bab 5 penerapan turunan

BAB 5. PENERAPAN TURUNAN

Pada bab ini akan dibahas beberapa penerapan turunan.

A. Persamaan Garis Singgung

Bentuk umum persamaan garis adalah y = mx + n, dimana

m adalah koeffisien arah (kemiringan) atau gradien garis dan n

adalah penggal garis.

Sekarang perhatikan Gambar 1. Gradien garis l1 adalah .

Jika x 0, maka : .

Jadi dapat disimpulkan bahwa kemiringan garis yang

menyinggung titik (x,y) pada f(x) adalah : .

Jika garis tersebut menyinggung kurva y = f(x) titik P(x1,y1)

maka gradiennya adalah :

CACATAN

x = dx l1

f(x) l

f(x + x)

f(x)y

dy

y

x x+xx

0

Gambar 1

Bab 5. Penerapan Turunan

1. Persamaan garis melewati titik dengan gradien m

adalah

2. Persamaan garis melewati titik adalah

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + x -

3 di titik P(2,3)

Penyelesaian : y = x2 + x -3

Gradien garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah :

Persamaan garis : y = mx + c. Karena menyinggung titik P(2,3)

maka :

3 = 5(2) + c c = -7.

Jadi garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah: y =

5x – 7

Atau Persamaan garis melewati titik dengan gradien m = 5

adalah

mk atau y = 5x -7

B. Persamaan garis normal

Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis

singgung. Dari pembahasan terdahulu kita telah mengetahui

bahwa dua garis dikatakan saling tegak lurus jika perkalian

kemiringan garisnya sama dengan -1; atau dalam bentuk rumus

dapat ditulis menjadi: m1.m2 = -1 atau , dimana m1

63


adalah kemiringan garis singgung dan m2 adalah kemiringan

garis normalnya.

Contoh 2 :

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik

(1,6)

pada kurva : y = 3x2 – 2x + 5

Penyelesaian: ; m1 = ; m2 =

Jadi : - Persamaan garis singgung :y1 = m1x1 + n1 y1 =

4x1 + 2

- Persamaan garis singgung :y2 = m2x2 + n2 y2 =

x1 +

Contoh 3 :

Jika diketahui persamaan parameter dan y = 3t2,

tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik

singgung pada t = 2.

Penyelesaian: Titik singgung untuk t = 2 adalah (-2,12)

; ;

;

Jadi persamaan : garis singgung : y = 12x + 36

garis normal : y =

Contoh Soal:

1.Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari

kurva :

64


a) di titik

b) x2 – xy2 + 3y2 = 13 di titik P(2,3)

2.Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik

singgung dari fungsi parameter :

SOAL LATIHAN

1. Tentukan Persamaan garis singgung pada kurva

y = 2x2 + 3 yang sejajar garis 8x – y +3 = 0

2. Tentukan Persamaan garis normal pada kurva

y = 4 - x2 yang tegak lurus dengan garis 2x – 4y = 0

3. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari

kurva:

xy2 - yx3 = 9 di titik P(1,4)

C NILAI EKSTREM

Misal terdapat suatu hasil pengukuran seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 2. Pengukuran tersebut dapat berupa

pengukuran temperatur, tekanan atau pertumbuhan suatu jenis

bakteri terhadap waktu atau pengukuran lainnya. Jika

65


kita perhatikan Gambar 2, harga pengukuran meningkat pada

[x0,x1], menurun pada [x1,x2] dan seterusnya hingga konstan

pada selang [x6,x7].

Definisi :

Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2 adalah

dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka :

i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1)

< f(x2)

ii) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan

f(x1) > f(x2)

iii) fungsi f konstan selang I jika f(x1) = f(x2) untuk setiap

harga x1 dan x2

Sifat :

Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f

setidak-tidaknya mempunyai satu nilai maksimum dan

minimum [a,b].

