Bab 10MA2151 Simulasi dan Komputasi Matematika

10.2 Difusi

Difusi Panas

Energi panas ditransfer oleh konduksi panas di dalam atau antarobjek di mana terdapat perbedaan suhu.

Partikel atau kelompok partikel dengan suhu yang lebih tinggi(lebih banyak energi kinetik) mentransfer sebagian dari energimereka ke partikel dengan suhu yang lebih rendah (lebih sedikitenergi kinetik) pada saat terjadi tabrakan. Ini disebut difusi energi.

Akan dibangun model untuk difusi panas melalui lempenganlogam yang tipis (Cunningham 2007).

Asumsi

Beberapa simplifikasi:

• Suhu logam ditentukan oleh suhu pada lapisan atas logam, sehingga lempengandapat dimodelkan secara 2 dimensi.

• Lempengan berada pada ruangan di mana lingkungan di sekitar lempenganmemiliki suhu yang sama dengan lempengan tersebut.

• Suhu berdifusi di dalam lempengan, tetapi keadaan di luar lempengan tidakmempengaruhi suhu.

Inisialisasi

Kita dapat menginisialisasi setiap sel dengan suhu lingkungan (ambient), misalkan AMBIENT = 25 °C, kecuali untuk sel-sel panas dan dingin, misalkanHOT = 50 °C and COLD = 0 °C.

Inisialisasi (2)

Inisialisasi (3)

Ketetanggaan

Ketetanggaan von Neumann Ketetanggaan Moore

Model

Model didasarkan pada Hukum Newton untuk pemanasan dan pendinginanyang menyatakan bahwa laju perubahan suhu suatu objek terhadap waktusebanding dengan perbedaan antara suhu objek dengan suhu lingkungan.

Dengan demikian, perubahan suhu suatu sel, Δsite, dari waktu t ke waktu t + Δt adalah parameter difusi (r) dikalikan jumlah beda suhu tetangga(neighbori) dan suhu sel (site):

Suhu pada saat t + Δt adalah:

Parameter Difusi

Koefisien difusi dapat berbeda untuk setiap tetangga. Namun demikian, jumlah koefisien untuk ke-9 sel dalam ketetanggaan haruslah 1.0 atau 100%.

Contoh.

Misalkan parameter difusi adalah 0.1 dan suhu dalam sel seperti dalamgambar berikut. Hitung suhu dalam sel tengah untuk iterasi waktu berikut.

Algoritma Fungsi Difusi

Kondisi Batas

Untuk dapat mengaplikasikan algoritma difusi kita perlu memperluas batasdengan menambahkan 1 sel di setiap arah. Sel hasil perluasan tersebutdisebut ghost cell.

Beberapa cara perluasan:

1. Memberikan suhu yang sama untuk semua ghost cell. absorbing boundary condition

2. Menggunakan suhu tetangga terdekat untuk suhu di ghost cell. reflecting boundary condition

3. Menghubungkan north-south dan east-west sehingga diperoleh bentukseperti donat. periodic boundary condition

Kondisi Batas (2)

Kondisi Batas (3)

Algoritma Reflecting Boundary Condition

Koordinat

Algoritma Difusi

Display

Biasanya digunakan warna merah untuk panas dan biru untuk dingin.

Digunakan model warna red-green-blue (RGB) color model, di mana ditentukan persentasi (bilangan antara 0.0 dan 1.0) dari red dan blue pada setiap sel.

Contoh Simulasi

10.3 Penyebaran Api

Penyebaran Api

Akan dibangun 2D simulasi untuk penyebaran api.

Teknik ini dapat dikembangkan untuk permasalahan lain yang melibatkan penyebaran seperti penyebaran penyakit menulardan distribusi polusi.

Model

Suatu daerah dimodelkan secara dinamisdengan menggunakan n x n matriks.

Setiap sel memuat nilai yang merepresentasikan keadaan dalam daerahyang bersesuaian.

Suatu sel dapat memuat nilai 0 (EMPTY), 1 (TREE), atau 2 (BURNING) yang merepresentasikan sel kosong, sel denganpohon yang tidak terbakar, dan sel denganpohon yang terbakar.

