BAB 3TURUNAN3.1 Pendahuluan Gradien Garis Singgung pada Kurva Perhatikan gambar 1 berikut:Gambar 1Gradien (kemiringan/tanjakan/slope ) tali bususr PQ, dinotasikan dengan mPQ, dan gradiengaris secant, mk keduanya sama yaitu:ha f h a fm mk PQ) ( ) ( + Misalkan gradien garis singgung di titik P adalah ml , maka secara limit dapat ditulis:sec0tan0 0limlim limm m ataum m mhPQhkhl Definisi 3.1.1:Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a, gradien (kemiringan) garis singgung pada kurva f di titik (a, f(a)) adalah:3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 29QPkla a+hf(a+h)f(a)0ha f h a fmh) ( ) (lim0 + asal limit ini adaSelanjutnyadidefinisikanpersamaangarissinggungkurvafdi titik(a,f(a) dengan gradien msebagai berikut:Definisi 3.1.2:Misalkanm adalah gradien garis singgung pada kurva f di titik (a, f(a))maka persamaan garis singgung pada kurva fdi titik tersebut adalah:) ( ) ( a x m a f y CONTOH 1:Tentukan gradien dan persamaan garis singgung pada kurvaf(x) = x2 di titik(-2,4) dan(1,1).CONTOH 2:Tentukan Persamaan garis singgung pada kurva f(x)= x2 di titik (2,4)Definisi 3.1.3 :Misalkan f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a, jika m adalah gradien garis singgung pada kurva f di titik (a, f(a)) dimana sec0tanlimm m mh dan ladalah garis singgungnya di titik P.lhorizontal jika dan hanya jikasec0tanlimm m mh = 0danlvertikaljika dan hanya jika sec0tanlimm m mh =CONTOH 3:Tentukan persamaan garis singgung pada kurva4 32 + x x ydi titik (-3,-4)3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 30Masalah Kecepatan SesaatDefinisi 3.1.4Misalkansebuahbendabergeraksepanjanggarislurus, jikaposisibenda pada saat t ditentukan oleh S= f(t) maka kecepatan rata-rata benda selama selang waktut=a,sampai t= a+h adalahha f h a fV rata - rata Kecepatanrata rata) ( ) ( + dan kecepatan sesaat benda pada saat t=a adalah ha f h a fV Vhrata ratah) ( ) (lim lim0 0 + CONTOH 4: Sebuah mobil bergerak lurus sepanjang sumbu X, misalkan posisinya (dalam meter) pada waktut (detik) ditentukan oleh: 100 5 ) (2+ t t f . Tentukan kecepatan mobil pada saat t=3 detik.3.2 Pengertian TurunanDefinisi 3.2.1.Misalkan fungsi fterdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di x=a ditulis f(a) didefinisikan dengan:ha f h a fa fh) ( ) (lim ) ( '0 +asalkan limit ini ada.f disebut fungsi turunanpertamadari fungsi asal f. Nilai dari f untuk sebarang x dalam I adalah f(x) dengan hx f h x fx fh) ( ) (lim ) ( '0 + asallimit ini ada.Domain dari fungsi f adalah semua nilai x dimana limit diatas adaCONTOH 5: Diberikan5 ) (2+ x x f , tentukan nilai turunan pertama fungsi f di x=2.3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 31Turunan SepihakDefinisi 3.2.2(Turunan kiri)Misalkanfungsifterdefinisipada selang setengahterbuka (t,a],nilaiturunan kiri fungsi f di x=aditulis) ( ' a f didefinisikan dengan ha f h a fa fh) ( ) (lim ) ( '0 + asalkan limit ini adaDefinisi 3.2.3(Turunan kanan):Misalkanfungsifterdefinisi padaselangsetengahterbuka[a,t), nilaiturunan kananfungsi f di x=aditulis) ( ' a f+ didefinisikan dengan ha f h a fa fh) ( ) (lim ) ( '0 +++ asalkan limit ini adaCONTOH 6 : Selidiki apakah f (1) ada jika 11) (xxx fTeorema 3.2.1 (Keterdiferensialan mengakibatkan kekontinuan):Misalkan fungsi f terdefinisi di sekitar a, jikaf `(a) ada, maka f kontinu di a.Fungsi Turunan pada Selang TertutupDefinisi 3.2.4Fungsi f dikatakan mempunyai turunan pada selang tertutup I=[a,b], jika dan hanya jika f(x) ada untuk setiapx(a,b) , f+(a) ada dan f-(b) adaCONTOH 7:Buktikan bahwa1 ) (2+ x x fterdiferensialkanpada selangI=[-2,5]3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 32Notasi Lain untuk Turunan) ( ) ( ) ( ' ) ( y D y D x f Ddxdydxdfx f x f yx x CONTOH 9: > ) ( ' 0 ,1) ( x f xxx f 0 ,2 .1>xx x atau dxdy0 ,2 .1>xx xatau0 ,2 .1)1( > xx x xDxCONTOH 10: Jari-jari sebuah gelembung sabun bertambah dengan laju tetap sebesar 1 sentimeter/detik. Tentukan laju pertambahan volume gelembung sabun pada saat jari-jari sebesar 5 sentimeter ?Penyelesaian:Volume gelembung sabun yang berbentuk bola adalah 334r V .Laju pertambahan volume gelembung sabun adalahik cmdtdrrdtdrrdtdVdet / 314 100 1 . ) 5 ( 4 . 4 . 3 .342 2 2 3.3.Rumus-rumus Turunan 3.3.1 Turunan Fungsi PolinomTeorema 3.3.1(Turunan fungsi Konstan):Jikac x f ) ((suatukonstanta) untuksemuax, maka0 ) ( ' x funtuk semua x, yaitu: 0 ) ( c Dx.Teorema 3.3.2 (Turunan fungsi Linier):Jika , 0 , ) ( + a b ax x f maka a x f ) ( ', yaitu a b ax Dx + ) (3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 33Teorema 3.3.3 (Turunan fungsi Pangkat):Jikanbilangan bulat positif dannx x f ) ( maka1) ( 'nnx x f atau 1) (n nxnx x D3.3.2Turunan dari Suatu Kombinasi LinearKombinasi linear dari fungsifdangditulisbg af +dimanaadan bmerupakan konstanta. Menurut sifat kelinieran limit

