teori titik garis dan bidang

Download Teori titik garis dan bidang

Post on 21-Mar-2017

57 views

Category:

Education

3 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 1. Titik , Garis dan Bidang Dalam Ruang a. Defenisi

    Titik ditentukan oleh letaknya dan tidak mempunyai ukuran sehingga dikatakan berdimensi nol Titik digambarkan dengan sebuah noktah dan penamaannya menggunakan huruf kapital misalnya titik , pada gambar 1 Garis adalah kumpulan titik titik dan hanya mempunyai ukuran panjang saja sehingga dikatakan berdimensi satu Garis panjangnya tak terhingga dan penggambarannya hanya sebagian saja. Penamaan garis dengan huruf kecil misalnya , , atau dengan menamakan segmen garis dari titik pangkal sampai ke titik ujungnya misalnya garis pada gambar 1 Bidang adalah himpunan titik titik yang memiliki ukuran panjang dan lebar sehingga dikatakan berdimensi dua Bidang ukurannya sangat luas sehingga penggambaranya hanya sebagian saja. Penamaan bidang dengan huruf , , atau degan menyebut titik sudut dari wakil bidang misalnya bidang pada gambar 1

    Gambar 1

  • b. Aksioma Euclides

    Aksioma adalah kebenaran yang tidak perlu dibuktikan kebenarannya Dalil adalah kebenaran yang bisa dibuktikan berdasarkan aksioma atau dalil lain Aksioma 1 Melalui dua buah titik sembarang yang tidak berhimpit (berbeda) hanya dapat dibuat sebuah garis lurus Pada gambar 2 melalui titik dan titik hanya dapat dibuat satu garis lurus yaitu garis Aksioma 2 Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan maka garis tersebut seluruhnya terletak pada bidang Pada gambar 2 titik dan titik adalah persekutuan antara garis dan bidang maka garis terletak pada bidang Aksioma 3 Melalui tiga buah titik sembarang yang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang Pada gambar 2 melalui titik hanya dapat dibuat satu bidang yaitu bidang atau

    Gambar 2

  • c. Kedudukan Titik pada Garis dan Bidang

    Titik terletak pada garis jika titik dilalui oleh garis Pada gambar 3 titik dilalui oleh garis sehingga titik terletak pada garis Titik terletak diluar garis jika titik tidak dilalui oleh garis

    Pada gambar 3 titik tidak dilalui oleh garis sehingga titik terletak pada garis

    Karena pada garis minimal ada 2 buah titik ditambah 1 titik diluar garis maka ada 3 titik sehingga berdasarkan aksioma 1 dan aksioma 3 dapat disimpulkan Hanya satu bidang dapat dibuat dari sebuah garis dan sebuah titik di luar garis Pada gambar 3, hanya bidang yang dapat dibuat dari titik A dan garis Titik terletak pada bidang jika titik dapat dilalui oleh bidang Pada gambar 3 titik dilalui oleh bidang sehingga titik terletak pada bidang Titik terletak diluar bidang jika titik tidak dapat dilalui oleh bidang Pada gambar 3 titik tidak dilalui oleh bidang sehingga titik tidak terletak pada bidang

    Gambar 3

  • d. Kedudukan Garis dan Garis

    Ada tiga kemungkinan kedudukan suatu garis terhadap garis lain

    i. Berpotongan

    Dari aksioma 1 bahwa melalui dua buah titik tidak berhimpit hanya dapat dibuat sebuah garis Asumsi titik terletak pada garis dan dan artinya melalui titik dan ada dua garis yaitu garis dan , karena pada dua titik berbeda hanya ada satu garis maka = sehingga asumsi salah akibatnya adalah Pada dua garis yang berbeda paling banyak mempunyai satu titik persekutuan atau titik potong Pada gambar 4, garis dan berpotongan di titik Pada dua garis yang sama = paling sedikit mempunyai dua titik persekutuan Pada gambar 4 , garis = dan titik persekutuannya adalah titik dan Garis yang tidak berpotongan bisa sejajar atau bisa bersilangan

    Karena pada dua garis berpotongan pada 1 titik , pada garis pertama dan kedua masing masing terdapat 1 titik lain selain titik potong maka terdapat minimal 3 titik berbeda pada dua garis yang berpotongan sehingga

    Hanya satu bidang dapat dibuat dari dua buah garis berpotongan Dua buah garis berpotongan terletak pada bidang yang sama Pada gambar 4 , garis AB dan AD berpotongan di titik A dilalui oleh bidang

    Gambar 4

  • ii. Sejajar Dua garis dikatakan sejajar jika tidak berpotongan dan searah Aksioma 4 Jika titik terletak di luar garis maka ada satu dan hanya satu garis sehingga garis melalui titik dan Pada gambar 5 , titik di luar garis sehingga ada satu dan hanya satu garis melalui titik dan sejajar yaitu garis Karena ke dua garis sejajar tidak mempunyai titik persekutuan berarti titik pada garis yang satu berada di luar garis yang lain maka memenuhi syarat untuk membentuk bidang dari sebuah garis dan sebuah titik di luar garis sehingga

    Hanya satu bidang dapat dibuat dari dua buah garis sejajar Dua buah garis sejajar terletak pada bidang yang sama Pada gambar 5 , garis dan pada garis terdapat titik maka melalui titik yang terletak di luar garis dapat dibuat satu dan hanya satu bidang yang melalui garis dan yaitu bidang