Digunakan ketetanggaan von Neumann dan periodic boundary condition.

Inisialisasi Sistem

Untuk menginisialisasi sistem, didefinisikan 2 peluang berikut.

• probTree — peluang suatu pohon terletak dalam sel.

probTree adalah kepadatan pohon di awal simulasi.

• probBurning — peluang suatu pohon dalam terbakar jika sel tersebut memuat pohon.

probBurning adalah presentasi pohon yang terbakar di awal simulasi.

Aturan Penyebaran

• Jika suatu sel kosong (nilai sel EMPTY) pada saat t, sel tersebutakan tetap kosong pada saat t+1.

• Jika terdapat suatu pohon dalam sel (nilai sel TREE) pada saat t, pada saat t+1 pohon tersebut dapat terbakar atau tidak (nilai selBURNING atau TREE), bergantung pada adanya api di sel tetanggaatau adanya petir yang menyambar.

• Sel yang memuat pohon yang terbakar (nilai sel BURNING) padasaat t akan selalu terbakar habis, meninggalkan sel kosong padasaat t+1 (nilai sel EMPTY)

Peluang Lainnya

• probImmune — peluang imunitas suatu pohon terbakar.

Jika pada saat t suatu sel memuat pohon (nilai sel TREE) dan terdapat api yang mengancam pohon tersebut, probImmuneadalah peluang pohon tersebut tidak akan terbakar padasaat t+1.

• probLightning — peluang petir menyambar suatu sel

Pohon Terbakar

1. Karena sel tetangga

2. Karena petir menyambarPetir dapat mengakibatkan suatu pohon terbakar jika dengan peluangyang merupakan hasil kali dari

probLightning * (1 − probImmune).

Algoritma Penyebaran Api

1. Inisialisasi sistem

2. Perluasan batas berdasarkanPeriodic Boundary Condition

3. Penyebaran api berdasarkanaturan penyebaran

Contoh Simulasi

Simulasi dengan parameter n = 50, probTree = 0.8, probBurning = 0.0005,

probLightning = 0.00001, probImmune = 0.25, dan t = 50.

Contoh Simulasi 2

Contoh Simulasi 3

Contoh Simulasi 4

10.4 Pergerakan Semut

Masalah

Sebagian besar spesies semut mengkomunikasikan gerakan mereka ketikamembawa makanan dengan meninggalkan jejak yang berupa bahan kimiapheromone.

Semut yang lain dapat menemukan lokasi sumber makanan denganmengikuti bau pheromone tersebut.

Jumlah pheromone akan berkurang seiring waktu.

Akan disimulasikan gerakan semut dengan adanya jejak pheromone, yang menyebar dan berkurang seiiring waktu, dengan menggunakan cellular automata.

Akan digunakan model yang menggabungkan model difusi dan penyebaranapi.

Pengumpulan Data

Observasi empirik:• Di setiap langkah, semut cenderung berbalik dan bergerak menuju

arah di mana terdapat pheromone dalam jumlah yang banyak.• Seiiring waktu, pheromone akan berkurang. Apabila tidak ada

semut di suatu lokasi, pheromone akan habis.

Untuk model yang profesional:

Perlu dikumpulkan data eksak:• Jumlah rata-rata pheromone yang dikeluarkan seekor semut.• Laju peluluhan pheromone.

Asumsi yang Menyederhanakan

• Semut hidup dalam suatu daerah berbentuk persegi.• Semut cenderung untuk tidak berbalik arah untuk kembali ke tempat

semula, tapi bergerak menuju sel tetangga yang kosong dan memuatpheromone dalam jumlah terbanyak.

• Jika tidak memungkinkan untuk melakukan pergerakan, semut akan diamdi tempat.

• Untuk menghindari tabrakan, dilakukan strategi avoidance-or-wait.• Pada saat melakukan pergerakan, semut mengeluarkan pheromone.• Pheromone akan menghilang seiiring waktu.• Inisialisasi dengan jejak lurus pheromone dalam jumlah yang bertambah

banyak, yang ditinggalkan oleh semut lain.• Tidak dipertimbangkan sumber makanan atau sarang semut.

