BAB 2

PELUANG Inti Pembahasan

A. Kaidah Pencacahan

B. Peluang Suatu Kejadian

C. Relasi Antar Kejadian

Kendaraan yang hilir mudik dijalan raya hamper semuanya diasuransikan. Jika

kendaraan tersebut mengalami kecelakaan, maka pemiliknya memperoleh biaya

pertanggungan yang harus di keluarkan pihak asuransi. Mungkin prinsip-prinsip

peluang dengan bantuan metode statistic bisa digunakan untuk menyelesaikan

permasalahan diatas?

A. Kaidah Pencacahan

Pernahkah kalian diminta untuk menyusun sebuah tim sepakbola atau bola basket

dalam class meeting yang anggotanya teman-teman kalian? Dari sekitar 40 anak,

kalian akan memilih 11 orang untuk tim sepak bola atau 5 orang untuk tim basket.

Persoalan susunan seperti itu menjadi dasar konsep kombinatorik yang akan

membantu kita memecahkan objek-objek dalam suatu himpunan. Untuk

menyelesaikan persoalan kombinatorik perlu diketahui dua prinsip himpunan dasar

yaitu prinsip penjumlahan

dan perkalian. kaidah pencacahan ini menggunakan dua prinsip dasar yaitu prinsip

(aturan) penjumlahan dan aturan perkalian.

1. Aturan Penjumlahan

Pada aturan penjumlahan bila suatu himpunan S terbagi ke

dalam himpunan-himpunan bagian yaitu S1, S2, S3, ..., Sn, maka

jumlah unsur yang berada di dalam himpunan S sama dengan

jumlah semua unsur yang ada dalam setiap himpunan bagian dari

S atau dapat dirumuskan sebagai berikut.

S = S1 + S2 + S3 + ... + Sn

Namun demikian prinsip di atas tidak berlaku jika ada diantara

himpunan-himpunan bagian tersebut yang anggotanya saling tindih.

Sebagai contoh aturan penjumlahan adalah bila kita bermaksud

membeli handphone. Di toko, kita menemukan ada handphone

merek A dengan 4 macam model, merek B dengan 3 macam model,

dan merek C ada 5 macam model. Jadi kita akan membeli

handphone di toko itu, maka kita memiliki 5 + 4 + 3 = 12 macam

model handphone. Jadi banyak model handphone di toko itu ada 5

model A + 4 model B + 3 model C = 12 model.

2. Aturan Perkalian

Misalkan kota A dan B dihubungkan dengan 3 jalan, sedangkan antara kota B dan

C dihubungkan dengan 2 jalan. Maka banyak rute perjalanan dari kota A ke kota B

dan dilanjutkan perjalanan B ke C adalah 3 × 2 = 6 rute.

Prinsip inilah yang disebut prinsip perkalian. Sesuai aturan penjumlahan,

diperoleh banyak rute perjalanan dari A ke B atau dari B ke C adalah 3 + 2 = 5 rute. a.

Rute 2 terlihat lebih pendek dari rute 1 dan 3, apakah rute 2 akan ditempuh dalam

waktu lebih cepat? b. Faktor apakah yang harus dipertimbangkan ketika akan memilih

rute suatu perjalanan?

Prinsip dasar dalam aturan pengisian tempat

Jika suatu kejadian dapat terjadi dengan n1 cara, kejadian kedua

dapat terjadi dengan n2 cara, kejadian ketiga dapat terjadi

dengan n3 cara, dan seterusnya maka kejadian-kejadian dengan

urutan yang demikian dapat terjadi dengan (n1 × n2 × n3 × . . .)

cara.

Catatan:

Aturan penjumlahan ditandai dengan kata “atau”

Aturan perkalian ditandai dengan kata “dan”

Perhatikan contoh berikut.

Contoh 3.1

1. Sebuah dadu bermata enam dan uang logam dilempar secara bersamaan.

Berapa banyak hasil yang mungkin terjadi?

