bab 7 turunan

8/20/2019 Bab 7 Turunan

1/52

8Bab

193

Turunan Fungsi dan Aplikasinya

S u m b e

r : w w w

. d u n i

a c y b

e r . c o m

Pembahasan limit fungsi yang telah Anda pelajari diBab 7 dapat dikembangkan pada pem ahasan turunan fungsikarena dengan mengetahui turunan fungsi, Anda dapatmempelajari sifat-sifat fungsi. Sifat-sifat fungsi tersebutmisalnya, kemonotonan fungsi, ekstrim fungsi, kecukupanfungsi, dan titik balik fungsi. Di samping itu, Anda juga dapat

mengaitkan turunan fungsi dengan kecepatan sesaat sertadapat menggunakan turunan fungsi untuk mempelajari aplikasipermasalahan sederhana, seperti permasalahan berikut.

Banyak minyak pelumas (selama satu tahun) yang digunakanoleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan m am

memenuhi persama n v 4

x2 liter. Dengan

memahami konsep turunan, Anda dapat menentukan jumlahmaksimum minyak pelumas yang digunakan dalam 4 tahun.

A. Konsep TurunanB. Menentukan Turunan

FungsiC. Persamaan Garis

Singgung pada KurvaD. Fungsi Naik dan Fungsi

Turun

E. Maksimum danMinimum Fungsi

F. Turunan KeduaG. Nilai StasionerH. Menggambar Gra k

Fungsi Aljabar

Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakankonsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; meng-gunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsidan memecahkan masalah; merancang model matematika yang

berkaitan dengan ekstrim fungsi, menyelesaikan modelnya, danmenafsirkan hasil yang diperoleh.


2/52

194 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Tes Kompetensi AwalSebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.

1. Sebuah garis melalui titik (1, 5) dan (7, 3).Tentukan gradien garis tersebut. Jelaskanpula cara mencarinya.

2. sin ( α ± β) = ....

3. cos ( α + β) = ....

4. tan ( α + β) = ....

5. cos 2 α = ....

6. f ( x) = 2 x3 + 3 x, tentukan f ( x + 1) dan f (a + b).

7. = ....

8. Tentukan gradien garis singgung kurva

di titik

Diagram Alur

ntuk mempermudah Anda dalam mempela ari bab ini, pela arilah iagram alur yang disa ikansebagai berikut.

Limit Turunanmenghasilkan

eori

rumusLa u

erubahanFungsi

IntervalFungsiNaik/Turun

menentukan

radien Titik BalikMaks./Min.

danTitik Belok

menentukan menentukan menentukan

Aplikasi

lim lim x a

' xa

x x

lim lim x a

f ' f '' xa

x x

menyelesaikan

masalah

im)) x a

f ( 00


3/52

195 Turunan Fungsi dan Aplikasinya

A. Konsep TurunanUntuk memahami konsep dasar turunan, tinjaulah

dua masalah yang kelihatannya berbeda. Masalah pertama

adalah masalah garis singgung, sedangkan masalah keduaadalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itumenyangkut geometri dan lainnya yang menyangkut mekanikaterlihat seperti tidak ada hubungan. Sebenarnya, kedua masalahitu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya,pelajari uraian berikut.

1. Garis SinggungAmati Gambar 8.1. Misalkan adalah suatu titik tetap

pada gra k = x) dan dalah sebuah titik berdekatan yangdapat dipindah-pindahkan sepan ang gra k y = . Misalkan,titik A berkoordinat ( a , a )) maka titik B berkoordinat

+ Δ , a Δ )). Garis yang melalui A dan mempunyai

gradien kemiringan) f f a a

. Garis ini memotong

gra k di dua titik A dan yang berbeda.Jika titik bergerak sepanjang kurva = ) mendekati

titik maka nilai Δ x semakin kecil. Jika nilai Δ x men e atnol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya,garis singgung (jika tidak tegak lurus pada sumbu- ) adalahgaris yang melalui a a )) dengan gradien

m f f

AB

a a xlim ..(1)

ertanyaan: Mengapa persamaan garis singgung tidak bolehtegak lurus sumbu- ?

Tentukan gradien garis singgung pada kurvaa. x) = x2 di titik dengan absis 2b . x) = x di titik dengan absis 3

Jawa :

a . m

xm m

0 x

2

m2

Jadi, gradien garis singgung kurva x) = x2 di titik denganbsis = 2 adalah m = 4.

Contoh 8.1

Gambar 8.1

Gambar 8.2

x

y

f(a + )

f(a)

y = f(x)

a a +O

A(a, f(a))

B(a + , f(a + ))

x

y

O

y = f(x) B(a + , f(a + ))

f(a) A(a, f(a))

a a +

f (a + )


4/52


b. f

xim lim

0 x

3

3

x m

l 27 2 x 7

Jadi, gradien garis singgung kurva = x di titik dengansis x = a a a m = 7.

2. Kecepatan Sesaat

Misalkan, fungsi x) = 15 x2

+ 20 menyatakan jarakdalam km) yang ditempuh sebuah mobil setelah jamperjalanan selama selang waktu 0 ≤ ≤ . ecepatan rata-rata mobil itu selama per alanannya adalah

f 0

5 2 0

20

km/jam

Sekarang, coba amati kecepatan rata-rata mobil dalamselang c ≤ x ≤ d . Untuk keperluan ini, buatlah Tabel 8.1.

mati tabel tersebut. Nilai f mendekat ke bilangan

0 jika lebar selang waktunya dibuat semakin mengecilΔ x mendekati nol). Nilai 50 tersebut disebut kecepatansesaat pada x = 1.

Sekarang, dapat dipahami bahwa kecepatan sesaatdiperoleh melalui proses limit terhadap kecepatan rata-ratadengan cara membuat nilai-nilai x mendekat ke-1 atau Δ dekat ke nol. Dalam lambang matematika kecepatan sesaat

pada = 1 ditulis

lim lim

f

1

lim 50

Jadi, kecepatan mobil pada saat x = 1 adalah 50 km/jam.

Tabel 8.1

SelangWaktu

0 – 10,8 – 10,9 – 1

0,99 – 10,999 – 1

0,9999 – 1 – 1,0001

– 1,001 – 1,01

– 1,51 – 2

35,000047,000048,5 0049,85 0049,985049,998550,001550,015 050,15 0057,5 0065,0000


5/52


Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakankecepatan sesaat v di x = ? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri.

Uraian tersebut menggambarkan de nisi kecepatan

sesaat di = a , yaitu f a

xim xrata-rat

... 2

Sekarang, tentunya Anda dapat melihat mengapa Andamenyebut kemiringan dari garis singgung dan kecepatansesaat adalah kembaran identik. Amatilah kedua rumustersebut, yaitu rumus (1) dan (2). Kedua rumus tersebutmenggunakan nama berlainan untuk konsep yang sama,tetapi dalam situasi yang berlainan.

Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukan-nya setelah x detik memenuhi persamaan f ( x) = 6 x3 + x2 , dengan

f ( x) dinyatakan dalam meter.a . Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu

2 ≤ x ≤ 3.b . Berapa kecepatan sesaat benda pada x = 2 detik?Jawab :

a . f x x f x x

6 3 3 6 2 23 2

1193 2 3 3

Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s.

b . lim

lim

x

x

f x f

x

x x

0

0

3 2

2 2

6 2 2

6 2 2

6 8 12 6

3 2

0

2 3

x

x x x xlim

4 4 52

6 37 76 76

2

0

2

x x

x x x

xlim

Jadi, kecepatan pada saat x = 2 atau pada detik kedua adalah76 meter/detik.

Contoh 8.2

Sumber: Dokumentasi Penerbit

Gambar 8.3Jarak yang ditempuh mobil inimengikuti fungsif ( x ) = 15 x 2 + 20 x . Berapakahkecepatan rata-ratanya?


6/52


Coba Anda tunjukkan

li cos .

antanganuntu A

. Turunan Fungsi di = aJika fungsi = x) terde nisi di sekitar = a maka

lim lim y f f

Jika lim 0

da maka nilainya disebut turunan fungsi )

i x = a . Turunan fungsi a a suatu ungs uga, ya tu ungsturunan yang dilambangkan dengan f ( ). Untuk menyatakanturunan di = a dinyatakan dengan f (a). Jadi,

f f f l m l m a

a x a a

x tau

f f

a

x a

Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal berikut ini.Jika f ( ) = x2 – x , tentukan f' (5).Jawab

f m

' im

aa a

x 0

0

0

lim

m0

Contoh 8.3

Tentukanlah f ( x) fungsi-fungsi berikut ini.

a . = + b. x) = cos xJawaba. x x x

x 0

x m x

im0

0 x 1

Contoh 8.4


7/52


anjang sebuah persegipanjang sama dengan tiga kali lebarnya.entukan laju perubahan luas terhadap lebar untuk lebar = 5 cm.

Jawa :Misalkan, lebar = l m maka pan ang = p = × l = l dan luas =

L = × = 3 l l = 3 l .Jadi, = f l) = 3 l2.Laju perubahan luas terhadap lebar l untuk = 5 adalah ‘(5).

' im,3

0

30

22 x xm m

x 0

Contoh .

x

x

cos

x mcos cos

li

0

x

x

x

0

x os

licos

lims n

cos im

x x

x

0

000

coss n im

si

sin

4. Mengenal Notasi Leibnitznda telah mempelajari bahwa turunan fungsi x)

inotasikan dengan f '( x). Nilai Δ menyatakan perubahan

ilai x, yaituΔ

= x2 – 1 Adapun perubahanΔ

x) – )enyatakan perubahan nilai fungsi x) dinotasikan denganΔ Selanjutnya, bentuk limit tersebut dapat dituliskan

enjadi lim0

.

Selain itu, terdapat notasi lain untuk menyatakan turunan

ungsi, yaitu f x

. Diketahui fungsi

= ....(1)

Gottfried Wilhelm Leibnitz(1646–1716)

Gottfried Wilhelm Leibnitzadalah orang jenius. Ia ahlidalam bidang hukum, agama,politik, sejarah, lsafat, danmatematika. Bersama Newtonmerumuskan pengertiandasar tentang kalkulusdiferensial. Leibnitz pundikenal karena menemukansuatu jenis mesin hitung.

Sumber Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1, 1990

TokohMatematika


8/52


sehingga turunan fungsi (1) dapat dituliskan menjadi

y dx

= ' = f '( )

Notasi tersebut diperkenalkan oleh seorang ahlimatematika Jerman, yaitu Gottfried Wilhelm Leibnitz1646–1716) sehingga dinamakan notasi Leibnitz , tepatnya

notasi Double d Leibnitz .

Misalkan x) = x3, tentukanlah

a. f x

b . nilai x sehingga f x

= 1

Jawa

a. f dx

x x xlim lim

0 x

3 3

im 2

f x

= x maka x = 1 = ± .

Jadi, nilai yang memenuhi f x

= 12 adalah x = ± .

Contoh .

Sebuah benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh memenuhipersamaan – 3 . Tentukanlah laju perubahan sesaat

jarak terhadap waktu Tentukanlah nilai sedemikian sehinggalaju perubahan jarak terhadap waktu adalah 15.

