9

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema

yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada bab III nanti, di antaranya

model matematika penyebaran penyakit, sistem persamaan linear, sistem

persamaan diferensial, titik ekuilibrium, linearisasi sistem persamaan diferensial

nonlinier, nilai eigen dan vektor eigen, kriteria kestabilan sistem persamaan

diferensial, kriteria Routh-Hurwitz, dan bilangan reproduksi dasar.

Berikut akan dibahas tiap definisi dan teorema tersebut di atas.

A. Model Matematika Penyebaran Penyakit

Model matematika merupakan representasi matematika yang dihasilkan dari

pemodelan matematika. Pemodelan matematika merupakan suatu proses

merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam

pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007: 1). Suatu model matematika

dikatakan baik jika model matematika yang terbentuk dapat merepresentasikan

atau mewakili suatu permasalahan dalam kehidupan nyata.

Berikut diberikan langkah-langkah dalam pemodelan matematika menurut

Widowati & Sutimin (2007: 3-5).

1. Menyatakan permasalahan nyata ke dalam pengertian matematika.

Langkah ini membutuhkan pemahaman pada permasalahan yang akan

dimodelkan sehingga pada langkah ini dapat dilakukan identifikasi variabel-

variabel dalam masalah dan membentuk beberapa hubungan antar variabel yang

dihasilkan dari permasalahan tersebut.

10

2. Menentukan asumsi yang akan digunakan.

Pada dasarnya asumsi mencerminkan bagaimana proses berpikir

sehingga diperoleh suatu model. Asumsi yang diterapkan oleh setiap individu

dapat berbeda dari individu lainnya dalam suatu permasalahan yang sama.

Hal ini yang nantinya akan menyebabkan adanya perbedaan pada model yang

dihasilkan.

3. Membentuk model matematika.

Dengan pemahaman hubungan antar variabel dan asumsi, langkah

selanjutnya yaitu memformulasikan persamaan atau sistem persamaan.

Formulasi model merupakan langkah yang paling penting dan sulit sehingga

suatu saat diperlukan adanya pengujian kembali asumsi-asumsi agar dalam

proses pembentukan formulasi dapat sesuai dan realistik.

4. Menentukan solusi atau menyelidiki sifat solusi.

Tidak semua model matematika dapat dengan mudah ditentukan hasil

atau solusinya sehingga pada langkah ini dapat dilakukan analisis atau

menyelidiki mengenai sifat atau perilaku dari solusi model matematika

tersebut.

5. Interpretasi solusi atau sifat solusi model matematika.

Hal ini menghubungkan kembali formula matematika dengan

permasalahan dalam kehidupan nyata. Interpretasi ini dapat diwujudkan

dalam bentuk grafik yang digambarkan berdasarkan solusi yang diperoleh dan

selanjutnya diinterpretasikan sebagai solusi dalam dunia nyata.

11

Untuk lebih mudahnya, diberikan diagram alur langkah-langkah pemodelan

matematika menurut Widowati & Sutimin (2007: 3) pada Gambar 2.1.

Gambar 2.1. Proses pemodelan matematika menurut Widowati & Sutimin

Beberapa model matematika yang sering digunakan dalam penyebaran

penyakit memiliki konsep yang sama yaitu compartmental epidemiologi

(pembagian kelas) yang menggambarkan penyebaran penyakit pada masing-

masing kelas. Suatu populasi akan terbagi menjadi beberapa kelas yang masing-

masing kelas mewakili tahapan berbeda. Beberapa istilah yang sering kita dengar

dalam model epidemiologi di antaranya adalah epidemik dan endemik. Epidemik

merupakan fenomena suatu penyakit tiba-tiba muncul dalam suatu populasi dan

menjangkit secara cepat sebelum penyakit tersebut menghilang dan kemudian

akan muncul kembali dalam interval waktu tertentu, sedangkan endemik

Menentukan

Solusi atau Sifat

dari Solusi

Interpretasi

Solusi atau

Sifat Solusi

Solusi Dunia

Nyata

Masalah

Dunia Nyata

Masalah Dalam

Matematika

Asumsi

Formulasi

Persamaan/

Pertidaksamaan

12

merupakan fenomena suatu penyakit yang muncul akan selalu dalam suatu

populasi.

Model penyebaran penyakit pertama kali dikemukakan oleh Kermark &

McKendrick pada tahun 1927 yang terdiri atas kelas susceptible (S), infection (I),

dan recovered (R) sehingga dikenal sebagai model epidemik SIR. Kelas

susceptible (S) merupakan kelas individu yang rentan terhadap suatu penyakit.

Kelas infection (I) merupakan kelas individu yang terinfeksi suatu penyakit

terinfeksi dan mampu menularkan atau menyebarkan penyakit ke individu pada

populasi rentan. Kelas recovered (R) merupakan kelas individu yang telah sembuh

dari suatu penyakit. Untuk pemodelan penyebaran suatu penyakit, penambahan

atau pengurangan suatu kelas dapat terjadi sesuai dengan karakteristik penyebaran

penyakit yang akan dibahas.

