Definisi. Fungsi f(x) dikatakan

monoton naik pada interval I jika untuk

1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I

monoton turun pada interval I jika untuk

1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I .

Fungsi monoton naik atau turun disebut fungsi monoton

f(x2) f(x1) f(x1) f(x2) x1 x2 x1 x2 (a) monoton turun (b) monoton naik

Andaikan f diferensiabel di selang I, maka i. Fungsi f(x) monoton naik pada I jika :

'( ) 0f x x I

ii. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika:

'( ) 0f x x I

Contoh Tentukan interval – interval dimana f(x) monoton naik dan turun jika :

3 213( ) 3 4f x x x x

3 2 213( ) 3 4 '( ) 2 3f x x x x f x x x

Fungsi f(x) monoton naik pada I jika '( ) 0f x x I

2

'( ) 0

2 3 0

( 1)( 3) 0

1 3

f x

x x

x x

x x

f(x) monoton naik pada selang ( , 1) dan (3, )

-1 3

(-) (+)(+)

f ’

Fungsi f(x) monoton turun pada I jika '( ) 0f x x I

2

'( ) 0

2 3 0

( 1)( 3) 0

1 3

f x

x x

x x

x x

f(x) monoton turun pada selang ( 1,3)

-1 3

(-) (+)(+)

f ’

Contoh Tentukan selang kemonotonan

2( 1)( )

xf x

x

Jawab 2 2( 1) 2 1

( )x x x

f xx x

2

2

2 2

2

2

2

(2 2)( ) ( 2 1)(1)'( )

2 2 2 1)

1

x x x xf x

x

x x x x

x

x

x

Fungsi f(x) monoton naik pada I jika '( ) 0f x x I

2

2

2

'( ) 0

10

( 1)( 1)0

f x

x

x

x x

x

f(x) monoton naik pada selang ( , 1) dan (1, )

Fungsi f(x) monoton turun pada I jika '( ) 0f x x I

2

2

2

'( ) 0

10

( 1)( 1)0

f x

x

x

x x

x

f(x) monoton naik pada selang ( 1,0) dan (0,1)

-1 1

(-) (+)(-)

f ’

0

(+)

-1 1

(-) (+)(-)

f ’

0

(+)

Ekstrim fungsi adalah nilai maksimum atau minimum fungsi di daerah definisinya. Definisi. Misalkan f(x) kontinu pada selang I dan c I.

f(c) disebut nilai maksimum

minimum global dari f pada I jika

( ) ( )

( ) ( )

f c f xx I

f c f x

f(c) disebut nilai maksimum

minimum lokal dari f pada I jika terdapat selang

buka yang memuat c sehingga ( ) ( )

( ) ( )

f c f x

f c f x untuk setiap x pada selang

buka tadi.

Minlokal

Maxglobal

Minglobal Max

lokal

a b c d e f

Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]

• Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis.

• Ada tiga jenis titik kritis :

a. Titik ujung selang I

b. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana '( ) 0f c )

c. Titik singular ( x = c dimana '( )f c tidak ada )

Titik x = a dan x = f merupakan ujung selangTitik x = b , x = c, x = d merupakan titik stasionerTitik x = e merupakan titik singular

Minlokal

Maxglobal

Minglobal Max

lokal

a b c d e f

Jika '( ) 0

'( ) 0

f x

f x pada selang ( , )c c dan

'( ) 0

'( ) 0

f x

f x pada selang ( , )c c ,

maka f(c) merupakan nilai maksimum

minimum lokal f.

c

Disebelah kiri c monoton naik(f ’>0) dan disebelah kanan cmonoton turun (f’<0)

f(c) nilai maks lokal

c

f(c) nilai min lokal

Disebelah kiri c monoton turun(f ’<0) dan disebelah kanan cmonoton naik (f’>0)

f(c)

f(c)

Misalkan '( ) 0f c Jika

''( ) 0

''( ) 0

f c

f c maka f(c) merupakan nilai

maksimum

minimum

lokaldari f.

Contoh

Tentukan nilai ekstrim fungsi 3 213( ) 3 4f x x x x

Jawab:

3 2 21( ) 3 4 '( ) 2 3

3f x x x x f x x x

Nilai ektrim terjadi pada tititk stasioner

2

1 2

'( ) 0

2 3 0

( 1)( 3) 0

1 dan 3

f x

x x

x x

x x

3 2

3 2

3 2

1( ) 3 4

3

1 1 1 2( 1) ( 1) ( 1) 3( 1) 4 ( 1) (1) 4 1 3 4 5

3 3 3 3

1 1(3) (3) (3) 3(3) 4 (27) 9 4 9 9 9 4 5

3 3

f x x x x

f

f

Pada contoh sebelumnya di[peroleh hasil sebagai berikut.

Pada selang ( , 1) , '( ) 0f x

Pada selang ( 1,3) , '( ) 0f x

Jadi 2

( 1) 53

f merupakan nilai maksimum lokal

Pada selang ( 1,3) , '( ) 0f x

Pada selang (3, ) , '( ) 0f x

Jadi (3) 5f merupakan nilai minimum lokal

-1 3

(-) (+)(+)

f ’

Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I

bila '( )f x naik pada interval I.