Penyelesaian:

Dadu dapat terjadi dengan 6 cara, yaitu dapat muncul angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

Sedangkan uang logam dapat terjadi dengan 2 cara, yaitu dapat muncul angka (A) dan

gambar (G). Berdasarkan prinsip di atas, banyaknya cara hasil yang mungkin adalah

(6 × 2) = 12 cara yang berlainan, yaitu: {1G, 1A, 2G, 2A, 3G, 3A, 4G, 4A, 5G, 5A,

6G, 6A}. Lihat tabel.Koin / Dadu A G

1 1A 1G2 2A 2G3 3A 3G4 4A 4G5 5A 5G6 6A 6G

3. Permutasi

Kaidah pencacahan yang kedua adalah permutasi. Namun sebelum membahas

lebih lanjut tentang permutasi, akan diulas kembali definisi dan notasi faktorial.

a. Definisi dan Notasi Faktorial

Di suatu kelurahan, becak yang beroperasi diberi nomor kombinasi dari empat

angka 1, 2, 3, dan 4. Setiap angka hanya digunakan sekali. Petugas kelurahan

membuat diagram sebagai berikut untuk menghitung nomor becak yang mungkin

Ribuan Ratusan Puluhan Satuan

Pada nilai ribuan dapat digunakan empat angka, ratusan tiga angka, puluhan

dua angka, dan satuan satu angka. Sesuai dengan prinsip pencacahan pertama, akan

terdapat 4 × 3 × 2 × 1 atau 24. Dengan demikian, akan terdapat 24 nomor becak

berlainan di kelurahan tersebut.

1) Tuliskan semua nomor becak di atas.

2) Apakah yang harus dilakukan apabila terdapat becak baru di kelurahan

tersebut?

Perkalian bilangan asli berturut-turut dari n sampai dengan 1 atau

sebaliknya disebut faktorial yang dinotasikan dengan n! Dalam notasi matematika,

nilai n faktorial dapat didefinisikan sebagai berikut. Faktorial didefinisikan sebagai:

n! = , untuk semua n > 2; 0! = 1 dan 1! = 1

Untuk setiap bilangan asli n _ 2, nilai n faktorial didefinisikan:

n! = n × (n – 1) × (n – 2) × (n – 3) × . . . × 3 × 2 × 1

0! = 1 dan 1! = 1

Contoh:

4. Diketahui n! = 6n(n – 3)! Tentukan nilai n yang memenuhi kalimat di atas.

Penyelesaian:

Ribuan Ratusan Puluhan Satuan

1,2,3,4, 3 angka 2 angka 1 angka

(4 angka )

n! = (n – 3)!

n(n – 1)(n – 2)(n – 3)! = 6n(n – 3)!

(n – 1)(n – 2) = 6

n2 – 3n + 2 = 6

n2 – 3n – 4 = 0

(n – 4)(n + 1) = 0

n = 4 atau n = 1

Jika disimpulkan nilai n yang memenuhi adalah n = 4 atau n = -1, apakah

pernyataan di atas bernilai benar? Jawabnya adalah salah karena untuk notasi

faktorial disyaratkan n adalah bilangan asli dan didefinisikan 0! = 1 dan 1! = 1.

b. Definisi dan Notasi Permutasi dari Unsur-unsur yang Berbeda

Andaikan pada penomoran becak dari empat angka (1, 2, 3, dan 4) hanya akan

dibuat nomor yang hanya terdiri atas dua angka yang berbeda. Berapa becak yang

dinomori? Perhatikan diagram berikut.

Pada diagram berikut, yang menempati tempat pertama ada 4 kemungkinan yaitu

1, 2, 3, atau 4. Sedangkan pada tempat kedua terdapat 3 kemungkinan angka yang

belum mempunyai tempat.

2 1

1 3 2 3

4 4

12, 13, 14 21, 23, 24

1 1

3 2 4 2

4 3

31, 32, 34 41, 42, 43

Jadi, banyak nomor yang terdiri atas 2 angka yang berbeda dari 4 angka yang

tersedia adalah 12 nomor.

Susunan k unsur dari n unsur yang berlainan dengan k < n disebut permutasi

k unsur dari n unsur, yaitu urutan berlainan k unsur yang diambil dari n unsur.