,_

+ ,_

+) (lim) (lim)) ( ) ( (limx gc xb x fc xa x bg x afc xSifat ini secara analog dapat diterapkan pada turunan.Teorema 3.3.4: Jikafdangadalahfungsi yangterdeferensialkan,adan b adalah konstanta real, maka( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( x g bD x f aD x bg x af D + + .3.3.3Turunan Fungsi Hasil kaliTeorema3.3.5: Jikafdan gmasing-masing adalah fungsi yang terdeferensialkan dix maka fg adalah terdeferensialkam di x, dan( ) ) ( ' ). ( ) ( ). ( ' ) ( ). ( x g x f x g x f x g x f D + ) ( ) ( ) ( ) ( x Dg x f x Df x g + Jika ) (x f u dan ) (x g v hasil kali di atas berbentuk:

vDu uDv uv D + ) ( atau' ' )' ( uv v u uv + 3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 343.3.4Turunan Fungsi KebalikanTeorema 3.3.6: Jika f terdeferensialkan di x dan 0 ) ( x f maka [ ]2) () ( ') (1x fx fx fD

,_

atau 21fDfDf

,_

CONTOH 11:x x f x x f 2 ) ( ' 1 ) (2 + sehingga

( ) ( ) ( )2222222212121) 1 (11+ + ++ ,_

+xxxxxx DxDTurunan Fungsi Hasil Bagi Teorema 3.3.7: Jika fdan gterdeferensial dixdan 0 ) ( x gmaka g f /terdeferensialdi x,dan [ ]2) ()) ( ( ). ( ) ( )). ( () () (x gx g D x f x g x f Dx gx fD