Pada model-model epidemik yang memperhatikan adanya periode laten

(masa inkubasi) seperti model SEIR dan MSEIR, terdapat kelas E (exposed) yang

digunakan untuk mewakili individu-individu yang baru terinfeksi dan memasuki

periode laten, dalam periode ini individu tersebut tidak memiliki kemampuan

untuk menularkan penyakit ke individu lain. Kelas M (maternal antibody)

digunakan untuk mewakili individu-individu yang baru lahir dan memiliki

kekebalan pasif yang didapatkan dari ibunya, namun hal ini hanya berlangsung

sementara dan kemudian individu pada kelas ini akan memasuki kelas rentan

(susceptible). Model matematika epidemik di antaranya SIR, SIRS, SEIR, MSEIR

dan termasuk model SVID.

13

Berikut diberikan beberapa model matematika berdasarkan penelitian yang

telah dilakukan sebelumnya dan akan dijadikan sebagai acuan dalam

pembentukan model matematika pada skripsi ini.

Penelitian mengenai model penyebaran penyakit tuberkulosis dilakukan oleh

Fredlina, Oka, & Dwipayana (2012) dalam jurnal matematika yang berjudul

Model SIR (Susceptible, Infectious, Recovery) untuk Penyebaran Penyakit

Tuberkulosis yang menjelaskan tentang model penyebaran penyakit TB dan

menghasilkan persamaan model penyebaran penyakit TB pada kelas susceptible

(S), infectious (I), dan recovered (R).

Jumlah populasi akan bertambah karena kelahiran sebesar , dengan

adalah konstan dan berkurang karena kematian dengan laju , kontak langsung

dengan individu yang terinfeksi menyebabkan individu pada populasi rentan akan

ikut terinfeksi dan masuk menjadi populasi dengan laju penularan penyakit TB

sebesar . Kelas menyatakan individu yang terinfeksi dan dapat menularkan TB

kepada orang lain. Berkurangnya populasi ini disebabkan oleh kematian alami

dengan laju dan kematian karena penyakit TB dengan laju . Individu yang

terinfeksi TB dapat sembuh dengan laju dan masuk dalam populasi . Hal ini

juga menyebabkan berkurangnya populasi . Individu dalam kelas diasumsikan

tidak akan kambuh kembali menjadi penderita TB. Berkurangnya populasi ini

disebabkan oleh kematian dengan laju .

Berdasarkan pernyataan-pernyataan diatas diperoleh diagram alir sebagai

berikut

14

Gambar 2.2. Diagram alir model matematika SIR menurut Fredlina, Oka, &

Dwipayana

sehingga diperoleh model matematika sebagai berikut

( )

dengan .

Pada kenyataannya, dalam penyebaran penyakit TB terdapat individu yang

terinfeksi TB namun tidak menunjukkan gejala dan belum bisa menularkan

penyakit TB kepada individu lain yang disebut dengan penderita TB laten,

sehingga penelitian yang dilakukan oleh Adetunde (2008) yang berjudul On the

Control and Eradication Strategies of Mathematical Models of the Tuberculosis

in A Community membahas model matematika SLIR yang membagi populasi

menjadi empat kelas, yaitu kelas susceptible, kelas latent, kelas infectives, dan

kelas recoveries.

Populasi pada kelas rentan akan bertambah karena adanya kelahiran ( ) dan

akan berkurang karena adanya kematian alami ( ). Kontak langsung antara

individu ini dengan individu yang terinfeksi ( ) mengakibatkan individu ikut

terinfeksi sehingga populasi kelas ini berkurang dengan laju sebesar .

15

Kelas menyatakan individu yang telah terdeteksi TB tetapi belum

menginfeksi. Populasi ini bertambah oleh masuknya individu dari kelas

susceptible yang telah terinfeksi, sedangkan berkurangnya populasi disebabkan

oleh kematian alami ( ) pengobatan hingga sembuh ( ) dan berkembangnya

bakteri TB sehingga individu ini dapat menularkan ke individu lain ( )

Kelas menyatakan individu yang terinfeksi dan dapat menularkan TB

kepada individu lain. Bertambahnya populasi kelas ini dikarenakan masuknya

individu dari kelas yang disebabkan bakteri TB telah menjadi aktif ( )

Berkurangnya kelas ini dikarenakan adanya kematian alami ( ) dan kematian

akibat penyakit TB ( ) dan adanya pengobatan hingga sembuh ( )

Kelas menyatakan populasi individu yang telah sembuh dari penyakit TB

dan diasumsikan dapat terjangkit TB lagi sehingga masuk kembali ke kelas

sebesar Populasi kelas ini bertambah karena masuknya individu yang telah

sembuh dari kelas dan kelas sebesar dan Populasi ini berkurang karena

adanya kematian alami ( )

Berdasarkan pernyataan-pernyataan tersebut menghasilkan model

matematika yang diberikan dalam diagram alir sebagai berikut

Gambar 2.3. Diagram alir model matematika SLIR menurut Adetunde

_2

16

sehingga diperoleh model matemamatika sebagai berikut

( )

( )

dengan menyatakan total area yang ditempati populasi dan

menyatakan jumlah total populasi.