JawaLa u perubahan sesaat arak terhadap waktu adalah

st

f t

t

t

im

m

0

0

t

2

0

t lim

t

2

0

t

lim m 0

t t

Contoh .7


9/52


pabila la u perubahan arak terhadap waktu sama dengan 16,diperoleh

f x

= 2 – 3 15 = 2 – 3

= t =Jadi, laju perubahan sama dengan 15 terjadi pada saat t = se on.

Tes Kompetensi Subbab AKerjakanlah pada buku latihan Anda.

1. Gunakan konsep limit untuk menyelesaikansoal-soal berikut.a Jika = x + x, tentukan ' .

Jika = x – + , tentu an ' .c ika = x , tentukan f ' .

Jika = 1 x

, tentukan ' .

2. Gunakan konsep limit untuk menyelesaikansoal-soal berikut.a a = 4 – x , tentukan ' –3 .

Jika = – x tentukan ' 2 .

c Jika = x 1

, tentukan '(5).

J ka = x , tentu an ' 1 .

Dengan menggunakan konsep limit,tentukan gradien aris singgung padakurva berikut ini.a ) = 5 x di titik dengan absis x =

. x = + – 5 di titik dengan absis= –

c = di titik dengan absis x = –

. x di titik dengan absis=

Dengan menggunakan konsep limit, hitung

nilai f x

dari fungsi berikut untuk x yang

diberikan.

a . ) = 2 x2 di x = –1b. ) = – 5 di = –

. ) = 2 x + x di. = 3cos x i =

unakan konsep limit untuk soal-soalberikut

. Sebuah benda bergerak, kedudukannyasetelah sekon memenuhi persamaan t

3t + t .a . Berapa kecepatan rata-rata pada

selang waktu = se on an t =

se onb. erapa kecepatan sesaat pada waktu = 2 sekon?

6. S eb ua h pe ru sa ha an m en da pa tk ankeuntungan setelah t tahun sebesar

.500.000 –5.000 t.Berapa besar keuntungan antara =tahun dan t = 4 tahun?

b. Berapa laju keuntungan sesaat pada t 2 tahun?

. Gunakan rumus turunan untuk mencariurunan fungsi-fungsi berikut.

a . = 6 x + . = sin x = x + = cos x

. ) = 3 x 2 ) = tan x


10/52


B. Menentukan Turunan FungsiProses mendapatkan turunan suatu fungsi secara langsung

yang meng unakan de nisi turunan, yaitu dengan menyusun

hasil bagi selisih f x

dan menghitung limitnya,memakan waktu dan membosankan. Tentunya, Anda perlumengembangkan cara atau proses yang akan memungkinkanAnda untuk memperpendek proses yang berkepan angan itu.Untuk itu, pelajari uraian berikut ini.

1. Menentukan Turunan Fungsi f ( x ) = ax Misalkan, fungsi ) = ax dengan n = 1, 2, dan 3.

ntu n = 1, diperoleh = ax dan turunan fungsi tersebutdalah

m

im

x x

x x

x

0

0

a x axam m

0

= ...(1)Untuk n = 2, diperoleh f ) = ax dan turunan fungsi tersebut

dalah

f ' = lim 0

= lim

a0

2

= lim

ax a0

2 2

= lim

= x

Dengan cara yang sama, coba Anda cari turunan fungsi) = x3 x) = ax 4 dan x) = ax 5.

Anda dapat menurunkan hal seperti ini untuk fungsi-fungsiberikut.

= ax6 f = x

) = ax15, f ( ) = 15 ax14

) = ax f ‘( ) = ax –


11/52


Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentukumum turunan fungsi? Cobalah nyatakan bentuk tersebutdengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Andapelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut.

Misalkan, ) = x , dengan n bilangan asli maka f '( ) = nax – 1.

Untuk = 0, x) = x menjadi ) = ax 0 = a . Fungsi x = a dinamakan fungsi konstan sehingga untuk berapa

pun nilai x, nilai fungsinya tetap, yaitu a . Turunan fungsikonstan adalah

f

a a

lim

lim lim

x x

0

ehingga rumus tersebut berlaku untuk bilangan bulat sebagaiberikut.

Misalkan, f = ax n dengan angan u at ma a = anx –1

untuk f ) = a , f '( ) = 0 dengan a sebarang bilangan real.

Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut ini.a . x) = x4 b ) = – x3

awa :a . x = x4 ma a ' = x4–1 = x

x = ma a ' = –8 3 –1 = –

Contoh .

Tentukan f x

untuk fungsi-fungsi berikut.

. x x . g x

x

Jawa :

a . f x

x x 1 x 5

b . g x x

g x x 1 1 8ma a 1

9

Conto .

Rumus ini juga berlaku untukn = –

a

a

x

x

Tunjukkanlah dengan caralimit.

antanganuntu A


12/52


2. Menentukan Turunan Fungsi f ( x ) = ax dengan n Bilangan Rasional

Misalkan, ) = turunan fungsi ) adalah

f m

lim

x x

x

0

0

x x

x

x

x x

lim x x

lim

lim x x

0

1 x

x

Dengan cara yang sama seperti di atas, coba Anda cariturunan fungsi ) = x –1/3 dan ) = –2/5

Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentukumum turunan fungsi ) = ax ? Cobalah nyatakanbentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep

turunan fungsi ) = x yang telah Anda pelajari tersebutmemperjelas kesimpulan berikut.

Misalkan, f ) = ax n , dengan bilangan rasional makaturunannya adalah f '( ) = nax n – 1.

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.

a x 4 x

x23

x 2

Contoh .11

Diketahui tinggi badan seorang anak pada usia 11 tahun sampai12 tahun adalah tetap, yaitu t ) = 120 cm. Tentukanlah la upertumbuhan (la u pertumbuhan sesaat) tinggi badan anak tersebut.elaskan.

JawabTinggi badan anak tersebut pada usia 11 tahun sampai 12 tahuntetap. Oleh karena itu, ) = 120 adalah fungsi konstan sehingga

) = 0. Dengan kata lain, laju pertumbuhan tinggi badan anaktersebut adalah nol atau tinggi badan anak tersebut pada usia

tahun sampai 12 tahun tidak mengalami perubahan.

Contoh .1


13/52


Jawa :

a . x x x

x x 3 1

14

1'

b . x x

x

13

323

2

maka

21

353

x

x

3 x x

c. x x x 3 25

23'

. urunan Fungsi Berbentuk =Diketahui, fungsi = ) dengan ) = x) + v ), dalam

hal ini x) dan v x) fungsi yang dapat diturunkan di = auntuk bilangan real. Dengan demikian,

lim

m

a a a

a

x 0

x x

u va v a a0

m u v

0

0m

a m

0

a

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentukumum turunan fungsi = ± ? Cobalah nyatakan bentuktersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunanungsi y = ± v ang telah Anda pelajari tersebut memperjelas

kesimpulan berikut.

Misalkan, a adalah bilangan real sebarang sehingga berlaku = f ' a = ' a + ' a ; untu ma a ' = ' +

Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan bahwa untuk= – maka y' = ' – '.


14/52


4. Turunan Fungsi y = c uDiketahui, fungsi = ) dengan ) = c . x), dalam

hal ini c konstanta dan ) fungsi yang dapat diturunkan di x = untu a bilangan real sehingga

f m

lim

aa

au

u

u

0

Misalkan, adalah sebarang bilangan real sehingga untuk y = = . a ) berlaku f '(a = c '(a ). Akibatnya, dari y = berlaku y' = c . '.

m a asan SoaDiketahui

) = 3 – +( ) = + –

Jika h( ) = ) – 2 ( ) maka h’( ) adalah.... Jawabh( )= ) – 2g( )

= – + –

2 ( + – 3)= – +

h’( ) = 2 –Soal UMPTN 1997

Tentukan turunan fungsi berikut.a . f ( x) = 3 x2

b . f ( x) =8

x

c. f ( x) = 3 cos x

d . f ( x) = 53 x

Jawab :a . f ( x) = 3 x2 maka f '( x) = 6 x

b . f ( x) =8 x

= –8 x –1 maka f '( x) = 8 x –2 =8

2 xc. f ( x) = 3 cos x maka f ‘( x) = –3 sin x

Contoh 8.13

Tentukan turunan fungsi berikut.a . x = x – x = sin + cos

= + xJawaa. = – 3 maka f '( ) = 3 x – 6 x

= +1 x

= x + x – a a ' = 3 – x – =

' ) = cos – s n

Contoh .12


15/52


. urunan Fungsi = uv iketahui, fungsi = x) dengan x) = u x) · v x),

dengan x) dan v ) adalah fungsi yang dapat diturunkani = a , untuk a bilangan real. Oleh karena itu

im imaa a a

0

u v

u v

a a a

a a 0

v v u va a

a a a

l

u0

v a ua

0

v vv

u ua

a a aa a

lim0

v a a''

Oleh karena itu, jika = = · v ) dengan abilangan real sebarang berlaku f '(a) = a ) · v'(a) + a) · '( a ).

ntuk y = · v, aka ' = v' + u '.m a asan Soal

Turunan dari = (1 – ) (2 + 3)adalah .... JawabMisalkan, = (1 – ) maka

‘ = 2(1 – )(–1) = –2(1 – ).Misalkan, = (2 + 3) ‘ = 2

=‘= ’ ’

= –2(1 – )(2 + 3) + (1 – ) (2)= 2(1 – )[(–2 – 3) + (1 – )]= 2(1 – )(–3 – 2)= 2(1 – )(–1)(3 + 2)= 2( – 1)(3 + 2).

Soal UMPTN 1999

Tentukan turunan fungsi berikut.a . x) = (5 – 1) (3 x – 2)b . x) = cos sin x

Jawa :a . x) = (5 – 1 3 x –

Misalkan, = – 1 maka ' = an – ma a ' =

sehingga f '( = ( . v' ( + v ( ' ( x = (5 – 1) . 3 + (3 – 2) . 10

30 2 – 20 x + 15 – 3 = 45 x2 – 20 – 3b . x) = sin x cos x

Misalkan, x x si 'un dan v x x xos ' x vsehingga f '( x u . v' ( x) + v ( x) . u' (

= sin x (– sin x + cos x . cos= cos – s n = cos x – – cos x= cos – = cos

Contoh .14

d . f ( x) = 53 x = 5 516

512

3 316 3

56 x x f x x maka '

=5

6

16

253

56 56

x x


16/52


Tentukan turunan fungsi berikut.

a. = (2 + 3 x ) . x = 3 2s n cos x

.

b. = (5 + 2 x +Jawab

a. = (2 + 3 x )Misalkan, = 2 + x maka ) = 6 sehingga = u = . = 9 2 + 3 x . = 2 + 3 x

. = (5 + 2 x + =3

12

f '( = 3(5 + 2 2 · 2 + 2 = 6(5 + 2 2 + 1

c. x x x

s n os x

12

cos

x x x

x xs n c s s c s

Conto .15

6. Turunan Fungsi = n

Diketahui y = u ) dengan ) = dan u = g x). Jikafungsi = g ) dapat diturunkan di x = a, untuk a bilanganreal maka

'( ) = lim g g

Oleh karena a bilangan real sebarang maka

g ' ) = m

g gg' ) = lim

Dengan cara yang sama, dapatkah Anda memperoleh

' ) = lim y

0

Untuk Δ mendekati nol maka Δ mendekati nol sehingga y glim ' lim

lim

x a

00

0

f lim '

lim f

y f

y x

x

x

'

lim

' '= f '( n – 1 ehingga '( = n – 1 '( .