Fungsi f(x) dikatakan cekung ke bawah pada interval I

bila '( )f x turun pada interval I

Uji turunan kedua untuk kecekungan

1. Jika "( ) 0 ,f x x I maka f(x) cekung ke atas pada I

2. Jika "( ) 0 ,f x x I maka f(x) cekung ke bawah pada I.

Tentukan selang kecekungan dari 3( )f x x

Jawab 2'( ) 3 dan "( ) 6f x x f x x

f cekung ke atas jika pada "( ) 0 ,f x x I

"( ) 0 6 0

0

f x x

x

Jadi f cekung ke atas pada selang (0,+∞)

f cekung ke bawah jika pada "( ) 0 ,f x x I

"( ) 0 6 0

0

f x x

x

Jadi f cekung ke bawah pada selang (-∞, 0)

• Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titik belok dari kurva f(x) jika terjadiperubahan kecekungan di x = b, yaitu disebelah kiri x = b cekung ke atas dan disebelah kanan x = b cekung ke bawah atausebaliknya.

• Syarat perlu x = b merupakan absis dari titikbelok bila berlaku (f’’(b) = 0) atau f(x) tidakdiferensiabel dua kali di x = b ( tidak ada ).

c

f(c)

(c,f(c)) titik belok

c

f(c)

(c,f(c)) titik belok

Karena disebelah kiri c cekungkeatas dan disebelah kanan c cekung kebawah

Karena disebelah kiri c cekungkebawah dan disebelah kanan c cekung keatas

c

f(c)

(c,f(c)) bukan titik belokKarena disekitar c tidakTerjadi perubahan kecekungan

c

Walaupun di sekitar cTerjadi perubahan Kecekungan tapi tidak adaTitik belok karena f tidak terdefinisi di c

Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut :

a. 3( ) 2 1f x x

b. 4( )f x x

c. 13( ) 1f x x

a. Dari 3( ) 2 1f x x maka "( ) 12f x x .

Bila "( ) 0f x maka x = 0 merupakan calon dari titik belok.

Fungsi f kontinu di x = 0.

Untuk x < 0 maka "( ) 0f x , sedangkan untuk x > 0 maka

"( ) 0f x .

Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = -1. Jadi titik ( 0,-1 ) merupakan titik belok.

0

- - - - - - - - - - + + + + + + + f ”

b. Dari 4( )f x x maka 2"( ) 12f x x .

Bila "( ) 0f x maka x = 0 merupakan calon dari titik belok

Fungsi f kontinu di x = 0

Untuk x < 0 dan x > 0 maka "( ) 0f x .

Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,0 ) bukan merupakan titik belok.

0

+ + + + + + + f ”+ + + + + + +

c. 13( ) 1f x x maka

53

2"( )

9f x

x.

Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0.

Fungsi f kontinu di x = 0.

Untuk x < 0 maka "( ) 0f x , sedangkan untuk x > 0 maka

"( ) 0f x .

Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = 1. Jadi ( 0,1 ) merupakan titik belok.

0

- - - - - - - - - - + + + + + + + f ”

1. Jika , tentukan:

a. Selang kemonotonan

b. Ekstrim Lokal

c. Selang kecekungan

d. Titik belok (jika ada)

2( ) 6 5f x x x

2. Jika ,tentukan:

a. Selang kemonotonan

b. Ekstrim Lokal

c. Selang kecekungan

d. Titik belok (jika ada)

3 2( ) 6 9f x x x x

2. Jika ,tentukan:

a. Selang kemonotonan

b. Ekstrim Lokal

c. Selang kecekungan

d. Titik belok (jika ada)

3 2( ) 2 3 12 8f x x x x

Soal Latihan Pilihan Ganda

Bab : Penggunaan Turunan

1. Grafik fungsi2

2 1

xf x

x monoton turun pada selang ….

a. 0,1 1,

b. 1,0 1,

c. , 1 1,0

d. , 1 1,0

e. , 1 1,

2. Grafik fungsi 2

2 1

xf x

x naik pada selang ….

a. , 1 0,1

b. 1,0 1,

c. , 1 1,0

d. ( , 1] ( 1,0)

e. , 1 1,

3. Nilai minimum dari fungsi 3 23 2f x x x pada selang 1,3 adalah ….

a. -4

b. -2

c. 0

d. 1

e. 2

4. Titik stasioner fungsi 3 212 3 4

3f x x x x adalah ….

a. 1x dan 3x

b. 3x dan 1x

c. 3x dan 1x

d. 1x dan 3x

e. Tidak ada titik stasioner

5. Fungsi 3 212 3 4

3f x x x x monoton turun pada selang ….

a. 1 3x

b. 1 3x x

c. 3x

d. 1x e. 3x

6. Fungsi 3 212 3 4

3f x x x x cekung ke atas pada selang ….

a. ( ,2)

b. (0,2)

c. ( 2, )

d. (2, )

e. ( 2,0)

7. Titik belok fungsi 3 212 3 4

3f x x x x adalah ….

a. (3,4)

b. 23

(1,4 )

c. 23

(2,4 )

d. (0,4)

e. 263

( 2, )

8. Titik ekstrim maksimum fungsi 2

1xf x

xadalah ….

a. 29

(3, )

b. 14

(2, )

c. (1,0)

d. 34

( 2, )

e. ( 1, 2)

9. Fungsi 2

1xf x

xmonoton turun pada selang ….

a. (0,2)

b. ( ,0) (2, )

c. (3, )

d. ( ,0) (0,3)

e. (0,3)

10. Fungsi 2

1xf x

xmonoton naik pada selang ….

a. (0,2)

b. ( ,0) (2, )

c. (3, )

d. ( ,0) (0,3)

e. (0,3)