bab i titik dan garis

Bab I : Titik dan Garis | 1

By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com

1.1. GARIS BILANGAN

Jika pada suatu garis g terdapat titik tetap O, lengkap dengan tanda-tanda serta satuannya maka

tiap titik lain pada garis itu ditentukan oleh sebuah bilangan saja. Sebaliknya tiap bilangan merupakan

sebuah titik yang tertentu pada garis bilangan itu, maka garis itu disebut sumbu atau garis bilangan.

Keterangan :

- 0 (nol) titik asal = titik pangkal

- Tiap titik pada garis bilangan mewakili

bilangan tertentu dihitung dari titik 0 (nol)

- Panjang antara dua titik dinyatakan dengan

|selisih absis-absisnya|

Contoh 1 :

Tentukan panjang BP1 , 21PP , dan 1BP , yang dinyatakan oleh garis bilangan !

0 1 2-1-2

P1 B P2

Penyelesaian :

211 BP

= 21

= 3

2221 PP

= 22

= 4

121 BP

= 3

= 3

2 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

1.2. KOORDINAT TITIK

Keterangan :

- Garis mendatar disebut sumbu X Y = 0

- Garis vertikal disebut sumbu Y X = 0

- Sumbu X berpotongan dengan sumbu Y di titik

O(0,0).

- Titik O(0,0) disebut titik asal = titik pangkal.

- Untuk menentukan titik letak, titik persamaan ditarik dari 1PP tegak lurus sumbu X, dan 2PP tegak

lurus sumbu Y, sehingga panjang titik P ditentukan dari panjang 1OP dan 2OP

- Panjang 1OP , disebut absis titik P

Panjang 2OP , disebut ordinat titik P,

Titik P( 1OP , 2OP ) = P (x,y) disebut koordinat titik.

1.3. JARAK DUA TITIK PADA GARIS BILANGAN

Lihat segitiga ABC

AC = ''BA = CB XX

BC = AB XYCBBB ''

Jarak ?....AB

Penyelesaian :

Menurut geometri (dalil Pythogoras), Segitiga ABC siku-siku di C

222BCACAB

22 BCACAB

22ABABAB YYXXABd

Sb. X

Sb. Y

B(xB,yB)

A(xA,y)C xB - xA

B’ x

x

y

y

A

P1

P2



Contoh 2 :

a) Tentukan jarak antara A (2,1) dan B (5,4)!

Penyelesaian:

22ABAB YYXXAB

= 22 1415

= 99

= 18

= 3 2

Jadi jarak antara A (2,1) dan B (5,4) adalah 3 2

b) Lukislah segitiga ABC dengan koordinat titik A (2,1) , B (5,3) dan C (5,7), hitung luas segitiga itu!.

Penyelesaian:

luas segitiga ABC = (APCQ) – (L.APB + L.AQC)

= 3 6 6.3..2.3. 21

21

= 18 93

= 6 satuan luas

c) Diberikan jajaran genjang ABCD dengan A (-1,2), B (-1,5) dan D (-4,7). Tentukanlah :

(i) Koordinat titik C !

(ii) Gambar jajaran genjang ABCD tersebut !

(iii) Luas jajaran genjang tersebut !

Penyelesaian:

(i)

30

21

51

AB

Sb. X

Sb. Y

C

B

A

Q

P


karena ABCD jajaran genjang maka

30

DCAB

berarti koordinat titik C dapat diperoleh dengan jalan :

D (-4,3)

30

AB C 33,04

C 6,4

(ii) Gambar jajaran genjang ABCD adalah sebagai berikut;

(iii) luas jajaran genjang ABCD = alas tinggi

= tAB

= 3 3

= 9 satuan luas

Contoh 3:

Diketahui trapesium sama kaki ABCD. A (-1,2), B (-6,3), Dan C (-4,3) Tentukan:

a. Koordinat titik C!

b. Luas trapesium ABCD !

