 9:24 9:25 9:28 9:36 0:01 0:03 0:08

2 9:35 9:36 9:39 9:44 0:01 0:03 0:05

3 9:41 9:42 9:45 9:46 0:01 0:03 0:01

4 10:00 10:01 10:05 10:13 0:01 0:04 0:08

5 10:05 10:06 10:09 10:16 0:01 0:03 0:07

6 10:09 10:12 10:19 10:21 0:03 0:07 0:02

7 10:25 10:30 10:32 10:35 0:05 0:02 0:03

8 10:35 10:38 10:41 10:47 0:03 0:03 0:06


130

9 10:39 10:42 10:46 11:00 0:03 0:04 0:14

10 10:45 10:56 11:11 11:18 0:11 0:15 0:07

11 10:50 11:06 11:16 11:20 0:16 0:10 0:04

12 10:55 11:07 11:17 11:23 0:12 0:10 0:06

13 11:00 11:18 11:26 11:40 0:18 0:08 0:14

14 11:05 11:24 11:32 11:41 0:19 0:08 0:09

15 11:23 11:36 11:40 11:42 0:13 0:04 0:02

16 11:29 11:35 11:43 11:45 0:06 0:08 0:02

17 11:40 11:48 11:55 12:00 0:08 0:07 0:05

18 11:42 11:52 12:06 12:12 0:10 0:14 0:06

19 11:56 11:59 12:09 12:24 0:03 0:10 0:15

20 12:00 12:07 12:17 12:25 0:07 0:10 0:08

21 12:04 12:10 12:19 12:23 0:06 0:09 0:04


131

22 12:11 12:15 12:21 12:26 0:04 0:06 0:05

23 12:18 12:28 12:34 12:38 0:10 0:06 0:04

24 12:25 12:30 12:35 12:55 0:05 0:05 0:20

rata-rata 0:06 0:06 0:06


plagiat merupakan tindakan tidak terpujirepository.usd.ac.id/27163/2/103114005_full.pdf · 2018. 5....

Documents