Contoh 4

0 x0 = a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

x

y

Gambar 2

66


Jika diketahui f(x) = x2 + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk

selang-selang berikut: a) [-2,0] b) (-3, 1) c) [-3,-2) d) (-

1,1]

Penyelesaian :

Pada selang [-2,0]

Maksimum =f(0)=6

Minimum = f(-2) = 0

a)Pada selang (-3,1)

Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x=-3)

Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = 1)

c) Pada selang [-3,-2)

Maksimum =f(-3)=0

Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -2)

(b)

( c )(d)

-3 -2 0 -1 1

x x

x x

y y

y y

-2 0 -3 0 1

(a)

Gambar 3

67


d) Pada selang (-1,1]

Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -1

Minimum = f(1) = 12

Nilai Ekstrim Lokal

Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila

terdapat suatu selang terbuka yang mengandung bilangan c

sedemikian rupa sehingga f mempunyai nilai terbesar

(maksimum) atau terkecil (minimum). Setiap harga f yang

mempunyai harga maksimum atau minimum disebut ekstrim

lokal.

Definisi :

Jika c adalah bilangan yang terletak dalam daerah definisi

(domain) fungsi, maka :

i) f(c) adalah maksimum lokal f jika terdapat suatu

selang terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian

rupa sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada (a,b).

ii) f(c) adalah minimum lokal f jika terdapat suatu

selang terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian

rupa sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada (a,b).

0 a x b x1 c x

y

Gambar 4

Maksimum lokal

Minimum lokal

68


Beberapa Sifat :

Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka

(a,b). Suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal

pada titik c jika f 1(c) = 0.

Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka

(a,b). Suatu fungsi f dikatakan tidak mempunyai ekstrim

lokal pada titik c jika f 1(c) ada dan tidak sama dengan 0.

Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang

tertutup [a,b]. Suatu fungsi f dikatakan mempunyai

ekstrim lokal pada titik c jika f 1(c) = 0.

Jika c merupakan daerah definisi dan merupakan bilangan

kritis f, maka f’(c) = 0.

Nilai Ekstrim Mutlak

Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka

kita dapat menyimpulkan bahwa titik (c, f(c)) merupakan titik

tertinggi pada garafik f. Sebaliknya f(c) adalah minimum mutlak

dari fungsi f, maka titik (c,f(c)) merupakan titik terendah pada

grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum sering disebut juga

dengan nilai ekstrim fungsi f.

Sifat: Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan

ril S. Jika c terletak pada S, maka :

i) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f jika f(x) f(c)

untuk setiap nilai x yang terletak dalam S.

ii) f(c) adalah nilai minimum mutlak f jika f(x) f(c)

untuk setiap nilai x yang terletak dalam S.

Langkah menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang

kontinu pada selang tertutup [a,b] :

1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka

(a,b)

2. Tentukan titik ujung

69


a) Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b]

maka titik ujungnya adalah a dan b.

b) Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b)

maka f tidak mempunyai titik ujung.

c) Jika fungsi f terletak pada selang setengah

terbuka (a,b] maka titik ujungnya adalah b.

d) Jika fungsi f terletak pada selang setengah

terbuka [a,b) maka titik ujungnya adalah a.

3. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c yang

didapat dari nomor 1 diatas.

4. Hitung harga f pada setiap titik ujung.

5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah

nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor

3 dan 4 diatas.


kontinu pada selang terbuka (a,b) :


(a,b).

2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.



2 diatas.


kontinu pada selang setengah terbuka [a,b) :


(a,b).


3. Hitung nilai f(a)

70




2 dan 3 diatas.


kontinu pada selang setengah terbuka (a,b] :


(a,b).


3. Hitung nilai f(b)



2 dan 3 diatas.

Contoh 6 :

Jika diketahui f(x) = 2x3 - 3x2 – 12x + 10, tentukan nilai

maksimum dan minimum f pada selang tertutup [-4,3]

Penyelesaian:Menentukan bilangan kritis (lihat teorema 5.4.7)

f(x) = 2x3 - 3x2 – 12x + 10

f ’(x) = 6x2 – 6x – 12 = 0

6x2 – 6x – 12 = 0 6(x2 – x – 2) = 0 6(x-2)(x+1) =

0

x1 = 2 ; x2 = -1

f(x1) = f(2) = 16 – 12 – 24 + 10 = -10

f(x2) = f(-1) = -2 – 3 + 12 + 10 = 17

Titik ujung : -4 dan 3

f(-4) = -64 – 48 + 48 + 10 = -54

f(3) = 54 – 27 -36 + 10 = 1

Jadi : f(2) adalah minimum lokal

f(-1) adalah maksimum lokal dan maksimum

mutlak

f(-4) adalah minimum mutlak

71


Soal-soal

1. Tentukan nilai-nilai ekstrim dari fungsi berikut ini

serta gambarkan grafiknya !