Banyak permutasi k unsur dari n unsur dilambangkan dengan notasi nPk atau P(n,k)

atau n k P yang didefinisikan:

Permitasi unsure yang berbeda :

Banyaknya cara untuk menyusun r buah unsure dari n buah unsure yang berbeda

dengan urutan diperhatikan dinamakan permutasi r dari n adalah

c.. Definisi dan Notasi Permutasi dari Unsur-unsur yang Sama

Pada pembahasan sebelumnya, kita mempelajari permutasi dari unsure –

unsure yang semuanya berbeda. Sekarang kita akan membahas suatu permutasi dari

unsure – unsure yang mana terdapat beberapa unsure yang sama. Misalnya kita akan

menuliskan susunan huruf yang berasal dari kata “ANA”. Susunan huruf yang

mungkin adalah ANA, AAN, NAA, sehingga terdapat 3 macam susunan.

Untuk mendapatkan rumus perhitunganya, kita asumsikan bahwa semua huruf

berbeda, yaitu dengan cara memberikan indeks pada huruf yang sama, yaitu A1NA2.

Permutasi 3 huruf ini menghasilkan 3! = 6 macam susunan yaitu

A1NA2, A2NA1, A1A2N, A2A1N,NA1A2,NA2A1

Akan tetapi, karena A1 = A2, maka susunan A1NA= A2NA1, A1A2N = A2A1N,

dan NA1A2 = NA2A1. Dengan demikian permutasi A1 dan A2 tidak memberikan hasil

yang berbeda dan hal tersebut terjadi sebanyak 2!. Dengan demikian yang tinggal

adalah ANA, AAN, NAA. Dari contoh sederhana tersebut kita peroleh hasil sebagai

berikut ini.

Permutasi dengan beberpa unsure sama

Banyaknya cara untuk menyusun n buah unsure yang terdiri dari n1, n2, n3,

…,nk unsure yang sama adalah

ANALISIS KOMBINASI

A. KONSEP PENGHITUNGAN, NOTASI FAKTORIAL

Konsep Dasar Penghitungan: Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n1 cara yang

berbeda, dan jika, mengikuti kejadian ini, suatu kejadian kedua dapat terjadi dalam n2

cara yang berbeda, dan, mengikuti kejadian kedua ini, suatu kejadian ketiga dapat

terjadi dalam n3 cara yang berbeda,….,maka banyaknya cara agar kejadian – kejadian

tersebut dapat terjadi dalam urutannya dinyatakan sebagai n1 • n2 • n3……

A.1 Misalkan sebuah pelat nomor memuat dua huruf dan diikuti oleh tiga angka

dengan digit pertamanya tidak nol.

Berapa banyak pelat nomor berbeda yang dapat di cetak?

Setiap huruf dapat di cetak dalam 26 cara yang berbeda, digit pertama

dalam 9 cara yang berbeda dan setiap dua digit lainnya dalam 10 cara

yang berbeda. Sehingga, terdapat 26 • 26 • 9 • 10 • 10 • = 608400 pelat

nomor berbeda yang dapat di cetak.

A.2 Tententukan banyaknya n cara agar sebuah organisasi yang terdiri dari 26

anggota yang dapat memilih seorang ketua, bendahara dan sekretaris (asumsikan

tidak ada orang yang dipilih untuk lebih dari satu jabatan).

Ketua dapat dipilih dalam 26 cara yang berbeda; mengikuti ini, bendahara

dapat dipilih dalam 25 cara berbeda (karena seseorang yang terpilih

sebagai ketua tidak di bolehkan menjadi bendahara); dan, mengikuti ini,

sekretaris dapat di pilih dalam 24 cara berbeda. Sehingga, menurut konsep

penghitungan di atas, ada n = 26 • 25 • 24 • = 15600 cara yang berbeda

dimana organisasi tersebut dapat memilih pengurus – pengurusnya.

A.3 Terdapat empat jalur bus antara A dan B; dan tiga jalur bus antara B dan C.