Penentuan Variabel

Untuk mensimulasikan lingkungan yang tertutup, digunakan absorbing boundary condition.

Setiap sel dipetakan pada suatu pasangan terurut yang memberikan informasi mengenai:

• Banyaknya pheromone dalam sel

• Ada atau tidaknya semut

• Arah semut

Koordinat kedua berisi: Konstanta yang mengindikasikan tetangga von Neumann yang akan dituju semut(sebelum pergerakan) dan arah dari mana semut datang (setelah pergerakan). STAY menyatakan semut tetapberada dalam selnya pada suatu iterasi.

Contoh: (3,EMPTY), (0,SOUTH), (-0.01,BORDER)

Inisialisasi Pheromone

Semua sel diinisialisasi dengan 0 pheromone, kecuali pada sel di mana ada jejak pheromone.

Misalkan, tepat di tengah grid, diinisialisi jejak pheromone secarahorizontal dengan jumlah menaik.

Jika ukuran grid adalah 𝑛 x 𝑛 dan MAXPHER adalah konstanta yang menyatakan jumlah maksimum pheromone pada saat inisialisasi, bagaimana mendefinisikan jumlah pheromone di sel yang memuatjejak pheromone?

Penentuan Relasi dan Submodel

• Pergerakan semut dalam satu langkah meliputi dua hal: sensing danwalking

• Langkah pertama, semut memeriksa sel tetangga dan berbalik ke arahsel dengan pheromone terbanyak

• Langkah kedua, jika dimungkinkan untuk bergerak tanpa bertabrakandengan semut lain, semut akan pindah ke lokasi tersebut

• Setelah reaksi semut (sensing dan walking), terjadi difusi pheromone

• Ini merupakan simulasi tipe reaksi-difusi

Fungsi Sensing

Sel tetangga adalah dalam arah von Neumann neighborhood: Utara, Timur, Selatan, danBarat

Aturan untuk fungsi sense:

1. Sel kosong tidak dapat melakukan sense dan tidak menunjuk pada arah manapun

2. Seekor semut tidak akan menghadap ke sel darimana ia baru datang

3. Seekor semut tidak akan menghadap ke sel batas

4. Seekor semut tidak akan menghadap ke sel yang memuat semut lain

5. Seekor semut berbalik ke arah sel tetangga (bukan sel sebelum, sel yang berisisemut lain, atau sel batas) dengan pheromone terbanyak. Jika ada lebih dari satusel, semut akan memilih secara random.

6. Jika tidak ada sel yang tersedia, maka semut tidak akan pindah

Bagaimana mengaplikasikan aturan 2, 4, dan 5?

Algoritma Sense

Fungsi Walking

Pada langkah berikutnya, jumlah pheromone akan berubah sebagai berikut:

7. Untuk sel yang tetap EMPTY, jumlah pheromone akan berkurang sebanyakEVAPORATE, tetapi tidak pernah negatif.

8. Seekor semut yang menghadap suatu sel, akan pindah ke sel tersebut, jikatidak ada semut lain dalam sel.

9. Jika ada semut lain, semut akan tidak melakukan perpindahan.

10. Jika seekor semut meninggalkan sel yang memiliki pheromone di atas ambangbatas THRESHOLD, jumlah pheromone bertambah sebanyak DEPOSIT.

11. Jika seekor semut tetap di suatu sel, jumlah pheromone tetap.

12. Ketika semut pindah ke sel baru, semut tersebut tidak akan menghadap kearah sel asal.

Algoritma Walk

Algoritma

Hasil Simulasi

Dengan parameter MAXPHER = 50.0, EVAPORATE = 1, DEPOSIT = 2, THRESHOLD = 0, n = 17, probAnt = 0.1, diffusionRate = 0.01, and t = 11.