Untuk y = maka y' = – '( x .


17/52


7. Aturan RantaiPerhatikan kembali uraian materi tentang fungsi y =

. Dari uraian tersebut, diperoleh bahwa untuk = ) =dengan u = g x) maka turunannya y' = nu – u '( ). Hasil

tersebut menggambarkan aturan rantai.

Misalkan, = f ) dan = g( ). )( ) = ( x)} = f ) = y

Jika fungsi g mempunyai turunan di x dan fungsi f mempunyai turunan di , turunan fungsi komposisi =

( x)} = f o ( ) ditentukan sebagai berikut. o )'( ) = f '( ( x)) . g'( )

atau dy dx

dy du

du dx

.

Tentukan turunan fungsi y = x 3 6 .Jawab :Misalkan, u = x 3 maka y = u6.dudx

x x

dy

duu

dydx

dydu

dudx

u

12

1

2

6

61

2

12

5

5

x x

x x

x

x

6 31

2

3 3

5

5

Contoh 8.16

. Turunan Fungsi y = uv

Diketahui, fungsi y = ) dengan = x

x, dalam hal

ini x) dan x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuka bilangan real maka


18/52


Tentukan turunan fungsi berikut.a . = cosec x

b. = tanJawa

a. = cosec x =sin x

Misalkan = 1 ma a ' = 0 dan v = sin x ma a ' = cos

v

x

xsehingga ' x =

u ' '

0 12 i i x i x

Contoh 8.17

S tus MatematikaAnda dapat mengetahuiinformasi lain tentangungsi dan Turunannya

melalui internet denganmengunjungi situs berikut.

f '(a )= lim lim f f v v

= lim

u v

v v

= m v u u u v

0

a

= lim

u u

v v

a a

a a

=

lim lim im0 0

lim

lim0

=v'' 'a

a aa a va a

a'

Oleh karena itu, jika = ) = x x

dengan sebarang bilangan

real sehingga berlaku f '( ) ='' a

v a

maka f '( x = u '' x x

.

Untuk =v

, berlaku 'v

' '.


19/52


Tentukan turunan fungsi berikut.

. = x

. = x

2

Jawab

a. Misalkan, = x – 2 maka ' = 1 dan = x + 2 maka v' = 1.) =

x x

sehingga

' =u v v x x x x

x

= x

2

Misalkan, = ( – 1) 2 + 3) maka = 3( – 1) (2 + 3) + ( –1) 3 2)= 2 x maka v’ = –4 .

)v

x

xsehingga '( =

u u' x x x x x2

3 2 3

2

x x

x

4

x x x x

x x x x3

Conto .18

m a asan Soal

Jika ) =3 2 x , maka

urunan – ( ) adalah .... Jawab

) =3 2 x

x

maka x =

– ( ) = 3 x

d

dx

x

4

Soal UMPTN 1997

b. ) = tan x =sicos

Misalkan = sin x maka ' = cos dan = cos x maka ' = – sin .

f 'cos sin os

cos

xs n xs n

os x22

1

x x sec2 x.


20/52


Tes Kompetensi Subbab Berjakanlah pada buku latihan Anda.

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.

1 = – + 1

2 ) =

=

4 ) =

5 ) = x

) =

= – + 38 = – 5)

= – + 5 3 x – 11

10 ) =

1 1

) = x

12. ) = x x

13. ) = sin + 2)

14. ) = 5 sin(3 – x

15. = sin x

16. = cos –

7. ) = tan (5 +

= tan – x

19. ) = cot(5 – 3)

0. uas permukaan kubus berusuk x cmditunjukkan oleh fungsi ( = 6 . Tentukanaju perubahan luas ( ) terhadap x untuk x =cm dengan cara menghitung ’ (7).

Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal 10m/detik. Kedudukan peluru setelah et memenu persamaan t =3 t – t engan t a a a t ngg pe uru yang u ur a am meter.

Carilah kecepatan peluru pada saat 1,5 detik.b. Kapan peluru berhenti?Jawab

DiketahuiKecepatan awal peluru = 10 m/detik.

e u u an pe uru pa a t et = = t – t . Ditanyakana. Kecepatan peluru pada saat 1,5 detik.b. Kapan peluru berhenti.

Pengerjaana. Dalam sika, kecepatan erupakan turunan dari kedudukanterhadap waktu sehingga = ' t = – .adi, kecepatan peluru pada saat t = , a a a

v 1,5 = 30 –12 1,5 = 12 m/detik.b. Peluru akan berhenti ketika kecepatannya nol sehingga t = 0

30 – 12 = 0= 2,5.

Jadi, peluru berhenti pada saat 2,5 detik.

Contoh .19


21/52


an ang dan lebar sebuah persegipan angadalah 3 + 2 dan 2 . Carilah laju perubahanluas terhadap x untuk lebar 6 cm.

22 Sebuah perusahaan memproduksi sejumlahbarang ( ) dengan biaya p x = 3 – x +

5. Jika biaya total marginal dide nisikan

sebagai p x

, tentukan biaya total marginal

untuk memproduksi barang itu. Berapa biayatotal untuk memproduksi 20 barang?

23 Pendapatan koperasi "Maju" dalam x tahun,mulai 1 anuari 2004 adalah

= 2 x

dengan a am utaan r p a .

entukan la u perubahan sesaat pa a Januari 2006.

b. Tentukan laju perubahan sesaat pada Januari 2009.

4. a . Misalkan pertumbuhan bakteri padawaktu memenu persamaan

) = 3 t .Tentukan laju pertumbuhan bakteriterse ut.

opulasi penduduk pada suatu daerahmemenuhi persamaan

= . –0

2t t Tentukan

t

C. Persamaan Garis Singgungpada KurvaTelah Anda ketahui bahwa kemiringan (gradien) garis

singgung kurva y x) di titik a , a )) adalah

f ' a lim f f

ersamaan garis lurus yang melalui titik x1, 1) dengangradien adalah

– y1 = ( – 1)

Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik A a , a )) pada kurva adalah

– a ) = '( ( – a

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut.a . x) = x di titik (–2, 4)

. y = di titik yang memiliki absis = 1 dan = .

awa :

ersamaan aris singgung pada kurva x = di titik –2, 4adalah y – = ' –2 – –2 .

) = maka f '( ) = 2 x sehingga f '(–2) = 2(–2) = –4

Jadi, persamaan aris singgung pada kurva ) = di titik(–2, 4) adalah y – 4 = –4 ( x + 2) y = –4 x – .

Conto .2


22/52


entu an persamaan aris singgung pada kurva berikut.. y = ) di titik (1, 4) ika f ' x = x +

b. y = dengan = 2 yang tegak lurus terhadap garis y = – .

Jawaba. ersamaan garis singgung pada kurva y = f ) di titik (1, 4),

menurut rumus adalah y – f 1) = f '(1) ( – 1). Diketahui 1) = 4dan f ' x = x + 6 maka f ' 1 = . + . 1 = .adi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalah

y – = x – y = x – .b. Jika g: y mx + n adalah garis singgung pada kurva y = 2 3 dan

tegak lurus terhadap garis : y = – ma a m – x = –1

m = 4.Persamaan aris singgung pada kurva y = 2 adalah y – 1) =

f '( x ) ( – ) dengan absis titik singgung pada kurva y = 2 3.Selanjutnya, nilai x ditentukan sebagai berikut.

f ' x = 6 maka f ' ) = 6

Contoh . 1

Menentukan Persamaan Garis Singgung padaKurva jika Gradien Garis Singgung Diketahui

Untuk menentukan persamaan garis singgung padakurva apabila gradien garis singgung diketahui, pelajaribeberapa contoh berikut.

m a asan oaKurva y = ( x + 2) memotongsumbu- di titik A. Persamaangaris singgung pada kurvatersebut di Aadalah .... Jawab : Aadalah titik potong kurva y = ( x + 2) terhadap sumbu- .absis x = 0

= 0 + 2 =

m = dy dx

= 2(2 x )( x + 2)

m = 2(0)(0 +2) = 0Persamaan garis singgung

– = m ( )y – 4 = 0 y =

Soal UMPTN 2001

ntuk absis x = 1.Persamaan garis singgung pada kurva x) = x adalah

y – f 1) = f '(1) ( – 1)1) dan f '(1) ditentukan sebagai berikut: = maka1 = 1 = .

' = 3 sehingga ' 1 = 3 . =

adi, persamaan garis singgung pada kurva = i titik1, 1 adalah y – 1 = 3 x – y = – .

Untuk absis x = 2.ersamaan garis singgung pada kurva x = x adalah

y – 2) = f '(2) x – 2)

2) dan f '(2 ) di tentukan sebagai ber ikut: = x ma a2 = = .

' x = x sehingga f ' 2 = =

adi, persamaan garis singgung pada kurva = 3 i titik2,8) adalah y – 8 = 12( x – 2) y = 2 x – 16.


23/52


Diketahui ' 1 = se ngga 1 = x = 1 = ± .Untuk = 2, diperoleh ( = 2 . 2 = 16. Persamaan garis

singgung yang tegak lurus terhadap garis y = – a alah y – = – y = –

Coba Anda tentukan persamaan garis singgung untuk = –2.

Tes Kompetensi Subbab CKerjakanlah pada buku latihanmu.

1. Tentukan persamaan aris singgung kurva-kurva berikut.a . x) = x2 di titik (2,4)

x = 1 – 2 i titik 2,–

c. x) = x3 + 1 di titik (–1, 0)d . x) = x2 – 3 x – 7 di = 4

2. Tentukan persamaan garis s inggungkurva y = ) pada titik yang diketahuiika gradien garis singgungnya diberikan

oleh persamaan berikut.a . f '( = 4 – 4 di (1,–2)b f '( = 2 – 6 x di (0,0)c f '( ) = 3 2 – 2 di (–1,1)d f '( ) = 3 – 3 di (2,–2)

3. a entu an persamaan gar s s nggungurva y = x – yang se a ar ar s

y = x

b. Tentukan persamaan aris singgungkurva y = – 4 + 5 yang tegak lurus

y = –2 + 3.

. Tentukan koordinat pada kurva

y= x + – agar aris singgung kur adi titik itu mempunyai gradien 7.

entu an persamaan aris singgung

kurva y = – di titik potong kurva

itu dengan sumbu- x.

. Garis y = + 1 memotong parabola y = x + + t t an Tentu an persamaan

ar s s nggung para o a tu t t anaris singgung kurva y = 2 i tit k

2,1) memotong sumbu- x di titik A dan

memo tong sumbu- y di titik . Tunjukkanbahwa koordinat titik dan adalah

(1,0) dan 0,–1).

. Fungsi Naik dan Fungsi TurunDiketahui, sebuah peluru ditembakkan ke atas dan

intasannya digambarkan sebagai kurva dari fungsi y = ,seperti pada Gambar 8.5.

eluru bergerak naik dari titik e titik B, kemudianbergerak turun dari titik ke titik C . Dikatakan disebut naik dalam daerah = x a x sebab semakin besar nilaimenyebabkan n lai fungsi semakin bertambah besar. Fungsi

se ut turun dalam daerah = x sebab semakinbesar nilai x menyebabkan ni ai fungsi semakin kecil.

