bab 1 limit - .banyaknya sisi dari poligon tersebut membesar tanpa batas. ilustrasi ... fungsi...

Download Bab 1 LIMIT - .banyaknya sisi dari poligon tersebut membesar tanpa batas. Ilustrasi ... Fungsi dikatakan

Post on 07-Mar-2019

213 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Bab 1

LIMIT

Newton, Leibniz, dan Kalkulus

www.calculusbook.net

1.1 Pengantar Limit

Kenapa Limit Penting?

Misalkan suatu objek selalu bergerak maju, dengan () adalah posisi pada saat .

Kecepatan rata-rata pada selang [1,2] adalah 2 (1)

21.

Kecepatan rata-rata pada selang [1,1.2] adalah 1.2 (1)

1.21.

Kecepatan rata-rata pada selang [1,1.02] adalah 1.02 (1)

1.021.

Seberapa cepat objek tersebut bergerak pada = 1?

Kita harus mempertimbangkan limit dari kecepatan pada selang yang makinlama makin kecil.

Kenapa Limit Penting? (2)

Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran?

Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luaspolygon yang terletak di dalam lingkaran pada saatbanyaknya sisi dari poligon tersebut membesartanpa batas.

Ilustrasi

Pandang =31

1.

Apa yang terjadi pada pada saat mendekati 1?

lim1

3 1

1= 3

Pemahaman Intuitif

lim

=

Definisi. Makna intuitif dari Limitlim

= bermakna bahwa pada saat dekat tapi berbeda dengan ,

maka () juga dekat ke .

Contoh

1. Tentukan lim1

3 6.

2. Tentukan lim2

26

+2.

3. Tentukan lim0

sin

.

4. Tentukan lim2

.

5. Tentukan lim0

sin1

.

Limit Sepihak

Definisi. Limit Kiri dan Limit Kananlim+

= bermakna bahwa pada saat dekat tapi berada di sebelah kanan ,

maka () dekat ke .lim

= bermakna bahwa pada saat dekat tapi berada di sebelah kiri , maka

() dekat ke .

Teorema.lim

= jika dan hanya jika lim

= dan lim+

= .

Tentukan Limit Fungsi Berikut

lim

()?

lim+

()?

lim

()?

()?

Contoh

1. Pandang = 1, if < 2

5 2, if 2.

Tentukana. lim

2().

b. lim2+

().

c. lim2

().

2. Tentukan lim3

+ .

Limit dan Limit Sepihak

1.2 Limit Fungsi

Definisi Formal dari Limitlim

= berarti dapat kita buat sedekat mungkin ke diberikan bahwa cukup

dekat ke, namun tidak sama dengan, .

Definisi. Limit

lim

= bermakna bahwa untuk setiap > 0 (betapa pun kecilnya), terdapat > 0

sehingga 0 < | | < |() | < .

Dua Ilustrasi

Melihat Kembali Definisi Limit

0 < < 0 < () <

Benar atau salah?

1. 0 < 2 < 1 0 < 2 4 < 2.

2. 0 < 2 < 1 0 < 2 4 < 5.

3. 0 < 2 < 1 0 < 2 4 < 1.5.

Melihat Kembali Definisi Limit (2)

Terdapat > 0 sehingga0 < < 0 < () <

Carilah sehingga

1. 0 < 2 < 0 < 2 4 < 2.

2. 0 < 2 < 0 < 2 4 < 1.

3. 0 < 2 < 0 < 2 4 < 0.1.4. 0 < 2 < 0 < 2 4 < 0.01.

Melihat Kembali Definisi Limit (3)

Untuk setiap > 0,

terdapat > 0 sehingga0 < < 0 < () <

Tentukan sehingga

0 < 2 < 0 < 2 4 < .

Contoh

1. Tunjukkan bahwa lim1

3 6 = 3.

2. Tunjukkan bahwa lim2

26

+2= 5.

3. Tunjukkan bahwa lim2

2 = 4.

4. Tunjukkan bahwa lim

= .

5. Tunjukkan bahwa lim

= .

Cauchy, Weierstrass, dan Limit

Definisi Limit Sepihak

Definisi. Limit Kananlim+

= bermakna bahwa untuk setiap > 0, terdapat > 0 sehingga

0 < < |() | < .

1.3 Teorema Limit

Sifat Limit

Teorema A juga berlaku untuklimit sepihak.

Contoh.

1. Tentukan lim1

2+4

2.

2. Jika lim2

= 4 dan lim2

= 8, tentukan

lim2

2() 3 .

Limit Fungsi Polinom dan Rasional

Jika adalah fungsi polinom atau rasional, makalim

= ()

jika () ada.

Contoh.

1. Tentukan lim1

2+310

2+6.

2. Tentukan lim1

1

1.

3. Tentukan lim1+

1

21.

4. Tentukan lim0

.

Teorema Apit

Misalkan , , dan adalah fungsi yang memenuhi () () () untuk setiap di sekitar , kecuali mungkin di .

Jika lim

= lim

= maka lim

=.