Penelitian selanjutnya dilakukan oleh Rosadi (2014) dalam tesis yang

berjudul Model Dua Strain Penyakit Tuberculosis menjelaskan tentang model

penyebaran penyakit TB pada kelas susceptible (S), infectious (I), dan susceptible

(S) dengan kelas infectious yang terdiri dari dua strain/jenis, yaitu strain kelas

infeksi TB yang resisten terhadap obat anti TB ( ) dan strain kelas infeksi TB

yang sensitif terhadap obat anti TB ( ).

Berikut diberikan diagram alir model penyebaran penyakit TB menurut

Rosadi.

Gambar 2.4. Diagram alir model matematika SIS menurut Rosadi

sehingga diperoleh model matematika sebagai berikut

17

( ) ( )

( )

( )

dengan merupakan laju kelahiran dan kematian, merupakan laju penularan

penyakit TB, merupakan laju kontak antara penderita TB antar strain, dan

merupakan laju sembuh.

Pada penelitian-penelitian tersebut, belum ada yang membahas mengenai

adanya maternal antibody sehingga Wulandari (2013) dalam skripsinya yang

berjudul Analisis Model Epidemik MSEIR pada Penyebaran Penyakit Difteri

menggunakan model matematika dengan adanya kelas maternal antibody dan

dalam skripsi ini model tersebut akan digunakan untuk penyebaran penyakit TB.

Berikut diberikan diagram alir model matematika menurut Wulandari.

Gambar 2.4. Diagram alir model matematika MSEIR menurut Wulandari

Berdasarkan diagram alir tersebut diperoleh model matematika sebagai

berikut

M

M

18

dengan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

adalah laju kelahiran populasi yang dilindungi oleh kekebalan tubuh,

adalah laju transisi dari kelas maternal antibody ke susceptible, adalah laju

transisi dari kelas susceptible ke expose, adalah laju transisi dari kelas exposed

ke infected, adalah laju transisi dari kelas infected ke recovered. Laju kematian

alami untuk tiap kelas dinyatakan dengan .

B. Sistem Persamaan Linear

Sebuah garis dalam bidang secara aljabar dapat dinyatakan oleh sebuah

persamaan garis yang berbentuk . Persamaan semacam ini

dinamakan persamaan linear dengan dua variabel dan . Secara umum untuk

variabel yang berhingga ( ), persamaan linear dapat dinyatakan

sebagai

dengan dan adalah konstanta-konstanta real.

Berikut akan diberikan definisi mengenai sistem persamaan linear homogen.

Definisi 2.2.1 (Anton, 1988: 19) Diberikan variabel dan persamaan. Sistem

persamaan linear dikatakan homogen apabila semua suku konstanta sama

dengan nol.

19

Sistem persamaan linear homogen merupakan sistem yang konsisten sebab

merupakan solusi. Solusi tersebut dinamakan sebagai

solusi trivial. Jika solusi tidak sama dengan nol, maka solusi tersebut dinamakan

solusi nontrivial. Oleh karena sistem persamaan linear homogen harus konsisten

maka sistem tersebut akan memiliki satu solusi atau tak hingga banyak solusi.

Selanjutnya sistem (2.2.1) dapat dibentuk sebagai persamaan matriks

tunggal yaitu

dengan ( ) serta adalah matriks dengan jumlah baris

dan jumlah kolom .

C. Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial memiliki peran penting tidak hanya di bidang

matematika, namun di bidang lainnya seperti fisika, mesin, ekonomi, biologi, dan

lain sebagainya.

Diberikan sistem persamaan diferensial

( ) ( )

( )

dengan ,

, , dan ( ) .

Diberikan pula kondisi awal ( ) .

(2.2.1)

(2.2.2)

(2.3.1)

20

Sistem (2.3.1) dapat ditulis menjadi

( )

dengan ( ) , ( )

, ( ) ,

dan syarat awal ( ) ( ) .

Dalam hal ini sistem (2.3.2) disebut sistem persamaan diferensial

autonomous karena variabel waktu tidak muncul secara eksplisit. Selanjutnya,

jika masing-masing linear dalam maka sistem (2.3.1)

disebut sistem persamaan diferensial linear. Sistem (2.3.1) dapat ditulis dalam

bentuk

Sistem (2.3.3) dinyatakan dalam bentuk

dengan (

, dan ( ) .

Jadi, sistem (2.3.4) disebut sistem persamaan diferensial linear dari sistem

(2.3.1), tetapi jika sistem (2.3.1) tidak dapat dinyatakan dalam bentuk sistem

(2.3.4) maka sistem (2.3.1) tersebut disebut sistem persamaan diferensial

nonlinear.

Selanjutnya simbol ( ) * diferensiabel pada dan

kontinu pada }. Berikut ini diberikan definisi dari solusi sistem (2.3.2).