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suatufungsi disebut monoton naik dan suatu fungsi disebutmonoton turun

Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri.

Gambar 8.5

y

O

A C

B

a b c


24/52


De nisi 8.

Misalkan terde nisi pada selang . Kita katakan bahwa:• monoton naik pada jika untuk setiap pasangan bilangan a

an alam , < mengakibatkan a < ;• monoton turun pa a a untu set ap pasangan angan

a dan dalam , a < b menyebabkan > b).

Sekarang amati Gambar 8.7. Titik P 1 adalah titik sebarangpada gra k yang terletak pada selang (0, a ), titik 2 adalahtitik sebarang pada gra k yang terletak pada selang ( a , b)

an titik adalah titik sebarang pada gra k yang terletakpada selang ( b, c). Apabila Anda membuat garis singgungdi 1 dan 3 yang diberi nama g1 g2, dan g seperti padaGambar 8.8 maka garis singgung g

1 memiliki gradien positif

condong ke kanan), garis singgung g2 memiliki gradiennegatif (condong ke kiri), dan garis singgung 3 memilikigradien positif (condong ke kanan).

Coba Anda jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri,mengapa g1 memiliki gradien positif, g2 memiliki gradiennegatif, dan 3 memiliki gradien positif.

Gradien garis singgung di suatu titik pada gra k dapatditentukan dengan turunan fungsi. Untuk fungsi naik danungsi turun memenuhi teorema berikut. Misalkan, fungsi

dapat diturunkan pada selang terbuka ( a , b).• Jika f '( x) > 0 untuk setiap dalam selang ( a , b) maka

ungsi naik pada selang a , b).• Jika f '( x) < 0 untuk setiap dalam selang ( a , b) maka

ungsi turun pada selang ( a , b).

Periksa naik atau turunnya fungsi-fungsi berikut.1. f ( x) = –x2 pada selang (0,1)

2. f ( x) = 10 x – x2

pada selang (0,10)Jawab :1. f ( x) = – x2 maka f '( x) = –2 x. Misalkan, p anggota (0, 1) sehingga 0 < p < 1.

f '( p) = –2 p < 0 untuk p > 0 sehingga f ( x) = x2 pada selang(0, 1) merupakan fungsi turun.

2. f ( x) = 10 x – x2 maka f '( x) = 10 – 2 x. Misalkan, p anggota (0, 10) sehingga 0 < p < 10.

f '( p) = 10 – 2 p > 0 untuk p < 5 dan f '( p) = 10 – 2 p < 0 untuk p > 5. Dengan demikian, f ( x) = 10 x – x2 pada selang (0, 10)

merupakan fungsi naik dan fungsi turun.

Contoh 8.22

Gambar 8.6

Gambar 8.7

Gambar 8.8

y

x

t u r u

n

n a i k

y

x

B

C D

P 2P 3 A

O cba

P 1

y

x

B

C D

P 2P 3

A

O cba

P 1

g2

g1g3


25/52


Periksa naik atau turunnya fungsi f ( x) = cos x pada selang-selangberikut.

a . 0 2,

b . ,32

Jawab : f ( x) = cos x maka f '( x) = –sin x.

a . f ( x) = cos x pada selang 02

,

Misalkan, p adalah anggota 02

,

sehingga 0 < p <

2.

f '( p) = –sin p < 0 untuk 0 < p <

2sehingga f ( x) = cos x

pada selang 02

, merupakan fungsi turun.

b . f ( x) = cos x pada selang ,32

.

Misalkan, p anggota ,32

sehingga π < p < 32

π .

f '( p) = –sin p > 0 untuk π < p < 32

sehingga f ( x) = cos x

pada selang ,3

2 merupakan fungsi naik.

Contoh 8.23

Tentukan pada interval (0, 2 π di mana tempat fungsi ) = cos x + π ) merupakan fungsi naik atau fungsi turun.Jawab :

f x = cos x + π , maka f ' x) = –sin ( + π .• gar ungsi x = cos + π merupa an ungs na ma a

' sehingga –sin + π > . ntu menye esa anpertidaksamaan ini, gunakan diagram tanda melalui tahapanberikut: –sin ( + π ) = 0

–sin + π ) = sin 0 x + = 0 ± k 2 π , k bilangan bulat x = – ± k 2 π Oleh karena 0, π maka nilai yang memenuhi adalah

x = π se ngga pero e iagram tanda berikut.

π ari iagram tanda tersebut interval yang menghasilkan

–sin + > a a a < x <

Contoh 8.24


26/52


adi, = cos + merupa an ungs na pa a nterva0 < < π , seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9.

• Fungsi x) = cos( x + π merupakan fungsi turun, jika f '( x) < 0sehingga f '( x) = –sin ( + π ) < 0.

engan menggunakandiagram tanda, interval yang menghasil-an –sin π < a a a π < .adi, = cos + π merupa an ungs turun pa a nterva

π < x < 2 π , seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9.

Tes Kompetensi Subbab DKerjakanlah pada buku latihan Anda.

1. Periksalah, apakah fungsi-fungsi berikutpada selang [0,1],[–1.1],[–1,0] merupakanfungsi naik atau fungsi turun.a = 3 x – +

= – += += 1 + x

e ) = – 6 + 9 x + 1f ) = 3 – 3 – 24 +

2. Periksalah, apakah fungsi-fungsi ) pada

selang [0, ], [ , π , π , ], [ , 2 π

merupakan fungsi naik atau fungsi turun.a ) = sin x

b ) = cos( –

c ) = sin ( x + )

. ) = sin ( – π . ) = cos ( + π )

) = cos 2 x

unjukkan bahwa untuk setiap bilanganreal, fungsi = 3 selalu turun.

ika f ) merupakan fungsi naik pada suatuinterval , tunjukkan bahwaa. ) + c dengan konstanta juga naik;b. x) merupakan fungsi turun.

Konsentrasi , suatu obat dalam darahpasien memenuhi persamaan

K t

t t

,

dengan t menunjukkan waktu (dalam jam)setelah pemberian obat. Tentukan interval dimana konsentrasi obat naik, dan interval dimana konsentrasi obat turun.

. Maksimum dan Minimum FungsiAnda telah mempelajari fungsi kuadrat dan gra knya di

Kelas IX. Pada pembahasan mengenai hal tersebut, Andatelah dapat menentukan titik ekstrim maksimum atau titikekstrim minimum dari fungsi kuadrat melalui proses aljabarbilangan real. Perlu diketahui bahwa proses tersebut tidakdapat dikembangkan untuk menentukan titik ekstrim fungsi-fungsi yang lebih rumit. Ternyata dengan menggunakanturunan Anda dapat menentukan titik ekstrim segala jenisfungsi yang dapat diturunkan bahkan juga yang kontinu.Agar lebih jelasnya, amati uraian berikut.

y

–1

π

π

Gambar 8.9


27/52


Gambar 8.10 memperlihatkan gra k y = x) = x2 – 2.Anda mungkin memahami bahwa fungsi = ) = x2 – 2

mempunyai nilai minimum pada x = se a = 0 =02 – 2 = –2. Turunan fungsi ) = – 2 adalah f '( x) .

Anda dapat memeriksa bahwa '( ) < 0 untuk < 0 dan f '( x) > 0untuk x > 0 serta f '(0) = 0 pada = 0. Oleh karena itu, )turun untu < dan naik untuk x 0. Bagaimana denganfungsi di = 0, apakah naik atau turun? Fungsi x) di = 0tidak turun atau naik, titik ini disebut titik stasioner .

De nisi .

Jika fungsi encapai titik ekstrim pada ( , a ) dan terdiferensialkanpada titik itu maka titik ( , a ) merupakan titik stasioner atau ' x) = 0.

Jika Anda amati gra k y = ) = – 2, tampak adanyaperubahan kemonotonan di sekitar = 0 dari turun menjadinaik.

Adanya perubahan kemonotonan dari turun menjadinaik menyebabkan adanya titik minimum sebagai tempatterjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik

x = ungs ern a m n mum, ya tu ) = 0) = –2.Sekarang, selidiki gra k y = ) = 2 – 2 pada Gambar 8.11.

Mudah diselidiki bahwa fungsi = x) = 2 – x2

mem-punyai nilai maksimum pada = 0 sebab 0) = 2 – 0 = .urunan fungsi = 2 – x2 a alah ' = – . Anda dapat

menyelidiki bahwa f '( x) > 0 untuk < 0 dan f '( x) < 0 untuk x > 0 serta f '(0) = 0 pada 0. Oleh karena itu, x) naikuntuk < , x) turun untuk > 0, dan x = 0 adalah titikstasioner. Jika Anda amati gra k = x = 2 – x , tampaadanya perubahan kemonotonan di sekitar = 0 dari naikmenjadi turun.

Adanya perubahan kemonotonan dari naik menjaditurun menyebabkan adanya titik maksimum sebagai tempatterjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik

x = 0 fungsi bernilai maksimum, yaitu ) = 0) = 2.Pembahasan dilanjutkan tentang maksimum dan mini-

mum dengan memeriksa fungsi ) = x3 dan x) = | |. Keduagra k tersebut diperlihatkan pada Gambar 8.12.

Turunan pertama fungsi x) = adalah f '( x) = 3 x2. Andaapat memeriksa bahwa ' > 0 untu dan ' =

pada x = 0. Oleh karena itu, x) naik untuk < 0 atau x > 0 dan = 0 adalah titik stasioner. Akibatnya, titik

y

x x2 x1

–2

O

f '(0) = 0

f '( x1) < 0 f '( x2) > 0

y = x 2 – 2

Gambar 8.10

Gambar 8.11

y

x x2 x1

2

O

f '(0) = 0

f '( x1) < 0 f '( x2) > 0

y = 2 – x2

(a)

y

x

y = x3

f'( x2) > 0 x2

x1

f '( x2) > 0


28/52


stasioner bukan merupakan titik ekstrim (maksimumatau minimum). Anda dapat mengamati dari Gambar8.12(a) bahwa gra k y = selalu naik di sekitar = .

• Pada gambar 8.12(b), ) = | x| = x x

x 0sehingga ' ) = –1 < 0 untu x < 0 dan ' x) = 1 > 0untuk > 0. Adapun untuk menentukan f '(0) digunakankonsep limit, yaitu sebagai berikut.

f '(0) = m m m f f x

0Dari Bab 7 tentang pengertian limit telah diterangkan

bahwa limit fungsi tersebut tidak ada.Jadi, ' 0 tidak ada atau t a ter erens a an. e

karena itu, x) turun untuk x < 0, ) naik untuk > 0, dan = u an merupa an t t stas oner se ngga pa a =fungsi bernilai minimum.

ekarang amati Gambar 8.13.Diketahui, fungsi x) terde nisi pada interval x

serta f '(b) = f '(c) = 0 .Dari Gambar 8.13. diperoleh uraian berikut.