Penyelesaian:

a. A (-1,2) D (-4,3) =

13

B (-1,6)

13

C (-4,5)

b. Luas Trapesium = 21 tinggi ( AB + DC)

= 4 + 3

= 9 Satuan Luas

C

B

A

D

Sb. X

Sb. Y

A (-1,2)

D (-4,3)

B (-1,5)

C (-4,6)

0



1.4. KOORDINAT TITIK TENGAH

Diketahui : A 11 , yx dan B 22 , yx titik T di tengah AB sehingga

111 //// BBTTAA

Maka menurut trapesium ABB’A’ :

11211 BBAATT

yt = 2121 , yy

Analog xt = 2121 , xx

T 2121 xx , 212

1 yy

1.5. KOORDINAT TITIK SEMBARANG DIANTARA DUA TITIK

Diketahui titik A 11 , yx dan B 22 , yx serta titik T

terletak pada AB, dengan perbandingan m : n

//'//'//' BBTTAA

nmBATBAT :'':

tarik garis dari A B’

Lihat ABB’

ABATBBTP :':

nmMYTP :: 2

2myTPnm

nmmyTP

2 ..........................(1)

Perhatikan AA’B’

'':''':' ABTBAAPT

)(::' 1 nmnyPT

nmnyPT

1' ...................(2)

A(x1,y1)

B(x2,y2)

T

T1 A1 B1 x1

x2

y2

y1

Sb. X

Sb. Y

Sb. Y

Sb. X

T

B(x2,y2)

A(x1,y1)

0 A’ T’ B’

P n m

m

n


Persamaan (1) + (2) '' PTTT

nmny

nmmyyt

12

nmymynyt

21

Analog : nm

xmxnxt

21

Koordinat titik sembarang

nmxmxn 21 ,

nmymyn 21

1.6. KOORDINAT TITIK BERAT

Diketahui : Segitiga ABC

E 1221

2121 , yyxx

D 2321

3221 , yyxx

F 3121

3121 , yyxx

Menurut geometri, AZ : ZD = 2 : 1

x z nmxx DA

.2.1

12

.2 3221

1

xxxxz

3

.1 321 xxxxz

3321 xxxxz

Analog : 3

321 yyyy z

Koordinat titik berat

3321 xxx

,

3321 yyy

Sb. X

Sb. Y

C (x3,y3)

B (x2,y2)

A(x1,y1)

E

D F

Z

x3

x2 x1

y1 y2

y3

0



1.7. Luas Segitiga

Diketahui : segitiga ABC. dengan A 11, yx ,

B 22 , yx , C 33 , yx .

Ditanya : luas segitiga ABC = …?

Penyelesaian:

Luas trapesium AA’C’C

CCAACA '''21

311321 yyxx

2 L. trapesium AA’C’C 31113313 yxyxyxyx …………………………...... (1)

2 L. trapesium CC’B’B = '''' BBCCBC

= 32 , yx . 23 , yx

= 23332232 yxyxyxyx ……………………….. (2)

Persamaan (1) + (2)

2 L. AA’B’’BC’ 31113313 yxyxyxyx + )( 23332232 yxyxyxyx

31113313 yxyxyxyx + 23332232 yxyxyxyx

= 233111133222 yxyxyxyxyxyx ………………. (3)

2 L. trapesium. AA’B’B = (AA’ + BB’) . (A’B’)

= 1221 xxyy

= 21221112 yxyxyxyx ……….……..………... (4)

2 L. segitiga ABC 43

233111133222 yxyxyxyxyxyx - )( 21221112 yxyxyxyx

233111133222 yxyxyxyxyxyx 21221112 yxyxyxyx

21 yx + 32 yx + 13 yx 2331 yxyx 12 yx

2 luas segitiga ABC = )( 133221 yxyxyx )( 311223 yxyxyx

Sb. X

Sb. Y

C (x3,y3)

B (x2,y2)

A(x1,y1)

x2 x3

x1

y1

y2

y3

A’ B’ C’


Untuk segitiga ABC setelah didapat hasil diatas baru dibagi dua. Untuk mempermudah kita

menghapal rumus dapat dipegunakan dengan sarrus.

111

33

22

11

yxyxyx

33

22

11

yxyxyx

2 luas segitiga ABC = )( 133221 yxyxyx )( 311223 yxyxyx

Contoh 4:

1. Dari segitiga ABC. A (0,0), B (5,0), C (3,4)

a. Tentukan koordinat titik tengah sisi bc

b. Jika titik T terletak pada BC dengan pebandingan BT: TC, 3 : 2 maka tentukanlah T.

c. Tentukanlah koordinat titik berat segitiga ABC.

d. Hitunglah luas segitiga tersebut

Penyelesaian:

Diketahui :A (0,0), B (5,0), C (3,4)

a. Titik tengah sisi BC CBCB yyxx 21

21 ,

04,35 21

21

48 21

21

2,4 Titik tengah sisi BC adalah (4,2)

b. Koordinat titik T

nmymyny CB

T

..

324.30.2

512

Koordinat titik T

512,

519

(-)

(+)

nmxmxnx CB

T

..

53.35.2

519

bab i titik dan garis

Documents