,_

,atauBila ) (x f u dan) (x g v maka2'' 'vuv v uvu

,_

3.3.6Turunan Fungsi TrigonometriPada pembahasan mengenai fungsi dan limit, telah dikenal beberapa limitdari fungsi trigonometri yang khusus, yaitu:1sinlim0hhhdan 0cos 1lim0hhhCONTOH12:Tentukany , jikay = tan x Penyelesaian: xxx ycossintan atau 2' ''vuv v uyvuy

,_

3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 35y 2) (cos) sin ( sin cos . cosxx x x x xx x22 2cossin cos +xx22seccos1 CONTOH 13:Tentukany, jikax xx xycossin+.CONTOH 14: Sebuah kincir ferris yang jari-jarinya 30 kaki, berputar berlawanan arah perputaran jarum jam dengan kecepatan sudut 2 radian/detik. Seberapa cepat dudukan pada pelek naik (dalam arah tegak) pada saat ia berada 15 kaki di atas garis mendatar yang melalui pusat kincir ?Penyelesaian:Anggap kincir berpusat di titik asal O(0,0) dan dudukan P berada di (30,0) pada saat t = 0 (lihat gambar). Jadi pada saat t, P telah bergerak melalui sudut 2t radian, sehingga mempunyai koordinat (30 cos 2t, 30 sin 2t). Laju P naik adalah turunan koordinat tegak 30 sin 2t diukur pada suatu nilai t yang sesuai. D(30 sin 2t) = 60 cos 2tNilai t yang sesuai untuk perhitungan rumus ini adalah t = /12 karena 30 sin(2/12) = 15Kita simpulkan bahwa pada /12, dudukan P naik pada :60 cos (2/12) = 60 . 2 / 3 51,96 kaki/detik.3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 36YP(30 cos2t, 30 sin2t)tO X3.4. Aturan RantaiPersamaan dxdududydxdy. ini dinamakan aturan rantai, yang berlaku untuk dua fungsi terdeferensial ) (u g y dan ) (x f u .Bentuk lain dari penulisan aturan rantai untuk kedua fungsi di atas adalah sebagai berikutu D y D y Dx u x. CONTOH 1:Tentukan dxdy dari( )175 3 + x yCONTOH 2:TentukanDt yjika ) cos(sint y Penyelesaian:Misalkanu y cos dant u sin ,makaDt y= Du y.Dt u = -sin u.cos t=[ -sin (sin t)].cos t3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 373.4.1Aturan Pangkat Yang DiperumumTeorema 4.4.2Jika radalah bilangan rasional, maka[ ] [ ] ) ( ' . ) ( ) (1x f x f r x f Dr rxdimana fterdefinisi dan terdiferensial.CONTOH3 : Tentukan dxdyjika25 3 4) 5 2 3 ( + x x yCONTOH 4:TentukandxdyJika( )10341 3 51]1

+ x x y3.5Turunan Tingkat Tinggi( )[ ]dxx f dx fnn) () (1 artinya turunan ke n dari fungsif lambang turunan ke n dari suatu fungsi ) (x f y dapat ditulis dalam bentuk:y D y Ddxy dx f yn nxnnn natau) ( atau atau ) ( atau) ( ) (CONTOH 5: Tentukan) () (x fn darin x x fn, ) ( bilangan asliCONTOH 6: Jika 1 . y x, perlihatkan bahwa 4 .2222dyx ddxy d3.6PenurunanImplisitCONTOH 7:Beberapa fungsi yang tidak dinyatakan secara eksplisit 0 10 1 2 4 342 22 22 2 + + + +xt t xy xy xy x3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 38CONTOH 8:Tentukan dxdy jikadiberikan fungsi berikut: xy y x 123 3 + ,Penyelesaian:Fungsi ini jika diubah menjadi bentuk y=f(x) kemudian mencari turunannya cukupmembuangwaktu, untukitulebihbaikditurunkankeduaruasnya secara bersamaan, yakni sebagai berikutxy y x 123 3 + ) 12 ( ) (3 3xydxdy xdxd +