. Untuk D = [ a , p] atau D = { | a < p},• nilai maksimum fungsi x) adalah b) sehingga

= b menyebabkan f '(b) = 0;

• nilai minimum fungsi x) adalah a ) dan =merupakan titik ujung kiri interval D .Nilai b) > ) untuk anggota f = a p sehingga

b) dinamakan nilai maksimum mutlak atau nilaimaksimum global. Oleh karena a ) < ) untuknggota D = [ , maka a ) disebut nilai minimum

mutlak tau nilai minimum global.b. Untuk D = p, d ] atau D = { | p ≤ x ≤ d ,

• nilai maksimum fungsi ) adalah d ) dan x =merupakan titik ujung kanan interval D f ;

• nilai minimum fungsi x) sama dengan c) dan= c menyebabkan f '( ) = 0.Untuk = , d ] nilai maksimum dan minimumungsi x) merupakan nilai maksimum dan inimum

global .c. Untuk D = [ a , d ] atau D = { | a ≤ x ≤ d },

nilai balik maksimum b) bukan merupakan nilaimaksimum fungsi x), tetapi dinamakan nilaimaksimum lokal atau maksimum relatif;

• nilai balik minimum c) bukan merupakan nilai

minimum fungsi ) akan tetapi dinamakan nilaiminimum lokal atau minimum relatif

Gambar 8.13

(b)

Gambar 8.12

0

y

x

f '( x2) > 0 f '( x2) < 0

f '( x) = | x|

y

x0 d c pba

f (x)


29/52


Untuk menentukan nilai minimum atau maksimum fungsi x) dalam interval tertutup, terlebih dahulu ditentukan nilai x) untuk nilai sebagai titik ujung interval domain fungsi

) dan nilai x yang me yebabkan f ' ) = 0. Kemudian,bandingkan nilai-nilai tersebut.

Tentukan nilai maksimum dan minimum ) = 2 2 – , untuk:a. = | –1 ≤ x ≤ ,

. = – ≤ x ≤ – .

awa = x ' = –

x – = x = .

x = anggota = x ≤ x ≤

4

2 ....(1)

–1 = 2 –1 –= 1 ....(2)

2) = 2 (2) 2 – 2 = 6 ....(3)

Dari (1), (2), dan (3), diperoleh 2) = 6 adalah nilai maksimum

dan merupakan nilai minimum fungsi = 2 – x

engan= – ≤ x ≤ .

. x = bukan anggota = | –6 ≤ –

– = –6 – –6 = 78 –4 = –4 – –4 = 36

Jadi, fungsi = 2 – dengan = { x | –6 ≤ ≤ –4} mempunyainilai maksimum –6) = 78 dan nilai minimum –4) = 36.

Conto .

Soal Ter uka

Arif memiliki kawat yangpanjangnya 28 cm kawat.Ia akan membuat bingkaiberbentuk persegipanjang. Tentukan ukuran bingkaiyang mungkin. Tentukan pulaukuran bingkai yang akan

memberikan luas maksimum.

elembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup denganolume 8.000 π cm . Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar

aluminium yang digunakan seminimal mungkin.

Jawab : Diketahui Volume silinder tanpa tutup yang dibuat 8.000 π m .

itanya an : Tinggi dan ari- ari alas silinder agar luas aluminiumminimal.

Contoh 8.26


30/52


(a)

(b)

Gambar 8.14(a) Selembar aluminium.

(b) Silinder yang akan dibuat.

umlah bahan bakar solar selama satu tahun yang dibutuhkanoleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jammemenuhi persamaan

Q v = v + 2 + 2.500 liter

Tentukan jumlah maksimum solar yang dibutuhkan dalam empattahun.

Jawabv = v2 + 2 + 2.500 liter

Nilai stasioner v) diperoleh jika '( ) = 0 sehingga

= v + = 0 = = 65

Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan selama satu tahun adalah

65) = 65

(65) + 2(65) + 2.500 = 2.565 liter

Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan empat tahun adalah

4 × 2.565 = 10.260 liter.

Contoh .

PengerjaanMisalkan, volume silinder = r), tinggi silinder = , jari-jari alassilinder = r , dan luas permukaan silinder = ( r).

luas alas × tinggi= π r × = . π

sehingga = 02 2r r .... 1

(r = luas alas + luas selubung = π r ² + 2 π rt ....(2)Substitusikan (1) ke (2) sehingga diperoleh

r = t 200

Nilai stasioner r diperoleh ika nilai ' ) = 0 sehingga

' ( =02

rr

.

0

1 0

0

2

2

r

r

.

.

r 20 .... 3Substitusikan (3) ke (1) sehingga diperoleh

t =00

40Jadi, tinggi silinder t = 20 cm dan jari-jari alas = 20 cm.


31/52


Tes Kompetensi Subbab EKerjakanlah pada buku latihan Anda.

Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum

fungsi-fungsi berikut untuk domain yangdiberikan.1. x = x – + x engan

. = x – ≤ x ≤ 0

. f = x ≤ ≤ c. f = { x | 3 ≤ 5}d. = { x | 5 ≤ x ≤ 7}

2. x) = 4 – dengana. = x | –1 ≤ x ≤ 0

. = x ≤ x ≤ 1. = x ≤ x 2. f = x ≤ x ≤

3. x) = ( x –2) x – 5) dengana. = { x | 0 ≤ x ≤ 2}b. = { x | 2 ≤ x 4}c. = x | 3 ≤ x ≤ 5}

. = x ≤ x ≤ . a ungs = x + px 3 dengan daerah asal

D = { x | –1 ≤ ≤ 1} mencapai nilai minimum

relatif di = 1, tentukan nilai f 1) dan .5. Jumlah dua bilangan bulat sama dengan 8.

Tentukan bilangan-bilangan tersebut agar jumlah kuadratnya minimum.

. Menurut Departemen Riset sebuahperusahaan, biaya produksi x un t arang

jenis A sebesar 2 x – 4.000 + 6.000.000rupiah per hari. Jika barang diproduksi,tentukan jumlah unit per hari yang harusdiproduksi agar biaya produksi per unitnya

minimum.. Dari selembar seng berbentuk persegi-

pan ang, akan dibuat talang air. Ke uatepinya dilipat selebar x, seperti pada gambardi samping. Jika lebar seng tersebut 40 cm,

a. tunjukkan bahwa luas penampang

talang adalah ) = 40 x – 2 x2;. tentukan ukuran penampang x =

4 x – x .

. uas sebuah uring lingkaran yang ber ari-ari r a a a cm

a. Tunjukkan bahwa kelilingnya adalah

r) cm dengan = r

. entukan nilai minimum K

9. Suatu perusahaan membuat kalengberbentuk tabung tertutup dengan volume

. Upah buruh ( c) berbanding langsungdengan panjang bagian yang dipatri, yaituumlah tinggi kaleng dengan dua kalieliling alas kaleng.. Jika tinggi kaleng dan jari-jari alas r ,

uktikan ahwa =r

r2 4

dengan k = konstanta .

b. Buktikan bahwa upah buruhpaling murah ika tinggi kaleng samadengan keliling alasnya.

10. ata-rata pertumbuhan suatu bakterisetelah menit diberikan oleh persamaan

t ) = 1000 + 30 t – t 3, 0 t entukan kapan pertumbuhan bakteri

ersebut. menurun,

b. meningkat, dan

. mencapai maksimum.11. Setelah satu jam miligram obat ter-

entu diberikan kepada seseorang, peru-bahan temperatur (dinyatakan dalamFahrenheit) dalam tubuhnya diberikanoleh persamaan

x) = x x , 0 ≤ ≤ 6

ata-rata perubahan x) bersesuaianengan ukuran dos is . x) disebut

sensitivitas tubuh terhadap dosis obat.


32/52


. Kapan sensitivitas tubuh meningkatb. Kapan sensitivitas tubuh menurun?c. Berapakah nilai maksimum sensitivitas

ubuh?

12. Kecepatan suatu reaksi kimia yangbergantung pada umlahnya memenuhipersamaan v = – x ), dengan

dalah konstanta. Tentukan umlah zatersebut agar kecepatan reaksi minimum.

13. ika impedansi suatu rangkaian listrik

memenuhi persamaan = 2 x x ,

entu an C agar m n mum. eta u : R 1.500 dan = 1.000 )

F. Turunan KeduaAnda telah mempelajari turunan pertama fungsi yang

dinotasikan dengan

dy x

atau y' atau df dx

atau f '( x)

Fungsi turunan dari turunan pertama dinamakan fungsiturunan kedua yang dinotasikan dengan

x y

dxd ydx

atau ditulis "

x f

dxd f dx

atau ditulis f "

urunan kedua fungsi x

d y dx

atau " atau d f dx

atau f "( )

Tentukan turunan kedua untuk fungsi berikut.a . = – 5 x . x = sin x

Jawab: x4 – x

f ‘( x 8 x3 – 5

f “( x 24 x2

Turunan kedua fungsi = 2 – 5 x adalah f'' = 24 x².b . = sin

f '(12 sin + x cos = x

sin x + x cos x

Contoh .28


33/52


f "( 3

x sin x + 2 cos = 2 cos – sin

1sin +

1cos x sin x

urunan kedua dari x = x s n x a a a

f "( =1

x xsin x +

xcos – x sin x.

Sebuah benda yang bergerak lurus pada lintasan ( s memenuhipersamaan t – 6 + 30 . Dalam hal ini, s dalam meter dan dalamdetik.

a. Hitunglah panjang lintasan pada saat 3 dan t = 5.. entukan kecepatan dan percepatan benda setelah = 4 detik.

Hitunglah la u pada waktu percepatannya nol.

Jawab:a. Pada saat t= 3, panjang lintasannya adalah

s(3) = 33 – 6 2 + 30 3 = 63 meterPada saat t = 5, panjang lintasannya adalahs(5) 5³– 6 ² + =125 meter

. s = t + t

Kecepatan v =s

t = – 1 +

Kecepatan pada t = 4 sekon adalah v 4) 3 – 4 + 3030 m/detik

ecepatan a = st

vt 2

= 6 t – 12

Percepatan pada t = 4 sekon adalah a 4 6 –= 12 m/detik

. a = 0 maka – = tv t = t ² – t + , untu = ma a 2 = – +

= 18 m/detik

Contoh 8.29

Teorema L’ HopitaJika x = a disubstitusikan ke bentuk lim

f

g

x

xdiperoleh

bentuk tak tentu a au ∞

, Anda dapat menggunakan

eorema L' Hopital. Teorema ini dikemukakan kali pertamaoleh Marquis L' Hopital seorang matematikawan Prancis1661–1704 M).


34/52


Tentukan limit fungsi berikut.

a . m x

b. imcos

x x xs n0 x

Jawab:

a . Jika dengan menggunakan substitusi langsung, diperoleh

lim x x

2

2 x (bentuk tak tentu)

engan teorema L' Hopital , diperolehlim lim

x2

2

x x1

= 2(2) – 4 = 0.

b . Jika menggunakan substitusi langsung diperoleh

mcos os

x xs0 .s nbentuk tak tentu)

mcos

s n x xs x cos0s n

imos

os x xoss n0

1cos

cos c s.

= –

Conto .

De nisi 8.

Jika im x a

x m x , serta im x a

' xda, baik terhingga

tau tak hingga maka lim lim' x a

f 'g xa

x x x

Perluasan teorema L'Hopital adalah

lim lim'

lim f f ' f x'' x x

f

''lim

'''

(Proses berakhir jika hasil akhir tidak berbentuk ).