(2.3.2)

(2.3.3)

(2.3.4)

21

Definisi 2.3.1 (Perko, 2001: 71) Diberikan ( ) dengan himpunan

terbuka. ( ) disebut solusi sistem (2.3.2) pada interval jika ( ) diferensiabel

pada dan ( ) memenuhi ( ( )) untuk setiap .

D. Titik Ekuilibrium

Titik ekuilibrium merupakan titik tetap yang tidak berubah terhadap waktu.

Berikut akan didefinisikan mengenai titik ekuilibrium dari sistem (2.3.2).

Definisi 2.4.1 (Perko, 2001: 102) Titik disebut titik ekuilibrium dari

sistem (2.3.2) jika ( ) .

Berikut akan diberikan contoh mengenai definisi 2.4.1.

Contoh 2.4.2

Diberikan sistem persamaan differensial yaitu

( ) (

*.

Tentukan titik ekuilibrium dari sistem persamaan differensial diatas.

Penyelesaian. Titik ekuilibrium dari sistem persamaan diatas dapat diperoleh jika

( ) , sehingga sistem tersebut menjadi

atau dapat ditulis menjadi

( ) .

Berdasarkan persamaan tersebut diperoleh dan .

Jika dan menurut persamaan

,

maka diperoleh sehingga didapat titik ekuilibrium ( ) .

Jika dan menurut persamaan

22

maka diperoleh sehingga didapat titik ekuilibrium ( ) .

E. Linearisasi Sistem Persamaan Nonlinear

Linearisasi merupakan proses membawa suatu sistem nonlinear menjadi sistem

linear. Linearisasi dilakukan pada sistem nonlinear untuk mengetahui perilaku

sistem di sekitar titik ekuilibrium sistem tersebut. Linearisasi pada sistem

nonlinear dimaksudkan untuk memperoleh aproksimasi yang baik. Proses

linearisasi dapat dilakukan dengan menggunakan deret Taylor untuk mencari

suatu hampiran solusi di sekitar titik ekuilibrium. Deret Taylor untuk sistem

( ) di sekitar titik ekuilibrium ( )

dengan

( ) sebagai berikut

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) (‖ ‖)

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) (‖ ‖)

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) (‖ ‖)

Apabila suku-suku nonlinearnya diabaikan maka diperoleh

23

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Selanjutnya didefinisikan

Didapat derivatifnya yaitu

sehingga dan diperoleh

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Jika bentuk (2.5.1) dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh

(2.5.1)

24

(

,

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

(

,

atau ditulis menjadi

( ( ))

dengan ( ( )) merupakan matriks Jacobian dan fungsi di titik ekuilibrium .

Berikut merupakan definisi mengenai matriks Jacobian.

Definisi 2.5.1 (Perko, 2001) Diberikan fungsi dengan

( ) dan himpunan terbuka. Matriks

( ( ))

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

dinamakan matriks Jacobian dari dari .

Selanjutnya diberikan definisi mengenai linearisasi pada sistem persamaan

nonlinear.

Definisi 2.5.2 (Perko, 2001: 102) Diberikan matriks Jacobian ( ( )) pada

(2.5.1). Sistem linear

( ( ))

disebut linearisasi dari sistem ( ) disekitar titik .

25

F. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Aplikasi dari aljabar linear yang melibatkan sistem dengan persamaan dan

variabel disajikan dalam definisi berikut.

Definisi 2.6.1 (Anton, 1988: 277) Jika adalah matriks maka sebuah vektor

yang tak nol di dalam dinamakan vektor eigen dari jika adalah

kelipatan skalar dari , yakni

untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen dari dan dikatakan

sebuah vektor eigen yang bersesuaian dengan .

Nilai eigen suatu matriks yang berukuran diperoleh dari

atau dapat ditulis sebagai . Persamaan tersebut secara ekuivalen dapat

ditulis kembali menjadi

( )

dengan merupakan matriks identitas.

Persamaan (2.6.1) akan mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika

( ) . Berikut didefinisikan mengenai determinan suatu matriks .

Definisi 2.6.2 (Anton, 1988: 63) Misalkan adalah sebuah matriks persegi.

Fungsi determinan dinyatakan oleh dan didefinisikan ( ) sebagai jumlah

semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari . Jumlah det (A) kita

namakan determinan A.

Matriks berukuran mempunyai hasil kali elementer. Hasil kali

elementer bertanda dari adalah hasil kali elementer dikalikan

dengan +1 atau -1. Kita menggunakan tanda + jika ( ) adalah permutasi

(2.6.1)

26

genap dari himpunan * + dan tanda – jika ( ) adalah permutasi

ganjil.

Determinan dari matriks persegi dapat ditentukan sebagai berikut

1. *

+

2. [

]

Berikut akan diberikan contoh mengenai definisi di atas.

Contoh 2.6.3

Diberikan matriks *

+. Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari

matriks .