dxdyx ydxdyy x 12 12 3 32 2+ + kemudian pisahkan dxdy dalam satu ruas, menjadi 2 23 12 ) ) 12 3 ( x ydxdyx y

x yx ydxdy12 33 1222 x yx y4422CONTOH 9:Tentukan persamaan garis singgung pada kurva102 2 + y xdi titik (3,1)CONTOH 10:Sebuah partikel bergerak mengikuti lintasan kurva : x3 + y3 = 3xy, dititik(3/2,3/2) partikel tersebut kemudianbergeraksepanjanggaris singgung. Cari persamaangarissinggungyangmenyinggungkurva tersebut di titik (3/2,3/2).Penyelesaian : Bila kita mendiferensialkan kedua ruas dan menyamakan hasilnya, diperoleh 3 x2 + 3 y2 y = 3y + 3 xyy (3y2 3x) = 3y 3x2y = (3y 3x2)/ (3y2 3x)3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 39Pada x = 3/2 dan y = 3/2, maka kemiringan garis singgung tersebut adalahm = (3. 3/2 3 . (3/2)2)/ (3. (3/2)2 3.3/2 ) = - 2,25/2,25 = -1sehingga persamaan garis singgung yang dimaksud adalah y 3/2 = -1 (x -3/2) atauy = - x + 33.7Turunan Dari Fungsi InversTeorema 3.7.1:Jika fungsi f adalah fungsi 1-1 pada daerah asalnya maka f mempunyaiinversTeorema 7.1.2: Misalkan fungsi ) (x f y kontinu dan 1-1 pada selang I dan) (1y f xJika ) ( ' x f ada pada I dan 0 ) ( ' x f, maka fungsi 1 fmempunyai turunan pada I dengan aturan ( ) ( )( ) ) ( '11'1y f fy f ataudxdydydx 1CONTOH 11: Diberikan1 ,11) ( + xxxx f . Tentukan ( ) ) ('1x fdengan:a. menurunkan 1 fb. menggunakan rumus3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 403.8 Turunan Fungsi Invers Trigonometri Pada pasal sebelumnya telah ditemukan bagaimana turunan dari fungsi trigonometri, misalnya:( )( )( )( ) x ec x Dx x x Dx x Dx x Dxxxxcos cottan sec secsin coscos sin dan yang lainnya.Teorema 3.8.1:1.( ) 1 ,11sin21xx xx ec DCONTOH 1: Tentukan)) 1 ( (sin2 1x DPenyelesaian: ( ) 1) 1 ( 11)) 1 ( (sin22 22 1 x Dxx D

2 2) 1 ( 12 xx3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 41 2 2 2 22222) 2 (2x x xxx xxCONTOH 2: Tentukan:))11( (tan1xxD+Penyelesaian:))11( (tan1xxD+=)11(11112xxDxx+

,_

++ =2 2) 1 (21111xxx

,_

++

( )( ) ( )2 241 11x xx+ + 3.9 DiferensialDefinisi 3.9.1:Misalkan fungsi f mempunyai persamaany =f(x) mempunyai turunan ) ( ' x fdxdy .Diferensial dari x dinotasikan dengandx dan diferensial dariy dinotasikan dengan dy, didefinisikan sebagaix x f dy ) ( ' danx dx dimanax menyatakan pertambahan sebarang dari x.Fungsi Derivative Diferensialy=k0 dxdkdxdy d(k)=0y=kudxdudxdyk du k ku d ) (y=u+vdxdvdxdudxdy+ dv du v u d + + ) (y=u.vdxdvdxdvdxdyv u + vdu udv v u d + ) . (3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 42vuy 2) / ( ) / (vdx dv u dx du vdxdy 2) (vudv vduvudnu y dxdu ndxnu dnu1) (du nu u dn n 1) (Tabel 3.9.1CONTOH 1:Diberikanfungsi4 32+ + x x y.Tentukan y dan dy , untukx=2 danx =0,2 Penyeleselaian: ) ( ) ( x f x x f y +