    Gambar 5

  • iii. Bersilangan

    Dua garis dikatakan bersilangan jika tidak berpotongan dan tidak sejajar serta tidak ada bidang yang dapat melalui ke dua garis tersebut Pada gambar 6 , garis AB bersilangan dengan garis FG karena tidak saling berotongan dan tidak sejajar satu sama lain dan tidak ada satu bidang melalui ke dua garis tersebut. Garis dilalui oleh bidang sedang garis dilalui bidang

    Gambar 6

    iv. Tiga Garis Sejajar Jika garis dan garis maka garis Pada gambar 7 , garis , garis dan ketiga garis tersebut terletak pada satu bidang yang sama yaitu bidang maka garis Pada gambar 7 , garis , garis dan ketiga garis tersebut terletak pada bidang dua bidang yang berbeda yaitu bidang dan bidang maka garis

    Gambar 7

  • v. Dua Garis Sejajar dan Satu Garis Memotong Jika garis dan garis memotong garis maka garis juga memotong garis Pada gambar 8 , garis dan garis memotong garis di titik maka garis memotong garis di titik

    Gambar 8

    vi. Dua Garis Sejajar dan Satu Garis Memotong Jika garis , garis , garis memotong garis dan garis memotong garis maka garis , terletak pada satu bidang yang sama Pada gambar 9 , garis , garis , garis memotong garis dan garis memotong garis maka garis , dan terletak pada satu bidang yang sama yaitu bidang

    Gambar 9

  • e. Kedudukan Garis dan Bidang

    Aksioma 5 Garis sejajar bidang jika tidak mempunyai titik persekutuan Garis menembus bidang jika mempunyai satu titik persekutuan Pada gambar 10 , garis sejajar bidang karena tidak mempunyai titik persekutuan Pada gambar 10 , garis menembus bidang karena mempunyai satu titik persekutuan yaitu titik

    Gambar 10

  • Aksioma 6 Garis memotong tegak lurus bidang jika dan hanya jika garis tegak lurus pada dua garis yang terletak pada bidang yang melalui titik persekutuan garis dengan bidang Jika garis tegak lurus pada bidang maka garis tegak lurus dengan semua garis pada bidang Proyeksi titik pada bidang adalah titik persekutuan antara bidang dengan garis tegak lurus melalui titik A dengan bidang Pada gambar 11 , garis , , titik adalah titik persekutuan garis dengan bidang dan garis dan terletak pada bidang maka garis memotong tegak lurus bidang Pada gambar 11 , garis memotong tegak lurus bidang maka garis tegak lurus dengan semua garis pada bidang yaitu , , , Pada gambar 11 , proyeksi titik pada bidang adalah titik yang merupakan persekutuan antara garis yang tegak lurus bidang

    Gambar 11

  • i. Dua Garis Sejajar Menembus Bidang

    Jika garis dan garis menembus bidang maka garis juga menembus bidang Pada gambar 12 , garis dan garis menembus bidang maka garis juga menembus bidang

    Gambar 12 Jika garis dan garis menembus tegak lurus bidang maka garis juga menembus tegak lurus bidang

    ii. Dua Garis Sejajar , Satu Pada Bidang Jika garis dan garis terletak pada bidang maka garis sejajar bidang Pada gambar 13 , garis dan garis terletak pada bidang maka garis sejajar bidang

    Gambar 13

  • iii. Dua Garis Sejajar dan Bidang

    Jika garis dan garis sejajar bidang maka garis sejajar bidang Pada gambar 14 , garis dan garis sejajar bidang maka garis sejajar bidang

    Gambar 14

  • f. Kedudukan Bidang dan Bidang

    Aksioma 7 Dua bidang sejajar jika keduanya tidak mempunyai titik persekutuan Dua bidang saling berpotongan jika keduanya mempunyai satu garis persekutuan Dua bidang berhimpit jika setiap titik pada bidang yang satu juga terletak pada bidang yang lain Pada gambar 15 , bidang sejajar dengan bidang karena tidak mempunyai titik persekutuan Pada gambar 15 , bidang berpotongan dengan bidang karena mempunyai satu garis persekutuan yaitu garis

    Gambar 15

    i. Garis dan Dua Bidang Jika garis terletak pada bidang dan garis sejajar bidang maka garis potong antara bidang dan bidang sejajar dengan garis Pada gambar 16 , garis terletak pada bidang dan garis sejajar bidang maka garis potong antara bidang dan bidang yaitu garis sejajar garis

    Gambar 16

  • ii. Dua Pasag Garis Berpotongan dan Dua Bidang

    Jika garis dan garis , garis berpotongan dan terletak pada bidang , garis berpotongan dan terletak pada bidang maka bidang sejajar bidang Pada gambar 17 , garis dan garis , garis dan berpotongan dan terletak pada bidang , garis dan berpotongan dan terletak pada bidang maka bidang sejajar bidang

    Gambar 17

    iii. Dua Bidang Sejajar Dipotong Bidang Lain Jika bidang sejajar bidang dan dipotong oleh bidang maka garis potong , sejajar garis potong , Pada gambar 18 , bidang sejajar bidang dan dipotong oleh bidang maka garis potong

Recommended

View more >