35/52


Tes Kompetensi Subbab FKerjakanlah pada buku latihan Anda.

1. Tentukan turunan kedua dari fungsi aljabar

berikut.a . f ( x) = x5 + 7 x3 + 2 x2 + 12 x + 8b . f ( x) = 2 x + 5 x2 – 3 x

c. f ( x) = 6 x4 + 122

3 x x

d. f ( x) =2

44

x e. f ( x) = (3 x – 4) 10

f . f ( x) = ( x2 + 5)(2 x³ – 3 x + 9)

g. f ( x) =5

h. f ( x) = x

x

2. Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsiberikut.a . f ( x) = tan xb. f ( x) = sin 3 xc. f ( x) = cos x d . f ( x) = x – cos xe. f ( x) = sin x – cos xf . f ( x) = tan x2

g. f ( x) = sin x cos xh . f ( x) = sin 2 2 x

3. Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsiberikut.a . f ( x) = x3 – 3 x + 2b . f ( x) = x3 (1+ x)

c. f ( x) = (1 – x)(1+ x)3

d. f ( x) = sin 2 x, 0 ≤ x ≤ 2 π

e. f ( x) = sin2

x , 0 ≤ x ≤ 2 π

f . f ( x) = tan 2 x, 0 ≤ x ≤ 2 πg. f ( x) = x cos x, 0 ≤ x ≤ 2 πh. f ( x) = x tan x, 0 ≤ x ≤ 2 π

4. Kerjakan soal-soal berikut.

a . Jika f ( x) = , hitunglah f ''(3)

b . Jika f ( x) = 3 , hitunglah f ''(1)

c. Jika f ( x) = , hitunglah f ''(2)

d . Jika f ( x) = ( x2 + 1) 3, hitunglah f ''(4)

e. Jika f ( x) = x x ,hitunglah f ''(1)

f . Jika f ( x) = 64 hitunglah f ''(1)g. Jika f ( x) = cos x – sin x , hitunglah

f ''

h. Jika f ( x) = x cos x, hitunglah f ''

5. Sebuah mobil bergerak lurus. Setelahbergerak t sekon, perpindahannya dinyata-kan dengan rumus s(t ) = 25 t + 10 t 2, s(t )dalam meter. Berapa m s2 percepatanmobil itu?


36/52


G. Nilai Stasioner

1. Pengertian Nilai Stasioner FungsiGambar 8.16 merupakan gra k fungsi x) = –( – 1) + 4.

Turunan pertama dari fungsi x) = –( x – 1) 2 + 4 adalah'( x) = –2( x – . ntu x = , pero e '(1) = –2(1 – 1) = 0.

Oleh karena nilai f '(1) = 0 maka fungsi ) –( – 1) 2 + 4mencapai nilai stasioner di x = 1 dengan nilai stasioner

1) = –(1 – 1) + 4 = 4. Selanjutnya, titik (1, 4) disebut titikstasioner.

Dari contoh di atas dapatkah Anda menduga pengertiannilai stasioner ungsi? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Andasendiri. Konsep nilai stasioner ungsi yang telah Anda pelajari

tersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut.Amati f "( ) > 0 untuk < 0, dikatakan cekung ke atas pada

x < 0, f "( ) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan cekung ke bawahpada 0 < < 2, dan " x) > 0 pada > 2, dikatakan ce ung etas pada x > 2.

Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungandari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik0, 0) merupa an titik belok gra k fungsi pa a t t ,

merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)?

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertiannilai stasioner fungsi? Cobalah nyatakan pengertian nilai stasionerfungsi dengan kata-kata Anda sendiri.

De nisi .4

iketahui ungsi y = ) k on tinu dan da pa t ditu run ka ndiferentiable di x Fungsi y = x) memiliki nilai stasioner

jika '( ) = 0 dan titik ( , c)) disebut titik stasioner.

entu an nilai stasioner ungsi = 3 – x + .

2. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk fungsi) = + 4 x2 – 3 x + 2.

Jawab:

1. ) = 3 – 6 x + 5 '( x) =6 – 6

Nilai stasioner diperoleh jika ' ) = 0 sehingga ' x) =

– =

= 1.

Contoh .31

y

0 1 2 3

1

2

3

4 (1,4) f ( x) = – ( x – 1) 2 + 4

x

Gambar 8.16

x


37/52


1 = 3.1 – 6. 1 + 5 = 2

Jadi, ilai stasioner x = 3 x – 6 + 5 adalah 1) = 22. ) = + 4 2 – 3 + 2

f '( = 3 + 8 x – 3

untuk f ' =+ x – =

– + =

x =1

atau x = –

f ' = 0 dan f '(–3) = 0

sehingga untuk x = diperoleh

f 1 1

3 2

untuk x = –3 diperoleh –3) = (–3) 3 + 4 (3) 2 – 3.3 + 2 = 2

Jadi, nilai stasioner = + – x + 2 adalahdan –3 = .

Titik1

, dan (–3, 2) dinamakan titik stasioner.

Untuk menentukan jenis stasioner, pelajari interval f '( disamping.

Untuk mengetahui nilai f '( ) pada selang x < –3, –3 < < dan

x , substitusikan nilai x untuk selang interval tersebut pada

' x) sehingga diperoleh• ntu = – , f '(–4) = 13 > 0 sehingga aik untuk

< – ;• ntuk x = 0, f '(0) = –3 < 0 sehingga ) turun untuk interval

–3 < x < ;

• untu x = , '(1) = 8 > 0 sehingga aik untuk >

Jadi, nilai f '( ) dapat digambarkan pada selang interval disamping.Dari gambar untuk selang interval tersebut• titik (–3, 2) adalah titik maksimum,

• itik7

adalah titik minimum.

f '( x) > 0 f '( x) < 0 f '( x) > 0

–3 13

(3, 2)

( )1

11327

f '( x

–3

3


38/52


. Menentukan Nilai Stasioner SuatuFungsiAnda telah mempelajari cara menentukan ilai stasioner

dengan uji tanda turunan pertama. Misalkan, fungsi ) = x – 3 x dengan f '( ) = 3 2 – x. Untuk f '( ) = 0 diperoleh titik-titik stasioner (0, 0) dan (2, –4), dengan (0, 0) dinamakan titikbalik maksimum lokal, sedangkan (2, –4) dinamakan titik balikminimum lokal. Sekarang, pelajarilah cara menentukan nilaistasioner suatu fungsi dan penerapannya menggunakan turunankedua.

engan mengguna an turunan kedua enis titik stasionerdapat ditentukan sebagai berikut.• Jika f "(c) < 0, c) adalah nilai maksimum lokal fungsi )

dan titik ( c c)) dalah titik balik maksimum lokal gra kungsi .

• Jika f "(c) > 0, c) adalah nilai minimum lokal fungsi )dan titik ( c, c)) dalah titik balik minimum lokal gra kfungsi .

• Jika " ) = 0 atau tidak mempunyai turunan kedua, enisnilai stasioner dilakukan dengan menggunakan uji turunan

pertama .

Tentukan jenis nilai stasioner fungsi f ( x) = x3 – 6 x2 + 9 x + 1 dan f ( x)= x4 – 4 x3 dengan menggunakan uji turunan kedua.

Jawab:• Untuk fungsi f ( x) = x3 – 6 x2 + 9 x + 1 f '( x) = 3 x2 – 12 x + 9 = 3( x – 1) ( x – 3) f "( x) = 6 x – 12 Nilai stasioner diperoleh untuk f '( x) = 0, yaitu 3( x – 1) ( x – 3) = 0 x = 1 atau x = 3 Nilai stasionernya adalah x = 1 atau x = 3 untuk x = 1, f "(1) = –6 < 0, sedangkan untuk x = 3, f "(3) = 6 > 0 sehingga f (1) adalah nilai maksimum lokal fungsi f ( x), yaitu f (1) = 5 f (3) adalah nilai minimum lokal fungsi f ( x), yaitu f (3) = 1• Untuk fungsi f ( x) = x4 – 4 x3

f '( x) = 4 x3 – 12 x2 = 4 x2 ( x – 3) f "( x) = 12 x2 – 24 x Nilai stasioner diperoleh untuk f '( x) = 0, yaitu x = 0 atau x = 3 untuk x = 0, f "(0) = 0 dan untuk x = 3, f "(3) = 36 > 0 sehingga

Contoh .


39/52


Tes Kompetensi Subbab GKer akanlah pada buku lat han Anda.

. entu an nilai stasioner, titik stasioner, danenisnya untuk ungsi- ungsi berikut.

a . f =1

x +

. f = x + x

. f = + x +

= 1 –e. f ) = 3 x + 4 xf . f ) = ( ² – 3 x – 4) 2

2. Tentukan nilai p jika ungsi- ungsi berikutmencapai stasioner untuk nilai x yangdiberikan.

. = – p x + , x = = x + x – , = -

c. f ) = ( – 2) –1, x = 2

d. f ) = – x, x = 1

. f x = px – x + , x = – f x = px – x = –

g. f = px – 4 x + 2, = 1

. =2

2

x , =

. entu an f ' x serta nilai stasioner dan

enisnya untuk ungsi- ungsi berikut ika≤ x ≤ π .a . f x = 2sin – x

=

f x = sin – cos x. f x = cos x. f = 2 sin 2

f x = – cos

entukan nilai maksimum dan minimum

okal ungsi- ungsi berikut, menggunakanu i turunan kedua.

Sekarang, amati diagram di samping.Amati f "( > 0 untuk < 0, dikatakan cekung ke ataspada x < 0, f "( ) < 0 untuk 0 < < 2, dikatakan cekung kebawah pada 0 < < 2, dan f "( ) > 0 pada > 2, dikatakan f cekung ke atas pada > 2.

Di sekitar x = t t , ter a peru a an ece ungandari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik(0, 0) merupakan titik belok gra k fungsi Apakah titik (2,0) merupakan itik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)?

Dari contoh tersebut dapatkah Anda menduga caramenentukan ilai stasioner suatu ungsi? Cobalah nyatakandengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Andapelajari tersebut membawa kita pada de nisi berikut.

De nisi .

ce ung e atas pa a a ] ika "( x) > 0 dan ce ung e awa jika f "( ) 0. Perubahan kecekungan disebut titik belok.

f '( ) < 0 f '( < 0 f '( ) > 0

0 f ( x

f (3) adalah nilai minimum lokal fungsi f ( x), yaitu f (3) = –27. Untuk x = 0 dengan f "(0) = 0 jenis nilai stasioner ditentukan

dengan uji turunan pertama.


40/52


H. Menggambar Gra k FungsiAljabarDi Kelas X, Anda telah mempela ari bagaimana

menggambar gra k fungsi = x2 + bx +c dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Menentukan titik potong gra k y = x + bx +c dengansum u- x.

. Menentukan titik potong gra k y = x + bx +c dengansum u- y.

3. Menentukan koordinat titik balik fungsi.4. Menentukan persamaan sumbu simetri ungsi.

Langkah-langkah tersebut mudah dilakukan untukmenggambar ungsi parabola = x + x +c. kan tetapiuntuk ungsi yang lebih kompleks, Anda tidak menggunakancara tersebut.