) 4 3 ( 4 ) ( 3 ) (2 2+ + + + + + x x x x x x

4 3 4 3 3 22 2 2 + + + + + x x x x x x x x x x x x + + 3 222) 3 2 ( x x x + + dx x f dy ) ( '

x x + ) 3 2 (Sehingga untuk x=2 dan x=0,2, y=(2.2+3)(0,2)+(0,2)2 = 1,404dandy= ( 2.2+3)(0,2)=1,4CONTOH 2: Sebuah bola berjari-jari 10 cm, memuaisehingga jari-jarinya menjadi 10,05 cm. Taksirlah pertambahan luas permukaan bolasetelah memuai.Penyelesaian:Misalkanjari-jari bola=r, luaspermukaanbolaadalahL=4r2cm2. Pertambahan jari-jariadalahr = dr = 0,05cm. Maka pertambahan luas permukaan 3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 43bola yang sesuai adalah L. Dengan menggunakan diferensial maka L dihampiri oleh dL.Jika L= 4r2cm2 makadL= 8r dr cm2Untuk r= 10 dan dr= 0,05 maka pertambahan luas permukaan bola adalah:dL= 8.10.0,05 = 12,567cm23.10 Laju Yang Berkaitan CONTOH 1: Sebuah kubuspanjang sisinya dinyatakan dengan x cm, jika volume kubus bertambah sejalan dengan pertambahan waktudengan laju menit cmdtdV/ 253, tentukan laju pertambahan luas permukaannya pada saatx= 10 cm.Penyelesaian:(1) Gambaryang bersesuaian (2) Diketahui menit cmdtdV/ 253, dicari dtdA(3) Rumus yang berhubungan: Luas permukaan kubus A= 6x2. dan Volume kubus V=x3 Gambar 3.10.1(4) Turunan V, dan A terhadap t adalah:dtdxxdtdV23 dan dtdxxdtdA12 dtdxx xdtdV1241dtdAxdtdV413 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 44xxxSubstitusikan x=10 danmenit cmdtdV/ 253 maka diperoleh dtdVx dtdA 4 menit cmdtdA/ 10 251042 Jadi pada saat x=10 cm, maka laju perubahan luas permukaan kubus adalahmenit cmdtdA/ 10 251042 CONTOH 2 : Air dituangkan ke dalam bak bentuk kerucut dengan laju 8 dm/menit. Jika tinggi bak adalah 12 dm dan jari-jari permukaan atas adalah 6 dm, seberapa cepat permukaan air naik bilamana tinggi permukaaan adalah 4 dm ?Penyelesaian :Nyatakan tinggi permukaan air dalam bak pada saat t sebarang adalah h dan andaikan r jari-jari permukaan air yang berpadanan (lihat gambar).

Gambar 3.10.5Diketahui bahwa V volume air dalam bak naik dengan laju 8 dm/menit yaitu 8 dtdV. Kita ingin mengetahui seberapa cepat air naik yakni dtdh pada saat h =4.Kita perlu mencari sebuah persamaan yang mengaitkan V dan h. Rumus untuk volume air dalam bak h V2r31 , mengandung peubah r yang tidak diinginkan, tidak diinginkan karena kita tidak mengetahui lajunya dtdr. Tetapi memakai segitiga-segitiga 3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 456r12hyang sebangun (lihat gambar), kita mempunyai 126hr, sehingga dengan penggantian ini ke dalam persamaan V memberikan 12h3 V sebuah hubungan yang berlaku untuk semua t > 0.Diferensialkan secara implicit, dengan mengingat bahwa h tergantung pada t. Diperoleh dtdhdtdV12h 32 ataudtdhdtdV4h2 Dengan penggantian h = 4 dan 8 dtdV, kita peroleh :637 , 02

4(4)82 dtdhdtdhJadijikaketinggian airmencapai4 dm, makapermukaanairnaik dengan laju 0,637 dm/menit.3 Turunan/heri/3/30/2013/1:52:14 a3/p3 46