Bab 8MA2151 Simulasi dan Komputasi Matematika

Model Berdasarkan Data

Kadangkala kita dituntut untuk membangun suatumodel berdasarkan data (yang terbatas).

Untuk melakukan ini, perlu diketahui beberapa fungsiyang sering digunakan untuk membangun model.

Fungsi Linear

x

y

x

yb

m: gradien

b: titik potong dengan sumbu y

Merupakan model paling sederhana

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Fungsi Kuadrat

x

y

merupakan kasus khusus dari…

01

2

2)( axaxaxf

Fungsi Polinom

x

y=f(x)

n: derajat01

1

1 ...)( axaxaxaxf n

n

n

n

y

Fungsi Akar

x

y=f(x)

Misalnya digunakan

dalam menentukan

jarak antara 2 titik

(x1,y1 ) and (x2,y2 ):

2

21

2

21 )()( yyxx

y

Fungsi Eksponensial

t

y=P(t)

rtkaPtP 0)(

y

Fungsi Logaritmik

x

y

Biasanya digunakan

untuk data yang

bertumbuh secara

eksponensial.

Misalnya, skala Richter

untuk gempa.

Fungsi Logistik

t

P(t)

00

0

)()(

PePM

MPtP

rt

PM

Pr

dt

dP

1

Fungsi Trigonometri

• Digunakan untuk memodelkandata yang periodik

• Misal: suhu laut, kadar guladarah

• Biasanya digunakan fungsi cos, karena

sin 𝜃 = cos 𝜃 −𝜋

2

Model Empirik

Model empirik dibuat hanya berdasarkan data, dan digunakan untukmeramalkan, bukan menjelaskan, suatu sistem.

Model empirik memuat suatu fungsi yang menangkap trend dari data.

Peramalan dengan Model Empirik

Kita dapat menggunakan model empirik untuk meramalkan perilakudi mana data tidak ada. Namun, model empirik tidak dapatdiaplikasikan di luar selang data yang dimiliki.

Data membangun model. Akibatnya di luar selang data, kita tidakdapat memastikan bahwa data akan berperilaku serupa dengan hasilobservasi dalam selang data.

Regresi Linear

Regresi Linear

Regresi linear juga disebutlinear least squares

Untuk memperoleh parameter m dan b dalam y = ax + b,

diminimumkan perbedaan antara model dengan data yang

diamati.

x

y

(x1, y1)

(x2, y2)

(x3, y3)

Linear Least Squares: Solusi Numerik

Kalkulus akan memberikan:

22 )( ii

iiii

xxn

yxyxnm

22

2

)( ii

iiiii

xxn

xyxyxb

Contoh

Model Empirik Linear

ai disebut parameter dari model.

Model yang tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk ini disebutnonlinear.

nnxaxaxay ...2211

Model Non-linear (1 Suku)

Transformasi Himpunan Data

Untuk mengubah dari grafik cekung ke atas ke garis lurus:

1. Lakukan operasi pada x untuk memperoleh nilai yang lebihbesar, dan efeknya lebih banyak pada nilai x yang lebih besar, atau

2. Lakukan operasi pada y yang menghasilkan nilai yang lebihkecil, dan efeknya lebih banyak pada nilai y yang lebih besar.

Plot himpunan data dengan tranformasi x x2

Plot himpunan data dengan tranformasi x x3

Plot himpunan data dengan tranformasi x x4

Plot himpunan data dengan tranformasi x x3.5

5.3988186.0393131.0 xy

Barisan Transformasi untuk z>1

:

-1/z2

-1/z

-1/z

ln(z)

z

z

z2

z3

:

Transformasi untuk y pada Model 1 Suku

Transformasi himpunan data

Dari cekung ke bawah ke garis lurus:

1. Lakukan operasi pada x untuk memperoleh nilai yang lebih kecil, dan efeknya lebih banyak pada nilai x yang lebih besar, atau

2. Lakukan operasi pada y yang menghasilkan nilai yang lebih besar, dan efeknya lebih banyak pada nilai y yang lebih besar.

u = -5.46747 + 0.267834 z y = (–5.48629 + 0.267869x)5/6