10.5 Biofilm

Biofilm

Biofilm adalah komunitas dari organisma yang sangat kecil dan menempelpada permukaan suatu lingkungan (substratum) yang berair. (Donlan dan Costerton 2002)

Organisma dalam biofilm biasanya merupakan bakteri, namun ada pula yang berupa alga atau jamur, atau campuran dari ketiganya. Organisma ini tidakhanya menempel pada suatu substratum, tetapi mereka juga saling terkaitdalam suatu matriks biopolimer (polysaccharides, proteins, lipids, dan nucleic acids).Contoh: plak gigi

65% sampai 80% penyakit yang disebabkan bakteri merupakan infeksi kronisbiofilm (Costerton et al. 1999; Costerton 2004).

Simulasi

Akan disimulasikan formasi struktur biofilm tanpa memandang fungsi biofilm tersebut. Akan digunakan model 2D yang dapat diperumum menjadi model 3D.

Dalam setiap iterasi akan dipertimbangkan ketiga fase berikut:

1. Difusi makanan

2. Pertumbuhan dan kematian mikroba

3. Konsumsi makanan oleh mikroba

Merupakan simulasi reaksi-difusi.

Untuk mempermudah, dipertimbangkan biofilm yang hanya terdiri dari satu jenisbakteri.

Matriks Makanan

Untuk memodelkan pertumbuhan biofilm, digunakan cellular automaton dengan 2 matriks 𝑚 × 𝑛, satu untuk biofilm dan satu untuk makanan. Selyang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut menggambarkan lokasi yang sama.

Dengan mengasumsikan terdapat makanan yang homogen, dapatdiinisialisasi matriks makanan sebagai berikut.

dengan 0 < 𝑀𝐴𝑋𝑁𝑈𝑇𝑅𝐼𝐸𝑁𝑇 ≤ 1.

Difusi Makanan

Difusi terjadi dalam matriks makanan pada setiap iterasi.

Asumsikan makanan terdifusi dengan laju yang konstan.

Digunakan model difusi berdasarkan Hukum Newton untuk Pemanasandan Pendinginan dengan parameter difusi rate (r), sehingga selmakanan pada waktu t + Δt adalah:

Kondisi Batas Makanan

Digunakan kombinasi dari kondisi batas.

Misalkan substratum terletak di sebelah Barat dan sumber makananyang tidak terbatas di sebelah Timur.

Di sebelah Timur, ditambahkan satu kolom dengan setiap sel memilikinilai makanan konstan.

Digunakan periodic boundary conditions di Utara dan Selatan sehinggamakanan di Utara akan terdifusi ke Selatan dan sebaliknya.

Algoritma inisialisasi?

Inisialisasi Biofilm

Dalam simulasi ini, inisialisasi dilakukan dengan menempatkan secararandom bakteri pada kolom pertama dan sel lainnya kosong.Didefinisikan konstanta probInitBacteria, misalkan probInitBacteria = 0.15, yang menggambarkan peluang suatu sel memuat bakteri.

Kondisi Batas Biofilm

Seperti pada matriks makanan, digunakan periodic boundary condition di Utara dan Selatan.

Sedangkan di Barat dan Timur, ditambahkan masing-masing satu kolomyang setiap selnya bernilai BORDER.

Pertumbuhan Biofilm

Jika lokasi suatu bakteri tidak memuat makanan, bakteri akan matikelaparan.

Sel dengan bakteri yang mati akan tetap demikian.

Dengan peluang tertentu, bakteri yang hidup akan membelah secaraacak ke sel tetangga yang kosong. Asumsikan bahwa peluang tersebutsebanding dengan banyaknya makanan di dalam sel, dengan konstantapembanding, p.

pickNeighbor merupakan fungsi dengan keluaran sel tetangga yang kosong dan terpilih sebagai tempat pembelahan.

grow merupakan fungsi dengan keluaran matriks biofilm pada saat t+1.

Fungsi pickNeighbor

Fungsi pickNeighbor (2)

Fungsi grow

Fungsi grow (2)

Konsumsi Makanan

Dalam setiap iterasi digunakan fungsi consumption, di mana setiapbakteri mengkonsumsi sejumlah konstan (CONSUMED) makanan. Banyaknya makanan dalam sel tidak bisa negatif.