1.4 Limit yang MelibatkanFungsi Trigonometri

Limit Fungsi TrigonometriTeorema. Limit Fungsi Trigonometri

Untuk setiap bilangan real di domain fungsi,

Teorema. Limit Trigonometri khusus

Contoh. Tentukan limit berikut.

1. lim0

sin 3

.

2. lim0

1cos

sin .

3. lim0

sin 4

tan .

1. lim

sin = sin 2. lim

cos = cos

3. lim

tan = tan 4. lim

cot = cot

5. lim

sec = sec 6. lim

csc = csc

1. lim0

sin

= 1 2. lim

0

1cos

= 0

1.5 Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga

Limit di Tak Hingga

Pandang =

1+2.

Apa yang terjadi dengan fungsi pada saat membesar tanpa batas?

lim

()

Apa yang terjadi dengan fungsi jika mengecil tanpa batas?

lim

()

Definisi Limit di Tak HinggaContoh.

1. Tunjukkan bahwa jika bilangan bulat positif, maka

lim

1

= 0 dan

lim

1

= 0.

2. Tentukan lim

1+2.

3. Tentukan lim

12.

4. Tentukan lim

sin

.

Definisi. Limit pada saat Misalkan fungsi terdefinisi di [, ) untuk suatu .lim

= bermakna untuk setiap > 0 terdapat bilangan

sehingga > <

Definisi. Limit pada saat Misalkan fungsi terdefinisi di (, ] untuk suatu .lim

= bermakna untuk setiap > 0 terdapat bilangan

sehingga < <

Limit Barisan

Jika domain dari fungsi adalah himpunan bilangan asli, maka kita biasanya menulis , bukan () dan fungsitersebut disebut barisan, yang dinotasikan sebagai .

Contoh.

Definisikan suatu barisan dengan =

+1.

Apa yang terjadi jika membesar?

Pandang 1 =1

2, 2 =

2

3, 3 =

3

4, , 100 =

100

101,

Definisi. Limit Barisan

Misalkan terdefinisi untuk semua bilangan asli yang lebih besar atau sama dengan .

lim

= bermakna untuk setiap > 0 terdapat bilangan sehingga

> <

Contoh.

Tentukan lim

+1

+2.

Limit Tak Hingga

Pandang =1

2.

Apa yang terjadi pada fungsi pada saat semakin dekat ke 2?

lim2

()

Definisi. Limit tak hingga

lim+

() = jika untuk setiap bilangan

positif , terdapat > 0 sehingga0 < < >

Limit Tak Hingga Lainnyalim+

() = lim

() = lim

() =

lim

() = lim

() = lim

() = lim

() =

Contoh.

1. Tentukan lim2+

+1

25+6.

2. Tentukan lim0

.

Asimtot

Garis = merupakan asimtot vertikal dari grafik fungsi = () jika salah satu dari empat pernyataan berikut benar:

lim+

() = , lim+

() = , lim

() = , atau lim

() = .

Garis = merupakan asimtot horisontal dari grafik fungsi = () jika

lim

() = atau lim

() = .

Contoh.

Tentukan semua simtot dari grafik fungsi = =2

1.

1.6 Kekontinuan Fungsi

Kontinu

Istilah kontinu digunakan untuk mendeskripsikan proses yang berlangsung tanpaperubahan yang mendadak.

Definisi. Kekontinuan pada suatu titik

Misalkan adalah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat . Fungsi dikatakan kontinu di jika

lim

= ()

Titik Kediskontinuan yang Dapat Dihilangkan

Contoh.

Misalkan =24

2, 2. Bagaimana harus didefinisikan pada

= 2 agar kontinu di sana?

Titik kediskontinuan disebut dapat dihilangkan jika fungsi dapatdidefinisikan ulang pada sehingga fungsi tersebut menjadi kontinu. Jika tidak, titik kediskontinuan disebut tidak dapat dihilangkan.

Kekontinuan Beberapa Fungsi

Fungsi polinom kontinu di setiap bilangan real.

Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real yang ada di domainnya.

Fungsi harga mutlak kontinu di setiap bilangan real.

Jika n ganjil, fungsi akar ke-n kontinu di setiap bilangan real, jika n genap, fungsi tersebut kontinu di setiap bilangan real positif.

Fungsi sinus dan cosinus kontinu di setiap bilangan real.

Fungsi tangen, cotangen, secan, dan cosecan kontinu di setiapbilangan real yang ada di domainnya.

Kekontinuan terhadap Operasi pada Fungsi

Jika dan kontinu di , demikian juga dengan , + , , ,

/ (dengan syarat () 0), , (dengan syarat () > 0 jika genap).

Contoh.

1. Di manakah fungsi =3 2

+3 kontinu?

2. Tentukan semua titik ketidakkontinuan dari =sin

1. Apakah

titik-titik tersebut dapat dihilangkan?

Kekontinuan Fungsi Komposisi

Teorema.

Jika lim

= dan jika kontinu di , maka

lim

( ) = (lim

) = () .

Jika kontinu di dan kontinu di (), maka fungsi komposisi kontinu di .

Contoh.

Tunjukkan bahwa =