Tentukan banyaknya cara agar seseorang dapat berpergian:

(a) Dengan bus dari A ke C melewati B?

(b) Pulang – pergi dengan bus dari A ke C melewati B?

(a) Ada 4 cara untuk pergi dari A ke B dan 3 cara untuk pergi dari B ke C;

sehingga ada 4 • 3 = 12 cara untuk pergi dari A ke C melewati B.

(b) Ada 12 cara untuk pergi dari A ke C melewati B, dan 12 cara untuk

kembali. Sehingga ada 12 • 12 = 144 cara untuk berpergian pulang –

pergi.

A.4 Seorang mahasiswa dapat mengambil salah satu dari empat jadwal mata

kuliah matematika dan satu dari lima jadwal mata kuliah bahasa inggris. Tentukan

banyaknya n cara agar ia dapat mendaftar untuk dua mata kuliah.

Terdapat 4 pilihan untuk mata kuliah matematika dan 5 pilihan untuk

bahasa inggris; sehingga n = 4 • 5 = 20.

B. FUNGSI FAKTORIAL

Sub – bagian ini meliputi fungsi factorial n ! (baca “ n factorial”) di mana n! di

definisikan oleh

n! = 1 • 2 • 3 • …….• (n – 2) (n – 1) n

Dengan kata lain, n! adalah hasil kali bilangan – bilangan bulat positif dari 1 sampai

n. 0! Didefinisikan sama dengan 1.

B.1 Tentukan 5!,6!,7! Dan 8!

Untuk n > 1, kita mempunyai n! = n (n-1)! Sehingga 5! = 5 • 4! = 5 • 24 =

120; 6! = 6 • 5! = 6 • 120 = 720; 7! = 7 • 6! = 7 • 720 = 5040; 8! = 8 • 7! =

8 • 5040 = 40 320.

B.2 Tuliskan dalam bentuk factorial (a) 35 • 34 • 33, dan (b)

(a) 35 • 34 • 33 = =

(b) = =

C. KOEFISIEN BINOMIAL

Variabel random X di katakana distribusi binomial jika dan hanya jika X

mempunyai fungsi probabilitas sbb:

F(x) = f(x;p) = Px ( 1 – P)n-x; untuk x = 0,1,…..,n.

0 ; untuk x yang lain

Di mana 0 P 1 dan P – 1 sering di nyatakan dengan “q” distribusi ini sering di

lambangkan dengan “ x B ( x,n,P).

Simbol ( dibaca “n kombinasi r”), dimana r dan n adalah bilangan bulat positif

dengan r n, di definisikan sebagai berikut:

=

“Perhatikan bahwa terdapat r factor dalam kedua pembilang dan penyebutnya. Angka

– angka ini disebut koefisien binomial “.

C.1 Hitunglah: (a) dan (b)

Ingat kembali bahwa ada banyak factor dalam pembilangnya sebanyak dalam

penyebutnya.

(a) = = 560

(b)

4

12= = 495

KETERANGAN:

Dengan menggunakan formula di atas untuk dan

kenyataan bahwa 0! = 1, maka kita dapat memperluas definisi pada kasus –

kasus: = =1 dan khususnya, = = 1

C.3 Hitung ?

Menurut definisi = = 120

Sebaliknya, 10-7 = 3 sehingga kita juga dapat menghitung sebagai berikut:

= = = 120 ( Perhatikan bahwa metode ke-dua lebih menghemat

tempat dan waktu)

C.4 Buktikan: = +

711

?