Sekarang, Anda akan mempelajari cara lain untukmenggambar grafik ungsi, yaitu dengan menggunakanturunan. Titik stasioner dan jenisnya adalah alat yang ampuhuntuk menggambar gra k ungsi tersebut khususnya untukmengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciri-cirigra k. Untuk memudahkan penge aan, er ut n a a alangkah-langkah yang harus dilakukan.

angkah : engana isis x. Menentukan daerah asal ungsi ).

b. Menentukan daerah nilai ungsi pada u ung intervaldaerah asal.

= – x + +b. f ) = – 9 x + 24 – 10c. f ) = 3 x –d . f ) = 2 x – xe. = – x + 5. = x –ebuah perusahaan komputer mengadakan

penelitian pasar untuk produk barunya.Mereka memperoleh suatu kesimpulanbahwa hubungan antara harga h (juta perunit) dan permintaan x (unit per minggu)memenuhi persamaan

= . – , , 0 < x < .

Dengan demikian, penghasilan pada akhirminggu dapat ditentukan dengan pendekatanrumus

R x = 1.296 – , x

entukan nilai maksimum dan minimumokal fungsi tersebut.

. Misalkan, persamaan biaya produksi

perusahaan pada soal nomor 6 adalah x = 830 + 306 x.. entukan persamaan yang menyatakan

euntungan perusahaan tersebut.b. Tentukan nilai maksimum dan mini-

mum lokal dari ungsi keuntungantadi.

etunjuk: euntungan diperoleh dari pen-apat n i urangi iaya pro u si.


41/52


Buatlah sketsa gra k fungsi ) = 3 + 3 x .Jawab:

Langkah : MenganalisisFungsi = x + 2 terde nisi untuk semua bilangan real.Jadi, daerah asal ) adalah { x | R .

b Daerah nilai ) = ) | x) }.Titik potong dengan sumbu koordinat.

t potong engan sum u-itik potong dengan sumbu- y diperoleh untuk = 0) = 3 + 3 2

0 =ungsi ) memotong sumbu- y di y = 0.

• itik potong dengan sumbu- xitik potong dengan sumbu- x diperoleh untuk = 0.

) = 3 + 2= ) + 3 x = 0

2 ( x + 3) = 0= atau = –ungsi ) memotong sumbu- x di x = 0 atau x = –3.

Langkah : Menganalisis f '( )) = x + 3 x

f ' = 3 x +

Contoh .3

c. Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat.Titik po ong dengan sum u- (diperoleh untuk y =tau x) = 0).

Titik o ong engan sum u- y (diperoleh untuk x =tau f 0)).

angkah : Menganalisis f 'a. Menentukan titik stasioner.b. Menentukan interval di mana ungsi naik atau urun.c. Menentukan titik balik maksimum dan minimum lokal

( ika ada).d. Menentukan titik belok ungsi.

angkah 3: Membuat sketsa gra k a. Menyajikan titik-titik yang iperoleh pada langkah 1 dan

pada bidang Cartesius.b. Membuat sketsa gra k dengan enghubungkan titik-titik

tersebut.

Ha ent ng


42/52


a. Titik stasioner diperoleh untuk f '( ) = 0. f '( ) = 0 3 2 + 6 x = 0

x + = x = atau x = –Titik stasioner diperoleh dengan menyubstitusikan = 0dan = –2 pada fungsi ) = 3 + 3 2 sehingga diperoleh

0) = 0 dan –2) = 4Jadi, (0, 0) dan (–2,4) adalah titik-titik stasioner.

b Interval ungsi naik diperoleh jika f '( ) > 0 dan intervalfungsi turun diperoleh jika f '( ) < 0. Interval-intervaltersebut diperoleh dengan menentukan nilai-nilai x yangdisubstitusikan pada fungsi . u st tus an = – untu

x < –2, = –1 untuk –2 < < 0 dan x = 1 untuk x > 0

pada fungsi f '( ) = 3 2 + 6 sehingga diperoleh ' –3 = 9 > 0, ' –1 = –3

f '(1) = 9 > 0yang dapat digambarkan sebagai diagram di samping.

f '( ) f '(–3) = 9 f '(–1) = –3 f '(1) = 9ari diagram tanda tersebut diperoleh interval berikut.

• Interval fungsi naik pada x < –2 dan > 0.• Interval fungsi turun pada –2 < x < 0.

. Titik balik maksimum dan minimum lokal dapat ditentukandari iagram tanda.• Pada x = –2, ) berubah dari fungsi aik menjadi

fungsi turun sehingga x = –2 adalah titik balikmaksimum lokal.

= + x –2 =Titik (–2, 4) adalah titik balik maksimum lokal.

• Pada x = 0, ) berubah dari fungsi turun menjadifungsi naik sehingga x = 0 adalah titik balik minimumlokal ) = + 3 x 0) = 0Titik (0, 0) adalah titik balik minimum lokal.

Langkah 3: Membuat sketsa gra k Hasil s etsa gra tampa pada Gambar .17.

positif negatif positif

–2 0

f )

Gambar 8.17

titik balikmaksimum lokal

titik balikminimum lokal

t u r u

n n a

x1 3 –1

–2 –1

–2

–3

y

0


43/52


Tes Kompetensi Subbab HKerjakanlah pada buku latihan Anda.

Buatlah sketsa gra k fungsi berikut.

1. x) = x3 – x2 – 14 + 11

) = x3 – 6 2 9 + 1

f ) = 5 – x + 14 3 + 6 2 – 45 – 3

• Beberapa turunan fungsi aljabar

a. f ( x) = k ; k adalah konstanta f ' ( x) = 0 b. f ( x) = x f ' ( x) = 1

c. f ( x) = xn; n R f ' ( x) = n · xn – 1• Beberapa turunan fungsi trigonometri

a. f ( x) = sin x f ' ( x) = cos x b. f ( x) = cos x f ' ( x) = –sin x c. f ( x) = tan x f ' ( x) = sec 2 xSekarang, lanjutkanlah rangkuman diatas.

Rangkuman

Setelah Anda mempelajari Bab 8 ,

1. coba Anda tuliskan bagian-bagian dari bab ini yang telahdipahamai,

2. tuliskan pula hal-hal yang masih sulit untuk dipahami di bukulatihan Anda.

Re eksi


44/52


es Kompetensi Bab 8

A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.

1. ika = ma a ' 2 = ....

b . e.

c.

2. eta u x =s

sin

x

xcos. Nilai

adalah ....

. e.

.

3. x

x x

32 1

= ....

. x + 2 2

b. 3 x – x2

2

1

x c. x +

2

x 2 12

e. x 2

4. Titik balik maksimum kurva y = x3 – 2+ x adalah ....a . (–3 , –36) d . (3 , –18)

–1 , – 3 , 0)

c. (1 , )

. Ditentukan x =1 x

an f adalah

turunan kedua dari . Nilai dari " –2adalah ....

a . d .

. e.

c.

6. Turunan pertama ) = (2 – 1) cos (3 x + 1)adalah ....a . 2 x – 1) sin (3 x + 1) + 2cos (3 x + 1)b . 2 x – 1) cos (3 + 1) – 2 sin (3 + 1)c. sin 3 x + 1) + 2(6 – cos x +

. cos 3 x + + – s n +cos 3 + – – s n +

7. Turunan pertama fungsi f( x) = cos 4 – 2)adalah ....

a . 5 cos4

4 – 2) sin (4 – 2). –5 cos x – 2) sin (4 –c. – 0 cos – s n –

. 0 cos x – s n – –10 cos ( x – s n x –

8. Pada daerah asal 0 < < 2, gra k ungsi y = 3 – 2 x2 + 1 bersifat ....a . selalu naik

. selalu turunc. aik, lalu turun

urun, lalu naike. urun naik berulang-ulang

9. Luas semua sisi balok 96 cm . Jika alasnyaberbentuk persegi, paling besar balok itudapat dibuat dengan volume ... cm .a . 0

.4

e. 0


45/52


Diketahui luas lingkaran merupakan ungsidari keliling ya. Jika keliling sebuahlingkaran adalah , laju perubahan luaslingkaran terhadap kelilingnya adalah ....

. x .

. π e. x

c. x

urunan pertama ungsi x) = cos (5 – 4 )adalah ....a . –12 cos (5 – 4 ) sin (5 – 4 x)b . 2 cos (5 – 4 x) sin (5 – 4 xc. 2 sin 2 (5 – 4 ) sin (5 – 4

d . –6 sin (5 – 4 x) sin (10 – 8e. 6 cos (5 – 4 x) sin (10 – x

. Nilai maksimum dari f x = x – +pada interval –1 ≤ 3 adalah ....a . 6 d .b . e.c.

13. = x – + + 6 naik pada interval ....

a . – < x < –

. < <

c. < – atau x >

. < atau x >

e. < – atau x >

. ilai maksimum dari = x – – 4dalam interval –3 < < a a a ....a . –160 d. –99b. –155 e. –11c. –131

15. Turunan pertama dari f( x) =

3

2 ,

untu = –3 adalah ..... ,0000 4 . 0,0

,000 4 , 4c. ,0024

urunan ari y = – x + a a a ....a . 1 – (3 + 2)b . – 1) (3 + 2). 2(1 + ) (3 x + 2). x – x +. 2 1 – 3 x +

17. x = x – + 5 – urun dalam

interval ....a . –5 < < – 1

. < –. <. < <

< atau >18. Kurva y = x – 6 x + 9 + 1 turun pada

interval ....a . ≤ atau x ≤ 3

. – ≤ ≤ atau ≤ ≤ 6. < <. ≤ x ≤

– ≤ x ≤

19 . Nilai minimum relatif

x) = x3 – x2 – 3 + 4 adalah ....

a . –5

b. –2

.

.

. a x = sisi

xcos x

an sin x ma a

' ....

a . –. –

..


46/52


. awablah dengan singkat, tepat, dan jelas.

1. Gunakan konsep limit untuk menentukanturunan ungsi- ungsi berikut.

x = s n

x = cos 1– xc. x) = tan xd. x) = 2 x4 –e. x) = 5 x3 – 5f . x) = 2 x – 2 x

2. Sebuah peluru ditembakkan vertikal keatas dengan kecepatan awal 10 m/detik.Kedudukan peluru setela t et meme-nuhi persamaan t ) = 6 – t engan

t ) adalah tinggi peluru yang diukur

dalam meter.a . entukan kecepatan peluru pada saat

3,5 detik.. Kapan peluru berhenti?

3. Diketahui f = x x x

x x

Buktikan bahwa f ‘( ) = .

. entukan interval yang membuat fungsi-ungsi berikut merupakan ungsi naik atauungsi turun.

x = 5 + x –b . x) = 2 x – 8 x + 9. x) = 9 + 3 x – 4 2

. x) = 3 – 1 x + 1 x –. x = – x + 6 x – x3

x = – x + 1 x –

ebuah kotak tanpa tutup, alasnyaberbentuk persegi dengan sisi x cm,

olumenya 32 cm 3. Jika kotak tersebuterbuat dari karton,

a . tunjukkan bahwa luas karton yangdiperlukan untuk membuat kotak itu

( x) = x +1

;

. tentukan ukuran kotak agar karton yangiguna an sesedikit mungkin.


47/52


A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.