Penyelesaian. Karena

*

+ *

+ *

+

maka deterninan dari persamaan di atas adalah

( ) (*

+) .

Persamaan karakteristik dari adalah

sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks adalah dan .

Menurut definisi,

* +

adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan jika dan hanya jika x adalah

pemecahan nontrivial dari persamaan (2.6.1), yakni, dari

27

*

+ * + .

Jika , maka persamaan (2.6.2) menjadi

*

+ * +

Apabila persamaan di atas ditulis dalam bentuk sistem persamaan menjadi

Dengan menyelesaikan persamaan sistem di atas, diperoleh penyelesaian yaitu

. Misalkan , , maka sehingga

* + *

+ *

+ .

Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah * +.

Jika , maka persamaan (2.6.2) menjadi

*

+ * +

yang dapat ditulis dalam bentuk sistem persamaan

Dengan menyelesaikan persamaan sistem di atas, diperoleh penyelesaian yaitu

. Misalkan , , maka sehingga

* + *

+ *

+

Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah * +.

Nilai determinan suatu matriks dapat ditentukan dengan menggunakan

metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom atau baris yang didefinisikan sebagai

berikut.

(2.6.2)

28

Definisi 2.6.4 (Anton, 1988: 77) Jika A adalah matriks persegi, maka minor entri

dinyatakan oleh dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang

tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan ( )

dinyatakan oleh dan dinamakan kofaktor entri .

Misalkan matriks secara umum yaitu

[

]

dengan determinan

( )

dapat ditulis kembali sebagai

( ) ( ) ( ) (

).

Karena pernyataan-pernyataan di dalam kurung merupakan kofaktor-kofaktor

dan maka diperoleh

( ) .

Hal ini memperlihatkan bahwa determinan dapat dihitung dengan mengalikan

entri-entri dalam kolom pertama dengan kofaktor-kofaktornya dan

menambahkan hasil kalinya.

G. Kestabilan Titik Ekuilibrium

Kestabilan titik ekuilibrium dari suatu sistem persamaan diferensial baik

linear maupun nonlinear diberikan dalam definisi berikut.

29

Definisi 2.7.1 (Olsder & Woude, 2004: 57) Diberikan sistem persamaan

diferensial orde satu ( ) dan ( ) adalah solusi persamaan tersebut

pada saat dengan kondisi awal ( ) .

i. Titik ekuilibrium dikatakan stabil jika diberikan , terdapat

sedemikian sehingga jika ‖ ‖ , maka ‖ ( ) ‖ untuk

semua .

ii. Titik ekuilibrium dikatakan stabil asimtotik jika titik-titik ekuilibriumnya

stabil dan terdapat sedemikian sehingga ‖ ( ) ‖ ,

asalkan ‖ ‖ .

iii. Titik ekuilibrium dikatakan tidak stabil jika titik-titik ekuilibriumnya tidak

memenuhi (i).

Pada definisi diatas, ‖ ‖ menyatakan norm atau panjang pada .

Berikut ilustrasi titik ekuilibrium stabil, stabil asimtotik, dan tidak stabil yang

akan ditunjukkan pada gambar 2.6.

Gambar 2.6. Ilustrasi tipe kestabilan titik ekuilibrium

Berdasarkan Gambar 2.6, titik ekuilibrium dikatakan stabil jika solusi sistem

persamaan pada saat selalu berada pada jarak yang cukup dekat dengan titik

30

ekuilibrium tersebut, titik ekuilibrium dikatakan stabil asimtotik jika solusi sistem

persamaan pada saat akan menuju ke titik ekuilibrium, dan titik ekuilibrium

dikatakan tidak stabil jika solusi sistem persamaan pada saat bergerak menjauhi

titik ekuilibrium tersebut.

Matriks Jacobian ( ( )) dapat digunakan untuk mengidentifikasi sifat

kestabilan sistem nonliear di sekitar titik ekuilibrium asalkan titik ekuilibrium

tersebut hiperbolik. Berikut diberikan definisi tentang titik ekuilibrium hiperbolik.

Definisi 2.7.2 (Perko, 2001: 102) Titik ekuilibrium dikatakan hiperbolik jika

semua nilai eigen matriks Jacobian ( ( )) mempunyai bagian real tak nol.

Berikut diberikan definisi mengenai sifat kestabilan suatu sistem nonlinear

yang ditinjau dari nilai eigen matriks Jacobian.

Definisi 2.7.3 (Perko, 2001: 102) Suatu titik ekuilibrium pada sistem

persamaan diferensial ( ) dikatakan

i. stabil node (sink), jika semua nilai eigen matriks Jacobian ( ( ))

mempunyai bagian real negatif,

ii. tidak stabil node (source), jika semua nilai eigen matriks Jacobian ( ( ))

mempunyai bagian real positif,

iii. pelana (saddle), jika titik ekuilibrium hiperbolik dan terdapat nilai eigen

matriks Jacobian ( ( )) mempunyai bagian real positif dan megatif.