Di sini + = + . Kalikan pecahan pertama dengan 7/ 7 dan

pecahan ke- dua dengan 5/ 5 untuk mendapatkan penyebut yang sama dalam

kedua pecahan, kemudian jumlahkan:

+ = + = +

= = = = =

TEOREMA (A.1): = +

Pembuktian dari teorema di atas:

Sekarang + = + . Untuk mendapatkan

penyebut yang sama dalam kedua pecahan, kalikan pecahan pertama dengan r / r

dan pecahan kedua dengan , sehingga : + =

+

= +

= =

= = =

D. TEOREMA BINOMIAL, SEGITIGA PASCAL

Sub – bagian ini menggunakan teorema binomial berikut ( dibuktikan

menggunakan induksi pada conoh soal D.1) yang memberikan bentuk umum untuk

penjabaran (a + b)n:

TEOREMA D.1 ( TEOREMA BINOMIAL):

(a + b)n = an + nan-1b + an-2b2 + an-3b3 + ….+ a2bn-2

+ nabn-1 + b2

= a2 + an – 1b + an – 2 b2 + an – 3b3 + ……+ a2bn – 2 + abn – 1 +

bn.

= an – r br.

KETERANGAN :

Penjabaran (a + b)n di atas mempunyai sifat – sifat sebagai berikut:

1. Terdapat n + 1 suku

2. Penjumlahan pangkat – pangkat dari a dan b dalam setiap sukunya

sama dengan n.

3. Pangkat a menurun dalam setiap suku demi suku dari n sampai 0;

pangkat b naik dalam suku demi suku dari 0 sampai n.

4. Koefisien dari suatu suku adalah dimana k adalah pangkat dari

salah satu a atau b.

5. Koefisien – koefisien dari suku – suku yang sama jauhnya dari yang

terakhir adalah sama.

D.1 Jabarkan : (a) (a + b)6 dan (b) (a + b)7.

Dengan Menggunakan Teorema Binomial D.1!!!;

(a) (a + b)6 = a6 + 6a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + 6ab5 + b6.

= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.

(b) (a + b)7 = a7 + 7a6b + a5b2 + a4b3 + a3b4 + a2b5 + 7ab6 +

b.

= a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7.

D.2 Jabarkan dan Sederhanakan; (x + 3y)3.

(x + 3y)3 = (x)3 + (x)2 (3y) + (x) (3y)2 + (3y)3

= x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3.

E. KOEFISIEN KOEFISIEN MULTINOMIAL

Di berikan bilangan bulat tak negative n1,n2,……..,nr, sedemikian hingga n1 + n2 +

………+ nr = n, maka bentuk di definisikan sebagai:

= . Angka angka ini disebut koefisien

multinomial.

E.1 Hitunglah: (a) dan (b) ?

(a) = = = 60

(b) Bentuk tidak mempunyai arti karena 5 + 3 + 2 + 2 10.

B. Peluang Suatu Kejadian

Dalam suatu pertandingan sepakbola, sebuah pertandingan dimulai wasit

melakukan pengundian dengan cara melempar sekeping koin. Setiap kapten memilih

salah satu sisi koin itu, yaitu gambar (G) atau angka (A). bila hasil undian sesuia

dengan salah satu pilihan kapten keebelasan, maka ia boleh memilih tempat atau

melakukan tendangan pertama. Cara undian seperti itu dianggap adil baik oleh wasit,

kedua kesebelasan, maupun penonton. Karena gambar (G) atau angka (A) dianggap

memiliki kesempatan yang sama untuk muncul. Hal ini berarti peluang munculnya

gambar (G) dan munculnya angka (A) pada pengundian tersebut adalah sama.]

Selnajutnya pada pelemparan sekeping koin ruang sampelnya adalah S = { A, G }

sehingga n(S) = 2. dengan asumsi gambar (G) atau angka (A) memiliki kesempatan

yang sama untuk muncul, maka peluang munculnya gambar (P(G)) pada pelemparan

sekeping koin adalah P(G) = . Demikian halnya peluang munculnya angka (A)

adalah P(A) = . Dapat penjelasan tersebut didefinisiskan peluang suatu kejadian

berikut ini.

Peluang Suatu Kejadian

Jika setiap anggota ruang sample S memiliki kesmpatan yang sama untuk muncul,

maka peluang munculnya kejadian A dalam ruang sample S adalah;

P(A) =

P(A) = Peluang kejadian A

N(A) = Banyaknaya anggota kejadian A

N(S) = Banyaknya anggota ruang sample

Misalnya A adalah suatu kejadian dari ruang sample S, maka berlaku;

Berdasarkan hasil diatas;

Jika P(A)=0, maka A merupakan kejadian yang tak mungkin terjadi atau

kemustahilan.

