matematika sma - bab diferensial (turunan)
TRANSCRIPT
Persamaan Garis
Singgung Pada Kurva
Fungsi Naik & Fungsi
Turun
Nilai Stasioner
Menggambar Grafik
Fungsi
Penerapan Turunan
Fungsi
Persamaan Garis Singgung Pada Kurva
x=a+hx=a
B(a+h),f(a+h)
x
y
A(a,f(a)
AB
12
12
xx
yy
aha
afhaf
)(
)()(
h
afhaf )()(
Gradien garis AB adalah
m =
=
=
=
=
=
TulangPersamaan Garis Singgung Pada Kurva
Apabila garis AB diputar pada titik A maka titik B akan
bergerak mendekati titik A (h→0) maka tali busur AB
menjadi garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A
(a,f(a)) dengan gradient
)('
)()(lim
0
afm
h
afhafm
g
hg
Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A
(a,f(a)) atau A (x1,y1) adalah
y – y1 = m (x – x1)
Catatan :
Dalam menentukan suatu persamaan garis, kita kerapkali
dihadapkan pada kaitan antar dua garis sebagai berikut.
Diberikan garis g: y = m1x + n1 dan h: m2x2 + n2
• Garis g dan h dikatakan sejajar, ditulis g // h, jika m1 = m2 dan
n1 ≠ n2
• Garis g dan h dikatakan berimpit, ditulis g ≡ h, jika m1 = m2 dan
n1 = n2
• Garis g dan h dikatakan berpotongan, jika m1 ≠ m2
• Garis g dan h dikatakan berpotongan tegak lurus, jika m1 x m2
Persamaan Garis Singgung Pada Kurva
Persamaan Garis Singgung Pada Kurva
Contoh SoalDiketahui kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4) . Tentukan gradient
garis singgung di titik A. Tentukan persamaan garis singgung di
titik A.
Jawab:
y = x2 – 3x + 4
y’ = 2x – 3
a. Gradien di titik A (3,4)
m = y’x=3 = 2.3 – 3 = 6 – 3 = 3
b. Persamaan garis singgung di titik A (3,4)
y – y1 = m (x – x1)
y – 4 = 3 (x – 3 )
y – 4 = 3x – 9
y = 3x – 5
Fungsi Naik & Fungsi Turun
f(x1)
f(x2)
x1 x2
x
y
Fungsi f(x) di atas disebut fungsi naik pada interval a ≤ x ≤ b, jika
untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :
x2 > x1 f(x2) > f(x1)
RangkaFungsi Naik & Fungsi Turun
f(x2)
x1 x2
x
y
Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap
x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :
x2 > x1 f(x2) < f(x1)
f(x1)
Fungsi Naik & Fungsi Turun
a. Fungsi naik
b. Fungsi turun
Jawab:
f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4
f’(x) = 3x2 + 18x + 15
a. Syarat fungsi turun
f’(x) < 0
3x2 + 18x + 15 < 0
x2 + 6x + 5 < 0
(x+1) (x+5) < 0
Harga batas x = -1 , x = -5
Contoh SoalTentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4
merupakan :
-5 -1
+ - +
Jadi fungsi turun pada interval
-5 < x < -1
Fungsi Naik & Fungsi Turun
Contoh Soal
b. Syarat fungsi naik
f’(x) > 0
3x2 + 18x + 15 > 0
x2 + 6x + 5 > 0
(x+1) (x+5) > 0
Harga batas
x = -1 , x = -5
Jadi fungsi naik pada interval
x < 5 atau x > -1
-5 -1
+ - +
SendiNilai Stasioner
Jenis – jenis nilai stasioner
Nilai stasioner di titik A.
Pada : x < a diperoleh f’(x) > a
x = a diperoleh f’(x) = a
x > a diperoleh f’(x) < a
Fungsi yang mempunyai sifat demikian dikatakan fungsi f(x)
mempunyai nilai stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a))
disebut titik balik maksimum.
+- 0
a
1.
SendiNilai Stasioner
0
b
- -
2. Nilai stasioner di titik B dan D.
a. Pada : x < b diperoleh f’(x) < 0
x = b diperoleh f’(x) = 0
x > b diperoleh f’(x) < 0
Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x =
b dan titik (b,f(b)) disebut titik belok.
d
0+ +b. Pada : x < d diperoleh f’ (x) > 0
x = d diperoleh f’ (x) = d
x > d diperoleh f’ (x) > d
Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik
(d,f(d)) disebut titik belok
Pada titik B atau D sering hanya disingkat nilai stasioner belok.
SendiNilai Stasioner
-+
0
Nilai stasioner di titik E
Pada : x < e diperoleh f’(x) < 0
x = e diperoleh f’(x) = 0
x > e diperoleh f’(x) > 0
Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(e) pada x = e
dan titik (e,f(e)) disebut titik balik minimum.
3.
Menggambar Grafik Fungsi
Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) ada beberapa
langkah sebagai berikut :
• Tentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( jika
mudah ditentukan ), yaitu diperoleh dari y = 0.
• Tentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu diperoleh dari
x = 0.
• Tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya.
• Tentukan nilai-nilai y untuk nilai x besar positif dan untuk x
yang besar negative.
Penerapan Turunan Fungsi
Gerak rectilinear adalah gerak sebuah partikel do sepanjang
garis lurus. Persamaan gerak sebuah partikel dinyatakan sebagai s
= f(t), dengan s = sepanjang lintasan atau jarak (dalam satuan
panjang) dan t = waktu (dalam satuan waktu).
1. Penerapan Turunan Fungsi pada Gerak Rektilinear
a. Kecepatan dan Laju
Kecepatan v(t) dari suatu gerak rectilinear, pada setiap saat t
adalah sebagai berikut ini.
v(t) = = = f’(t)
AbnormalitasPenerapan Turunan Fungsi
b. Percepatan dan Besar Percepatan
Percepatan a(t) dari suatu gerak rectilinear pada saat t adalah
sebagai berikut.
a(t) = = = = = v’(t) = fn(t)
2. Penerapan Turunan Fungsi pada Perhitungan Limit Fungsi
Teorema L’Hopital :
Misalkan f(x) = g(x) = 0 atau = g(x) =
±∞f(x)
Jika = L, ∞, atau -∞, maka
=