Selanjutnya, diberikan pula teorema yang menyajikan sifat kestabilan suatu

sistem dengan nilai eigen dengan .

31

Teorema 2.7.4 (Olsder & Woude, 2004: 58) Diberikan sistem persamaan

diferensial , dengan suatu matriks yang mempunyai nilai eigen

berbeda dengan .

i. Titik ekuilibrium dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika

untuk setiap .

ii. Titik ekuilibrium dikatakan stabil jika dan hanya jika untuk

setiap dan jika setiap nilai eigen imajiner dengan ,

maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus sama.

iii. Titik ekuilibrium dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat

paling sedikit satu untuk setiap .

Bukti:

i. Akan dibuktikan bahwa jika titik ekuilibrium stabil asimtotik maka

untuk setiap .

Penyelesaian.

Berdasarkan definisi (2.7.1), titik ekuilibrium stabil asimtotik jika

‖ ( ) ‖ . Hal ini berarti untuk , ( ) akan menuju

. Karena ( ) merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial,

maka ( ) memuat ( ) . Akibatnya, untuk ( ) menuju ,

maka harus bernilai negatif.

Selanjtnya, akan dibuktikan bahwa jika untuk setiap

maka titik ekuilibrium stabil asimtotik.

Penyelesaian.

32

Solusi dari sistem persamaan differensial adalah ( ) sehingga

( ) selalu memuat ( ) . Jika , maka untuk , ( )

akan menuju sehingga berdasarkan definisi (2.7.1), titik ekuilibrium

stabil asimtotik.

ii. Akan dibuktikan bahwa jika titik ekuilibrium stabil, maka

untuk setiap .

Penyelesaian.

Andaikan , maka solusi persamaan diferensial ( ) yang

memuat ( ) akan menuju (menjauh dari titik ekuilibrium ) untuk

, sehingga sistem tidak stabil. Hal ini sesuai dengan kontraposisi

pernyataan jika titik ekuilibrium stabil, maka untuk setiap

. Jadi, terbukti bahwa jika titik ekuilibrium stabil, maka

untuk setiap .

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa jika untuk setiap

maka titik ekuilibrium stabil dan jika ada , maka

multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus sama.

Penyelesaian.

Solusi dari sistem persamaan differensial adalah ( ) sehingga

( ) selalu memuat ( ) . Jika , maka titik ekuilibrium

stabil asimtotik (pasti stabil). Jika , maka nilai eigen berupa bilangan

kompleks murni. Multiplisitas aljabar berhubungan dengan nilai eigen

sedangkan geometri berhubungan dengan vektor eigen. Oleh karena itu, akan

dibuktikan bahwa banyak nilai eigen dan vektor eigen adalah sama.

33

Tanpa mengurangi pembuktian secara umum, diambil sembarang sistem

pada yang mempunyai nilai eigen bilangan kompleks murni.

[ ] [

] * + .

Nilai eigen dari sistem (2.7.1) ditentukan dengan mensubtitusi matriks

[

] ke dalam persamaan ( ) sehingga diperoleh

([

]* .

Persamaan karakteristik dari matriks adalah

Akar dari persamaan di atas yaitu √ dan √ .

Berdasarkan definisi, ( ) adalah vektor eigen dari yang

bersesuaian dengan jika dan hanya jika adalah solusi nontrivial dari

( ) , yakni, dari

[

] * + .

Jika √ , maka (2.7.2) menjadi

[ √

√ ] * + .

Matriks augmentasi dari sistem di atas yaitu

[ √

√ ].

Baris pertama matriks augmentasi dikali dengan √

sehingga matiks

augmentasi menjadi

(2.7.1)

(2.7.2)

34

[

√

√ ].

Baris kedua matriks di atas dikali dengan

sehingga diperoleh

[

√

√

].

Selanjutnya, baris kedua dikurangi dengan baris pertama sehingga diperoleh

matriks dalam bentuk eselon tereduksi

[ √

]

Berdasarkan matriks eselon baris tereduksi di atas diperoleh solusi

* + [

√

]

atau dapat ditulis

* + [

√

]

Jadi, vektor yang bersesuaian dengan √ yaitu * + [

√

]

Jika √ , maka (2.7.2) menjadi

[ √

√ ] * +

Matriks augmentasi dari sistem di atas yaitu

35

[ √

√ ].

Baris pertama matriks augmentasi dikali dengan √

sehingga matiks

augmentasi menjadi

[

√

√ ].

Baris kedua matriks di atas dikali dengan

sehingga diperoleh

[

√

√

].

Selanjutnya, baris kedua dikurangi dengan baris pertama sehingga diperoleh

matriks dalam bentuk eselon tereduksi

[ √

]

Berdasarkan matriks eselon baris tereduksi di atas diperoleh solusi

* + [

√

]

atau dapat ditulis

* + [

√

]

Jadi, vektor yang bersesuaian dengan √ yaitu * + [

√

]

Terbukti bahwa banyaknya nilai eigen sama dengan vektor eigen.