a) f(x) = ; [2,5] c) f(x) = ;

[-1,3)

b) f(x) = ; (-3,1] d) f(x) = ; (-

2,2)

2. Tentukan nilai-nilai kritis dari fungsi-fungsi berikut

ini !

a) f(x) = c) f(x) =

b) f(x) = 2x + 5 d) f(x) =

D. Kecekungan dan kecembungan

Definisi :

Kurva f dikatakan cembung ke bawah (cekung keatas)

pada selang (a,b) jika garis singgung yang menyinggung kurva

pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu terletak pada

bagian bawah kurva f. Sebaliknya kurva f dikatakan cembung

keatas (cekung kebawah) jika garis singgung yang menyinggung

-4 -3 -2 -1 1 2 3 0

x

Gambar 5

y

17

72


kurva pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu terletak

pada bagian atas kurva f.

Kurva f pada Gambar 6 cembung keatas pada selang (a,b)

dan cembung kebawah pada selang (b,c).

Definisi :Jika pada selang (a,b) terdapat sembarang bilangan ril xo dan harga turunan kedua f pada x = xo atau f ||(xo) < 0 maka kurva f pada selang tersebut cekung kebawah atau cembung keatas. Jika pada selang (a,b) harga f || (xo) > 0, maka kurva f pada selang tersebut cekung keatas atau cembung kebawah.Definisi :

Misal kurva f mempunyai persamaan y = f(x) dan kontinu di titik

x = xo. Jika f|| (xo) = 0 dan disekitar x = xo berlaku f|| (x)>0 untuk

x<xo dan f|| (x) < 0 untuk x>xo atau berlaku f||(x)<0 untuk x<xo

dan f||(x) > 0 untuk x>xo, maka titik (xo,f(xo)) merupakan titik

belok dari kurva tersebut.

Contoh 7: Tentukan daerah cembung keatas dan cembung

kebawah jika diketahui :

f(x) = 6 – 5x + x2.

Penyelesaian :

f(x) = 6 – 5x + x2 ; f’(x) = -5 + 2x ; f’’(x) = 2

Karena f’’(x) > 0 untuk sembarang bilangan ril xo, maka

kurva f cembung kebawah.

cembung keatas

cembung ke bawah

y

x0 a b c

Gambar 6

73


Contoh 8:

Jika diketahui persamaan f(x) = 2+x+3x2-x3, tentukan daerah

pada kurva f yang merupakan daerah cembung kebawah,

daerah cembung keatas dan titik belok dari kurva yang

dimaksud !

Penyelesaian :

f(x) = 2+x+3x2-x3

f’(x) = 1 + 6x – 3x2

f’’(x) = 6 – 6x

Daerah cembung keatas : f’’(x) = 6 – 6x < 0 x>1

Daerah cembung kebawah : f’’(x) = 6 – 6x > 0 x<1

Titik belok : f’’(x) = 6 – 6x = 0 x=1

Soal-soal

Tentukan daerah cembung kebawah, cembung keatas dan

titik belok kurva dari fungsi berikut jika ada !

1. f(x) = x3 – x + 2 6. f(x) = 2x +(3x+1)3/5

2. g(x) = x3 – 5x2 + 7 7. g(x) = x(6-x)2

3. h(x) = (x-a)3 , a = bilangan konstan 8. h(x) =

1/(x2+1)

4. f(x) = x2e-x – 5 9. f(x) = 5x -

5. g(x) = 10. g(x) =

E. Menggambar Grafik Fungsi

Langkah mengambar grafik fungsi:

1. Tentukan titik-titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat

(x dan y)

2. Tentukan titik Stasioner dan jenisnya, dengan syarat y1 = 0

74


3. Tentukan titik belok dan daerah cekung/cembung, dengan

syarat y11 = 0

4. Teliti daerah asalnya

5. Gambar grafiknya

Contoh: Gambarlah grafik fungsi berikut:

F. Kecepatan dan Percepatan Sesaat

Sebelum kita membahas kecepatan dan percepatan

sesaat, kiranya kita perlu mengetahui apa yang dimaksud

dengan kecepatan dan percepatan rata-rata. Kecepatan rata-

rata pada bidang datar didefinisikan sebagai

dimana s2 dan s1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal

terhadap titik acuan. Sedangkan t2 dan t1 adalah waktu yang

dibutuhkan untuk mencapai posisi akhir dan posisi awal. Untuk

selisih waktu (t) yang cukup besar, maka persamaan di atas

hanya dapat digunakan untuk menentukan kecepatan rata-rata

saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung kecepatan untuk

suatu saat tertentu. Sebetulnya persamaan tersebut dapat

digunakan untuk menentukan kecepatan untuk suatu saat

tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam bentuk

rumus :

75


dimana v adalah kecepatan sesaat dan ds/dt adalah turunan

pertama dari lintasan. Lintasan (s) adalah fungsi waktu atau

dapat ditulis dalam bentuk s = s(t).

Percepatan rata-rata pada bidang datar didefinisikan sebagai

dimana v2 dan v1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal

terhadap titik acuan. Sedangkan t2 dan t1 adalah waktu yang

dibutuhkan untuk mencapai posisi akhir dan posisi awal. Untuk

selisih waktu (t) yang cukup besar, maka

dimana a adalah kecepatan sesaat dan dv/dt adalah turunan

pertama dari kecepatan.

Contoh 9 :

Lintasan sebuah partikel ditunjukkan oleh persamaan s = 3t2 –

5t + 2, dimana t dalam detik dan s dalam satuan meter.

Tentukan panjang lintasan, kecepatan dan percepatan pada saat

t = 15 detik.

Penyelesaian:

s = 3t2 – 5t + 2 dan

Untuk t = 15 detik : Didapat : s = 3(15)2 – 5(15) + 2 = 600

meter

v = 90 – 5 = 85 m/detik

a = 6 m/detik2

Soal

76


1. Berikut adalah lintasan partikel yang bergerak dengan

percepatan konstan. Tentukan panjang lintasan dan

kecepatan partikel pada waktu t = 50 detik !

G. Terapan Masalah Ekstrem

1). Toko komputer mempunyai data penjualan mengikuti fungsi y = -x2 +8 x + 20

Tentukan:a). Kapan jumlah komputer terbanyak yang terjual dan berapa jumlahnyab). Kapan tidak laku lagi komputernya (tidak ada yang beli)c). Berapa kecepatan dan percepatan penjualan komputer saat waktu 5d). Gambar grafiknya

2). Seorang peternak mempunyai kawat berduri panjangnya 20 meter, dia akan memagari kandang dengan kawat berduri tersebut. Berapa ukuran kandang sehingga luas kandang yang dipagari maksimum, jika:a. Kandangnya berbentuk persegi panjangb. Kandagnya berbentuk persegi panjang dengan salah satu sisinya tembokc. Kandangnya berbentuk 2 persegi panjang yang berhimpit dengan luas sama

0 10 15

240

110

s (meter)

t (detik)

77


H. Bentuk-bentuk Tidak TertentuH. Bentuk-bentuk Tidak Tertentu

Yang dinamakan bentuk-bentuk tak tertentu adalahYang dinamakan bentuk-bentuk tak tertentu adalah

bentuk-bentuk berikut:bentuk-bentuk berikut:

Aturan dari de l’ Hospital :

1. Diketahui f(x) dan g(x) kontinu dan dapat dideferensialkan

sebanyak n kali disekitar x = a.

Sedang f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak

nol, maka :

2. Kecuali untuk bentuk , aturan dari de l’ hospital bisa juga dipakai

untuk bentuk .

Sedang f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak

tak berhingga, maka :

Contoh:

1. =

2.

78


=

=

=

=

3.

=

=

Contoh:

1. = = =

= = 0

2. =

3.

= =

79

Bab 5. Penerapan Turunan 80

bab 5 penerapan turunan

Documents