Jika P(A) = 1, maka A merupakan kejadian yang pasti terjadi atau

kepastina.

Kejadian munculnya mata dadu 9 pada pengundian sebuah dadu 1 kali adalah

suatu kemustahilan sedangkan munculnya mata dadu yang berjumlah lebih dari 1 dari

pengundian 2 dadu 1 kali adalah suatu kepastian.

C. Relasi Antarkejadian

1. Relasi Dua Kejadian

Misalkan S adalah ruang sample dari suatu percobaan, sedangkan A dan B adalah

kejadian dari percobaan tersebut. Kejadian tunggal yang mengkaitkan kejadian A dan

B adalah:

a. Kejadian munculnya “A atau B” ditulis dengan “A ”.

b. Kejadian munculnya “A dan B” ditulis dengan “A ”.

c. Kejadian “bukan A” atau “komplemen A” ditulis dengan A’ atau Ac atau .

Hubungan dua kejadian tersebut dapat disajikan dalam diagram Veen berikut ini

dengan daerah yang diarsir merupakan kejadian-kejadian yang dimaksud.

A A

Infomedia

A’=Ac =

1. Kejadian Saling Lepas

S A BS A B

S

AcA

Dua kejadian A dan B dalam ruang sample S disebut saling lepas jika kedua

kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan, oleh karena itu A .

Penyajian kejadian A dan B yang saling lepas ke dalam diagram Veen ditunjukkan

oleh gambar diatas.

Pada pelemparan sebuah dadu 1 kali, misalnya:

A = Kejadian munculnya mata dadu bilangan prima ganjil, sehingga A = {3,5}.

B = Kejadian munculnya mata dadu bilangan genap, sehingga B = {2,4,6}.

Perhatikan bahwa pada kedua kejadian tersebut tidak ada elemen persekutuan

sehingga A . Dengan demikian kejadian A dan kejadian B diatas disebut

kejadian saling lepas, dan seperti disajikan diagram veen dibawah ini.

Gambar A Gambar

3. Kejadian Saling Berkomplemen

Untuk memahami kejadian saling berkomplemen perhatika diagram veen pada

gambar di bawah ini.

S A B S A B

.3

.5.2.6.4

S

Ac

A

Pada diagram Veen diatas berlaku:

a. A dan

b. A

Kejadian A dan Ac yang memenuhi kedua sifat diatas disebut sebagai kejadian

yang saling berkomplen.

Karena A , maka berlaku:

N(A Ac) = n(S), karena A , maka

N(A)+n(Ac) = n(S)

P(A) + P(Ac) = 1

P(A) = 1 – P(Ac) atau P(Ac) = 1 – P(A)

Peluang kejadian saling berkomplemen

Misalnya A dan B adalah kejadian pada ruang sample S. jika A dan B

adalah kejadian saling berkomplemen, maka berlaku:

P(A) = 1 – P(B) atau P(B) = 1 – P(A).

Rangkuman1. Permutasi

a. Permutasi dari unsure berbeda

b. Permutasi dengan beberapa unsure sama

dengan n1,n2,n3,…..,nk=n

c. Permutasi siklis dari n unsure berbeda

2. Kombinasi

3. Peluang Suatu Kejadian

Jika setiap anggota ruang sample S memiliki kesempatan yang sama untuk

muncul, maka peluang munculnya kejadian A dalam ruang sample S adalah : P(A) =

; dengan n(S) .

4. Relasi Antarkejadian

a. Relasi dua kejadian

1.Kejadian munculnya “A atau B” ditulis dengan “A ”.

2. Kejadian munculnya “A dan B” ditulis dengan “A ”.

3.Kejadian “bukan A” atau “komplemen A” ditulis dengan A’ atau

Ac atau .

b. Peluang Gabungan Kejadian saling Lepas

P(A =P(A) + P(B)c. Peluang Gabungan kejadian tidak saling Lepas