36

iii. Akan dibuktikan jika titik ekuilibrium tidak stabil, maka

untuk setiap .

Penyelesaian.

Titik ekuilibrium dikatakan tidak stabil jika , maka ( )

akan menuju . Karena ( ) merupakan solusi dari sistem persamaan

diferensial, maka ( ) memuat ( ) . Untuk ( ) menuju dipenuhi

jika untuk setiap .

Selanjutnya, akan dibuktikan jika untuk setiap ,

maka titik ekuilibrium tidak stabil.

Penyelesaian.

Jika maka solusi persamaan diferensial ( ) yang memuat

( ) akan selalu menuju . Hal ini berarti bahwa solusi tersebut akan

menjauhi titik ekuilibrium sehingga titik ekuilibrium dikatakan

tidak stabil.

H. Kriteria Routh-Hurwitz

Permasalahan yang sering timbul dalam menentukan suatu tipe kestabilan

sistem dengan menggunakan nilai eigen adalah ketika mencari akar persamaan

karakteristik berorde tinggi. Oleh sebab itu, diperlukan suatu kriteria yang mampu

menjamin nilai dari akar suatu persamaan karakteristik tersebut negatif atau ada

yang bernilai positif. Salah satu kriteria yang efektif untuk menguji kestabilan

sistem adalah kriteria Routh-Hurwitz.

37

Kriteria Routh-Hurwitz didasarkan pada pengurutan koefisien persamaan

karakteristik sistem orde yang dituangkan ke dalam bentuk array. Diberikan suatu

persamaan karaketristik dari akar-akar karakteristik matriks sebagai berikut

| |

dengan dan merupakan koefisien dari persamaan

karakteristik dari matriks .

Tabel Routh-Hurwitz adalah tabel yang disusun berdasarkan pengurutan

koefisien-koefisien karakteristik dari matriks tersebut. Berikut diberikan tabel

Routh-Hurwitz yang ditunjukkan Tabel 2.1.

Tabel 2.1. Tabel Routh-Hurwitz

dengan didefinisikan sebagai berikut

,

,

,

, dan

Perhitungan dalam membentuk tabel Routh-Hurtwitz terus dilakukan

sampai kolom pertama menghasilkan nilai nol. Matriks dikatakan stabil

menurut teorema 2.7.4 apabila semua bagian real dari nilai eigennya bernilai

(2.8.1)

(2.8.2)

38

negatif, dalam kriteria Routh-Hurwitz hal ini dapat ditunjukan dengan tidak

adanya perubahan tanda pada kolom pertama tabel 2.1. Artinya berdasarkan

kriteria Routh-Hurwitz suatu sistem persamaan diferensial dikatakan stabil jika

dan hanya jika setiap elemen di kolom pertama tabel Routh-Hurwitznya memiliki

tanda yang sama. Untuk lebih jelasnya, berikut diberikan definisi mengenai

kriteria Routh-Hurwitz.

Definisi 2.8.1 (Olsder & Woude, 2004: 61) Diberikan polinomial

dengan , akar-akar polinomial (2.8.3) memiliki bagian real negatif jika

dan hanya jika tabel Routh-Hurtwitz terdiri dari baris dan semua elemen

kolom pertama pada tabel tidak mengalami perubahan tanda, semua elemen pada

kolom pertama bertanda positif atau negatif.

I. Bilangan Reproduksi Dasar ( )

Tingkat penyebaran suatu penyakit atau infeksi dapat diketahui melalui

suatu parameter tertentu yang digunakan untuk melihat seberapa besar potensi

penyebaran penyakit dalam suatu populasi. Parameter yang dimaksud yakni

Bilangan Reproduksi Dasar ( ).

Bilangan reproduksi dasar ( ) didefinisikan sebagai jumlah rata-rata kasus

sekunder yang disebabkan oleh satu individu terinfeksi selama masa terinfeksinya

dalam keseluruhan populasi rentan (Diekmann & Heesterbeek, 2000). Angka ini

berbeda untuk setiap penyakit dan biasanya dipengaruhi oleh jenis penyakit,

keadaan masyarakat, dan kondisi lingkungan tempat penyakit berkembang.

Apabila angka reproduksi ini tinggi maka penyebaran penyakit akan meningkat.

(2.8.3)

39

Artinya penyebaran penyakit semakin berbahaya dan epidemik semakin

meningkat.

Dalam istilah lain disebut juga sebagai rata-rata pertumbuhan awal.

Bilangan reproduksi dasar mempunyai nilai batas 1 (satu) sehingga jika nilai

kurang dari satu ( ), maka satu individu yang terinfeksi strain penyakit TB

akan menginfeksi kurang dari satu individu rentan sehingga penyakit TB

kemungkinan akan hilang dari populasi atau individu yang terinfeksi oleh

penyakit TB kemungkinan tidak ada dalam populasi. Sebaliknya, jika lebih

dari satu ( ), maka individu yang terinfeksi oleh penyakit TB akan

menginfeksi lebih dari satu individu yang rentan sehingga individu yang terinfeksi

TB ada dalam populasi atau penyakit TB akan menyebar ke populasi.