1. Jika ) = sin x maka f –1 4

= ....

a. 52 d. 0,71. e. 0,5

c. , 0

. J ka x = – an g = 3ma a g 2 = ....

a. 27 d. 31b. 9 e. 33

c. 33. Jika = – 6 dan p a ) = 0 maka a = ....

a. –6 d.

b. 2 e. –

c.

4 Jika g ) = x2

xma a g ) = ....

6 6

.6

e.3

c.6

3

. Jika g x = 3 + 2 dan g = maka2 = ....

c. 06. Jika f ) = 2 2 – x maka

2 –1) – 4 ) + = ....a. – . + x –

. x + e. + x ++

7. Jika h x) = f (g ), f ) = 4 – dang x = 2 + maka h-1 x = ....

a. x d.

. e. x

c. x

8. Invers dari y = log x dalah ..... y = x . y =

y = +

c. y = kx9. Diketahui ) = + 1 dan o g) ( = 3 + 4

maka nilai g(4) = ....a. 15 d. 52

. 1 e. 57.

10. Jika y f x) = x + 3, z y +

w = f z ) = z + maka fungsi komposisi

dari ke w dalah ....

a. 42) d. 4 18)

b. 2 + 7) e. (6 18)

c. 3 = 21)

. m x2

x x = ....

. – .

. –c.

m x

x

2

2= ....

a. d.

b. e. –

c.

Tes Kompetensi


48/52


13 Jika lim f x) = 2 dan im3

g( ) = –4

maka m x3

x ....

a –

b – e

14 Diketahui f ) = x

3

ika maka

nilai im x 3

g ) = ....

. . 1

b e. 8c 2

limcos

x 0 = ....

. – .b –1 e.c

16 limsi

x

x0

s n = ....

a. –2 d. – e.

c

17 Jika f ) =ax

maka f '(–1) = ....

ba

a

b a

e – 2 a

a

Jarak suatu titik dari suatu posisi untusetiap waktu dirumuskan s t = A sin t ,

A > 0. Kecepatan terbesar diperoleh padawaktu = ....a , = , , ,...

, = 1, 3, 5,..., = , , ,...

. k , k = , , , ...

. , = , , , ...

19. ika f x =2

2 maka '(1) = ....

a. – .

b. – .

.

0. ilai maksimum dari = x – 6 2 9 padainterval –1 ≤ x ≤ 3 adalah ....

a. 6 .. .

ika f x = ma a f x

= ....

a.

2 x

b. 4

2 x

. 2 x

. 4

2 x

. 4

2 x

. urunan pertama ungs = cos –dalah ....

a. –12 cos (5 – 4 ) sin (5 – 4

b. cos 5 – 4 ) sin (5 – 4 x. 2 cos 2 (5 – 4 ) sin (5 – 4. – 6 sin (5 – 4 sin (10 – 8. cos (5 – 4 sin 10 –

3. ika f x) = x

2

maka ‘(4) = ....

a.

b.


49/52

241 Tes Kompetensi Semester 2

c

d 1

e15

24 Nilai maksimum dari

= – +

dalam interval –2 ≤ x ≤ 4 dalah ....a 3 d

e c

25 Jika f ) = x

2

2maka f '( ) = ....

a

2 2

c

d 2

e

26 Jika f ) = sin maka '( ) = ....

a sin + cosb sin – cos

c s ncos

x x

d sin cos xe s n 1 – cos x

J ka = – a ala ' = .... – 4

b 0(2 – 4 )

c 2 – 4 4

d – (2 – 4 4

e –20(2 – 4 ) 4

8. Jika f x = – cos x + sin x maka f x

= ....

a . s n x + cos. s n x – cos

sicos

x

sin x. sin

9. urunan pertama dari f ( = 5 sin cosdalah ....

a. sin 2. cos 2 sin x cos x sin x cos x

. sin 2 cos0. ungsi f yang dirumuskan dengan

x) = 5 + 3 x + x turun pada interval ....

a. –1

x < 3

b. –3 < <1

. < – atau >1

. < –1

atau >

. <1

atau x > 3

1. Jika f x = – cos x maka '( x = ....a. sin x . 2 sin 2

b. sin . sin x. s n x

. uku anyak x = – x + px +abis dibagi ( x – . a ag engan

+ 3)( x + 1), sisanya adalah ....

a. 6 + 24 . 4 – 16b. 6 – 24 . –24 + 16. + 16

3. uatu suku anyak ) dibagi oleh ( x – 1s sanya – an a ag o e –s sanya . sa pem ag an su u anya

leh ( x – 3 x + 2) adalah ....a. 2 + 23 . 3 x – 12b. 2 – 23 . –23 x + 12. 2 x +


50/52



1. Diketahui g ) = x dan [( ° g)] –

. Tentukan nilai:

a . 0

–2

2. Tentukan hasil bagi dan sisa suku banyak3 x3 + 10 – 8 + 3 dibagi x2 + 3 – 1.

3. Tentukan jenis ilai stasioner fungsi-fungsi berikut, menggunakan uji turunan

edua.

= x – x +b . f ) = 2 x – 3 x + 12 – 5c. f ) = 3 – 18 x2 + 10 – 11d. f ) = 4 – 8 x2 + 10e. f ) = – 4 x + 1 – 5f . = 7 + 3 + x

. Misalkan, = = 2 t + merupa anpersamaan posisi mobil. Kecepatan mobilpada saat t = 1 jam dapat diperoleh darilimit kecepatan rata-rata dalam selang t = 1

sampai t = 1 + Δ dengan mengambilΔ t 0. Pernyataan ini dapat ditulis sebagaiberikut.

V

st

f t f

t t t t

1 0 0

1 1lim lim

Tentukan kecepatan mobil pada saat t = 1.5. Dengan menggunakan konsep limit,

tentukan gradien singgung pada kurvaberikut.a . f ( x) = 5 x2 di titik x = –2b. f ( x) = x2 + x – 5 di titik x = –1

c. f ( x) =1

2 xdi titik x = –2

d. f ( x) = x x di titik x = 4

6. H i tung lah limh

f x h f xh

0

untuk

fungsi berikut.

a . f ( x) = 2cos( x – π )b . f ( x) = –cos x – π c. f ( x) = 2tan 3 x

7 . Buatlah sketsa gra k fungsi berikut

f ( x) = x4 – 3 x3 – 9 x2 + 23 x + 8


51/52

243 Tes Kompetensi Akhir Tahun

1. Sebuah dadu dilempar satu kali. Peluangmuncul mata dadu bilangan prima atau matadadu bilangan 4 adalah ....

a d

e

c

Jika titik –5, ) terletak pada lingkaran

x + y + 2 – 5 y –21 = 0, maka nilaiadalah ....a –1 atau –2 d 0 atau 3

atau e atau –6c –1 atau

gar garis y = + meny nggung ng aran x y = 25, maka nilai a a a ....

. .

b. e.

.

. itik pusat lingkaran x + y ax + y + =terletak pada ar s x + y = 0 di kuadrankeempat. Jika jari-jari lingkaran itu samadengan 1 maka nilai a dan berturut-turutadalah ....a . –6 dan 4 . 3 dan –2

. dan 4 e. –3 an. dan –4

alah satu koordinat fokus5 x + 4 y – 20 x + 8 y + 4 = 0 adalah ....a . 1, –1) d . 2, –2)b . 2, –1) e. –2, 1)c. 3, –1

6. Persamaan lingkaran yang menyinggung x – y + = an y – 17 = 0 sertamelalui titik 6, –1 adalah ....

a .

8 5002 2

Tes Kompetensi A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.

. 4

1

2

c. 402 2

d .

4 32

e. 4 342

. ersamaan garis singgung yang melalui titik5, 1) pada lingkaran x + y – + y – 1 =

adalah ....a . 3 x + 4 y – 19 = 0b . 3 x – 4 y – 19 = 0c. x – y + 1 =

. x + y – 2 =. x – y – 2 =

Lingkaran x + y – x + y + 4 = 0menyinggung sumbu– untuk a ....a. 0 db. e. –2c.

. –5 + y = 9 bersinggungan enganlingkaran ....a. x + y = 1 d x + y = 4b. x2 + y2 = 2 e. x2 + y2 = 5c. x2 + y2 = 3

10. Lingkaran + y = 36 berpotongan di duatitik yang berbeda dalam aris ....

. x x =. x . xc. x 8

uku banyak f x = 3 – x + x + a sdibagi ( x – 1). Jika dibagi dengan ( + 3)

+ 1) sisanya adalah ....a . 6 x + . x – 16

. 6 x – . – x + 16. x +


52/52

uatu suku banyak P x ag o e – 1sisanya (12 – 23) dan jika dibagi oleh( x –2) sisanya 1. Sisa pembagian sukubanyak P x oleh ( – 3 x + 2) adalah ....a . x + . x –

. x – . –2 +2 x +

13. Sisa bagi dari (4 + 3 – x + 4) : ( + x –2)adalah ....a . 2 x + 22 d. –12 – 22b. x – e. x –c. – +

14. Diketahui suku banyak x = x + ax + x – .

Jika suku banyak ini habis dibagi oleh( x – 3) dan ( x – 2) maka sisa pembagian x oleh + 5 x + 6 adalah ....

a . 60( + . –60( –. –60 + e. 60 1 – x. 60 –

Diketahui x = + x + px + q. Jikadibagi ( x + 2 – 3) sisanya 7 x +3 makanilai dan q berturut-turut adalah ....a . 3 dan 2 d . –6 dan 0

. –3 dan 2 e. dan 0c. –2 an 3

ebuah suku banyak berdera at n ber-bentuk P ( x =a x + – x

– +...+ a x + a ,ngan a ≠ , dan bilangan positif dan

n ≠ 0. 3 ) – 4 ) adalah suku banyakberderajat ....a –1 4b

17. a a satu a tor ar x – 5 x x +a a x + . a tor near yang a n ar

suku banyak tersebut adalah ....a – 2 dan x – 3b + 2 dan 2 – 1

+ 3 dan x ++ 1dan x –

– an –

ersamaan + px + x + = 0mempunyai akar = 2. Jumlah ketiga akarpersamaan itu adalah ....

– 4

b


1. Pada tes calon pramugari, tercatat hasil tesbahasa Inggris sebagai berikut.

Frekuensi 7 9 2 5 3 3 2Nilai 50 5 60 65 0 75 0

eorang peserta dinyatakan lulus ika

nilai u iannya lebih tinggi dari nilai rataanhitung dikurangi 0,6. Berapa peserta yangdinyatakan lulus?

2. Ada 4 buah kartu as, kemudian diambildua buah kartu. Berapa macam yang dapatdipilih ika:

artu yang pertama terambil tidakdisimpan lagi;

b . kartu yang pertama terambil disimpan

3. anpa menggunakan kalkulator atau tabel,tentu anlah nilai dari

. sin 1 ° . cos 285°sin 2 ° tan 37

. cos 195° . tan 405°

4. Tentukan persamaan l ingkaran yangmelalui titik berikut.a. 0,3), (0,7), dan (2,7)

. –2,–1 , 7,2 , an –1,–4. –6,–5 , 12,7 , dan –5,–10. 4,3 , an –1,8 , an 2,7

5. umlah dua bilangan bulat sama dengan 8.entukan bilangan-bilangan tersebut agar

jumlah kuadratnya minimum.

bab 7 turunan

Documents