Metode yang digunakan untuk menentukan nilai dalam skripsi ini adalah

dengan menggunakan metode Driessche & Watmough (2002) yaitu metode

matriks generasi berikutnya dengan nilai . Hal ini dikarenakan banyaknya

suatu individu yang terinfeksi tidak mungkin bernilai negatif. Selanjutnya,

didefinisikan sebagai radius spektral dari matriks generasi berikutnya. Matriks ini

merupakan matriks yang dikontruksi dari sub-sub populasi yang menyebabkan

infeksi saja.

Diberikan ( ) dengan 0 menyatakan proporsi kelas

ke- yang terinfeksi pada saat . Misalkan proporsi kelas yang

terinfeksi sebesar sehingga . Selanjutnya, didefinisikan merupakan

matriks laju terjadinya infeksi baru suatu penyakit pada kelas ke- dan

merupakan selisih laju perpindahan individu yang keluar dari kelas ke- dengan

40

laju perpindahan individu yang masuk ke dalam kelas ke- sehingga bentuk

menjadi

dengan merupakan laju perpindahan individu yang keluar dari kelas ke- dan

merupakan laju perpindahan individu yang masuk ke dalam kelas kelas ke-

Selanjutnya diperhatikan model penyebaran penyakit berikut

( ) ( ) ( ) ( )

dengan

( ) ( )

( ).

Sistem (2.9.1) dapat ditulis menjadi bentuk

( ) ( )

dengan ( ) ( ( ) ( ) ( )) dan ( ) ( ( ) ( ) ( ))

.

Matriks Jacobian dari ( ) dan ( ) hasil linearisasi di sekitar titik ekuilibrium

bebas penyakit pada sistem (2.9.2) adalah

( ( )) *

+ dan ( ( )) [

]

dengan dan merupakan matriks yang didefinisikan sebagai berikut

(

( )* ,

(

( )* .

Lebih lanjut entri matriks bernilai non-negatif dan adalah M-matriks

non-singular, kemudian matriks dicari inversnya sehingga diperoleh yang

merupakan matriks non-negatif. Terakhir, perkalian dari matriks dengan matriks

(2.9.1)

(2.9.2)

(2.9.3)

41

akan diperoleh . Bentuk merupakan matriks generasi berikutnya

untuk sistem (2.9.2).

Menurut Driessche dan Watmough (2002), radius spektral ( ) dari matriks

generasi berikutnya merupakan bilangan reproduksi dasar untuk sistem

(2.9.2) pada titik ekuilibrium bebas penyakit sehingga diperoleh ( )

Selanjutnya, diberikan teorema tentang kestabilan ( ).

Teorema 2.9.1. (Diessche & Watmough, 2002: 33) Diberikan merupakan titik

ekuilibrium bebas penyakit dari sistem persamaan ( ), maka titik

ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal jika ( ) dan

tidak stabil jika ( ) .

Selanjutnya, diberikan lemma sebagai syarat upaya titik ekuilibrium stabil

lokal.

Lemma 2.9.2 (Brauer & Castillo-Chaves, 2011) Diberikan matriks non-

negatif dan M-matriks non-singular, bilangan reproduksi dasar

( ) jika dan hanya jika semua nilai eigen dari matriks ( )

mempunyai bagian real negatif.

Berikut akan diberikan contoh dalam menentukan bilangan reproduksi

dasar pada suatu sistem persamaan nonlinear.

Contoh 2.9.3

Berikut diberikan contoh model matematika dari penyebaran penyakit.

Populasi terdiri dari empat kelas yaitu Susceptible (S) yaitu kelas yang rentan

dengan penyakit, exposed (E) yaitu kelas infeksi tapi tidak menular, infection (I)

yaitu kelas yang terinfeksi dan menular, dan remove (R) yaitu kelas yang sembuh

42

dari penyakit. Model matematika penyebaran penyakit sebagai berikut

( )

( )

Pada sistem (2.9.4) akan dicari bilangan reproduksi dasar dengan terlebih

dahulu menentukan transfer infeksi baru, yaitu kelas E dan kelas I sehingga

didefinisikan matriks merupakan matriks infeksi baru pada populasi. Kemudian

didefinisikan matriks perpindahan individu dari kelas yang satu ke kelas yang lain

dalam hal ini disimbolkan dengan .

Dari definisi matriks di atas maka dapat disusun matriks dan sebagai

berikut

(

, dan (

( )

,.

Selanjutnya, entri matriks dan dicari turunan parsialnya sehingga

diperoleh

(

) dan (

).

Lebih lanjut matriks dicari inversnya sehingga diperoleh

(

,

Perkalian dari matriks dengan matriks akan diperoleh

(2.9.4)

43

(

)(

, (

+

Matriks merupakan matriks generasi berikutnya dan mempunyai satu

nilai eigen yaitu

sehingga bilangan reproduksi dasar dari sistem (2.9.4)

adalah